初中数学同步9年级上册第11课二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（教师版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_讲义

第 11 课 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 目标导航 课程标准 y ax2 bxc(a 0) y ax2 bxc （1） 会用描点法画二次函数 的图象；会用配方法将二次函数 y a(xh)2 k 的解析式写成 的形式； y ax2 bxc （2） 通过图象能熟练地掌握二次函数 的性质； y ax2 bxc y a(xh)2 k （3）经历探索 与 的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的 图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 知识精讲 知识点01 二次函数 与 之间的相互关系 1．顶点式化成一般式 y a(xh)2 k y a(xh)2 k 从函数解析式 我们可以直接得到抛物线的顶点 ( h ， k ) ，所以我们称 为 y a(xh)2 k y ax2 bxc 顶点式，将顶点式 去括号，合并同类项就可化成一般式 ． 2．一般式化成顶点式  b   b  b  2  b  2 y ax2 bxca  x2  x  cax2 x      c  a   a 2a 2a   b  2 4acb2 a x     2a 4a ． b 4acb2 h k  对照 y a(xh)2 k ，可知 2a ， 4a ．  b 4acb2  b x  ,  ∴ 抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 2a ，顶点坐标是  2a 4a  ． 【注意】  b 4acb2  b x  ,  1．抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 2a ，顶点坐标是  2a 4a  ，可以当作公式加以 记忆和运用． y ax2 bxc 2．求抛物线 的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方 法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．知识点02 二次函数 的图象的画法 1．一般方法 列表、描点、连线 2．简易画法：五点定形法 步骤： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． y ax2 bxc (2)求抛物线 与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴 的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 【注意】 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可 粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点 A、B，然后顺次 用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 知识点03 二次函数 的图象与性质 y  ax2 bxc(a  0) 1．二次函数 图象与性质 函数 y ax2 bxc 二次函数 (a、b、c为常数，a≠0) a0 a0 图象 开口方向 向上 向下 b b 对称轴 x x 直线 2a 直线 2a  b 4acb2   b 4acb2  顶点坐标  ,   ,   2a 4a   2a 4a  b b x x 在对称轴的左侧，即当 2a时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 2a时，y b 随x的增大而增大；在对称轴的右侧， 增减性 x 增大而减小；在对称轴的右侧，即当 2a b x 时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 即当 2a 时，y 随 x 的增大而减 小．简记：左增右减b b x x 抛物线有最低点，当 2a 时，y 有最小 抛物线有最高点，当 2a 时，y有 最大(小)值 4acb2 4acb2 y  y  最小值 4a 最大值 4a 值， 最大值， y  ax2 bxc(a  0) 2．二次函数 图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母的符号 图象的特征 字母 a ＞ 0 开口向上 a a ＜ 0 开口向下 ab ＞ 0( a ， b 同号 ) 对称轴在y轴左侧 b ab ＜ 0( a ， b 异号 ) 对称轴在y轴右侧 c =0 图象过原点 c c ＞ 0 与y轴正半轴相交 c ＜ 0 与y轴负半轴相交 b 2 -4 ac =0 与x轴有唯一交点 b2-4ac b 2 -4 ac ＞ 0 与x轴有两个交点 b 2 -4 ac ＜ 0 与x轴没有交点 知识点04 求二次函数 的最大（小）值的方法 b x 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即当 2a 时， 4acb2 y  最值 4a ． 