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第二十三章 旋 转
23.1 图形的旋转
23.1.1 第1课时 旋转的概念与性质
学习目标：1.掌握旋转的有关概念及基本性质.
2.能够根据旋转的基本性质解决实际问题.
重点：掌握旋转的有关概念及基本性质.
难点：探索旋转的性质并能运用旋转的性质解决实际问题.
自主学习
一、知识链接
1.将图①平移，使点A的对应点为点C，画出平移后的图形.
2.如图②，已知△ABC和直线l，请画出△ABC关于直线l的对称图形.
图① 图②
课堂探究
二、要点探究
探究点1：旋转的概念
观察与思考
问题 观察下面的现象，它有什么特点？
钟表的指针在不停地转动，从 12 时到 4 时，时针转动了______度.
风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.思考 怎样来定义上面这些图形的变换？
知识要点
旋转的定义
把一个平面图形绕平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转.
点O叫做旋转中心.转动的角叫做旋转角.
如果图形上的点P经过旋转变为点P'，这那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
转动的方向分为顺时针与逆时针.
典例精析
例1 下列物体的运动是旋转的有 .
①电梯的升降运动；
②行驶中的汽车车轮；
③方向盘的转动；
④骑自行车的人；
⑤坐在摩天轮里的小朋友.
方法总结：判断一种运动是否属于旋转，先看图形是否在同一平面内运动，其次要看是否
有旋转中心，旋转角，旋转方向，还要注意判断变化前后图形大小是否发生了变化.
例2 若叶片A绕O顺时针旋转到叶片B，则旋转中心是______，旋转角是_________，旋
转角等于____°，其中的对应点有_______、 _______、 _______、 _______、 _______、
_______ .
练习 如图，△ABD经过旋转后到△ACE的位置.
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度?顺时针还是逆时针？
(3)如果M是AB的中点，经过上述旋转后，点M转到什么位置?归纳总结：确定一次图形的旋转时，必须明确旋转中心、旋转角、旋转方向.
温馨提示：旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋
转的三要素.
典例精析
例3 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到
△COD的位置，则旋转的角度为( )
A．30°
B．45°
C．90°
D．135°
探究点2：旋转的性质
△ABC 如何运动到△A′B′C的位置？
合作探究1 根据图形填空
旋转中心是点__________；
图中对应点有 ；
图中对应线段有_____________________________________.
每对对应线段的长度关系是________.
图中旋转角等于________°.
合作探究2 观察下图，你能得到什么结论？
知识要点：旋转的性质
1.对应点到旋转中心的距离相等；
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
3.旋转前、后的图形全等.
想一想 如图，将△ABC逆时针旋转△ADE，如何确定它们的旋转中心位置？练一练 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A（1，2）、B（-2，2）、
C（-1，0）．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心
的坐标是（ ）
A．（0，0）
B．（1，0）
C．（1，-1）
D．（2.5，0.5）
方法总结：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，要找到旋转中心，找到两组对应点连
线的垂直平分线的交点即可.
例4 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一
直线上，求∠B的度数.
变式 如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A逆时针旋转120°，得到△AB'C' ，
连接BB' .若AC'∥BB' ，则∠CAB' 的度数为多少？
例5 如图，四边形ABCD是正方形，△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，
已知AF＝5，AB＝8，求DE的长度.
方法总结：利用旋转的性质解决问题时应抓住以下几点：(1)明确旋转中的“变”与“不
变”；
(2)找准旋转前后的“对应关系”；(3)充分挖掘旋转过程中的相等关系.
三、课堂小结
三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度
定义
①对应点到旋转中心的距离相等；
旋转
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转
性质
角；
③旋转前、后的图形全等当堂检测
1.下列现象中属于旋转的有( )
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③水龙头开关的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千
运动；⑥荡秋千运动.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2. 下列说法正确的是( )
A.旋转改变图形的形状和大小
B.平移改变图形的位置
C.平移图形可以向某方向旋转一定距离得到
D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到
3.△ABC绕点A旋转一定角度后得到△ADE，若BC=4，AC=3，则下列说法正确的是
( )
A.DE=3 B.AE=4 C.∠CAB是旋转角 D.∠CAE是旋转角
第3题图 第4题图 第5 题图
4.如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△ABC，且A(－1，3)，B(－3，－1)，C(－3，
3)，已知△AAC 是由△ABC旋转得到的．则旋转中心的坐标是（ ）
1 1
A．（0，0） B．（-1，0） C．（1，0） D．（0，-1）
5.如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°
到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3则∠BE′C＝________度．
拓展提高：
6.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，
将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．
（1）求证：EF=MF；
（2）当AE=1时，求EF的长．参考答案
自主学习
一、知识链接
1.图略 2.图略
课堂探究
二、要点探究
探究点1：
观察与思考 钟表的指针在不停地转动，从12时到4时，时针转动了120度
思考
答：把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心固定点转动一定角度.
把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着平面内中心固定点转动一定角度.
风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
典例精析
例1 ②③⑤
例2 O ∠AOB 60 A与B B与C C与D D与E E与F F与A
练习 解：(1)旋转中心是点A. (2)旋转了60°，逆时针. (3)点M转到了AC的中点上.
典例精析
例3 C
探究点2：合作探究1 绕点 C 逆时针旋转45°
填空：C 点A与点A′，点B与点B′，点M与点M′，点N与点N′
CA与CA′、CB与CB′、AB与A′B′ 相等 45
合作探究2 解：角：∠AOA'=∠BOB' =∠COC'；线： AO=A'O ，BO=B'O ，CO=C'O
想一想 解：如图，两条对应点连线段的垂直平分线的交点O即为旋转中心.
练一练 C
例4 解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD=150°，AB=AD.
∴∠B= (180°－150°)=15°.
变式 解：∵将△ABC绕点 A逆时针旋转 120°，得到△AB' C'，∴∠BAB' =∠CAC'
=120°，AB=AB' .∴∠AB'B= (180°－120°)=30°.又∵AC' ∥BB' ，∴∠B'AC' =∠AB'B=30°.
∴∠CAB'=∠CAC' －∠B'AC' =120°－30°=90°.
例5 解：∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，∴AE＝AF＝5，AD＝
AB=8.
∴DE＝AD－AE＝8－5＝3.
当堂检测
1. C 2. B 3. D 4. A 5. 135
拓展训练：
（1）证明：∵△DAE 绕点 D 逆时针旋转 90°得到△DCM，∴DE=DM，∠EDM=90°，
∵ ∠ EDF=45° ， ∴ ∠ FDM=45° ， ∴ ∠ EDF=∠FDM ． 又 ∵ DF=DF ， DE=DM ，
∴△DEF≌△DMF.
∴EF=MF.
（ 2 ） 解 ： 设 EF=MF=x ， ∵ AE=CM=1 ， AB=BC=3 ， ∴ EB=AB － AE=3 － 1=2 ，
BM=BC+CM=3+1=4，∴BF=BM－MF=4－x．在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2 ，即22+(4－x)2=x2，解
得x= .则EF的长为 ．
