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22.3 实际问题与二次函数
【基础训练】
一、单选题
1．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度 与水流时间 之间的解
析式为 ，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（ ）
A． B． C． D．
2．烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火
升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．3s B．4s C．5s D．10s
3．某市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停
产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润 （万元）和月份 之间满足函数关系式 ，
则企业停产的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
4．向空中发射一枚炮弹，经过 秒后的高度为 米，且时间与高度的关系为 （ ），
若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
5．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是
（ ）．
A．12 B．18 C．20 D．24
6．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点E，G同时从点A出发，分别以每秒个单位的速度在射线AB，AC上运动，设运动时间为x秒，以点A为顶点的正方形AEFG与等腰直角三角
形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（ ）
A． B． C． D．
7．已知某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=﹣(t﹣4)2+20．若此礼炮在升空到最高处时
引爆，则引爆需要的时间为( )
A．3s B．4s C．5s D．6s
8．如图，点 为平行四边形 的边 上一动点，过点 作直线 垂直于 ，且直线 与平行四
边形 的另一边交于点 ．当点 从 匀速运动时，设点 的运动时间为 ， 的面
积为 ，能大致反映 与 函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．9．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为：y (x﹣
25)2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( )m．
A．12 B．25 C．13 D．14
10．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所
示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=﹣ x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离
地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是( )
A．2m B．4m C． m D． m
11．如图，抛物线 交x轴的负半轴于点A，点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称
点Aʹ恰好落在抛物线上．过点Aʹ作x轴的平行线交抛物线于另一点C，则点Aʹ的纵坐标为（）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
12．如图（1）所示， 为矩形 的边 上一点，动点 , 同时从点 出发，点 沿折线
运动到点 时停止，点 沿 运动到点 时停止，它们运动的速度都是 秒，设 、
同时出发 秒时， 的面积为 .已知 与 的函数关系图象如图（2）（曲线 为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（ ）
图（1） 图（2）
A． B．当 是等边三角形时， 秒
C．当 时， 秒 D．当 的面积为 时， 的值是 或秒
13．某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均
每年的增长率为x，关于代数式300（1+x）2下列说法正确的是（ ）
A．2007年已有的绿化面积 B．2008年增加的绿化面积
C．2008年已有的绿化面积 D．2007、2008年共增加的绿化面积
14．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y＝6t﹣ t2．在飞
机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是（ ）s．
A．10 B．20 C．30 D．10或30
15．已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从A出发，沿AD边以1cm/s的速度运动，动点Q从B出发，
沿BC，CD边以2cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，运动到点D均停止运动，设运动时间为x（秒），
BPQ的面积为y（cm2），则y与x之间的函数图象大致是（ ）
△A． B． C． D．
16．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度 （米）与旋转时间 （分）之间的关系可以近似地用二次
函数来刻画. 经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（ ）
/分 … 2. 66 3. 23 3. 46 …
/米 … 69. 16 69. 62 68. 46 …
A．8分 B．7分 C．6分 D．5分
17．二次函数 图像的顶点坐标为( )
A．(0，-2) B．(-2，0) C．(0，2) D．(2，0)
18．如图，用绳子围成周长为 的矩形，记矩形的一边长为 ，它的邻边长为 ，矩形的面积为
．当 在一定范围内变化时， 和 都随 的变化而变化，则 与 与 满足的函数关系分别是（
）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
19．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料
玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
20．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人
的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（ ）人
A．56 B．55 C．54 D．53
21．如图，在矩形 中， ，点E，F分别是 ， 上的点，且满足
．分别以 ， 为边向矩形内部构造正方形 和正方形 ，记阴
影部分的面积为S，则S的最小值为（ ）
A．9 B．10.5 C．12 D．15
22．如图，矩形 中， ， ，抛物线 的顶点 在矩形
内部或其边上，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．23．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与
水平距离x（米）之间的关系式为 ，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）
A． 米 B．8米 C．10米 D．2米
24．如果矩形的周长是16，则该矩形面积的最大值为（ ）
A．8 B．15 C．16 D．64