【注意】 b  如果自变量的取值范围是x≤x≤x ，那么首先要看 2a是否在自变量的取值范围x≤x≤x 内，若在此范围内， 1 2 1 2 b 4acb2 x y  则当 2a 时， 最值 4a ，若不在此范围内，则需要考虑函数在x≤x≤x 范围内的增减性，如果 1 2 y ax2 bx c 在此范围内， y 随 x 的增大而增大，则当 x＝x 时， 最大值 2 2 ；当 x＝x 时， 2 1 y ax2 bx c 最小值 1 1 ，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x 时， ；当 1 b x x＝x 时， ，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x ，x＝x ， 2a 时y 2 1 2 值的情况．能力拓展 考法01 二次函数 的图象与性质 【典例1】如图所示是二次函数 的图象，以下结论：① ；② ；③ 的两个根是 ， ；④ ，其中正确的是（ ） A．③④ B．①② C．②③ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：①由图象可知： ， ， 由对称轴可知： ， ∴ ， ∴ ，故①错误； ②由对称轴可知： ， ∴ ， ∵抛物线过点 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故②正确； ③由对称轴为直线 ，抛物线过点 ， ∴抛物线与x轴的另一个交点为 ， ∴ 的两个根是 ， ，故③正确； ④由图象可知，当 时， ， ∴ ，故④错误； 故选：C． 【即学即练】如图，抛物线 的对称轴为 ，下列结论正确的是（ ）A． B． C．当 时， 随 的增大而减小 D．当 时， 随 的增大而减小 【答案】C 【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意． 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意． 抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意． 抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意． 故选C 【典例2】已知4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点可能在（ ） A．第一或第四象限 B．第三或第四象限 C．第一或第二象限 D．第二或第三象限 【答案】A 【详解】解：∵4a-2b+c=0，9a+3b+c=0， ∴此二次函数过点（-2，0），（3，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x= ， ∴二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点可能在第一或第四象限． 故选：A． 【即学即练】关于抛物线 ，下列说法错误的是（ ） A．当 时，对称轴是 轴 B．当 时，经过坐标原点 C．不论 为何值，都过定点 D． 时，对称轴在 轴的左侧 【答案】D 【详解】解：A、 抛物线 ， 当 时，对称轴是直线 ，即 轴，故选项A正确，不符合题意， B、当 时， 过点 ，故选项B正确，不符合题意， C、当 时， ，此时解析式中的 正好可以消掉，故选项C正确，不符合题意， D、抛物线的对称轴是直线 ，当 时，对称轴 在 轴右侧，故选项D错误，符合题意， 故选：D． 考法02 二次函数 的最值 【典例3】已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3， ∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3）， ∵1>0，开口向上， ∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大， ∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15， ∴当x=a时，y=15， ∴2（a-1）2-3=15， 解得：a=4或a=-2（舍去）， 故a的值为4． 故选：D． 【即学即练】已知二次函数＝﹣ +2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值﹣4 C．有最大值4，有最小值﹣4 D．有最大值5，有最小值﹣4 【答案】D 【详解】∵二次函数＝﹣ +2x+4＝﹣ +5， ∴该函数的对称轴是直线＝1，函数图象开口向下， ∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4， 故选：D． 