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第 26 课 圆章末复习
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课程标准
(1)理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关
系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；
(2)了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切
线，会过圆上一点画圆的切线；
(3)了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
(4)了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥
的侧面积及全面积；
(5)结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能
力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
知识精讲
知识点01 圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
(1)线段OA绕着它的一个端点O ，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是 的集合.
【注意】
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质
(1)旋转不变性：圆是 图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是 对称图
形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中， ，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应
的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是 图形， 都是它的对称轴.
(3)垂径定理及推论：
① .
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
【注意】在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，
在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径)
3．两圆的性质
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.
4．与圆有关的角
(1)圆心角： 叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角： .
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的 .
②同弧或等弧所对的 ；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的 .
③90°的圆周角所对的弦为 ；半圆或直径所对的圆周角为 .
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的 ；外角等于它的 .
【注意】
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
知识点02 与圆有关的位置关系
1．判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为r，OP=d，则有
；
；
；
【注意】
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道
数量关系也可以确定位置关系.
2．判定几个点 在同一个圆上的方法
当 时， 在⊙O 上.
3．直线和圆的位置关系
设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d.
(1)直线l和⊙O没有公共点 直线和圆 .
(2)直线l和⊙O有唯一公共点 直线和圆 .
(3)直线l和⊙O有2个公共点 直线和圆 .
4．切线的判定、性质(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且 这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质：
①圆的切线 过切点的 .
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理：从圆外一点 ，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹
角.
5．圆和圆的位置关系
设 的半径为 ，圆心距 .
(1) 和 没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的 ；
(2) 和 没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的 ；
和 有唯一公共点，除这个点外，每一个圆上的所有点在另一个圆的外部
(3)
；
(4) 和 有唯一公共点，除这个点外，每一个圆上的所有点在另一个圆的内部
；
(5) 和 有2个公共点 ；
知识点03 三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形 的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形
三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形 的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内
部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离
相等，通常用O表示.
(3)三角形重心：是三角形 的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的，通
常用G表示.
(4)垂心：是三角形 的交点.
【注意】
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质
外心(三角形外 三角形三边中垂线的 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一
接圆的圆心) 交点 定在三角形内部
(1)到三角形三边距离相等；
内心(三角形内 三角形三条角平分线 (2)OA、OB、OC分别平分
切圆的圆心) 的交点 ∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部.
2．圆内接四边形和外切四边形
(1) 的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形 ，外角等于 .
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形 .
知识点04 圆中有关计算
圆的面积公式： ，周长 .
圆心角为 、半径为R的弧长 .
圆心角为 ，半径为R，弧长为l的扇形的面积 .
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为 ，侧面积为 ，全面积
为 .
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为 R，母线长为 l，高为 h 的圆锥的侧面积为 ，全面积为
，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 .
【注意】
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，即 ；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以
求出第三个量.(3)扇形面积公式S ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有点类似，
扇形
可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：S扇形 .
能力拓展
考法01 圆的基础知识
【典例1】如下图，菱形 的三个顶点 、 、 在 上，则 ( )．
A．100° B．150° C．120° D．60°
【即学即练】如图，已知 、 是 的弦， ，点C在弦 上，连接CO并延长CO交于
于点D， ，则 的度数是( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
【典例2】如图 ，以C为圆心的圆过 的中点 D，则 ( )．
A．2 B．3 C． D．