25．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为 ，若
此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
26．某新型礼炮的升空高度 与飞行时间 的关系式是 ．若这种礼炮在点火升空到
最高点时引爆，则从点火到引爆需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
27．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系
如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的
高度h＝20时，t＝1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③28．今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药店一月份销售量是5000枚，二、
三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式
是（ ）
A．y＝5000（1+x） B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000（1+x2） D．y＝5000（1+2x）
29．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时
间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为（ ）
A．3min B．3.75min C．5min D．7.5min
30．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 辆单车，计划第三个月投放单车 辆，
若第二个月的增长率是 ，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么 与 的函数关系是 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
31．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高
度 （单位： ）与它距离喷头的水平距离 （单位： ）之间满足函数关系式 ，喷出
水珠的最大高度是______ ．
32．某商场经营一种小商品，已知购进时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为
280件．而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，当月销售利润最大时，销售单价为___________
元．
33．飞机着陆后滑行的距离 （单位： ）关于滑行的时间 （单位： ）的函数解析式是 ，
飞机着陆后滑行______米才能停下来．34．某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线的最高点M离墙1米，离地面
米，则水流下落点B离墙距离 是_____米．
35．如图，若被击打的小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的关系为h＝35t﹣5t2，
则小球从飞出到落地所用时间为_____s．
三、解答题
36．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场
决定降价促销．
（1）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价
多少元？
（2）在（1）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
37．某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元
时，每天可售出80瓶，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶
（销售单价不低于成本价）（元），每天的销售量为 （瓶）．
（1）求每天的销售量 （瓶）与销售单价 （元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
38．某商店销售一种成本价为10元/件产品，已知售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的售价不
高于16元/件.根据市场调查发现，该产品每天的销售量 （件）与销售价 （元/件）之间的函数关系如图
所示.（1）求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）如果商店每天获利104元，那么销售单价定为多少元？
（3）设商店每天销售这种产品可获利 元，当销售价定为多少时，每天销售的利润最大？最大利润是多
少？
39．2021年，科技创新工作将继续推进“科技扶贫在线”平台的建设，让科技创新与网络销售的“新”与
“快”紧密结合，使产品随时直连市场．某乡镇企业计划在一个月内（按30天计）生产一批产品，某网络
销售平台以每台800元的价格将每天生产的产品全部订购．在生产过程中，由于生产技术不断改
进，该产品第 天的生产成本 （元/台）与 （天）之间的关系如图所示．
第 天该产品的生产量 （台）与 （天）满足关系式 ．
（1）求第30天该乡镇企业生产该产品的利润；
（2）问第几天该网络销售平台的利润最大，最大利润是多少元?
40．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/件，规定销售价不低于成本价，且不高于35元，
市场调查发现，该产品每天的销售量 （件）与销售价 （元/件）满足一次函数关系，如图所示．（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）若经销商想要每天获得550元的利润，销售价应该定为多少？
（3）设每天的销售利润为 （元），当销售价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
41．在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠
给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查
发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分
数据如下表：
x（元/件） 12 13 14 15 16
y（件） 1200 1100 1000 900 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件，试问：当x为多少时，线上和
线下月利润总和达到最大？
42．如图，在平面直角坐标系中．抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于点C．点A的坐标为（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣3．且经过A、C两点的
直线为y＝kx+4．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）若将抛物线L沿x轴翻折，得到新抛物线L′，抛物线L′上是否存在一点P使得S ＝ S ，若存在，
AOP ABC
请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．43．如图， 船位于 船正东 处．现在 ， 两船同时出发， 船以 的速度朝正北方向行
驶， 船以 的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？
44．把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为 （秒）时该足球距离地面的高度 （米）适用公式
