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22.3.2二次函数专项训练（综合类）（2）
题型1：综合-线段、周长、面积最值问题
1
1、已知抛物线 y= x2+bx 经过点 A(4，0) ，另有一点 C(1，−3) ，若点 D 在抛物线的对称
2
轴上，且 AD+CD 的值最小，求点 D 的坐标．
【答案】解：如图，连接 AC 与对称轴的交点即为点 D ．
1 1
∵y= x2+bx 经过点 A(4，0) ，∴0=8+4b ，∴b=−2 ，∴抛物线的解析式为 y= x2−2x
2 2
，∵A(4，0) ， C(1，−3) ，∴直线 AC 的解析式为 y=x−4 ，∵对称轴 x=2 ，∴y=−2
，∴点 D 坐标 (2，−2) ．
【解析】【分析】连接AC与对称轴的交点即为点D，利用待定系数法将点A、C的坐标代入函数解析
式，求出二次函数解析式和直线AC的函数解析式，然后求出点D的坐标。
2．如图已知二次函数 y=x2+4x−5 的图象及对称轴，限用无刻度直尺按下列要求作图：
（1）在图1中作点 A(−4,−5) ；
（2）已知 A(−4,−5) ，在图2中的对称轴上作点P，使 CP−AP 最大；【答案】（1）解：如图：点A是所作的点．
（2）解：）点 P 是所作的点．
【解析】【分析】（1）由题意可知， y轴与二次函数图象的交点和 A(−4,−5) 关于二次函数的对
称轴对称，已经确定y轴与二次函数图象的交点的位置，作关于已知点的对称点；（2）当C、A、P
三点不在同一直线上时，形成三角形，根据三角形两边之差小于第三边可知， CP−AP0 )的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到
的抛物线解析式为 y=a(x−1) 2﹣2 ，
∵OA=1，
∴点A的坐标为(﹣1，0)，代入抛物线的解析式得， 4a﹣2=0 ，
1
∴a= ，
2
1 1 3
∴抛物线的解析式为 y= (x−1) 2﹣2 ，即 y= x2−x− ．
2 2 2
令y=0，解得 x =−1，x =3 ，
1 2∴点B的坐标为(3，0)，
∴AB=OA+OB=4，
∵△ABD的面积为5，
1
∴S = AB·y =5 ，
△ABD 2 D
5
∴y = ，
D 2
5 1 3
代入抛物线解析式得， = x2−x− ，
2 2 2
解得 x =−2，x =4 ，
1 2
5
∴点D的坐标为(4， )，
2
设直线AD的解析式为 y=kx+b ，
1
{ 5 { k=
4k+b= 2
∴ 2 ，解得： ，
1
−k+b=0 b=
2
1 1
∴直线AD的解析式为 y= x+ ；
2 2
（2）解：过点E作EM∥y轴交AD于M，交x轴于N，如图，
1 3 1 1
设点E的坐标为( a ， a2−a− )，则点M的坐标为( a ， a+ )
2 2 2 2
1 1 1 3 1 3
∴ME= a+ −( a2−a− )=− a2+ a+2 ，
2 2 2 2 2 2
∴S =S −S
△ACE △AME △CME
1 1
= EM·AN− EM·ON
2 2
1 1 3
= (− a2+ a+2)×1
2 2 21
=− (a2−3a−4)
4
1 3 2 25
=− (a− ) + ，
4 2 16
3 25 3 15
∴当 a= 时，△ACE的面积有最大值，最大值是 ，此时E点坐标为( ， − )
2 16 2 8
【解析】【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式，经过点A(-1，0)，可求得a的值，由△ABD的面
积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析
式；(2)作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由 S =S −S 构建二次函
△ACE △AME △CME
数，利用二次函数的性质即可解决问题；
8．如图，抛物线y=ax2+bx(a≠0)的图象过原点O和点A(1， √3 )，且与x轴交于点B，△AOB的面积
为 √3 。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴上存在一点M，使△AOM的周长最小，求M点的坐标；
（3）点F是x轴上一动点，过F作x轴的垂线，交直线AB于点E，交抛物线于点P，且PE=
2√3
，直接写出点E的坐标(写出符合条件的两个点即可)。
3
1
【答案】（1）解：∵△AOB的面积为 √3 ， 点A（1， √3 ），∴ OB×√3 = √3 ，∴OB=2，
2
{ √3
a=
{ √3=a+b 3 √3 2√3
∴B（－2，0）．∵抛物线过点A，B，∴ ，解得： ，∴y= x2+ x
0=4a−2b 2√3 3 3
b=
3
2√3
3
（2）解：抛物线的对称轴为 x=− =−1 ．∵点B与点O关于对称轴 x=−1 对称，∴由题意
√3
2×
3
得直线AB与对称轴的交点就是点M．设直线AB为： y=kx+m ．∵直线AB过A、B两点，∴
{ √3
k=
{ √3=k+m 3 √3 2√3
，解得： ，∴y= x+ ．
0=−2k+m 2√3 3 3
m=
3√3 2√3 √3 √3
当 x=−1 时， y=− + = ，∴M（ −1 ， ）
3 3 3 3
√3 2√3 √3 2√3
（3）解：设F（x，0），则E（x， x+ ），P（x， x2+ x ），则PE=
3 3 3 3
√3 2√3 √3 2√3 2√3
| x2+ x−( x+ )|= ，整理得： |x2+x−2|=2 ，∴x2+x−2=−2 或
3 3 3 3 3
−1+√17 −1−√17 2
x2+x−2=2 ，解得：x=0，x=-1，x= ，x= ．∴E的坐标为（0， √3 ）
1 2 3 2 4 2 3
√3 −1+√17 3√3+√51 −1−√17 3√3−√51
或（ −1 ， ）或（ ， ）或（ ， ）
3 2 6 2 6
【解析】【分析】（1）因为抛物线的解析式有两个待定系数a、b，需已知两个点才能用待定系数法
1
求解析式，已知点A（1，√3），△AOB的面积为√3，则三角形AOB的面积= OB×√3，可求出点
2
B的坐标，那么解析式可求；
（2）要使△AOM的周长最小，只需使AM+OM最短即可，根据两点之间，线段最短可知：找出点O
关于直线x=-1的对称点，连接这个对称点和点A与对称轴的交点即为所求的点M。由（1）中所求的
解析式可得抛物线的对称轴为直线x=-1，因为点M在对称轴上，所以点M的横坐标为-1，只须求出
纵坐标即可；而点M又在直线AB上，所以根据A、B的坐标可求得直线AB的解析式，把x=-1代入
解析式即可求得点M的纵坐标；
（3）根据题意可知点F、E、P三点的横坐标相同，点E在直线AB上，点P在抛物线上，则E、P的
2√3
纵坐标可表示出来，根据PE= ，可得关于x的方程，解方程即可求解。
3
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝5cm，点P，点Q分别以2cm/s和1cm/s的速度从A，B
沿AB，BC方向运动.设t秒（t≤5）时，△PBQ的面积为y.
（1）试写出y与t的函数关系式.
