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专题 24.9 弧长和扇形的面积
1. 掌握扇形的弧长计算公式并能够在题目中灵活应用。
教学目标 2. 掌握扇形的面积计算公式并能够在题目中灵活应用。
3. 掌握圆锥的侧面积与全面积的计算公式，并能够在题目中熟练应用。
1. 重点
（1）扇形的弧长弧面积的计算；
（2）圆锥的相关计算。
教学重难点
2. 难点
（1）扇形的弧长与面积公式的灵活运用；
（2）不规则图形的面积计算。知识点01 扇形的弧长
1. 扇形弧长的定义：
扇形的弧长就是扇形两条 半径 间 圆弧 的长度。
2. 扇形弧长的计算公式：
2πr
在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的弧长是2πr，1°的圆心角所对的弧长l＝ ，
360°
nπr
所以n°的圆心角所对的弧的长度l＝ 。
180°
【即学即练1】
1．若扇形的圆心角为75°，半径为12，则该扇形的弧长为（ ）
A．2π B．4π C．5π D．6π
【答案】C
75π×12
【解答】解：该扇形的弧长= = 5π．
180
故选：C．
【即学即练2】
2．一个扇形的半径为9，弧长为π，则该扇形的圆心角为 2 0 度．
【答案】20．
nπ×9
【解答】解：设扇形圆心角的度数是n°，由弧长公式得 =π，
180
∴n＝20，
故答案为：20．
【即学即练3】
3．在⊙O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，那么⊙O的半径是（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【答案】A
【解答】解：设⊙O的半径是r cm，
75πr
∴ = 2.5π，
180
∴r＝6，
∴⊙O的半径是6cm．
故选：A．
知识点02 扇形的面积1. 扇形的面积计算公式：
πr2 S
方法1：在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的圆的面积为 ，则1°的圆心角所对的面积 ＝
πr2 S nπr2
，已知扇形的圆心角为n°，则扇形的面积 扇＝ 。
360° 360°
1
方法2：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为： S = lr 。
扇 2
【即学即练1】
4．一个扇形半径为4cm，所对弧长为3.14cm，则扇形面积为 6.2 8 cm2．
【答案】6.28．
【解答】解：设这个扇形的圆心角度数为n°，
n×3.14×4
则 =3.14，
180
所以n＝45，
所以这个扇形的圆心角度数为45°，
45×3.14×42
所以这个扇形的面积为 =6.28cm2，
360
故答案为：6.28．
【即学即练2】
5．已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．180°
【答案】B
【解答】解：设扇形圆心角的度数为n°，
n⋅π⋅62
则 =6π，
360
解得n＝60，
所以圆心角的度数为60°．
故选：B．
知识点03 圆锥的侧面积与全面积
1. 圆锥的认识：
如图，圆锥是由一个 侧面 和一个 底面 构成。顶点C到底面圆上任
意一点的连线是圆锥的 母线 ，如的CA与CB。AB是圆锥 底面直径 ，
顶点C到底面圆心O的距离CO是圆锥的 高 。
2. 圆锥的母线长、高与底面半径的关系：
圆锥的母线长与高与底面半径构成 勾股定理 。
即：如图： CB2=CO2+OB2 。3. 圆锥的侧面展开图的认识：
圆锥的侧面展开图是一个 扇形 ，这个扇形的半径等于圆
锥的 母线长 。扇形的弧长等于圆锥底面圆的 周长 。
4. 圆锥的侧面积计算：
方法1：若已知圆锥的母线长为a，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面展
开图的扇形的半径为 a ，弧长等于底面圆周长等于： l=2πr ，根据
1
已知弧长与半径可得扇形的面积为： S= lr=πra 。
2
方法2：圆锥的母线长为a，侧面展开图的圆心角为n°。则侧面展开图的
扇形面积为：
nπa2
S= 。
360
【即学即练1】
6．已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为9cm，求它的侧面展开图的圆心角及侧面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：圆锥是侧面积＝π×9×5＝45π（cm2），
nπ⋅9
设侧面展开图的圆心角为n°，则有 =2π•5，
180
解得n＝200，
∴侧面展开图的圆心角为200°，侧面积为45πcm2．
【即学即练2】
7．如图所示，已知圆锥的母线长AB＝8cm，轴截面的顶角为60°，求圆锥全面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵圆锥的轴截面的顶角为60°，底边长为8cm，
∴这个圆锥的母线长是8cm，底面直径是8cm，
1
∴这个圆锥的侧面积为： ×8×8π＝32πcm2．
