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第 03 课 公式法
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课程标准
(1)知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式直接判断一元二次方程的根的情况.
(2)会用公式法解一元二次方程.
(3)会应用公式法解一元二次方程的其他问题
知识精讲
知识点01 一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程的一般式，我们也可以用配方法进行配方：
∵当 时，该方程才有实数根，且 ，
∴ 方程才有实数根
1、一元二次方程 根的判别式是 .
2、表示:通常用希腊字母“△”表示,即 ；
3、一元二次方程 实数根的情况
△的符号 根的情况
方程有 2 个不相等的 实数根
方程有 2 个相等的 实数根
方程没有实数根
【注意】
(1)一元二次方程有实数根包括一元二次方程有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根.
此时b2－4ac≥0,切勿丢掉等号(2)当一元二次方程有两个相等的实数根时，不说方程只有一个实数根.
(3)当a ,c异号时，一元二次方程 一定有两个不相等的实数根.
4、一元二次方程 实数根的情况判断△：
一元二次方程根的情况 △的符号
一元二次方程有实数根
一元二次方程有两个实数根
一元二次有两个不相等的实数根
一元二次没有实数根
知识点02 求根公式及公式法
对于一元二次方程 进行配方可得到一元二次方程的求根公式：
推导过程：
【注意】
(1)一元二次方程 的求根公式的应用条件是 ,且 .
(2)用求根公式可求出任何有解的一元二次方程的根.
用公式法解一元二次方程的步骤：
步骤 示例： 解释先将方程化为一般式
1、化为一般式 移项：
(a≠0)
确定a、b、c时，
2、确定a、b、c
要注意带前面的符号
3、计算△
∵△ ＞ 0，∴方程有 2 个不相等的实数根
当△ ≥ 0 时，才能用求根公式；
4、代入公式求根 当△ ＜ 0，则方程没有实数根
能力拓展
考法01 由根的判别式判断方程根的情况
【例题1】一元二次方程 的根的情况是( )
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】B
【解析】
∵ ， ， ，
∴ ，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【即学即练1】一元二次方程 的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【解析】解：原方程可化为： ，
， ， ，
，
方程由两个不相等的实数根．
故选A．
考法02 根据根的情况求参数范围
【例题2】关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是( )
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【解析】
解：根据一元二次方程一元二次方程 有两个实数根，
解得： ，
根据二次项系数 可得：
故选D．
【即学即练1】已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【答案】A
【解析】
解：∵△＝b2﹣4×(﹣1)＝b2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
考法03 公式法解一元二次方程
【例题3】方程 的根是( )A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
故选：D.
【即学即练1】用公式法解方程(x+2)2=6(x+2)-4时，b2-4ac的值为( )
A．52 B．32 C．20 D．-12
【答案】C
【解析】
解：∵(x+2)2=6(x+2)﹣4，∴x2﹣2x﹣4=0，∴a=1，b=﹣2，c=﹣4，∴b2﹣4ac=4+16=20．故选C．
【即学即练2】用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是( )
A．x、= B．x、=
1 2 1 2
C．x、= D．x、=
1 2 1 2
【答案】D
【解析】
∵3x2+4=12x，
∴3x2-12x+4=0，
∴a=3，b=-12，c=4，
∴ ，
故选D.
【即学即练3】x= 是下列哪个一元二次方程的根( )A．3x2+5x+1=0 B．3x2﹣5x+1=0 C．3x2﹣5x﹣1=0 D．3x2+5x﹣1=0
【答案】D
【解析】
一元二次方程的求根公式是 ，对四个选项一一代入求根公式，正确的是D.所以答案选D.
【即学即练4】方程 的解为( )
A．5 B．-2
C．5和-2 D．以上结论都不对
【答案】D
【解析】
分析：先把原方程化成一般形式，再代入求根公式计算即可.
详解：
：∵(x-5)(x+2)=1，
∴x2-3x-11=0，
∵a=1，b=-3，c=-11，
∴x= .
