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第二十六章 反比例函数
26.2 实际问题与反比例函数
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知识精讲
课程标准 课标解读
能用反比例函数解决简单实际问题。
能够掌握用反比例函数解决实际问题的一般步骤，从
而列出方程，解决实际问题
知识点 实际问题与反比例函数
用反比例函数解决实际问题的一般步骤：
①定：审题确定出问题中的两个变量，并用字母表示出来。
②求：用待定系数法或列方程法求出函数解析式，并求出自变量的取值范围。
③解：利用反比例函数的图象及其性质去分析问题、解决问题，得到数学结论。
④答：写出实际问题的答案。
k
y=
【微点拨】①待定系数法：若题目中已知是反比例函数，则设其解析式为
x
(
k≠0
)，然后将x，y的
值代入，求出k值即可。
②列方程法：若题目中不知是什么函数，通常列出关于两个变量x，y的方程，变形即可得到函数解析式。
【即学即练1】某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月
分别付相同的数额，则每个月付款额y(元)与付款月数x(x为正整数)之间的函数关系式是( )A． B． C． D．
【即学即练2】已知近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)之间成反比例函数关系，如图所示，则眼镜度数
y与镜片焦距x之间的函数关系式是( )
A． B． C． D．
能力拓展
考法 实际问题与反比例函数
【典例1】为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进
行治污改造，其月利润y(万元)与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治
污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是( )
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D．9月份该厂利润达到200万元
【典例2】学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温 (℃)与通电时间 成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃
时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是( )
A．水温从20℃加热到100℃，需要
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D．水温不低于30℃的时间为
分层提分
题组A 基础过关练
1．两个物体A，B所受的压强分别为 ， (都为常数)．它们所受压力F与受力面积S的函数关系图象分
别是射线 、 ，已知压强 ，则( )
A． B． C． D．
2．在压力不变的情况下，某物体所受到的压强P(Pa)与它的受力面积S( )之间成反比例函数关系，且当
S＝0.1时，P＝1000．下列说法中，错误的是( )A．P与S之间的函数表达式为
B．当S＝0.4时，P＝250
C．当受力面积小于 时，压强大于500Pa
D．该物体所受到的压强随着它的受力面积的增大而增大
3．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强 是气球体积
的反比例函数，其图像经过点A(如图)．当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，
该气球的体积应( )
A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于
4．在对物体做功一定的情况下，力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系，其图
象如图所示，点 在其图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是( )
A．2.4m B．1.2m C．1m D．0.5m
5．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 是它的受力面积 的反比例函数，
其函数图象如图所示，当 时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa．6．研究发现，近视镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距
为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼和健康，现在镜片焦距为0.5米，则小明的近视镜度数
可以调整为__________度．
7．一辆汽车从甲地开往乙地，随着汽车平均速度 的变化，到达时所用的时间 的变化情况如图
所示，那么行驶过程中 与 的函数表达式为________．
8．如图，一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间 与行驶速度 的图像为双曲线的一段，若这段
公路行驶速度不得超过 ，则该汽车通过这段公路最少需要_____h．
9．近视镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例函数关系，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)当近视眼镜的度数 时，求近视眼镜镜片焦距x的值．10．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 是气体体积 的反比例
函数，其图像如图所示．
(1)求这个函数的解析式；
(2)当气体体积为 时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
题组B 能力提升练
1．某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的 与 的数据如表：
时间 分钟
含药量 毫克
则下列图象中，能表示 与 的函数关系的图象可能是( )
A． B．
C． D．
2．为做好疫情防控工作，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间 成正比例，喷雾完成后y与x成反比例(如图所示)．当每立方米空气中含药量低于 时，
对人体方能无毒害作用，则下列说法中正确的是( )
A．每立方米空气中含药量从 上升到 需要
B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是
C．为了确保对人体无毒害作用，喷雾完成 后学生才能进入教室
D．每立方米空气中含药量不低于 的持续时间为
3．当今，各种造型的气球深受小朋友喜爱．如图1是“冰墩墩”造型的气球，气球内充满了一定质量的气
体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气球体积V(m3)的反比例函数，其图象如图2所示，当气球
内的气压大于200kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积V的范围为( )
A．V＞0.48m3 B．V＜0.48m3 C．V≥0.48m3 D．V≤0.48m3
4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝ 的图象相交于点A(﹣1，y)、B(1，y)、C(3，y)三个
1 2 3
点，则不等式ax2+bx+c＞ 的解集是( )A．﹣1＜x＜0或1＜x＜3 B．x＜﹣1或1＜x＜3
C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1
5．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V(单位： )变化时，气体的密度 (单位： )
随之变化．已知密度 与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示．则当 时，二氧化碳的密
度 为___________ ．
6．如图是函数 和函数 在第一象限部分的图象，则 时，使 成立的x的取值范
围是_____．
7．某品牌饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中，水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系)，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降(此过程中水温y℃与开
机时间x分成反比例关系)，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，……，重复上述程序(如图所示)，
那么开机后50分钟时，水的温度是______℃．