2
这个圆锥的底面积为π×42＝16πcm2．
所以圆锥全面积＝32π+16π＝48πcm2．
【即学即练3】
8．如图，用圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（ ）A．4 B．2 C．4π D．2π
【答案】B
120π×6
【解答】解：扇形的弧长= = 4π，
180
∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2．
故选：B．
【即学即练4】
9．如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15π cm2，则母线AB的长
为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】C
【解答】解：∵BC为底面直径，BC＝6cm，
∴圆锥的底面周长＝6πcm，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为6πcm，
1
由题意得： ×6π×AB＝15π，
2
解得：AB＝5，
故选：C．
【即学即练5】
10．如图，从一块半径是❑√13cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为60°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，
❑√105
若OA＝2cm，则圆锥的高是 cm ．
2❑√105
【答案】 cm．
2
【解答】解：连接OB，过点O作OH⊥AB于H．
由对称性可知，∠OAH＝30°，
∵∠AHO＝90°，AO＝2cm，
1
∴OH= OA＝1（cm），AH=❑√3OH=❑√3（cm），
2
∴BH=❑√OB2-OH2=❑√13-1=2❑√3（cm），
∴AB＝3❑√3（cm），
60π⋅3❑√3
∴^BC的长= =❑√3π（cm），
180
设圆锥的底面圆的半径为R cm，则2πR=❑√3π，
❑√3
∴R= ，
2
√ ❑√3 ❑√105
∴圆锥的高=❑(3❑√3) 2-( ) 2= （cm）．
2 2
❑√105
故答案为： ．
2
题型01 求扇形的弧长及公式的应用
【典例1】如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝60°，连接OA，OB，若⊙O的半径为6，则扇形AOB的
弧长为（ ）A．2π B．4π C．6π D．8π
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵⊙O的半径为6，
120π×6
∴扇形AOB的弧长为 =4π，
180
故选：B．
【变式1】如图，已知A，B，C为⊙O上的三点，且AC＝BC＝2，∠ACB＝120°．点P从点A出发，沿着
逆时针方向运动到点 B，连接 CP 与弦 AB相交于点 D，当△ACD 为直角三角形时，弧 AP的长为
（ ）
1 2 1 4
A．2π B． π C． π或 π D．2π或 π
2 3 2 3
【答案】D
【解答】解：如图所示，当∠ADC＝90°时，连接OA，OD，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，
1
∴∠ACD= ∠ACB=60°，点D为AB的中点，
2
∴OD⊥AB，
∴C、D、O三点共线，
∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，
∴OA＝AC＝2，∠AOC＝60°，
∴∠AOP＝120°，
120π×2 4
∴弧AP的长为 = π；
180 3
如图所示，当∠ACD＝90°时，则∠ACP＝90°，
∴AP为直径，
180π×2
∴弧AP的长为 =2π；
180
4π
综上所述，弧AP的长为2π或 ，
3
故选：D．
【变式2】如图，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝75°，点C在^AB上，连接OC，AD垂直平分OC交
OB于点D，则^BC的长度为（ ）
π π π
A． B． C． D．π
4 3 2
【答案】C
【解答】解：∵AD垂直平分OC，
∴AC＝AO，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵∠AOB＝75°，
∴∠BOC＝15°，
15π×6 π
∴^BC的长度为 = ．
180 2故选：C．
【变式3】若扇形AOB的弧长为4π，∠AOB＝120°，则扇形AOB的半径为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【解答】解：设扇形AOB的半径为r，
120πr
根据弧长公式，得 = 4π，
180
解得r＝6．
故选：B．
【变式4】一个扇形的半径为4，弧长等于3π，则扇形的圆心角度数为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．270°
【答案】B
【解答】解：设扇形的圆心角度数为n°，
n
根据题意，得 ×2π×4＝3π，