【即学即练】如图， 为 半径，点 为 中点， 为 上一点，且 ，若 ，则
的长为( )A． B． C． D．
【典例3】如图， 中， ，O是 的中点，以O为圆心， 长为半径画弧，分别交
于点D，E，连接 ，测量 的度数是_____．
【即学即练】如图，圆内4个正方形的边长均为2a，若点A，B，C，D，E在同一条直线上，点E，F，G
在同一个圆上，则此圆的半径为______．
【典例4】如图，在 中， ，以点C为圆心， 为半径的圆交 于点D，交 于点E，
若 ，求 的度数；
【即学即练】如图，线段 过圆心 交 于 ， 两点， 交 于点 ，且 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ， ，求 的长．
考法02 弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理
【典例5】如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D ，且AB=6，OD=4，则DC的长为( )
A．1 B．2 C．2.5 D．5
【即学即练】如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D ，且AB=6，OD=4，则DC的长为( )A．1 B．2 C．2.5 D．5
【典例6】如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D ，且AB=6，OD=4，则DC的长为( )
A．1 B．2 C．2.5 D．5
【即学即练】如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上且 ．AD与CO交于点E，∠DAB＝30°，
若 ，则CE的长为( )
A．1 B． C． D．
【典例7】已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E、F分别为AB、CD的中点，若AB＝8，CD＝6，
⊙O的半径为5，则线段EF长的最大值为_____．
【即学即练】如图，已知半圆直径 ，点C、D三等分半圆弧，那么 的面积为________．
【典例8】如图，在平行四边形ABCD中，AD是⊙ 的弦，BC是⊙ 的切线，切点为点B．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求⊙ 的半径．
【即学即练】如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧上，连接CE．
(1)求证：CE平分∠AEB；
(2)连接BC，若BC//AE，求证：BC=BE．
考法03 圆中有关的计算
【典例9】已知：如图 ， 是 的两条半径，且 ，点 在 上，则 的度数为( )
A． B． C． D．
【即学即练】已知扇形的半径为6，圆心角为 ，则它的弧长是( )
A． B． C． D．
【典例10】如图， ， 是 的弦， ， ，则 的直径等于( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【即学即练】如图，矩形ABCD中， ， ，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转 得到矩形
EBGF，再将矩形EBGF绕点G顺时针旋转 得到矩形IHGJ，则点D在两次旋转过程中经过的路径的长
是( )
A． B． C． D．【典例11】如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C， ，则∠B等于 _____．
【即学即练】如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是 的中点，AC与BD交于点E．
若E是BD的中点，则AC的长是_______．
【典例12】如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，
OC，
(1)求∠ADB的度数；
(2)若OE＝3，OA＝5，求BC的长．
【即学即练】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，⊙O是△BEF的外接圆，
交AB于点F，圆心O在AB上．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；
(3)求证：CD＝HF．
考法04 圆与其他知识的综合运用
【典例13】如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角除对顶
角外还有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【即学即练】如图，正方形 的边长为 ，点 在 上，以 为圆心的扇形与边 相切于点 ，与
两边交于点 ， ，则弧 长度的最小值是( )
A． B． C． D．
【典例14】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分别以点A，B，C为圆心， AB的长为半径画
弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为( )
A．96﹣ π B．96﹣25π C．48﹣ π D．48﹣ π
【即学即练】如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，∠B+∠E=( )
A．325° B．145° C．215° D．395°
【典例15】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分
别交AB，CD于点E，F．若BD＝6，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为 _____．(结果保留π)【即学即练】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A(－3 ，0)，B(0，3 )，⊙O的半径为
1(O为坐标原点)，点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为
____．
【典例16】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足为
D．若BE=6，AB=8．
(1)求证：BE=CF；
(2)若∠ABC=∠EAC，求AC的长．
【即学即练】接BD和CD．
(1)求证： ．
(2) ， ， ，求AD．
(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积．
考法05 与圆的切线相关的证明与计算
【典例17】下列命题中的真命题是( )
①相等的角是对顶角 ②矩形的对角线互相平分且相等 ③垂直于半径的直线是圆的切线
④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【即学即练】下列命题中，①直径是弦；
②平分弦的直径必垂直于弦；
③相等的圆心角所对的弧相等；
④等弧所对的弦相等．
⑤经过半径的一端并垂直于半径的直线是圆的切线．正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典例18】如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是( )
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
【即学即练】如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的⊙O与边AB、CD分别交于点
E、点F，给出下列判断：(1)AC与BD的交点是⊙O的圆心；(2)AF与DE的交点是⊙O的圆心；
(3)AE=DF；(4)BC与⊙O相切，其中正确判断的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【典例19】在正方形ABCD中，以AB为直径做半圆，过点D做DE切圆O于点F，交BC于点E，正方形
的边长为2，求阴影面积______．
【即学即练】如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AC于D，交AB于E，连接BD，CE
交于点F，经过点E作EG⊥BC于G，交BD于H，过点E作EM⊥AC于M．则下列结论：①BE＝EM；
②∠ECA＝∠BEG；③EH＝ BF；④EM是⊙O的切线．其中正确的结论是_____．(填写所有正确结论的
序号)【典例20】如图，已知 AB、AC 分别为⊙O 的直径和弦，D 为弧 BC 的中点，DE⊥AC 于 E，DE=6，
AC=16．
(1)求证：DE 是⊙O 的切线；
(2)求直径AB的长．
【即学即练】如图，直线 经过 上的点C，并且 ， ， 交直线 于E、D，连
， ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)试猜想 ， ， 三者之间的等量关系，并加以证明；
(3)若 ， 的直径为5，求 的长．