（2）当t为何值时，S ＝6cm2？
△PBQ
（3）在P、Q运动过程中，四边形APQC的面积是否有最小值？如果有，直接写出S ＝
四边形APQC
.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝10cm，BC＝5cm，
根据题意，AP＝2t，BQ＝t，
∴PB＝10﹣2t，
1
∵S ＝ PB•QB，
△PBQ 2
∴y＝﹣t2+5t
（2）解：把y＝6cm2代入解析式，可得：6＝﹣t2+5t，
解得：t ＝2，t ＝3，
1 2
答：当t为2秒或3秒时，S ＝6cm2
△PBQ（3）18.75cm2
【解析】【解答】（3）∵y＝﹣t2+5t＝﹣（t﹣2.5）2+6.25，
∴当t＝2.5时，y有最大值，最大值为6.25，
∴△PBQ的面积的最大值为6.25cm2，所以四边形APQC的面积此时最小，S ＝
四边形APQC
1 1
AB·BC−S△ = ×10×5−6.25=18.75 cm2，
2 PBQ 2
故答案为：18.75cm2。
【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间得出 AP＝2t，BQ＝t， 故 PB＝10﹣2t， 然后根据三角形
1
的面积计算方法，由 S ＝ PB•QB， 即可建立出y与x的函数关系式；
△PBQ 2
（2）将y=6代入（1）所求的函数关系式即可算出对应的自变量的值，得出答案；
1
（3）根据二次函数的性质，求出（1）所得函数的最值，根据S ＝ AB·BC−S△ ，当
四边形APQC 2 PBQ
△PBQ的面积的最大时四边形APQC的面积此时最小即可求出答案。
10．如图，已知抛物线 y=ax2+bx 与 x 轴分别交于原点 O 和点 F(10，0) ，与对称轴 l 交于
点 E(5，5) .矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴正半轴上，且 AB=1 ，边 AD ， BC 与抛物线分
别交于点 M ， N .当矩形 ABCD 沿 x 轴正方向平移，点 M ， N 位于对称轴 l 的同侧时，连
接 MN ，此时，四边形 ABNM 的面积记为 S ；点 M ， N 位于对称轴 l 的两侧时，连接 EM
， EN ，此时五边形 ABNEM 的面积记为 S .将点 A 与点 O 重合的位置作为矩形 ABCD 平移
的起点，设矩形 ABCD 平移的长度为 t(0≤t≤5) .
（1）求出这条抛物线的表达式；
（2）当 t=0 时，求 S 的值；
ΔOBN
（3）当矩形 ABCD 沿着 x 轴的正方向平移时，求 S 关于 t(0≤t≤5) 的函数表达式，并求出
t 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？
【答案】（1）解：将E（5，5）、F（10，0）代入y=ax2+bx，
1
25a+5b＝5 a＝−
{¿ ，解得： {¿ 5 ，
100a+10b＝0
b＝2
1
∴抛物线的表达式为y=- x2+2x
5
9
（2）解：当t=0时，点B的坐标为（1，0），点N的坐标为（1， ），
59
∴BN= ，OB=1，
5
1 9
∴S = BN•OB=
△OBN 2 10
（3）解：①当0＜t≤4时（图1），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0），
1 1
∴点M的坐标为（t，- t2+2t），点N的坐标为（t+1，- （t+1）2+2（t+1）），
5 5
1 1
∴AM=- t2+2t，BN=- （t+1）2+2（t+1），
5 5
1 1 1 1
∴S= （AM+BN）•AB= ×1×[- t2+2t- （t+1）2+2（t+1）]，
2 2 5 5
1 9 9
=- t2+ t+ ，
5 5 10
1 9 99
=- （t- ）2+ ，
5 2 20
1
∵- ＜0，
5
49
∴当t=4时，S取最大值，最大值为 ；
10
②当4＜t≤5时（图2），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0），
1 1
∴点M的坐标为（t，- t2+2t），点N的坐标为（t+1，- （t+1）2+2（t+1）），
5 5
1 1
∴AM=- t2+2t，BN=- （t+1）2+2（t+1），
5 51 1 1 1
∴S= （5-t）（- t2+2t+5）+ （t-4）[5- （t+1）2+2（t+1）]，
2 5 2 5
1 1 1 1 12 2 136
= （ t3-3t2+5t+25）+ （- t3+ t2+ t- ），
2 5 2 5 5 5 5
3 27 11
=- t2+ t- ，
10 10 10
3 9 199
=- （t- ）2+ ，
10 2 40
3
∵- ＜0，
10
9 199
∴当t= 时，S取最大值，最大值为 ．
2 40
49 196 199
∵ = ＜ ，
10 40 40
9 199
∴当t= 时，S有最大值，最大值是
2 40
【解析】【分析】（1）将E，F两点的坐标代入y=ax2+bx，得出关于a，b的二元一次方程组，去接得
出a，b的值，从而得出抛物线的解析式；
9
（2）当t=0时，点B的坐标为（1，0），点N的坐标为（1， ），故可得出BN，OB的长，根据
5
三角形的面积计算方法即可算出答案；
（3）①当0＜t≤4时（图1），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0），进而根据抛物线上
点的坐标特点。和x轴平行的直线上的点的坐标特点表示出M，N的坐标，AM，BN的长，根据梯形
的面积建立出S与t的函数关系式，根据所得函数的旋转即可得出答案；②当4＜t≤5时（图2），点
A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0），进而根据抛物线上点的坐标特点。和x轴平行的直
线上的点的坐标特点表示出M，N的坐标，AM，BN的长，根据梯形的面积公式建立函数关系式，根
据函数性质即可解决问题。
题型2：综合-等腰三角形存在性问题
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已
知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果
不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，求出b、c的值即可；
（2）由对称可知，直线BC与对称轴的交点就是点M，求出直线BC的关系式，进而求出其与对称轴的
交点；
（3）设P（1，t），则PC2＝12+（t﹣3）2，CD2＝32+12＝10，PD2＝t2，根据△PCD为等腰三角形，分
三种情况讨论：当PC＝CD时，当CD＝PD时，当PC＝PD时，分别建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
∴ ，
解得： ，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由对称性可知，直线BC与抛物线对称轴的交点就是点M，
抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴是直线x＝﹣ ＝1，由于点A（﹣1，0），则点B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
则 ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴点M（1，2）；
（3）设P（1，t），则PC2＝12+（t﹣3）2，CD2＝32+12＝10，PD2＝t2，
根据△PCD为等腰三角形，分三种情况讨论：
当PC＝CD时，
则12+（t﹣3）2＝10，
解得：t＝6或t＝0（此时点P与D重合，舍去），
∴P（1，6）；当CD＝PD时，
则10＝t2，
解得：t＝± ，
∴P （1， ），P （1，﹣ ）；
1 2
③当PC＝PD时，
则12+（t﹣3）2＝t2，
解得：t＝ ，
P（1， ）；
综上所述，点P的坐标为（1，6）或（1， ）或（1，﹣ ）或（1， ）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数
的图象和性质以及对称最短距离，等腰三角形性质，第（2）问运用轴对称距离最短是解题关键，第
（3）问在考虑构建等腰三角形时，运用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等
腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）连接CB交对称轴于点Q，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，求出直线BC的解析
式，再求Q点坐标即可；
（3）分两种情况讨论：当∠BPM＝90°时，PM＝PB，M点与A点重合，则M（﹣1，0）；当∠PBM＝
90°时，PB＝BM，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，可证明△BPH≌△MBG（AAS），设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），求出M点坐标为（1﹣ ，﹣