．
（1）经过多少时间足球能到达最大高度，最大高度是几米？
（2）若存在两个不相等的实数 ，能使足球距离地面的高度都为 （米），求 的取值范围．
45．某商店以每件30元的价格购进一批商品，现以单价50元销售，每月可售出400件，经市场调查发现：
每件商品销售单价每上涨1元，该商品平均每月的销售量就减少10件．设每件商品销售单价上涨了x元．
（1）若销售单价上涨了3元，则该商品每月销售量为______件；
（2）写出每月销售该商品的利润y（元）与每件商品销售单价上涨x（元）之间的函数关系式；
（3）当销售单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？
46．某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价
x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元） 40 60 80
日销售量y（件） 80 60 40
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，设日利润为w元，求公司销售该商品获得的最大
日利润；（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2
倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利
润是1500元，求a的值．
47．为深入贯彻落实“四不摘”政策，切实把服务人民群众的宗旨落到实处，某县引导某易地移民搬迁安
置点开办惠民生活超市，方便安置点群众生活．该超市以160元/千克的进价新进一批茶叶，经调查发现，
在一段时间内，销售单价w（元/千克）与销售量x（千克）之间的函数关系如图所示，设利润为y（元）．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）当商店的销售量x为多少千克时，获得的利润最大？最大利润是多少元？
48．红星公司加大技术创新，研发出一种新产品，对新产品的生产和销售进行了规划．从2021年1月开始
生产并销售该种产品，该种产品的生产成本为6万元/件，设第x（ ，且x为整数）月份该种产品
的售价为y万元/件，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）第x月份生产并销售的产品数量为z件， （ ，且x为整数）．该公司在第几月份
所获的月利润最大？最大月利润为多少万元？
49．今年是扶贫攻坚的决胜年，某银行特批90万元无息贷款帮助一扶贫车间生产并销售一种土特产，已知
该土特产的生产加工成本为40元/袋，每月还需支付其它费用共30万元，该土特产每月的销售量y（万袋）与销售单价x（元/袋）之间的函数关系为y＝﹣ x+5．假设该土特产每月的产量＝销售量．
（1）求每月销售利润w（万元）与销售单价x之间的函数关系式（不要求写x的取值范围）；
（2）若该车间只用销售这种土特产的利润偿还贷款，至少需要几个月能还清？
50．某药店购进一批消毒液，进价为20元/瓶，要求利润率不低于 ，且不高于 ．该店通过分析
销售情况，发现该消毒液一天的销售量y（瓶）与当天的售价x（元/瓶）满足下表所示的一次函数关系．
2 2
售价x（元/瓶） … 24 26 …
5 7
3 2
销售量y（瓶） … 32 28 …
0 6
（1）若某天这种消毒液的售价为30元/瓶，求当天该消毒液的销售量．
（2）如果某天销售这种消毒液获利192元，那么当天该消毒液的售价为多少元？
（3）若客户在购买消毒液时，会购买相同数量（包）的口罩，且每包口罩的利润为20元，则当消毒液的
售价定为多少时，可获得的日利润最大？最大日利润是多少元？
51．小明和小丽先后从 地出发沿同一直道去 地．设小丽出发第 时，小丽、小明离 地的距离分
别为 、 ． 与 之间的函数表达式是 与 之间的函数表达式是
．
（1）小丽出发时，小明离 地的距离为多少 ．
（2）小丽出发至小明到达 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少 ？
52．美丽的励志我的家，为创建文明城市美化校园，我校生物课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．
其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于
墙的一边的长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x的值．
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，则垂直于墙的一边长为多少米时这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．
53．如图，某学生推铅球，铅球出手(点A处)的高度是 ，出手后的铅球沿一段抛物线
运行，量得铅球落地点C与学生的水平距离OC= ．
（1）求抛物线的解析式(注明x的取值范围)；
（2）铅球运行中，最高是多少米？此时铅球与学生水平距离是多少米？
54．如图，正方形 的边长为 ， ， 分别是 ， 边上一动点，点 ， 同时从点
出发，以每秒 的速度分别向点 ， 运动，当点 与点 重合时，运动停止，设运动时间为 ，
运动过程中 的面积为 ，求 关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围．
55．如图，要利用一面墙（墙长为 ）建羊圈，用 的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的
一边 长为 ，总面积为 ．（1）在不浪费围栏的情况下，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）请问能否围成总面积为 的羊圈，若能，请求出 的长；若不能，请说明理由．
56．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，
足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）满足：h＝﹣5t2+20t（0≤t≤4）
的关系．
（1）当t＝3时，求足球距离地面的高度；
（2）当足球距离地面的高度为10米时，求t的值；
（3）若存在实数t 和t（t≠t），当t＝t 或t 时，足球距离地面的高度都是m（米），求m的范围．
1 2 1 2 1 2
57．某公司分别在 ， 两城生产同种产品，共100件． 城生产产品的总成本 （万元）与产品数量
（件）之间具有函数关系 ， 城生产产品的每件成本为70万．当 ， 两城生产这批产品
的总成本的和最少时，求：
（1） ， 两城各生产多少件？
（2）从 城把该产品运往 ， 两地的费用分别为 万元/件和3万元/件；从 城把该产品运往 ，
两地的费用分别为1万元/件和2万元/件， 地需要90件， 地需要10件，求 ， 两城总运费之和
的最小值（用含有 的式子表示）．
58．如图，从某建筑物2.25米高的窗口 处用向外抛出篮球，篮球的运动轨迹成抛物线状（抛物线所在平
面与墙面垂直），如果抛物线的最高点 离墙1米，离地面3米．（1）求抛物线的表达式．
（2）求篮球落地点 离墙的距离 的长度．
（3）当从 处向外抛出篮球时，若存在篮球离墙的距离 ，当 或 时，篮球距离地
面的高度都为 （米），求 的取值范围．
59．学校打算用16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边利用墙，如图所示，墙长为
9m．
（1）若生物园的面积是30m2，求生物园一边AB的长；
（2）若要使围成的长方形生物园面积最大，问如何设计该生物园的长和宽？
60．某商品的进价为每台20元，当售价为每台30元时，每月可卖出180台，该商品每台售价x元与月销
量y台的函数关系如图所示，已知该商场计划涨价销售，但每件售价不高于35元．（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，商场每月销售该商品所获得的利润最大？最大利润是多少？