【典例4】已知二次函数y＝x2＋bx＋c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣ 2，则b的值为（ ） A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3 【答案】C 【详解】解： 二次函数y＝x2＋bx＋c的开口向上，当x＞0时，函数的最小值为－3，当x≤0时，函数的 最小值为－2， 该函数图象的对称轴所在直线在y轴的右侧， ， ，且 时，y=c=－2，， ，解得 ， ． 故选C． 【即学即练】已知抛物线 过（1，m），（-1，3m）两点，若 ，且当 时， y的最小值为-6，则m的值是（ ） A．4 B．2 C．–2 D．-4 【答案】C 【详解】解：将点（1，m），（-1，3m）代入抛物线，得 1+b+c=m，1-b+c=3m， ∴b=-m，c=2m-1 则 ， 对称轴为 ， ∵a=1＞0 ∴最小值在x=- 处，最小值为-6， ∴ =-6， =4c+24， 将b=-m，c=2m-1代入，得 -8m-20=0 解得m=-2或m=10 又 ∴m=-2 故选：C. 考法03 二次函数 性质的综合应用 【典例5】已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变， 与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论： ①c≥−2 ； ②当x>0时，一定有y随x的增大而增大； ③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3； ④当四边形ABCD为平行四边形时，a= ． 其中正确的是（ ）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)， ∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)， 又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ， ∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确； ∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上， ∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误； 若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3， 根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确； 令y=0，则ax2+bx+c=0， 设该方程的两根为x，x，则x+x=- ，xx= ， 1 2 1 2 1 2 ∴CD2=( x-x) 2=( x+x) 2-4xx ， 1 2 1 2 1 2 根据顶点坐标公式， ， ∴ ，即 ， ∵四边形ACDB为平行四边形， ∴CD=AB=1-（-3)=4， ∴ =42=16，解得a= ，故④正确； 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：D． 【即学即练】如图，已知抛物线经过点 ， ，与y轴交于点 ，P为AC上的一个动点， 则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线 ；②抛物线的最大值为 ；③ ；④OP的最小 值为 ．则正确的结论为（ ）A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：∵抛物线经过点 ， ， ∴抛物线的对称轴为直线 ， 故①正确； 设抛物线关系式为： ， ∵抛物线经过点 ， ∴-4a=2，解得： ， ∴抛物线关系式为： ， ∴当 时，y有最大值 ， 故②错误； ∴点B坐标为（-1，0），点A坐标为（4，0）， ∴AB=5． 当x=0时，y=2， ∴点C坐标为（0，2）， ∴ ， ∵ ， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°， 故③正确； 当OP⊥AC时，OP取最小值， 此时根据三角形的面积可得 ， ∴ ， 解得OP= ，∴OP的最小值为 ． 故④正确； 故正确的有：①③④， 故选：D． 【典例6】已知抛物线的解析式为 （m为常数），则下列说法正确的是 ____________． ①当 时，点 在抛物线上； ②对于任意的实数m， 都是方程 的一个根； ③若 ，当 时，y随x的增大而增大； ④已知点 ，则当 时，抛物线与线段 有两个交点． 【答案】② 【详解】解：抛物线 （ 为常数）中， 当 时，抛物线 ，若 ，则 ， 点 不在抛物线上， 即①说法错误，不符合题意， 方程 即 ， 或 ， 解得 ， ， 对于任意实数 ， 都是方程 的一个根， 即②说法正确，符合题意， 抛物线 （ 为常熟）中， ，开口向上， 对称轴是直线 ，当 时， 随 的增大而增大， 即若 ， ，当 时，y随x的增大而增大，不一定正确， 即③说法错误，不符合题意， 抛物线 （ 为常数）中， 当 时， ， 解得 ， ， 抛物线与 轴的交点坐标为 、 ， 当 时， ， “④已知点 ，则当 时，抛物线与线段 有两个交点”的说法错误，（因为当时只有一个交点），不符合题意， 综上所述，说法正确的是②， 故答案为：②． 