2）；同理M（3+t，2），可求M点坐标为（1﹣ ，2）．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
∴ ，
解得 ，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接CB交对称轴于点Q，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A、B关于对称轴x＝1对称，
∴AQ＝BQ，
∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，
当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，
∵C（0，﹣3），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝x﹣3，
∴Q（1，﹣2）；
（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，
∴M点与A点重合，
∴M（﹣1，0）；
当∠PBM＝90°时，PB＝BM，
过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，
∵∠PBM＝90°，
∴∠PBH+∠MBG＝90°，
∵∠PBH+∠BPH＝90°，
∴∠MBG＝∠BPH，
∵BP＝BM，
∴△BPH≌△MBG（AAS），
∴BH＝MG，PH＝BG＝2，
设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，
解得t＝2+ 或t＝2﹣ ，
∴M（1﹣ ，﹣2）或（1+ ，﹣2），
∵M点在对称轴的左侧，
∴M点坐标为（1﹣ ，﹣2）；
同理可得M（3+t，2），
∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，
解得t＝﹣2+ （舍）或t＝﹣2﹣ ，
∴M（1﹣ ，2）；
综上所述：M点的坐标为（1﹣ ，﹣2）或（1﹣ ，2）或（﹣1，0）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，
轴对称求最短距离，分类讨论，数形结合是解题的关键．3．（提升）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线
上的一个动点，PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值；
（3）当△PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标．
【分析】（1）利用特定系数解答，即可求解；
（2）先求出直线AB的表达式为y＝x﹣1，可得△PCD是等直角三角形，从而得到△PCD的周长为：
PC+PD+CD＝（ +1）PC，设点P的坐标为（x，x2﹣4x﹣1），则点C的坐标为（x，x﹣1），利用
二次函数的性质，即可求解；
（3）分三种情况讨论，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得： ，
解得： ，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣1；
（2）设直线AB的表达式为：y＝kx+a（k≠0），
∵A（0，﹣1），B（5，4），
∴ ，
解得： ，
∴直线AB的表达式为：y＝x﹣1，
设直线AB交x轴于点M，
当y＝0时，x＝1，
∵OA＝OM＝1，∵∠AOM＝90°，
∴∠OAB＝45°，
∵CP∥y轴，
∴∠DCP＝∠OAB＝45°，
∵PD⊥AB，
∴△PCD是等腰直角三角形，即CD＝PD，
∴PC＝ ＝ CD，即CD＝PD＝ PC，
∴△PCD的周长为：PC+PD+CD＝（ +1）PC，
设点P的坐标为（x，x2﹣4x﹣1），则点C的坐标为（x，x﹣1），
∴（ +1）PC＝（ +1）[（x﹣1）﹣（x2﹣4x﹣1）]＝﹣（ +1）[（x﹣ ）2﹣ ]，
∵﹣（ +1）＜0，
∴当x＝ 时，△PCD周长取得最大值，最大值为 （ +1），
此时点P的坐标为（ ，﹣ ）；
（3）如图，过点A作P A⊥y轴，交抛物线于点P ，
1 1
∵CP ∥y轴，
1
∴∠ACP ＝45°，
1
∴△ACP 是等腰直角三角形，
1
∴点A （0，﹣1），
∴点P 的纵坐标为﹣1，
1
当y＝﹣1时，﹣1＝x2﹣4x﹣1，
解得：x ＝4，x ＝0（舍去），
1 2此时点P （4，﹣1）；
1
如图，当P A⊥AB时，
2
∵CP ∥y轴，
2
∴∠ACP ＝45°，
2
∴△ACP 是等腰直角三角形，点C，P 关于直线AP 对称，
2 2 1
设点P （m，m2﹣4m﹣1），则点C（m，m﹣1），
2
∴ [（m2﹣4m﹣1）+（m﹣）]＝﹣1，
解得：m ＝3，m ＝0（舍去），
1 2
此时点P （3，﹣4）；
2
如图，若AC＝CP ，作CE⊥y轴于点E．
3
∵∠CAE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，即AE＝CE，
∴P C＝AC＝ ＝ CE，
3
设点P （m，m2﹣4m﹣1），
3
则点C（m，m﹣1），
∴（m﹣1）﹣（m2﹣4m﹣1）＝ m，
解得：m ＝5﹣ ，m ＝0（舍去），
1 2
∴此时点p （5﹣ ，6﹣6 ）；
3
综上所述，点P的坐标为（4，﹣1）或（3，﹣4）或（5﹣ ，6﹣6 ）．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判
定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答本题的关键．
4．如图，已知抛物线y＝mx2+4x+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣3经过B，C两
点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的顶点为M，在该抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出B、C点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（2，t），分别求出MP＝|t﹣1|，MC＝2 ，CP＝ ，再分三种情况讨论：①
当MP＝MC时，②当MP＝CP时，|③当MC＝CP时，分别求出t的值即可求解．
【解答】解：（1）y＝x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，则x＝3，
∴B（3，0），
将C（0，﹣3），B（3，0）代入y＝mx2+4x+n中，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴M（2，1），对称轴为直线x＝2，
设P（2，t），
∴MP＝|t﹣1|，MC＝2 ，CP＝ ，
①当MP＝MC时，|t﹣1|＝2 ，
∴t＝2 +1或t＝﹣2 +1，
∴P（2，2 +1）或（2，﹣2 +1）；
②当MP＝CP时，|t﹣1|＝ ，
解得t＝﹣ ，∴P（2，﹣ ）；
③当MC＝CP时，2 ＝ ，
解得t＝1（舍）或t＝﹣7，
∴P（2，7）；
综上所述：P点坐标为（2，2 +1）或（2，﹣2 +1）或（2，﹣ ）或（2，7）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类
讨论是解题的关键．
题型3：综合-直角三角形存在性问题
1．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接
BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于
M，交x轴于N，恰有线段MN＝2PM，求此时点P的坐标；
（3）如图2，连接CP，在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，若存
在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）求出直线BC的解析式，设P（t， t2﹣t﹣4），则M（t，t﹣4），N（t，0），由MN＝2PM，可
得4﹣t＝2（﹣ t2+2t），求得t＝1，即可求P（1，﹣ ）；
（3）设Q（0，m），分别求出QP2＝1+（m+ ）2，CP2＝ ，CQ2＝（m+4）2，分所求情况讨论：当
∠QCP＝90°时，由勾股定理可得m＝﹣4（舍）；当∠CPQ＝90°时，由勾股定理可求Q（0，﹣ ）；
当∠CQP＝90°时，由勾股定理可得解求Q（0，﹣ ）．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0）和B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4，∴ ，
解得 ，
∴y＝ x2﹣x﹣4；
（2）令x＝0，则y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝x﹣4，
设P（t， t2﹣t﹣4），则M（t，t﹣4），N（t，0），
∴MN＝4﹣t，PM＝t﹣4﹣（ t2﹣t﹣4）＝﹣ t2+2t，
∵MN＝2PM，
∴4﹣t＝2（﹣ t2+2t），
解得t＝1或t＝4，
∵P是线段BC下方抛物线上，
∴0＜t＜4，
∴t＝1，
∴P（1，﹣ ）；