360
解得n＝135，
∴扇形的圆心角度数为135°．
故选：B．
题型02 求运动路径的长度
【典例1】【钟表问题】一个钟表的分针长10cm，从2时走到4时，分针针尖走过的路程为（ ）cm
A．31.4 B．125.6 C．314 D．628
【答案】B
【解答】解：∵分针针尖转一圈的长度为2×3.14×10＝62.8cm，
∴分针针尖走过的路程为62.8×2＝125.6cm，
故选：B．
【变式1】如图，将△AOB绕点O逆时针旋转60°至△COD，若OA＝3，则点A旋转到点C的路径长为
π ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得，n＝∠AOC＝60°，R＝OA＝3，
60π×3
则A旋转到点C的路径长= =π．
180故答案为：π．
【变式2】如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌
面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面 l上，则
23
木板上点A滚动所经过的路径长为 π ．
6
23
【答案】 π．
6
60π×4 90π×5 23
【解答】解：如图，根据弧长公式可得：l= + = π．
180 180 6
23
故答案为： π．
6
【变式3】一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB
与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友
将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为 （ ） cm．
【分析】A点滚动到D点其圆心所经过的路线在点B处少走了一段，在点C处又多求了一段弧长，所以
A 点 滚 动 到 D 点 其 圆 心 所 经 过 的 路 线 ＝ （ 60+40+40 ） ﹣ + ＝
（cm）．
【解答】解：A点滚动到D点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣ +
＝ （cm）．故答案为：（ ）．
题型03 求扇形的面积及公式的应用
【典例1】如果一个扇形的圆心角为120°，半径为4cm，则这个扇形的面积为（ ）cm2．
4 8 16
A．π B． π C． π D． π
3 3 3
【答案】D
【解答】解：∵r＝4cm，n＝120°，
nπr2
根据扇形的面积公式S= 得：
360
120×π×42 16
S= = π，
360 3
故选：D．
【变式1】如图，直角三角形中阴影部分的面积之和是（ ）cm2．
A．28.26 B．56.52 C．113.04
【答案】B
【解答】解：阴影部分的面积＝π×62÷2＝18π≈56.52（cm2），
故选：B．
【变式2】折扇是中国传统工艺品，历史悠久．如图是一把完全打开的扇形折扇示意图，外侧两竹条AB，
AC的夹角为120°，AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面的面积为（ ）100π 200π 400π 800π
A．
cm2
B．
cm2
C．
cm2
D．
cm2
3 3 3 3
【答案】D
【解答】解：∵AB＝30cm，BD＝20cm，
∴AD＝10cm，
∵∠BAC＝120°，
∴扇面的面积＝S扇形BAC ﹣S扇形DAE
120π×302 120π×102
= -
360 360
800π
= （cm2）．
3
故选：D．
【变式3】扇形的弧长为20πcm，面积为240πcm2，那么扇形的半径是（ ）
A．6cm B．12cm C．24cm D．28cm
【答案】C
1
【解答】解：∵S扇形 =
2
lr
1
∴240π= •20π•r
2
∴r＝24 （cm）
故选：C．
【变式4】已知扇形的圆心角为30°，面积为3πcm2，则扇形的半径为（ ）
A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm
【答案】A
【解答】解：设扇形的半径为r，
∵扇形的圆心角为30°，面积为3πcm2，
30π×r2
∴ =3π，
360
解得r＝6（cm）．
故选：A．
题型04 求圆锥的侧面积与全面积
【典例1】如图，圆锥的底面半径为5，高为12，则该圆锥的侧面积为（ ）A．30π B．60π C．65π D．90π
【答案】C
【解答】解：∵圆锥的底面半径为5，高为12，
∴圆锥的母线长为❑√122+52=13，
∴它的侧面积＝π×13×5＝65π，
故选：C．
【变式1】第十二届全国少数民族传统体育运动会于2024年11月22日在海南省三亚市正式开幕，其中陀
螺比赛吸引了无数观众观看，陀螺的底部是一个圆锥的造型．如图，圆锥的母线长为 10cm，高h为
8cm，则此圆锥的侧面积为（ ）
A．40πcm2 B．60πcm2 C．80πcm2 D．120πcm2
【答案】B
【解答】解：如图，圆锥的母线长为10cm，高h为8cm，
∴圆锥的底面半径为：❑√102-82=6cm，
∴圆锥的底面周长为：2π×6＝12πcm，即圆锥侧面扇形的弧长为12πcm，