【即学即练】如图，已知抛物线 与x轴相交于于点 ， ，与 轴的交于点 ．点 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 的面积为 ．下列结论：① ；② ；③ ，其中，正确结论的序号是________．（所有正确的序号都填上） 【答案】①②③ 【详解】∵抛物线 与x轴相交于于点 ， ， ∴令y=0得： ， 解得： ， ∴A（-1，0），B（3，0）， ∴AB=4 故①正确； ∵抛物线 与y轴相交于于点C， ∴令x=0得：y=6， ∴C（0，6）， ∴OC=6， 故②正确； 过点 作 轴，交 于点 ，如图1所示． 设直线 的解析式为 ， 将 、 代入 ，得 ，解得 ， 直线 的解析式为 ． 点 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动， 点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ， ， ， 当 时， 面积取最大值，最大值为 ． 故③正确， 故答案为：①②③． 分层提分 题组A 基础过关练 1．抛物线 经过点（m，3），则代数式 的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：将点（m，3）代入 中得， ， 故代数式 的值为3， 故选：D． 2．二次函数 （a≠0）中x，y的部分对应值如下表： ﹣ x … ﹣2 0 1 2 … 1 ﹣ ﹣ y … 0 ﹣6 ﹣4 … 4 6 则该二次函数图象的对称轴为（ ） A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝1 D．直线x＝ 【答案】B 【详解】解：由图表可知： x=0时，y=-6， x=1时，y=-6，∴二次函数的对称轴为： ， 故选：B． 3．若二次函数y＝x2+2x+k的图象经过点（1，y），（﹣2，y），则y，y 与的大小关系为（ ） 1 2 1 2 A．y＞y B．y＝y C．y＜y D．不能确定 1 2 1 2 1 2 【答案】A 【详解】解：当x＝1时，y＝x2+2x+k＝1+2+k＝k+3； 1 当x＝﹣2时，y＝x2+2x+k＝4﹣4+k＝k， 2 所以y＞y． 1 2 故选：A． 4．已知(﹣4，y)，(2.5，y)，(5，y)是抛物线y＝﹣3x2﹣6x+m上的点，则y、y、y 的大小关系是 1 2 3 1 2 3 （ ） A．y＞y＞y B．y＞y＞y C．y＞y＞y D．y＞y＞y 1 2 3 3 2 1 1 3 2 2 1 3 【答案】A 【详解】解：∵y＝﹣3x2﹣6x+m， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1， ∴与直线x＝﹣1距离越近的点的纵坐标越大， ∵﹣1﹣（﹣4）＜2.5﹣（﹣1）＜5﹣（﹣1）， ∴y＞y＞y， 1 2 3 故选：A． 5．已知函数y＝a ﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ） A．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 B．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大 C．当a＝1时，函数图像过点（﹣1，1） D．当a＝﹣2时，函数图像与x轴没有交点 【答案】B 【详解】解：A、抛物线的对称轴为直线： ，则若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大， 选项说法错误，不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线： ，若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，选项说法正确， 符合题意； C、当 ， 时， ，则当a＝1时，函数图像不经过点（﹣1，1），选项说法错误，不 符合题意； D、当a＝﹣2时， ， ，则函数图像与x轴有两个交点，选项说 法错误，不符合题意； 故选B．6．已知二次函数 的图象如图所示，有以下4个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：① 抛物线开口向下， ， ∵ ， ∴ ， ， 抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴， ， ，故错误； ②观察函数图象，可知： 当 时， ， ，故错误． ③ 抛物线的对称轴为 ，抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴， 当 时， ， ，故正确； ④ 抛物线与 轴有2个交点， △ ，故正确． 故选：B． 7．已知二次函数y=x2－4x－m的最小值是1，则m=_______． 【答案】-5 【详解】解：由 知， 当x=2时，y有最小值为-4-m， ∵该函数的最小值为1， ∴-4-m=1， 解得：m=-5， 故答案为：-5． 8．二次函数 的图象过点 ， ，若当 时． 随着 的增大而减小，则实数的取值范围是______． 