（3）存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，理由如下：
设Q（0，m），
∴QP2＝1+（m+ ）2，CP2＝ ，CQ2＝（m+4）2，
当∠QCP＝90°时，1+（m+ ）2＝ +（m+4）2，
解得m＝﹣4（舍）；
当∠CPQ＝90°时，1+（m+ ）2+ ＝（m+4）2，解得m＝﹣ ，
∴Q（0，﹣ ）；
当∠CQP＝90°时， ＝（m+4）2+1+（m+ ）2，
解得m＝﹣4（舍）或m＝﹣ ，
∴Q（0，﹣ ）；
综上所述：Q点坐标为（0，﹣ ）或（0，﹣ ）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形勾股定理，分
类讨论是解题的关键．
2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），直
线y＝mx+n经过点A，与y轴交于点 ，与抛物线交于点D，点△ABD的面积为5．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上一动点E在直线y＝mx+n的图象下方，当△ACE的面积最大时，求点E的坐标；
（3）若点P是y轴上一点，在（2）的条件下，当△PAE为直角三角形时，直接写出PA的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝ x+ ，根据△ABD的面积为5，可得D
（4， ），再运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）设E（t， t2﹣t﹣ ）（﹣1＜t＜4），过点E作EF∥y轴交AC于点F，如图1，则F（t， t+
），进而可得S△ACE ＝ （t﹣ ）2+ ，利用二次函数的性质即可得出答案；
（3）设P（0，y），如图2，设EF交x轴于点G，过点E作EH⊥y轴于点H，当△PAE为直角三角形
时，AE为定值，当且仅当PA为斜边时，PA最大，AE⊥PE，运用勾股定理可得PA2＝PE2+AE2，即可求
得PA．
【解答】解：（1）∵直线y＝mx+n经过点A（﹣1，0）， ，
∴ ，
解得： ，∴直线AC的解析式为y＝ x+ ，
∵AB＝3﹣（﹣1）＝4，S△ABD ＝ AB•y
D
＝2y
D
＝5，
∴y ＝ ，
D
当y＝ 时， ＝ x+ ，
解得：x＝4，
∴D（4， ），
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）和点D（4， ），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝ x2﹣x﹣ ；
（2）设E（t， t2﹣t﹣ ）（﹣1＜t＜4），过点E作EF∥y轴交AC于点F，如图1，
则F（t， t+ ），
∴EF＝ x+ ﹣（ t2﹣t﹣ ）＝﹣ t2+ t+2，
∴S△ACE ＝ EF•（x
C
﹣x
A
）＝ ×（﹣ t2+ t+2）×1＝ （t﹣ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，﹣1＜t＜4，
∴当t＝ 时，S△ACE 的最大值为 ，此时点E的坐标为（ ，﹣ ）；
（3）设P（0，y），由（2）知：E（ ，﹣ ），A（﹣1，0），
如图2，设EF交x轴于点G，过点E作EH⊥y轴于点H，则AG＝ ﹣（﹣1）＝ ，EG＝ ，EH＝ ，PH＝|y﹣（﹣ ）|＝|y+ |，
由勾股定理得：AE2＝AG2+EG2＝（ ）2+（ ）2＝ ，
PA2＝OA2+OP2＝1+y2，PE2＝EH2+PH2＝（ ）2+|y+ |2＝y2+ y+ ，
当△PAE为直角三角形时，AE为定值，当且仅当PA为斜边时，PA最大，
∴AE⊥PE，
由勾股定理得：PA2＝PE2+AE2，
∴1+y2＝y2+ y+ + ，
解得：y＝﹣ ，
∴PA＝ ＝ ＝ ，
∴当△PAE为直角三角形时，PA的最大值为 ．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了一次函数、二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线
段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
3．如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．
（1）求M点的坐标；
（2）求△MBC的面积；
（3）坐标轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点 N的坐
标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，即可求顶点M；
（2）过点M作ME⊥y轴于点E，由 S△MBC ＝S四边形MBOE ﹣S△MCE ﹣S△BOC 求解即可；
（3）分三种情况讨论：①当C为直角顶点时，作CN ⊥BC交坐标轴为N ，OB＝ON ＝5，则N （﹣
1 1 1 1
5，0）； ②当B为直角顶点时，作BN ⊥BC交坐标轴为N ，OC＝ON ＝5，则N （0，﹣5）；③当
2 2 2 1
N为直角顶点时，点O与N 重合，则N （0，0）．
3 3
【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴M（2，9）；
（2）令y＝0，得﹣x2+4x+5＝0，
解得 x＝﹣1或x＝5，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
令x＝0，得y＝﹣x2+4x+5＝5，
∴C（0，5），
过点M作ME⊥y轴于点E，
∴S△MBC ＝S四边形MBOE ﹣S△MCE ﹣S△BOC ＝ ＝15；
（3）存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵OB＝OC＝5，∠COB＝90°，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
①当C为直角顶点时，作CN ⊥BC交坐标轴为N ，∠CN B＝∠CBN ＝45°，
1 1 1 1
∴OB＝ON ＝5，
1∴N （﹣5，0）；
1
②当B为直角顶点时，作BN ⊥BC交坐标轴为N ，∠CN B＝∠BCN ＝45°，
2 2 2 2
∴OC＝ON ＝5，
2
∴N （0，﹣5）；
1
③当N为直角顶点时，点O与N 重合，
3
∴N （0，0）．
3
综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣5，0）或（0，﹣5）或（0，0）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，分类
讨论，数形结合是解题的关键．
题型4：综合-平行四边形存在性问题
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（﹣6，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存
在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在坐标平面内是否存在一点P，使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形，若存在，直接写出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+12；
（2）连接BC交对称轴直线于Q，由y＝﹣x2﹣4x+12＝﹣（x+2）2+16，得抛物线对称轴是直线x＝﹣
2，C（0，12），由AC＝2 ，故当CQ+AQ最小时，△QAC的周长最小，此时 C，Q，B共线，
CQ+BQ最小值即为CB的长度，根据C（0，12），B（﹣6，0）得直线CB的解析式为y＝2x+12，令x
＝﹣2得Q（﹣2，8）；
（3）设P（m，n），又A（2，0），B（﹣6，0），Q（﹣2，8），分三种情况：①若PA，BQ是对角
线，则 PA，BQ 的中点重合，有 ，解得 P（﹣10，8）；②若 PB，AQ 为对角线，有
，解得P（6，8）；③若PQ，AB为对角线，有 ，解得P（﹣2．﹣8）．
【解答】解：（1）把A（2，0），B（﹣6，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+12；
（2）在该抛物线的对称轴上存在点Q，使得△QAC的周长最小，理由如下：
连接BC交对称轴直线于Q，如图：
∵y＝﹣x2﹣4x+12＝﹣（x+2）2+16，
∴抛物线对称轴是直线x＝﹣2，在y＝﹣x2﹣4x+12中令x＝0得y＝12，
∴C（0，12），
∴AC＝ ＝ ＝2 ，
∴当CQ+AQ最小时，△QAC的周长最小，
∵Q在抛物线对称轴上，
∴AQ＝BQ，
∴CQ+BQ最小时，△QAC的周长最小，此时C，Q，B共线，CQ+BQ最小值即为CB的长度，
∵C（0，12），B（﹣6，0），
∴CB＝ ＝ ＝6 ，直线CB的解析式为y＝2x+12，
在y＝2x+12中，令x＝﹣2得y＝8，
∴Q（﹣2，8）；
（3）在坐标平面内存在一点P，使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形，理由如下：
设P（m，n），又A（2，0），B（﹣6，0），Q（﹣2，8），
①若PA，BQ是对角线，则PA，BQ的中点重合，
∴ ，
解得 ，
