初中数学同步9年级上册第11课二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（学生版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_讲义_学生版在此文件夹

第 11 课 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 目标导航 课程标准 y ax2 bxc(a 0) y ax2 bxc (1) 会用描点法画二次函数 的图象；会用配方法将二次函数 的 y a(xh)2 k 解析式写成 的形式； y ax2 bxc (2) 通过图象能熟练地掌握二次函数 的性质； y ax2 bxc y a(xh)2 k (3)经历探索 与 的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图 象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 知识精讲 知识点01 二次函数 与 之间的相互关系 1．顶点式化成一般式 y a(xh)2 k y a(xh)2 k 从函数解析式 我们可以直接得到抛物线的顶点 ，所以我们称 为 y a(xh)2 k y ax2 bxc 顶点式，将顶点式 去括号，合并同类项就可化成一般式 ． 2．一般式化成顶点式  b   b  b  2  b  2 y ax2 bxca  x2  x  cax2 x      c  a   a 2a 2a   b  2 4acb2 a x     2a 4a ． y a(xh)2 k 对照 ，可知 ， ． y ax2 bxc ∴ 抛物线 的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 【注意】 y ax2 bxc 1．抛物线 的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，可以当作公式加以记忆 和运用． y ax2 bxc 2．求抛物线 的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方 法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 知识点02 二次函数 的图象的画法 1．一般方法 列表、描点、连线2．简易画法：五点定形法 步骤： (1)先根据函数解析式，求 和 ，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． y ax2 bxc (2)求抛物线 与 的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴 的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 【注意】 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可 粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点 A、B，然后顺次 用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 知识点03 二次函数 的图象与性质 y  ax2 bxc(a  0) 1．二次函数 图象与性质 函数 y ax2 bxc 二次函数 (a、b、c为常数，a≠0) 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 b b x x 在对称轴的左侧，即当 2a时，y随x 在对称轴的左侧，即当 2a时，y随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即当 的增大而 ；在对称轴的右侧，即当 增减性 b b x x 2a 时，y随x的增大而 ．简 2a 时，y随x的增大而 ．简 记： 记： b b x x 最大(小)值 抛物线有最低点，当 2a 时，y有 抛物线有最高点，当 2a 时，y有 最 值， 最 值， y  ax2 bxc(a  0) 2．二次函数 图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母的符号 图象的特征 字母 开口向上 a 开口向下 对称轴在y轴左侧 b 对称轴在y轴右侧图象过原点 c 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与x轴有唯一交点 b2-4ac 与x轴有两个交点 与x轴没有交点 知识点04 求二次函数 的最大(小)值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即当 时， ． 【注意】 b  如果自变量的取值范围是x≤x≤x ，那么首先要看 2a是否在自变量的取值范围x≤x≤x 内，若在此范围内， 1 2 1 2 b 4acb2 x y  则当 2a 时， 最值 4a ，若不在此范围内，则需要考虑函数在x≤x≤x 范围内的增减性，如果 1 2 y ax2 bx c 在此范围内， y 随 x 的增大而增大，则当 x＝x 时， 最大值 2 2 ；当 x＝x 时， 2 1 y ax2 bx c 最小值 1 1 ，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x 时， ；当 1 b x x＝x 时， ，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x ，x＝x ， 2a 时y 2 1 2 值的情况． 能力拓展 考法01 二次函数 的图象与性质 【典例1】如图所示是二次函数 的图象，以下结论：① ；② ；③ 的两个根是 ， ；④ ，其中正确的是( ) A．③④ B．①② C．②③ D．②③④ 【即学即练】如图，抛物线 的对称轴为 ，下列结论正确的是( )A． B． C．当 时， 随 的增大而减小 D．当 时， 随 的增大而减小 【典例2】已知4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点可能在( ) A．第一或第四象限 B．第三或第四象限 C．第一或第二象限 D．第二或第三象限 【即学即练】关于抛物线 ，下列说法错误的是( ) A．当 时，对称轴是 轴 B．当 时，经过坐标原点 C．不论 为何值，都过定点 D． 时，对称轴在 轴的左侧 考法02 二次函数 的最值 【典例3】已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练】已知二次函数＝﹣ +2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是( ) A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值﹣4 C．有最大值4，有最小值﹣4 D．有最大值5，有最小值﹣4 【典例4】已知二次函数y＝x2＋bx＋c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣ 2，则b的值为( ) A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3 【即学即练】已知抛物线 过(1，m)，(-1，3m)两点，若 ，且当 时，y的最 小值为-6，则m的值是( ) A．4 B．2 C．–2 D．-4 考法03 二次函数 性质的综合应用 【典例5】已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变， 与x轴交于C，D两点(C在D的右侧)，下列结论： ①c≥−2 ； ②当x>0时，一定有y随x的增大而增大； ③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3； ④当四边形ABCD为平行四边形时，a= ．其中正确的是( ) A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 【即学即练】如图，已知抛物线经过点 ， ，与y轴交于点 ，P为AC上的一个动点， 则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线 ；②抛物线的最大值为 ；③ ；④OP的最小 值为 ．