【答案】 且 【详解】解：将 代入 得 ①， 将 代入 得 ②， 由② ①得 ， ， ， 抛物线的对称轴为直线 ， 当 时． 随着 的增大而减小， 时， ， 解得 ， 时， ， 解得 ， 故答案为： 且 ． 9．已知抛物线y=ax2－2ax－3+2a2 （a<0）． (1)求这条抛物线的对称轴； (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的函数解析式； 【答案】(1)x=1 (2)y=－x2+2x－1 【详解】（1）解：∵抛物线 ， ∴抛物线的对称轴为直线x=1； （2）由（1）可得 ， ∵抛物线的顶点在x轴上， ∴ ， 解得 ， =－1， ∵a<0， ∴a=－1， ∴抛物线的解析式为 ． 10．已知抛物线 ．(1)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当 为何值时，函数 取得最大值，请求出这个最大值． 【答案】(1)抛物线开口向下，对称轴是直线 ，顶点坐标是 (2)当 时，函数 取得最大值，最大值是3． 【详解】（1）解：∵－1＜0， ∴抛物线开口向下， 对称轴是直线 ， ∵ ， ∴顶点坐标是 ； （2）∵抛物线 的顶点坐标是 ， ∴当 时，函数 取得最大值，最大值是3． 题组B 能力提升练 1．将二次函数 的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为 ，则 、 的值为（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】D 【详解】由题意可得新抛物线的顶点为 ， ∴原抛物线的顶点为 ， 设原抛物线的解析式为 ， 代入得： ， ∴ ， ． 故选：D． 2．如图是二次函数y＝ax2﹣x＋a2﹣9图象，图象过坐标原点，则a的值是（ ） A．a＝3 B．a＝－3 C．a＝－9 D．a＝3或a＝﹣3 【答案】A【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴a2-9=0， 解得a=3或a=-3， ∵抛物线开口向上， ∴a=3， 故选：A． 3．已知二次函数 ，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ∵开口向上，对称轴为x=1， ∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大． 故选：B． 4．已知抛物线 的最低点的纵坐标为 ，则抛物线的表达式是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线 的最低点的纵坐标为 ， ∴ ， 即 ∴ ， 当m=1时，抛物线为 ． 故选：B． 5．直线 与抛物线 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ） A． B． C． D．【答案】B 【详解】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不 合题意； B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意． 故选：B． 6．二次函数 （ ）的部分图象如图所示，图象过点（ ，0），对称轴为直线 ，下 列结论：（1） ； （2） ； （3） ；（4）若点A（ ， ），点B（ ， ），点C（ ， ）在该函数图象上，则 ；（5）m为任意实数，则 ． 其中正确的结论有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：∵对称轴为直线x=2， ∴- =2， ∴b=-4a， ∴b+4a=0， ∴（1）正确； ∵经过点（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴c=b-a=-4a-a=-5a， ∴4a+c-2b=4a-5a+8a=7a， ∵a＜0， ∴4a+c-2b＜0， ∴4a+c＜2b， ∴（2）不正确； ∵5a+3c=5a-15a=-10a＞0，∴（3）正确； ∵|-2-2|=4，| -2|= ，| -2|= ， ∴y＜y＜y， 1 2 3 ∴（4）不正确； 当x=2时，函数有最大值4a+2b+c， ∴am2+bm+c≤4a+2b+c， ∴（5）不正确； 综上所述：（1）（3）正确， 故选：A． 7．已知二次函数 ，当 时，自变量 的取值范围是______． 【答案】x≤-2或x≥4 【详解】解：∵二次函数 ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ， ∴当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大， 当 时，则 ， 即 ， 解得， 或 ， ∴当 时，自变量x的取值范围是 或 ， 故答案为： 或 ． 8．如图，抛物线 的对称轴为直线 ，点A，B均在抛物线上，且 与x轴平行，其中点 A的坐标为 ，则点B的坐标为_____． 