∴P（﹣10，8）；
②若PB，AQ为对角线，则PB，AQ的中点重合，
∴ ，
解得 ，
∴P（6，8）；
③若PQ，AB为对角线，则PQ，AB的中点重合，
∴ ，
解得 ，
∴P（﹣2．﹣8），
综上所述，P的坐标为（﹣10，8）或（6，8）或（﹣2，﹣8）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形周长，平行四边形等知识，解题的关
键是利用平行四边形对角线互相平分列方程解决问题．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x+c与直线y＝x+1交于点A、C，且点A的坐标为（﹣1，
0）．（1）求点C的坐标；
（2）若点P是直线AC下方的抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）若点E是抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在点E使以A，C，E，F为顶点的
四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A的坐标代入y＝x2﹣2x+c，求出c的值，联立直线y＝x+1即可求解；
（2）过点P作PM⊥x轴交AC于点M，当S△ACP 最大时，点P到直线AC的距离最大，运用待定系数法
求直线AC解析式为y＝x+5，设P（m，m2﹣2m﹣3）（﹣1＜m＜5），则M（m，m+1），求得PM，再
根据二次函数的性质可得S△ACP 的最大值，根据勾股定理求出AC，利用三角形的面积公式求解即可；
（3）分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时，②当AF为平行四边形的对角线时，③当
AE为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2﹣2x+c的图象上，
∴0＝1+2+c，
∴c＝﹣3，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3，
联立直线y＝x+1得 ，
解得 或 ，
∴点C的坐标为（4，5）；
（2）过点P作PM⊥x轴交AC于点M，如图：设P（m，m2﹣2m﹣3）（﹣1＜m＜5），则M（m，m+1），
∴PM＝m+1﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m+4，
∴S△ACP ＝ ×5（﹣m2+3m+4）＝﹣ （m﹣ ）+ ，
∴当m＝ 时，S△ACP 最大为 ，
∵点A（﹣1，0），点C（4，5），
∴AC＝ ＝5 ，
设点P到直线AC的距离为h，
∴S△ACP ＝ ×5 ×h＝ ，
∴h＝ ，
∴点P到直线AC距离的最大值为 ；
（3）存在，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设点F的坐标为（1，n），点E的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），
分三种情况：
①当AC为平行四边形的对角线时，
﹣1+4＝1+x，
解得x＝2，
∴点E的坐标为（2，﹣3）；
②当AF为平行四边形的对角线时，
﹣1+1＝x+4，
解得x＝﹣4，∴点E的坐标为（﹣4，21）；
③当AE为平行四边形的对角线时，
﹣1+x＝4+1，
解得x＝6，
∴点E的坐标为（6，21）；
综上，点E的坐标为（2，﹣3）或（﹣4，21）或（6，21）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，二次函数的性
质，勾股定理，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．
3．抛物线y＝ax2﹣ax+b交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线y＝﹣x+4经过B，C两
点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，以点A、C、M、N为顶点，AC为边的四
边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N的坐标．
【分析】（1）求出B、C点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设M（t，﹣ t2+ t+4），N（ ，n），分两种情况讨论：①当AN为平行四边形的对角线时，N
（ ， ）；②当AM为平行四边形的对角线时，N（ ，﹣ ）；
（3）设P（t，﹣ t2+ t+4），则D（t，﹣t+4），则PD＝﹣ t2+ t，连接AD，延长PD交x轴于
G，由等积法求出DE＝ t，则m＝﹣ （t﹣ ）2+ ，当t＝ 时，m有最大值 ．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则x＝4，
∴B（4，0），
将C（0，4），B（4，0）代入y＝ax2﹣ax+b，
∴ ，解得 ，
∴y＝﹣ x2+ x+4；
（2）∵y＝﹣ x2+ x+4＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ，
设M（t，﹣ t2+ t+4），N（ ，n），
令y＝0，则﹣ x2+ x+4＝0，
解得x＝4或x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
①当AN为平行四边形的对角线时，
，
解得 ，
∴N（ ， ）；
②当AM为平行四边形的对角线时，
，
解得 ，
∴N（ ，﹣ ）；
综上所述：N点坐标为（ ， ）或（ ，﹣ ）；
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类
讨论是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+4与x轴交于点A（﹣4，0），B（x ，0），与y轴交
2
于点C．经过点B的直线y＝kx+b与y轴交于点D（0，2），与抛物线交于点E．
（1）求抛物线的表达式及B，C两点的坐标；
（2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP的周长最小时，求点P的坐标；
（3）若点M是直线BE上的动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，
N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求出点B、C坐标；
（2）利用待定系数法可求出一次函数解析式，由 A、B关于对称轴对称，则BE与抛物线对称轴交点，
即为△AEP的周长最小时，点P的坐标；
（3）由MN∥CD可知MN为平行四边形的边，设点 M的坐标为（m，﹣m+2），则点N的坐标为
（m， ），利用MN＝CD，可得到关于m的方程，从而求出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（﹣4，0）在抛物线y＝ax2+2ax+4上，
∴0＝16a﹣8a+4，
∴a＝ ，
∴y＝ ．
令y＝0，得 ＝0
解得：x ＝﹣4，x ＝2，
1 2
∴点B的坐标为（2，0），
令x＝0，则y＝4，
∴点C的坐标为（0，4）；
（2）如图，由y＝ ，
可得对称轴为： ，
∵△AEP的边AE是定长，
∴当PE+PA的值最小时，△AEP的周长最小．
点A关于x＝﹣1的对称点为点B，
∴当点P是BE与直线x＝﹣1的交点时，PE+PA的值最小．
∵直线BE经过点B（2，0），D（0，2），
∴ ，解得 ，
∴直线BE：y＝﹣x+2，
令x＝﹣1，得y＝3，
∴当△AEP的周长最小时，点P的坐标为（﹣1，3）；
（3）存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
∵MN∥CD，
∴要使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则MN＝CD即可，
∵CD＝4﹣2＝2，
∴MN＝CD＝2，
∵点M在直线y＝﹣x+2上，
∴可设点M的坐标为（m，﹣m+2），则点N的坐标为（m， ），∴ ，
即 ，
当 时，
解得 ，
此时点M的坐标为：（ ， ）或（ ， ），
当 时，
解得m＝0（舍去），
综上所述，存在点M使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为：（
， ）或（ ， ）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、轴对称的应用、平行四边形的性质、方程思想、分
类讨论等知识点．（1）中注意函数图像与坐标轴交点求法，（2）确定点P位置是解题关键，（3）利用
平行四边形的性质得到关于M点坐标方程是关键．
题型5：综合-菱形存在性问题
1．如图，抛物线y＝ x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝ x
﹣2经过B、C两点，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在BC下方运动时，求△BCP面积的最大值．
（3）连接OP，把△OCP沿着y轴翻折，使点P落在P'的位置，四边形CPOP'能否构成菱形，若能，求
出点P的坐标，如不能，请说明理由；