故选D.
【即学即练5】解方程：
(1) ； (2)
．
【答案】(1)x=5，x=-1；(2) .
1 2
【解析】
(1)x2-4x-5=0，
分解因式得：(x-5)(x+1)=0，
x-5=0，x+1=0，
x=5，x=-1；
1 2
(2)2x2-2x-1=0，a=2，b=-2，c=-1，
=b2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12＞0，
△
方程有两个不相等实数根 ，
.
考法04 公式法的其他应用
【例题4】已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0．
(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【答案】(1)证明见解析；(2)m=1．
【解析】
方法1 (1)利用判别式
(1)证明： ．
∵不论m为何值， ，即 ．
∴不论m为何值，方程总有实数根．
(2)解关于x的一元二次方程 ，得
，∴ ， ．
∵方程的两个根都是正整数，∴ 是正整数，∴ 或 ．
又∵方程的两个根不相等，∴ ，∴ ．
方法2(1)直接解一元二次方程求出根
(1)证明：解关于x的一元二次方程 ，
得 ， ，
∴不论m为何值，方程总有实数根．(2)解关于x的一元二次方程 ，得
，∴ ， ．
∵方程的两个根都是正整数，∴ 是正整数，∴ 或 ．
又∵方程的两个根不相等，∴ ，∴ ．
【例题5】三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为
( )
A．11 B．12 C．11或 13 D．13
【答案】D
【解析】
∵x2﹣6x+8=0，即(x﹣2)(x﹣4)=0，
∴x﹣2=0或x﹣4=0，
解得：x=2或x=4，
若x=2，则三角形的三边2+3＜6，构不成三角形，舍去；
当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，
故选D．
【即学即练1】已知△ABC为等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，则m的值等于(
)
A．12 B．16 C．﹣12或﹣16 D．12或16
【答案】D
【解析】
解：∵△ABC为等腰三角形，
若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，
则①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0，
∴m＝12；
②AB＝AC，此时方程的判别式为0，
∴Δ＝64﹣4m＝0，
∴m＝16．
故m的值等于12或16．
故选：D．分层提分
题组A 基础过关练
1．下列方程中，没有实数根的是( )
A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1 =0 D．x2﹣2x+2=0
【答案】D
【解析】
A、△=(﹣2)2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
B、△=(﹣2)2﹣4×1×(﹣1)=8＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
C、△=(﹣2)2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，此选项不符合题意；
D、△=(﹣2)2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，此选项符合题意．
故选D．
2．下列方程中，有两个相等实数根的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
A. 变形为 ，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A正确；
B. 中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B错误；
C. 整理为 ，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；
D. 中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误.
故选：A.
3．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是( )
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根
D．无法确定
【答案】B
【解析】
解：由题意得△=42﹣4×3×(﹣5)=76＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根．
故选B．
4．如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)能用公式法求解，那么必须满足的条件是( )
A．b2-4ac≥0 B．b2-4ac≤0 C．b2-4ac＞0 D．b2-4ac＜0
【答案】A
【解析】
解：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)能用公式法求解，那么必须满足的条件是b2-4ac≥0．故选A．
5．关于x的一元二次方程 的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定
【答案】A
【解析】
解：由题意可知：a=1，b=m，c=-m-2，
∴ ，
∴方程有两个不相等实数根．
故选A.
6． 是下列哪个一元二次方程的根( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：对于一元二次方程 ，方程的根为： ．因为 ，所以 ， ， ，
所以对应的一元二次方程是： ．
故选：D．
7．解下列方程：
(1)x2+4x﹣5＝0
(2)(x﹣3)2＝2(3﹣x)
【答案】(1)x＝﹣5或x＝1；(2)x＝3或x＝1．
【解析】
解：(1)∵x2+4x-5＝0，
∴(x+5)(x-1)＝0，
则x+5＝0或x-1＝0，
解得x＝-5或x＝1；
(2)∵(x-3)2+2(x-3)＝0，
∴(x-3)(x-1)＝0，
则x-3＝0或x-1＝0，
解得x＝3或x＝1．
8．用公式法解下列方程：
(1) ;
(2) ；
(3)
(4) .