180×12π
∴圆锥侧面扇形的圆周角为： =216°，
10π
216°×π×102
∴圆锥的侧面积为 =60πcm2．
360°
故选：B．
【变式2】如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的表面积
是 6 π ．【答案】6π．
72
【解答】解： ×2π×5＝2π，
360
1 2π
则圆锥的侧面积为 ×5×2π＝5π，圆锥的底面积为（ ）2π＝π，
2 2π
5π+π＝6π，
∴该圆锥的表面积是6π．
故答案为：6π．
【变式3】如图，Rt ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝2，若把直角三角形绕边AC所在直线旋转一周，
则所得几何体的表面积等于（ ）
△
A．2❑√21π B．10π C．12π D．14π
【答案】D
【解答】解：圆锥表面积为：πrl+πr2＝π×2×5+π×22＝14π，
故选：D．
题型05 圆锥的母线长、底面半径以及高
【典例1】如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r＝1 cm，
扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为（ ）cm．A．1 B．12 C．3 D．6
【答案】C
【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×1＝2π cm，
120πl
设圆锥的母线长为l，则： =2π，
180
解得l＝3．
故选：C．
【变式 1】用一个圆心角是 120°，半径是 3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为
（ ）
3 4
A．1 B． C． D．2
2 3
【答案】A
【解答】解：设这个圆锥的底面圆的半径为r．
120
根据题意，得2πr= ×2π×3，
360
解得r＝1，
∴这个圆锥的底面圆的半径为1．
故选：A．
【变式2】如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径R是5，则该圆锥的高是（
）
A．4❑√3 B．❑√21 C．3❑√3 D．2❑√6
【答案】D
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，
72π×5
则2πr= ，
180∴r＝1，
∴该圆锥的高是❑√52-12=2❑√6．
故选：D．
题型06 求不规则图形的面积
1
【典例1】如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，分别以点A，B，C，D为圆心， AB的长为半
2
径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积（ ）
9
A．18❑√3-9π B．9❑√3-3π C．9❑√3- π D．12❑√3-6π
2
【答案】A
【解答】解：如图，设AC与BD交于点O．
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝6，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝6，
1
∴OA= AC＝3，
2
在Rt AOB中利用勾股定理，得OB=❑√AB2-OA2=❑√62-32=3❑√3，
∴BD△＝2OB＝6❑√3，
1 1
∴S菱形ABCD =
2
BD•AC =
2
×6❑√3×6＝18❑√3，
6
∵S空白 ＝（
2
）2π＝9π，
∴S阴影 ＝S菱形ABCD ﹣S空白 ＝18❑√3-9π．
故选：A．【变式1】如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部
分的面积为（ ）
5 1 3 1 5 1 5 1
A． + π B． - π C． - π D． - π
2 4 2 4 2 2 2 4
【答案】D
【解答】解：连接OE．
1 1
∵S = AD•CD = ×2×2＝2，
ADC 2 2
△
1 π
S扇形OCE =
4
π×12=
4
，
1 1
S = ×1×1 = ，
COE 2 2
△
π 1
∴S弓形CE =
4
-
2
，
π 1 5 π
∴阴影部分的面积为2﹣（ - ）= - ．
4 2 2 4
故选：D．
【变式2】在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的
大正方形ABCD，分别以点F，H为圆心，EF长为半径作弧，若AG＝5，DE＝3，则图中阴影部分的面
积为（ ）
A．2π﹣2 B．2π﹣4 C．π﹣2 D．π﹣4
【答案】B
【解答】解：由题意可知AG＝BH＝CE＝DF＝5，DE＝AF＝BG＝CH＝3，∴EF＝FG＝GH＝HE＝2，
∴S阴影部分 ＝S扇形FEG +S扇形HEG ﹣S正方形EFGH
90π×22 90π×22
= + -22
360 360
＝2π﹣4