【答案】(6，5) 【详解】∵AB与x轴平行， 而点A，B均在抛物线上， ∴点A与点B关于直线x=1对称，∵点A的坐标为 ， ∴B点坐标为 ， 故答案为 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）． (1)求此抛物线的解析式和对称轴． (2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在， 说明理由． 【答案】(1)y＝ x2﹣ x﹣2；对称轴为x＝ (2)存在，P的坐标为（ ，﹣ ） 【详解】（1）解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， ∵该抛物线过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入，得： 解得： ∴此抛物线的解析式为y＝ x2﹣ x﹣2． ∵抛物线解析式为y＝ x2﹣ x﹣2＝ ﹣ ∴抛物线的对称轴为x＝ ． （2）解：存在，理由如下： 连接PB 由抛物线的对称性得：PA＝PB ∴△PAC的周长PA+PC+AC＝PB+PC+AC，∴当B、P、C三点共线时，PB+PC最小， 即当B、P、C三点共线时，△PAC的周长最小， 设直线BC的解析式为y＝kx+m， 将点B（4，0），点C（0，﹣2）代入， 得 ，解得： ， 即直线BC的解析式为y＝ x﹣2． 令x＝ ，则有y＝ ﹣2＝﹣ ， 即点P的坐标为（ ，﹣ ）． ∴在此抛物线的对称轴上存在点P，使△PAC的周长最小，此时点P的坐标为（ ，﹣ ）． 10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围； 【答案】(1) ，顶点坐标为（1，4）； (2)0＜y≤4 【详解】（1）解：将A（−1，0）和B（3，0）代入y＝−x2＋bx＋c，得 ，解得： ， ∴抛物线的解析式为： ，∵ ，∴抛物线的顶点坐标为（1， 4）； （2）∵当x＝1时，y＝4；当x＝3时，y＝0，∴由函数图象可得：当0＜x＜3时，0＜y≤4．题组C 培优拔尖练 1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝ 在同一平面直角坐标 系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线 ＞0， ∴b＞0， ∵与y轴的负半轴相交， ∴c＜0， ∴y=bx+c的图象经过第一、三、四象限， 反比例函数y= 图象在第二四象限， 只有D选项图象符合． 故选：D． 2．若点A（﹣3， ），B（1， ），C（m， ）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且 ＜ ＜ ，则m的取 值范围是（ ） A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1 C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1 【答案】D 【详解】解：抛物线y＝ax2+4ax+c的对称轴为x＝﹣ ＝﹣2， ∵点A（﹣3，y），B（1，y），C（m，y）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y＜y＜y， 1 2 3 1 3 2 ∴当a＜0，则|m+2|＜1且|m+2|＞3，（不存在）； 当a＞0，则1＜|m+2|＜3，解得﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1． 故选：D．3．二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象如图，下列结论错误的为（ ） A．b2﹣4ac＞0 B．a+b+c＞0 C．ax2+bx+c≥﹣1 D．2a﹣b＝0 【答案】D 【详解】解：由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故选项A正确不符合题意； 由图象可知，当x=1时，y>0，所以a+b+c＞0，故选项B正确不符合题意； 由图象可知，抛物线的最低点为(-2,-1)，所以ax2+bx+c≥﹣1，故选项C正确不符合题意； 由图象可知，抛物线的对称轴为x=-2， ，所以4a﹣b＝0，故选项D错误符合题意． 故选：D． 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A．abc＜0 B．a＋b＞m（am＋b）（m≠1） C．4a﹣2b＋c＜0 D．3a＋c＝1 【答案】D 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝1， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，故A正确； 当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c， 当x＝1时，y有最大值为a+b+c， ∴am2+bm+c＜a+b+c， ∴am2+bm＜a+b， ∴a+b＞m（am+b）（m≠1），故B正确；由图象知，当x＝﹣2时，y＜0， 即4a﹣2b+c＜0，故C正确； 由图象知，抛物线与x轴的交点横坐标大于﹣1小于0，对称轴为x＝1， ∴抛物线与x轴另一交点的横坐标大于2小于3， ∴当x＝3时，y＜0， ∴9a+3b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴3a+c＜0，故D错误； 故选：D． 