【答案】(1) (2) (3)原方程无解．(4)
【解析】
解：(1)∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
(2)原方程可化为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(3)∵ ，
∴ ，
∴原方程无解；
(4)∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为(1) ；(2) ；(3)原方程无解；(4)
．
题组B 能力提升练
1．已知实数 满足 ，则代数式 的值是( )A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或3
【答案】A
【解析】
∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0，
∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6；
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解；
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7，
故选A．
2．若一次函数 的图象不经过第二象限，则关于 的方程 的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【解析】
解： 一次函数 的图象不经过第二象限，
， ，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选 ．
3．已知关于x的一元二次方程标 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是(
)
A． B．
C． 且 D．
【答案】C
【解析】解：由题可得： ,
解得： 且 ；
故选：C．
4．已知 分别是 的边长，则一元二次方程 的根的情况是( )
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
【答案】A
【解析】
解：△=(2c)2-4(a+b)(a+b)=4c2-4(a+b)2=4(c+a+b)(c-a-b)．
∵a，b，c分别是三角形的三边，
∴a+b＞c．
∴c+a+b＞0，c-a-b＜0，
∴△＜0，
∴方程没有实数根．
故选：A．
5．已知 的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2—(c2—a2—b2)x+b2=0，则方程根的情况是( )．
A．有两相等实根 B．有两相异实根 C．无实根 D．不能确定
【答案】C
【解析】
∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a2≠0．
∴△=(c2-a2-b2)2-4a2•b2，
=(c2-a2-b2-2ab)(c2-a2-b2+2ab)，
=[c2-(a+b)2][c2-(a-b)2]，
=(c-a-b)(c+a+b)(c+a-b)(c-a+b)，
又∵三角形任意两边之和大于第三边，
所以△＜0，则原方程没有实数根．
故选C．6．请你判断， 的实根的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
解：当x＞0时， ，
解得：x ＝1；x ＝2；
1 2
当x＜0时， ，
解得：x ＝ (不合题意舍去)，x ＝ ，
1 2
∴方程的实数解的个数有3个．
故选：C．
7．若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的
长，则 的取值范围是________.
【答案】3＜m≤4
【解析】
解：∵关于x的方程(x-2)(x2-4x+m)=0有三个根，
∴①x-2=0，解得x =2；
1
②x2-4x+m=0，
∴△=16-4m≥0，即m≤4，
∴x =2+
2
x =2-
3
又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，
且最长边为x ，
2
∴x +x ＞x ；
1 3 2
解得3＜m≤4，
∴m的取值范围是3＜m≤4．
故答案为3＜m≤4题组C 培优拔尖练
1．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列命题是真命题的有( )
①若a＋2b＋4c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根；
②若b＝3a＋2，c＝2a＋2，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；
④若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2﹣4ac＝(2at＋b)2．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【解析】
解：①∵a+2b+4c=0，
∴a=-2b-4c，
∴方程为(-2b-4c)x2+bx+c=0，
∴Δ=b2-4(-2b-4c)•c=b2+8bc+16c2=(b+4c)2≥0，
∴方程ax2+bx+c=0必有实数根，故①正确．
②∵b=3a+2，c=2a+2，
∴方程为ax2+(3a+2)x+2a+2=0，
∴Δ=(3a+2)2-4a(2a+2)=a2+4a+4=(a+2)2，
当a=-2时，Δ=0，方程有相等的实数根，故②错误，
③当c=0时，c是方程ax2+bx=0的根，但是b+1不一定等于0，故③错误．