故选：B．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），将△ABC绕点B顺时
针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，得到△A′BC′，则阴影部分面积为（ ）
π π 2π 2π
A． B． -1 C． +1 D．
3 3 3 3
【答案】A
【解答】解：∵点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），
∴OA＝OB＝OC＝1，
∴BC=❑√OB2+OC2=❑√2，AB＝2，
由旋转可知，BA′＝BA＝2，OB＝1，
∴∠OA′B＝30°，
∴∠ABA′＝90°﹣30°＝60°＝∠CBC′，
∴S阴影部分 ＝S扇形BAA′ +S
BA′C′
﹣S扇形BCC′ ﹣S
ABC
＝S扇形BAA′ ﹣S扇形BCC′ △ △
60π×22 60π×(❑√2) 2
= -
360 360
π
= ，
3
故选：A．
1．若圆锥的底面半径为4cm，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（ ）
A．240° B．120° C．180° D．90°
【答案】B
【解答】解：圆锥的底面半径为4cm，则底面周长为2π×4＝8πcm，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长为8πcm，
∵母线长为12cm，则扇形的半径为12cm，
nπ×12
根据弧长公式可得：8π= ，
180
解得：n＝120，
故选：B．
2．把一个扇形的圆心角扩大到原来2倍，半径缩小到原来的一半，则其面积变为原来的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．50% D．100%
【答案】C
nπr2
【解答】解：原扇形面积= ，
360
r2
2nπ
变化后的扇形面积 4 nπr2 ，
= =
360 2×360
1
则变化后的面积是原来面积的 ，即其面积变为原来的50%；
2
故选：C．
3．如图，一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升了4πcm，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一
点P旋转了（ ）
A．108° B．120° C．135° D．144°
【答案】D
【解答】解：∵半径为5cm的定滑轮带动重物上升了4πcm，
nπR
根据弧长公式l= 得：
180
nπ×5
4π= ，
180
整理得，5n＝720，
解得n＝144°．
综上所述，滑轮上某一点P旋转了144°．
故选：D．
4．如图，在等腰直角三角形ABC中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转90°，那么斜
边AB扫过的面积为（ ）3
A．π B． π-2 C．2π D．2π﹣2
2
【答案】B
【解答】解：由题意可得，AC＝BC＝CD＝2，△ABD，△ABC，△BCD都是等腰直角三角形，则
❑√2
CE=CF= AC=❑√2，
2
AB边在旋转时所扫过的面积为^EF、^ABD所围成的图形面积S，
S＝S半圆 ﹣S扇形ECF ﹣S
ACE
﹣S
CDF
1
90π×(❑√△2) 2
1
△
1
= π×22- - ×(❑√2) 2- ×(❑√2) 2
2 360 2 2
3
= π-2，
2
故选：B．
5．从一张圆形纸板剪出一个小圆形和一个扇形，分别作为圆锥体的底面和侧面，下列的剪法恰好配成一
个圆锥体的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：选项A、C、D中，小圆的周长和扇形的弧长都不相等，故不能配成一个圆锥体，只有B符合条件．
故选：B．
6．综合实践课上，刘明和张亮合作制作一个带底的圆锥型道具，刘明裁剪侧面，张亮裁剪底面．刘明先
裁出一个半径为30cm，圆心角为120°的扇形用来制作侧面（无重合，无缝隙），那么张亮裁出的圆的
半径应该为（ ）
A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm
【答案】A
120
【解答】解： ×2π×30÷2π＝10（cm），
360
∴张亮裁出的圆的半径应该为10c．
故选：A．
7．嘉嘉同学制作了一把扇形纸扇．如图，OA＝20cm，OB＝5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽
度忽略不计）的夹角∠AOC＝120°．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）
25
A．150π B．125π C．75π D． π
3
【答案】B
120⋅π⋅202 400
【解答】解：由题知，S = = π(cm2 )，
扇形OAC 360 3
120⋅π⋅52 25
S = = π(cm2 )，
扇形OBD 360 3
400 25
所以山水画所在纸面的面积为： π- π=125π(cm2 )．
3 3
答：山水画所在纸面的面积为125πcm2，