8．如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作 ( 为
1~4的整数)，函数 ( )的图象为曲线 ．若曲线 使得 ，这些点分布在它的两侧，每侧各2
个点，则 的取值范围是______．
9．某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种
电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图，
其中 段为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为w(万元)．
(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式；(2)求出这种电子产品的年利润w(万元)与x(元/件)之间的函数关系式；并求出年利润的最大值．
10．商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x(元)与日销售量y(张)之间有
如下关系：
x/元 3 4 5 6
y/张 20 15 12 10
(1)写出y关于x的函数解析式 ______；
(2)设经营此贺卡的日销售利润为W(元)，试求出W关于x的函数解析式，若物价局规定此贺卡的日销售单
价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润，并求出最
大日销售利润．
题组C 培优拔尖练
1．如图，点A的坐标是(-2,0)，点B的坐标是(0,6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后
得到 ．若反比例函数 的图象恰好经过 的中点D，则k的值是( )
A．9 B．12 C．15 D．18
2．已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形OABC，点A的坐标为(10，0)，对角线OB、AC相交于点
D，双曲线 (x>0)经过点D，交BC的延长线于点E，且OB·AC＝160，有下列四个结论：①双曲线的
解析式为y＝ (x>0)；②点E的坐标是(4，8)；③sin∠COA＝ ；④AC＋OB＝12 ．其中正确的结论
有( )A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．如图，∠AOB=90°，且OA、OB分别与反比例函数y= (x＞0)、y=﹣ (x＜0)的图象交于A、B两点，
则tan∠OAB的值是( )
A． B． C．1 D．
4．如图，曲线C 是双曲线C ：y= (x＞0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C 上任意一点，
2 1 2
点A在直线l：y=x上，且PA=PO，则△POA的面积等于( )
A． B．6 C．3 D．12
5．如图，点A是射线y═ (x≥0)上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为边在其右侧作正方形
ABCD，过点A的双曲线y＝ 交CD边于点E，则 的值为_____．6．以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面
直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y= (x＞0)经过点D，则OB•BE的值为___．
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，P(2a，a)是反
比例函数y＝ 的图象与正方形的边的一个交点，则图中阴影部分的面积是________．
8．如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图，其开始工作时的温度是20℃，然后按照一次函数关系一
直增加到70℃，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至
35℃，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至70℃，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢
下降至35℃，如此循环下去．(1) 的值为________；
(2)如果在 分钟内温度大于或等于50℃时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为
________分钟．
9．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这
就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就
是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘
米( )的反比例函数，其图象如下图所示所示．请根据图象中的信息解决下列问题：
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？
(3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？
10．某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销售时间内，做出了下面的预测：
设第x周该软件的周销售量为T(单位：千套)，当0＜x≤8时，T与x+4成反比；当8＜x≤24时．T﹣2与x成
正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第x周销售该软件每千套的利润为K(单位：千元)，K与x满足
如图中的函数关系图象：
x/周 8 24
T/千套 10 26(1)求T与x的函数关系式；
(2)观察图象，当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为________．
(3)设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y(单位：千元)，则：
①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，
请说明理由．
②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额的
范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T的最小值和最大值．
11．习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平
的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道
计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使
用居民楼幢数及造价见表：
占地面
类型 可供使用幢数 造价(万元)
积
A 15 18 1.5
B 20 30 2.1
(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的
数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？
(2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似
的表示为： ，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，
该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？(精确到0.1)
12．为了探索函数 的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法，列表：
x … 1 2 3 4 5 …
y … 2 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，
如图1所示：
(1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
(2)已知点 在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若 ，则 _______ ；若 ，则 _____ ；(填“＞”，“＝”，“＜”)．
(3)某农户积极响应厕所改造工程，要建造一个图2所示的长方体形的化粪池，其底面积为1平方米，深为
1米．已知下底面造价为1千元/平方米，上盖的造价为1.5千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设
水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．
①请写出y关于x的函数关系式；
②若该农户建造化粪池的预算不超过5千元，则池子底面一边的长x应控制在什么范围内？