（4）把抛物线y＝ x2+bx+c向上平移1.5个单位，再向左平移m个单位，使顶点落在△ABC内部，求
直接写出点m的取值范围．【分析】（1）先求出点B，C坐标，再代入抛物线解析式中，即可得出结论；
（2）过点P作PG∥y轴交BC于点G，设P（t， t2﹣ t﹣2，则G（t， t﹣2），则PG＝﹣ t2+2t，
S△BCP ＝﹣（t﹣2）2+4，再求解即可；
（3）由翻折得，点P、P'关于y轴对称，可得OC垂直平分PP′，当PP′垂直平分OC时，四边形
CPOP'能构成菱形，则点P的纵坐标为﹣1，代入y＝ x2﹣ x﹣2求出x的值，即可求解；
（4）平移后抛物线的解析式为y＝ （x﹣ +m）2﹣ +1.5，然后求得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣
2，由抛物线的顶点在△ABC的内部即可求得m的取值范围．
【解答】解：（1）对于直线y＝ x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
令y＝0，则0＝ x﹣2，
∴x＝4，
∴B（4，0），
将点B，C坐标代入抛物线y＝ x2+bx+c中，得 ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y＝ x2﹣ x﹣2；
（2）过点P作PG∥y轴交BC于点G，设P（t， t2﹣ t﹣2，则G（t， t﹣2），
∴PG＝ t﹣2﹣ t2+ t+2＝﹣ t2+2t，
∴S△BCP ＝ ×4（﹣ t2+2t）＝﹣（t﹣2）2+4，
∴当t＝2时，S△BCP 的值最大，最大值为4；
（3）如图，
由翻折得，点P、P'关于y轴对称，
∴OC垂直平分PP′，
当PP′垂直平分OC时，四边形CPOP'能构成菱形，
∴点P的纵坐标为﹣1，
当y＝﹣1时，﹣1＝ x2﹣ x﹣2，
∴x＝ ，
∴四边形CPOP'能构成菱形，点P的坐标为（ ，﹣1）或（ ，﹣1）；
（4）∵y＝ x2﹣ x﹣2＝ （x﹣ ）2﹣ ，
∴平移后抛物线的解析式为y＝ （x﹣ +m）2﹣ +1.5＝ （x﹣ +m）2﹣ ，∴平移后抛物线的顶点坐标为（ ﹣m，﹣ ），
y＝ x2﹣ x﹣2，当y＝0时， x2﹣ x﹣2＝0，
∴x＝4或﹣1，
∴A（﹣1，0），C（0，﹣2），
∵设直线AC的解析式y＝kx﹣2，
∴﹣k﹣2＝0，解得k＝﹣2，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，
当y＝﹣ 时，﹣2x﹣2＝﹣ ，
∴x＝﹣ ，
∴ ﹣m＞﹣ ，
∴m＜ ；
∵直线BC的解析式为y＝ x﹣2，
当y＝﹣ 时， x﹣2＝﹣ ，
∴x＝ ，
∴ ﹣m＜ ，
∴m＞ ；
综上所述，m的取值范围为 ＜m＜ ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查一次函数的应用、平移变换、翻折变换，菱形的判定和性质等知
识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．
2．综合与探究
如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（4，0），点E是x轴正半轴上
的一个动点，过点E作直线PE⊥x轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F．
（1）求二次函数的表达式．
（2）当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段PF＝ EF，求此时点P的坐标．
（3）试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，即可求函数的解析式；
（2）求出直线BC的解析式，设P（t，﹣ t2+t+4），则F（t，﹣t+4），E（t，0），分别求出PF＝﹣
t2+2t，EF＝﹣t+4，再由PF＝ EF，求出t＝1，即可求P（1， ）；
（3）设P（t，﹣ t2+t+4），则F（t，﹣t+4），①当P点在F点上方时，当四边形CFPQ 为菱形时，
1
PF＝CQ ，先求Q （0，﹣ t2+2t+4），再由CQ ＝CF，可得Q （0，4 ）；当四边形CFPQ 为菱形
1 1 1 1 2
时，PF＝CQ ，求出Q （0， t2﹣2t+4），再由Q F＝CQ ，可得Q （0，2）；②当P点在F点下方
2 2 2 2 2
时，PF＝ t2﹣2t，由PF＝CQ ，可得Q （0，﹣ t2+2t+4），再由CQ ＝CF，可得Q （0，﹣4
3 3 3 3
）．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣ x2+x+4；
（2）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣x+4，设P（t，﹣ t2+t+4），则F（t，﹣t+4），E（t，0），
∴PF＝﹣ t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣ t2+2t，EF＝﹣t+4，
∵PF＝ EF，
∴﹣ t2+2t＝ （﹣t+4），
解得t＝1或t＝4，
∵0＜t＜4，
∴t＝1，
∴P（1， ）；
（3）存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，理由如下：
设P（t，﹣ t2+t+4），则F（t，﹣t+4），
由（2）知C（0，4），
①当P点在F点上方时，PF＝﹣ t2+2t，
当四边形CFPQ 为菱形时，PF＝CQ ，
1 1
∴Q （0，﹣ t2+2t+4），
1
∵CQ ＝CF，
1
∴﹣ t2+2t＝ t，
解得t＝0（舍）或t＝4﹣2 ，
∴Q （0，4 ）；
1
当四边形CFPQ 为菱形时，PF＝CQ ，
2 2
∴Q （0， t2﹣2t+4），
2
∵Q F＝CQ ，
2 2
∴（﹣ t2+2t）2＝t2+（ t2﹣t）2，
解得t＝2，
∴Q （0，2）；
2
②当P点在F点下方时，PF＝﹣t+4﹣（﹣ t2+t+4）＝ t2﹣2t，
∵PF＝CQ ，
3
∴Q （0，﹣ t2+2t+4），
3
∵CQ ＝CF，
3
＝ t2﹣2t＝ t，
解得t＝0（舍）或t＝4+2 ，
∴Q （0，﹣4 ）；
3
综上所述：Q点坐标为（0，4 ）或（0，﹣4 ）或（0，2）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，数形结合，
分类讨论是解题的关键．
3．如图，抛物线l的顶点C在y轴上，点A，B为抛物线上关于y轴对称的两点，线段AB交y轴于点D，
AB＝4，OC＝2，OD＝4．
（1）求抛物线l的函数表达式；
（2）将抛物线l平移到抛物线l′，设平移后点A，B的对应点为A'，B'，若点A落在直线x＝1上，且
以A、B、A'、B′为顶点的四边形是菱形，试确定平移后抛物线l'的表达式．
【分析】（1）根据题意求出A、B、D三点的坐标，抛物线的对称轴为y轴，设出抛物线解析式，用待
定系数法求函数解析式即可；
（2）根据平移的性质和以A、B、A'、B′为顶点的四边形是菱形，求出A′，B′坐标，即可得出平移
的方向和长度，从而写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：（1）由图知点C在y轴的正半轴，且OC＝2，
∴点C的坐标为（0，2），
点A和点B关于y轴对称，且AB与y轴交于D点，AB＝4，OD＝4，
∴A、B、D三点的纵坐标为4，DA＝DB＝2，
∴点D的坐标为（0，4），
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣2，4），B（2，4），
设抛物线l的函数表达式为y＝ax2+c（a≠0），
将A（﹣2，4），C（0，2）代入得： ，
解得： ．
∴抛物线l的函数表达式为y＝ x2+2；
（2）将拋物线l：y＝ x2+2平移后，点A落在直线x＝1上，即点A'在x＝1上，
∴点A'的横坐标为1，
∵AB＝4，∴平移后的A'B'＝AB＝4，
根据平移的性质可知，平移后的A′B′要么在直线y＝4上，要么在与直线y＝4平行的平行线上，
即AB∥A'B'，AB和A′B′不可能互为对角线，
∵AB＝A'B'，AB∥A′B′，
∴以A、B、A'、B'为顶点的四边形是平行四边形，
要满足以A、B、A'、B'为顶点的四边形是菱形，
则AB和A'B'为菱形的边，且A'B'＝AB＝A'A＝B'B＝4．
∵x
A′
＝1，
∴x
B′
＝1+4＝5，
设A'（1，y），则B′（5，y），
AA'2＝16＝（﹣2﹣1）2+（4﹣y）2，
即（4﹣y）2＝16﹣9＝7，
解得y＝4± ，
①当y＝4+ 时，点A'坐标为（1，4+ ），点B'的坐标为（5，4+ ），相对于A（﹣2，4），B
（2，4），
∵1﹣（﹣2）＝3，4+ ﹣4＝ ，
∴抛物线l：y＝ x2+2向右平移了3个单位长度，向上平移了 个单位长度，
则抛物线l'的解析式为：y＝ （x﹣3）2+2+ ＝ x2﹣3x+ + ；
②当y＝4﹣ 时，A'（1，4﹣ ），B'（5，4﹣ ），相对于A（﹣2，4），B（2，4）
∵1﹣（﹣2）＝3，4﹣ ﹣4＝﹣ ，
∴抛物线l：y＝ x2+2向右平移了3个单位，向下平移了 个单位，
则抛物线l′的解析式为：y＝ （x﹣3）2+2﹣ ＝ ﹣3x+ ﹣ ．
综上所述，平移后抛物线l'的表达式为y＝ x2﹣3x+ + 或y＝ x2﹣3x+ ﹣ ．