5．二次函数 （a，b，c是常数， ）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当 时，其对应的函数值 ．有下列结论： ① ；② 和3是关于x的方程 的两个根；③对称轴为 ；④ ；其 中，正确结论的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】 二次函数 （a，b，c是常数， ）， 当 时， ， 当 时， ， ． 当 时，其对应的函数值 ， 二次函数开口向下， ． ， ， ， ．（①结论符合题意） 时， ， 是关于x的方程 的根． 对称轴 ， ，（③结论不符合题意） 和3是关于x的方程 的两个根．（②结论符合题意） 时， ， 时， ， ．．（④结论不符合题意） 正确的结论有2个． 故选：C． 6．已知抛物线 （c为常数）经过点 ， ， ，当 时，则m的取值范 围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 过点(4,c)， ∴16+4b+c=c，解得b=-4， ∴ ， ∴则抛物线的对称轴为x=2，， ∵(p,m)和(q,m)的函数值相等， ∴(p,m)和(q,m)关于抛物线对称轴对称， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ，解得： ， 将点(q,m)代入 ， 有： ，变形得： ， ∵函数 的自变量范围为 ， ∴当q=5时，m取最大值，m=c+5， 当q= 时，m取最小值， ， ∴m的取值范围为： ， 故选：B． 7．已知二次函数 ，当 时，函数 的最大值为8，则 的值是____． 【答案】无解 【详解】解：∵二次函数 ，∴二次函数的对称轴为直线 ， ①当 ，即 时，此时二次函数在 上y随x的增大而减小，在 取最大值，即 ，解得 ，与 不符； ②当 即 时，此时 离二次函数对称轴更远， ∴二次函数在 取最大值，即 ，解得 ，与 不符； ③当 即 时，此时 离二次函数对称轴更远， ∴二次函数在 取最大值，即 ，解得 与 不符； ④当 即 时，此时二次函数在 上y随x的增大而增大，在 取最大值， ，解得 与 不符． 综上不存在符合题意的 的值． 故答案：无解． 8．若点 在二次函数 的图象上，且点 到 轴的距离小于2，则 的取值范围是 ____________． 【答案】 【详解】解： 点 到 轴的距离小于2， ， 点 在二次函数 的图象上， ， 当 时， 有最小值为1． 当 时， ， 的取值范围为 . 故答案为： 9．已知抛物线 的顶点（0，1）．(1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，直线 交x轴于A，交抛物线于B、C，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，试比较AE•AF与 4的大小关系． (3)如图2，D（0，2），M（1，3），抛物线上是否存在点N，使得 取得最小值，若存在，求出 N的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)AE·AF＞4； (3)N（1， ）． 【详解】（1）解：将点（0，1）代入 ，得c＝1， ∵点（0，1）是顶点， ∴ ， ∴b＝0， ∴该抛物线的解析式为： ； （2）当y＝kx＋k＝k（x＋1）＝0（k≠0）时， 解得：x＝－1， ∴A（−1，0）， 联立 ，得： ， 整理得： ， ∴ ， ， ∵AE＝ ，AF＝ ， ∴AE·AF ＝＝ ＝ ＝ ， ∴AE·AF＞4； （3）存在点N，使得NM＋ND取得最小值， 设抛物线上任意一点H（x，y）， ∴HD＝ ，H点到x轴的距离为y， ∵ ， ∴HD ＝ ， ∴H点到D的距离与H点到x轴的距离相等， ∴N点到D的距离与N点到x轴的距离相等， ∴当MN⊥x轴时，MN＋ND的值最小， ∴点N的横坐标为1， 当x＝1时， ， ∴N（1， ）． 10． 北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线， 跳台高度 为 米，以起跳点正下方跳台底端 为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图 所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点 的坐标为 ，着陆坡顶端 与落地点 的距离为 米， 若斜坡 的坡度 （即 ．求： (1)点 的坐标； (2)该抛物线的函数表达式； (3)起跳点 与着陆坡顶端 之间的水平距离 的长．（精确到 米）（参考数据： ）【答案】(1) (2) (3) 的长约为 米 【详解】（1）解：∵ ，且点 在 轴正半轴， ∴ ． （2）∵抛物线最高点 的坐标为 ， ∴设抛物线的解析式为： ， ∵ ， ∴ ， 解得 ． ∴抛物线的解析式为： ． （3）在 中， ， ， 设CE＝3x，DE＝4x， ∴ ， 即 ， 解得x＝0.5， ∴ ， ． 点 的纵坐标为 ， 令 ， 解得， 或 不合题意，舍去 ， ∴ ． ∴ ． ∴ 的长约为 米．