④∵t是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
∴t= ，
∴2at+b=± ，
∴b2-4ac=(2at+b)2，故④正确，
故选：C．
2．有两个一元二次方程M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中a·c≠0，a≠c，下列四个结论中，错误
的是( )
A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
【答案】D
【解析】
解：A、∵M有两个不相等的实数根，
∴△＞0即 而此时N的判别式△＝ ，故它也有两个不相等的实数根，故此选项不符
合题意；
B、M的两根符号相同：即 ，而N的两根之积＝ 也大于0，故N的两个根也是同号的，故此
选项不符合题意；
C、如果5是M的一个根，则有： ①，我们只需要考虑将 代入N方程看是否成立，代入得：
②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立，故此选项不符合
题意；
D、比较方程M与N可得： ，
∴ ，
∵a·c≠0，a≠c，
∴ ，
故可知，它们如果有根相同的根可是1或-1，故此选项符合题意；
3．对于一元二次方程 ，有下列说法：
①若 ，则方程 必有一个根为1；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则 ．
其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】
解：①若x=1时，方程ax2+bx+c=0，则a+b+c=0，
∵无法确定a-b+c=0．故①错误；
②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴△=0-4ac＞0
∴-4ac＞0
则方程ax2+bx+c=0的判别式，
=b2-4ac＞0
△∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
则ac2+bc+c=0
∴c(ac+b+1)=0
若c=0，等式仍然成立，
但ac+b+1=0不一定成立，故③错误；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
0
则由求根公式可得：
或 ，
∴ 或
∴b2−4ac＝(2ax +b)2，故④错误．
0
故选：A．
4．方程 的解是________．
【答案】 或
【解析】
分两种情况：
①x＞- 时，原方程可变形为：x2-2x-5=0，∴x =1+ ，x =1- (舍去)；
1 2
②x≤- 时，原方程变形为：x2+2x-3=0，即(x+3)(x-1)=0，
∴x =-3，x =1(舍去)，
1 2
因此本题的解为x=1+ 或x=-3，
故答案为：x=1+ 或x=-3．
5．先阅读下列材料，然后回答问题：
在关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，若各项的系数之和为零，即a＋b＋c＝0，则有一根为1，
另一根为 .
证明：设方程的两根为x ，x ，由a＋b＋c＝0，知b＝－(a＋c)，
1 2
∵x＝ ＝ ，
∴x ＝1，x ＝ .
1 2
(1)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的各项系数满足a－b＋c＝0，请直接写出此方程的两根；
(2)已知方程(ac－bc)x2＋(bc－ab)x＋(ab－ac)＝0有两个相等的实数根，运用上述结论证明： .
【答案】(1)x ＝－1，x ＝－ ；(2)证明见解析.
1 2
【解析】
(1)x ＝－1，x ＝－ ，证明如下：
1 2
设方程的两根为x ，x ，由a-b＋c＝0，知b＝a＋c，
1 2
∵x＝ ＝ ，
∴x ＝-1，x ＝ ；
1 2
(2)∵(ac－bc)＋(bc－ab)＋(ab－ac)＝0，且方程(ac－bc)x2＋(bc－ab)x＋(ab－ac)＝0有两个相等的实数根，
∴x ＝x ＝1，
1 2∴ ，
即ab＋bc＝2ac，
两边都除以abc，得
.
6．已知关于x的一元二次方程
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k
的值
【答案】(1)详见解析
(2) 或
【解析】
(1)证明：∵△=(2k+1)2-4(k2+k)=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)解：一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0的解为x= ，
即x =k，x =k+1，
1 2
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，
所以k的值为5或4．
7．已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】(1) ABC是等腰三角形；(2) ABC是直角三角形；(3) x =0，x =﹣1．
1 2
【解析】 △ △
(1) ABC是等腰三角形；
理由△：∵x=﹣1是方程的根，∴(a+c)×(﹣1)2﹣2b+(a﹣c)=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴(2b)2﹣4(a+c)(a﹣c)=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
(3)当△ABC是等边三角形，∴(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x =0，x =﹣1．
1 2