【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式和菱形的性质等知
识点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用．
题型6：综合-矩形存在性问题
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线
BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不
存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点C作AB的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线相较于M，根据点A，B，C的坐标判
断三角形ABC为直角三角形，再根据作图可得四边形 ABCM为矩形，根据直线平移的性质可求得直线
AM和直线CM的解析式，再联立方程组，解方程组即可求得点M坐标．
【解答】解：（1）把A（0，﹣2），B（4，0）代入抛物线y＝ x2+bx+c，
得 ，
解得： ，
∴该抛物线的解析式为y＝ x2﹣ x﹣2；
（2）存在．过点C作AB的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线相较于M，则M即为所求．
在y＝﹣2x+8中，令x＝0，则y＝8，
∴C（0，8），
∵A（0，﹣2），B（4，0），
∴AB2＝42+22＝20，BC2＝42+82＝80，AC2＝102＝100，∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°，
∵CM∥AB，AM∥BC，
∴四边形ABCM是矩形，
设直线AB的解析式为y＝kx+m，
则 ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为y＝ x﹣2，
∵CM∥AB，
∴直线CM的解析式为y＝ x+8，
∵AM∥BC，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x﹣2，
联立方程组 ，
解得： ，
∴点M坐标为（﹣4，6）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，直
角三角形的判定，解题的关键是判断∠ABC为直角．
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，OA＝3，OC＝4，抛物
线y＝ax2+bx+4经过点B，且与x轴交于点D（﹣1，0）和点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的
坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；
（3）若N是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是
矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用矩形的性质结合OA，OC的长度可得出点A，C，B的坐标，再利用待定系数法即可
求出抛物线的表达式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出点 E的坐标，过点P作PF⊥x轴于点F，设点P的坐
标为（m，﹣m2+3m+4）（0＜m＜4），利用S四边形OCPE ＝S梯形OCPF +S△APE ，即可得出S四边形OCPE 关于m
的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求出结论；
（3）利用二次函数的性质，可得出抛物线对称轴为直线直线x＝ ，利用待定系数法可求出直线CD的
表达式，分CD为边及CD为对角线两种情况考虑：①当CD为边时，利用CN⊥CD或DN⊥CD可得出
CN或DN的表达式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点 N的坐标，再利用矩形的性质即可求
出点M的坐标；②当CD为对角线时，设线段CD的中点为G，过点G作GH⊥抛物线对称轴于点H，
利用勾股定理可求出HN的长度，进而可得出点N的坐标，再利用矩形的性质即可求出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，且OA＝3，OC＝4，
∴点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，4）．
将B（3，4），D（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，
得： ，解得： ，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4．
（2）当y＝0时，﹣x2+3x+4＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
∴点E的坐标为（4，0），
∴OE＝4．
过点P作PF⊥x轴于点F，如图1所示．
设点P的坐标为（m，﹣m2+3m+4）（0＜m＜4），
则S四边形OCPE ＝S梯形OCPF +S△APE
＝ （OC+PF）•OF+ FE•PF＝ （4﹣m2+3m+4）•m+ （4﹣m）•（﹣m2+3m+4）
＝﹣2m2+8m+8
＝﹣2（m﹣2）2+16，
∵﹣2＜0，
∴m＝2时，S四边形OCPE 取得最大值，最大值＝16，此时点P的坐标为（2，6），
∴当四边形OCPE的面积最大时，点P的坐标为（2，6），此时四边形OCPE的最大面积是16．
（3）∵抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ．
利用待定系数法可求出直线CD的表达式为y＝4x+4，分CD为边及CD为对角线两种情况考虑：
①当CD为边时，若四边形DCNM为矩形，则直线CN的解析式为y＝﹣ x+4，
∴点N的坐标为（ ， ），
∴点M的坐标为（﹣1+ ﹣0，0+ ﹣4），即（ ，﹣ ）；
若四边形CDNM为矩形，则直线DN的解析式为y＝﹣ x﹣ ，
∴点N的坐标为（ ，﹣ ），
∴点M的坐标为（0+ ﹣（﹣1），4﹣ ﹣0），即（ ， ）；
②当CD为对角线时，设线段CD的中点为G，过点G作GH⊥抛物线对称轴于点H，如图3所示．
∵点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（﹣1，0），
∴点G的坐标为（﹣ ，2），
∴点H的坐标为（ ，2），
∴GH＝ ﹣（﹣ ）＝2．
又∵以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形，即△OCN为直角三角形，
∴GN＝ OC＝ ＝ ，
∴HN＝ ＝ ＝ ，
∴点N的坐标为（ ， ）或（ ， ）．当点N的坐标为（ ， ）时，点M的坐标为（﹣1+0﹣ ，0+4﹣ ），即（﹣ ， ）；
当点N的坐标为（ ， ）时，点M的坐标为（﹣1+0﹣ ，0+4﹣ ），即（﹣ ， ）．
综上所述，在平面内存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形，点M的坐标为（ ，
﹣ ）或（ ， ）或（﹣ ， ）或（﹣ ， ）．【点评】本题考查了矩形的性质、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角形
的面积、梯形的面积、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，解题的关键是：
（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）利用分割图形求面积法，找出四边形
OCPE的面积关系m的函数关系式；（3）分CD为边及CD为对角线两种情况，利用矩形的性质求出点
M的坐标．
题型7：综合-正方形存在性问题
1、综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，过A，B两点的
抛物线交x轴于另一点C，且OA＝20C，点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接FA，FB．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点F与抛物线的顶点重合时，△ABF的面积为 3 ；
（3）求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标．
（4）在（3）的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A，
F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）把（4，0）代入y＝x+b，求出b的值，从而求出点B坐标，然后根据OA＝2OC，求出点
C坐标（﹣2，0），设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），把B（0，﹣4）代入，即可求解；
（2）将抛物线解析式化成顶点式，得出顶点坐标，即可得出点F坐标，再求出对称轴与直线AB的交点
坐标，即可求解；（3）过点F作FE∥y轴，交AB于点E，设点P的横坐标为t，则P（t， ），则E（t，t﹣