则正确的结论为( ) A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④ 【典例6】已知抛物线的解析式为 (m为常数)，则下列说法正确的是____________． ①当 时，点 在抛物线上； ②对于任意的实数m， 都是方程 的一个根； ③若 ，当 时，y随x的增大而增大； ④已知点 ，则当 时，抛物线与线段 有两个交点． 【即学即练】如图，已知抛物线 与x轴相交于于点 ， ，与 轴的交于点 ．点 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 的面积为 ．下列结论：① ；② ；③ ，其中，正确结论的序号是________．(所有正确的序号都填上) 分层提分 题组A 基础过关练 1．抛物线 经过点(m，3)，则代数式 的值为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 2．二次函数 (a≠0)中x，y的部分对应值如下表：﹣ x … ﹣2 0 1 2 … 1 ﹣ ﹣ y … 0 ﹣6 ﹣4 … 4 6 则该二次函数图象的对称轴为( ) A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝1 D．直线x＝ 3．若二次函数y＝x2+2x+k的图象经过点(1，y)，(﹣2，y)，则y，y 与的大小关系为( ) 1 2 1 2 A．y＞y B．y＝y C．y＜y D．不能确定 1 2 1 2 1 2 4．已知(﹣4，y)，(2.5，y)，(5，y)是抛物线y＝﹣3x2﹣6x+m上的点，则y、y、y 的大小关系是( ) 1 2 3 1 2 3 A．y＞y＞y B．y＞y＞y C．y＞y＞y D．y＞y＞y 1 2 3 3 2 1 1 3 2 2 1 3 5．已知函数y＝a ﹣2ax﹣1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( ) A．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 B．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大 C．当a＝1时，函数图像过点(﹣1，1) D．当a＝﹣2时，函数图像与x轴没有交点 6．已知二次函数 的图象如图所示，有以下4个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知二次函数y=x2－4x－m的最小值是1，则m=_______． 8．二次函数 的图象过点 ， ，若当 时． 随着 的增大而减小，则实数 的取值范围是______． 9．已知抛物线y=ax2－2ax－3+2a2 (a<0)． (1)求这条抛物线的对称轴； (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的函数解析式； 10．已知抛物线 ． (1)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当 为何值时，函数 取得最大值，请求出这个最大值． 题组B 能力提升练 1．将二次函数 的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为 ，则 、 的值为( )A． ， B． ， C． ， D． ， 2．如图是二次函数y＝ax2﹣x＋a2﹣9图象，图象过坐标原点，则a的值是( ) A．a＝3 B．a＝－3 C．a＝－9 D．a＝3或a＝﹣3 3．已知二次函数 ，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是( ) A． B． C． D． 4．已知抛物线 的最低点的纵坐标为 ，则抛物线的表达式是( ) A． B． C． D． 5．直线 与抛物线 在同一平面直角坐标系中的图像可能是( ) A． B． C． D． 6．二次函数 ( )的部分图象如图所示，图象过点( ，0)，对称轴为直线 ，下列结论： (1) ； (2) ； (3) ；(4)若点A( ， )，点B( ， )，点C( ， )在该函 数图象上，则 ；(5)m为任意实数，则 ．其中正确的结论有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．已知二次函数 ，当 时，自变量 的取值范围是______． 8．如图，抛物线 的对称轴为直线 ，点A，B均在抛物线上，且 与x轴平行，其中点 A的坐标为 ，则点B的坐标为_____．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，﹣2)． (1)求此抛物线的解析式和对称轴． (2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在， 说明理由． 10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A(﹣1，0)，B(3，0)两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围； 题组C 培优拔尖练 1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝ 在同一平面直角坐标 系中的图象可能是( )A． B． C． D． 2．若点A(﹣3， )，B(1， )，C(m， )在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且 ＜ ＜ ，则m的取值范围是 ( ) A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1 C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1 3．二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象如图，下列结论错误的为( ) A．b2﹣4ac＞0 B．a+b+c＞0 C．ax2+bx+c≥﹣1 D．2a﹣b＝0 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论不正确的是( ) A．abc＜0 B．a＋b＞m(am＋b)(m≠1) C．4a﹣2b＋c＜0 D．3a＋c＝1 5．二次函数 (a，b，c是常数， )的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当 时，其对应的函数值 ．有下列结论： ① ；② 和3是关于x的方程 的两个根；③对称轴为 ；④ ；其 中，正确结论的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知抛物线 (c为常数)经过点 ， ， ，当 时，则m的取值范围 为( )A． B． C． D． 7．已知二次函数 ，当 时，函数 的最大值为8，则 的值是____． 8．若点 在二次函数 的图象上，且点 到 轴的距离小于2，则 的取值范围是 ____________． 9．已知抛物线 的顶点(0，1)． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，直线 交x轴于A，交抛物线于B、C，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，试比较AE•AF与 4的大小关系． (3)如图2，D(0，2)，M(1，3)，抛物线上是否存在点N，使得 取得最小值，若存在，求出N的坐 标，若不存在，说明理由． 10． 北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线， 跳台高度 为 米，以起跳点正下方跳台底端 为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图 所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点 的坐标为 ，着陆坡顶端 与落地点 的距离为 米， 若斜坡 的坡度 (即 ．求： (1)点 的坐标； (2)该抛物线的函数表达式； (3)起跳点 与着陆坡顶端 之间的水平距离 的长．(精确到 米)(参考数据： )