4 ） ， 所 以 ＝ ﹣ t2+4t ， 又 因
，则S四边形FAOB ＝S△BFA +S△BOA ＝﹣t2+4t+8＝﹣（t﹣2）2+12，（0＜t＜
4），根据二次函数最伯求解即可；
（4）分两种情况：①当AF为正方形AFMQ的边时，②当AF为正方形AFMQ的对角线时，分别求出
点Q坐标即可．
【解答】解：（1）把（4，0）代入y＝x+b，得，
4+b＝0，解得：b＝4，
∴y＝x﹣4，
当x＝0时，y＝0﹣4＝﹣4，
∴B（0，﹣4），
∴A（4，0），
∴OA＝4，
∵OA＝2OC，
∴OC＝2，
∴C（﹣2，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
把B（0﹣4）代入得：﹣4＝a（0+2）（0﹣4），
解得：a＝ ，
∴抛物线解析式为y＝ （x+2）（x﹣4）＝ ﹣x﹣4；
（2）y＝ ﹣x﹣4＝ ，
∵点F与抛物线的顶点重合，
∴F（1， ），
设抛物线对称轴与直线AB相交于E，如图，∵A （4，0），B（0，4），
∴直线AB解析式为：y＝x﹣4，
则当x＝1时，y＝1﹣4＝﹣3，
∴E（1，﹣3），
∴ ，
故答案为：3；
（3）如图，过点F作FE∥x轴，交AB于点E，
设点P的横坐标为t，则P（t， ），
∵直线AB的解析式为y＝x﹣4，
∴E（t，t﹣4），
∴ ＝﹣t2+4t，
∵ ，
∴S四边形FAOB ＝S△BFA +S△BOA ＝﹣t2+4t+8＝﹣（t﹣2）2+12（0＜t＜4），
∴当t＝2时，S四边形FAOB 有最大值12， ，
∴此时点F的坐标为（2，﹣4）．
（4）过作FE⊥x轴于E，
∵A（4，0），F（2，﹣4），
∴AE＝2，EF＝4，AF＝2 ，
如图，①当AF为正方形AFMQ的边时，1）有正方形 AFM Q ，
1 1
过Q 作Q N ⊥x轴于N ，
1 1 1 1
∵∠AEF＝∠AN Q ＝90°，∠FAQ ＝90°，
1 1 1
∴∠EAF＝∠AQ N ，
1 1
∵AF＝AQ ，
1
∴△AEF≌△Q N A（AAS），
1 1
∴AN ＝EF＝4，Q N ＝AE＝2，
1 1 1
∴Q（8，﹣2）；
2）有正方形AFQ M 时，
2 2
过Q 作Q N ⊥EF于N ，
2 2 2 2
同理可得△AEF≌△FN Q （AAS），
2 2
∴FN ＝AE＝2，Q N ＝EF＝4，
2 2 2
∴Q （6，﹣6）；
2
②当AF为正方形AFMQ的对角线时，设AF与QM相交于P，
∵A（4，0），F（2，﹣4），
∴P（3，﹣2），
1）有正方形AQ FM 时，过Q 作Q G⊥x轴于G，过M 作M H⊥x轴于H，
3 3 3 3 3 3
易证△AHM ≌△Q GA，
3 3
∴AH＝Q G，M H＝AG，
3 3
设Q （4+a，b），则M （4+b，﹣a），
3 3
∴ ，
解得： ，
Q （5，﹣3），M （1，﹣1），
3 3
2）有正方形AQ FM 时，过Q 作Q H⊥x轴于H，
4 4 4 4
则Q 与M 重合，
3 3
∴Q （1，﹣1），
4
综上，存在，当以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形时，点Q的坐标Q （8，﹣2），Q （6，﹣
1 2
6），Q （5，﹣3），Q （1，﹣1）．
3 4
【点评】本题考查了待定系数法求次函数解析式，二次函数图象和性质，正方形的判定与性质，正确作出
辅助线是解题的关键．
2、已知抛物线l：y＝ax2﹣2ax+a+3（a＜0）与y轴的交点为A，顶点为P，对称轴为直线m．
（1）求抛物线l的顶点坐标P和对称轴．（2）抛物线l关于点A对称的抛物线为l'，抛物线l'的顶点为Q，对称轴为直线n，在直线m和直线n上
是否分别存在点E、F，使得四边形PEQF为正方形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理
由．
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式．
（2）由直线l解析式可得点A坐标，根据点P坐标可得点Q坐标，由四边形PEQF为正方形，直线m
与直线n平行且都垂直于x轴，可得正方形边长，进而求解．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+3＝a（x﹣1）2+3，
∴抛物线顶点坐标P（1，3），对称轴为直线x＝1．
（2）将x＝0代入y＝ax2﹣2ax+a+3得y＝a+3，
∴点A坐标为（0，a+3），
设点Q坐标为（m，n），
则点P（1，3），Q（x，y）关于点A（0，a+3）对称，即点A为PQ中点，
∴ ＝0， ＝a+3，
解得x＝1，y＝2a+3，
∴点Q坐标为（﹣1，2a+3），
∴抛物线l'的解析式为y＝﹣a（x+1）2+2a+3，
∵直线m与直线n平行且都垂直于x轴，四边形PEQF为正方形，
∴∠FPE＝∠FQE＝90°，
如图，
∴正方形边长为m﹣n＝1﹣（﹣1）＝2，
∴y ﹣y ＝3﹣（2a+3）＝2，
P Q
∴a＝﹣1．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的几
何变换．
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与
y轴交于点C．（1）b＝ ，c＝ ；
（2）若点D为第四象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交BC于点E，过点D作DF⊥BC
于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，求出DE+FG的最大值及此时点D的坐标；
（3）若点P是该抛物线对称轴上的一点，点Q为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于x轴上方是
否存在点M，使四边形OMPQ为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）延长DE交x轴于点K，延长GF交ED于点H，设D（t，t2﹣2t﹣3），则E（t，t﹣3），则DE＝
﹣t2+3t，GF＝GH﹣FH＝ t2﹣ t，则GF+DE＝﹣ （t﹣ ）2+ ，当t＝ 时，GF+DE有最大值
，此时D（ ，﹣ ）；
（3）设P（1，p），Q（x，y），M（m，m2﹣2m﹣3），过点P作GH∥x轴，过点Q作QG⊥GH交于
G，过点M作MH⊥GH交于点H，证明△GPQ≌△HMP（AAS），由OP是正方形的对角线，可得p＝
y+m2﹣2m﹣3①，分两种情况讨论：当M点在第一象限时，GQ＝p﹣y，PH＝m﹣1，则p﹣y＝m﹣
1②，由①②可得m﹣1＝m2﹣2m﹣3，求出M（ ， ）；当M点在第一象限时，GQ＝
p﹣y，PH＝1﹣m，则p﹣y＝1﹣m③，由①③可得1﹣m＝m2﹣2m﹣3，可得M（ ，
）．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
∴ ，
∴ ，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
故答案为：﹣2，﹣3；
（2）延长DE交x轴于点K，延长GF交ED于点H，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴ ，
解得 ，
∴y＝x﹣3，
设D（t，t2﹣2t﹣3），则E（t，t﹣3），
∴DE＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t，
∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∴∠FEH＝∠EFH＝∠GFC＝∠GCF＝45°，
∵FH⊥ED，
∴FH＝EH＝ DE＝ （﹣t2+3t），
∴GF＝GH﹣FH＝t﹣ （﹣t2+3t）＝ t2﹣ t，
∴GF+DE＝﹣t2+3t+ t2﹣ t＝﹣ t2+ t＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
当t＝ 时，GF+DE有最大值 ，
此时D（ ，﹣ ）；
（3）存在点M，使四边形OMPQ为正方形，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设P（1，p），Q（x，y），M（m，m2﹣2m﹣3），
过点P作GH∥x轴，过点Q作QG⊥GH交于G，过点M作MH⊥GH交于点H，
∵四边形OMPQ为正方形，
∴∠QPM＝90°，
∴∠GPQ+∠HPM＝90°，
∵∠GPQ+∠GQP＝90°，
∴∠HPM＝∠GQP，
∵QP＝PM，
∴△GPQ≌△HMP（AAS），
∴GP＝HM，GQ＝PH，
∵OP是正方形的对角线，
∴1＝m+x，p＝y+m2﹣2m﹣3①，
当M点在第一象限时，如图2，∴GP＝1﹣x，HM＝p﹣（m2﹣2m﹣3），GQ＝p﹣y，PH＝m﹣1，
∴p﹣y＝m﹣1②，
由①②可得m﹣1＝m2﹣2m﹣3，
解得m＝ ，
∴M（ ， ）；
当M点在第二象限时，如图3，
∴GP＝x﹣1，HM＝p﹣（m2﹣2m﹣3），GQ＝p﹣y，PH＝1﹣m，
∴p﹣y＝1﹣m③，
由①③可得1﹣m＝m2﹣2m﹣3，
解得m＝ ，
∴M（ ， ）；
综上所述：M点的坐标为（ ， ）或（ ， ）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，三角形全等
的判定及性质，分类讨论是解题的关键．