故选：B．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠ODE＝30°，AB＝4，则阴影部分的面积为（ ）2π 4π 8π
A． B． C．2π D．
3 3 3
【答案】A
【解答】解：如图，连接BC，
由条件可知CE＝DE，即AB垂直平分CD，
∴BC＝BD，
又∵OC＝OD，OB＝OB，
∴△COB≌△DOB，则S ＝S ，
COB DOB
∴∠DOB＝90°﹣∠ODE＝△60°，△
∵OA＝OB，
∴S ＝S ，则S ＝S ＝S
COB AOC COB DOB AOC
△ △ △ △ △ 60 2
则阴影部分的面积为S +S =S +S =S = π×22= π，
△AOC 弓形 △BOD 弓形 扇形BOD 360 3
故选：A．
9．如图，在△ABC中，∠B＝30°，点D是BC上一点，以CD为直径的半圆O经过△ABC的顶点A，C，
交AB，BC于点F，D，若AC＝AF，CD＝10，则^AC的长为（ ）
5 5 20 25
A． π B． π C． π D． π
3 6 9 18
【答案】C
【解答】解：如图，连接OA、OF，
∵AF＝AC，OF＝OC，OA＝OA，
∴△AOF≌△AOC（SSS），
∴∠OAF＝∠OAC，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC，
∴∠BAC＝2∠C，在△ABC中，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
即3∠C+∠B＝180°，
∵∠B＝30°，
∴3∠C+30°＝180°，
∴∠C＝50°，
∴∠AOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
又∵直径CD＝10，
∴半径OA＝OC＝5，
80π×5 20
∴^AC的长为 = π．
180 9
故选：C．
10．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，以点C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接
AE、AF，若AD＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A．8﹣π B．8﹣2π C．4﹣2π D．4﹣π
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AD＝4，∴BC＝CD＝AD＝AB＝4，∠B＝∠C＝∠D＝90°，S
正方形ABCD
＝AD2＝16，
∵点E是BC的中点，
1
∴CE＝BE= BC＝2，
2
∵以点C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，
∴CF＝CE＝2，
∴DF＝CD﹣CF＝2，
90π×22 1 1 1 1
∴S扇形ECF =
360
=π，S
ABE
=
2
AB•BD =
2
×4×2＝4，S
ADF
=
2
AD•DF =
2
×4×2＝4，
△ △∴S阴影 ＝S正方形ABCD ﹣S
ABE
﹣S
ADF
﹣S扇形ECF ＝16﹣4﹣4﹣π＝8﹣π．
故选：A． △ △
11．已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则圆锥的全面积为 9 6 π cm2．
【答案】96π．
【解答】解：由条件可知底面半径为❑√102-82=6cm，
∴圆锥的全面积为π×6×10+π×62＝60π+36π＝96πcm2．
故答案为：96π．
12．如图是一块扇面宣传展板示意图，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝90°形成的
3
扇面，若OA＝2，OB＝1，则阴影部分的面积为 π （结果保留π）．
4
3
【答案】 π．
4
【解答】解：S阴形 ＝S扇形AOD ﹣S扇形BOC
90 90
= π⋅OA2- π⋅OB2
360 360
1
= π(OA2-OB2 )
4
1
= π(22-12 )
4
3
= π．
4
3
故答案为： π．
4
13．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且^AC=^BC，连接BC，以B为圆心，BC长为半径
❑√2
画弧交AB于点D，若AB＝4，则C^D的长是 π ．
2
❑√2
【答案】 π．
2
【解答】解：如图，连接AC，由直径可知：∠ACB＝90°，
由^AC=^BC可得：∠ABC＝∠BAC＝45°，
∵AB＝4，
∴AC=BC=2❑√2，
45 ❑√2
∴C^D的长= π×2❑√2= π，
180 2
❑√2
故答案为： π．
2
14．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为
圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为 2，则这个“莱洛三角形”的周长是 2 π
．
【答案】2π．
【解答】解：由图可得，
60π×2
这个“莱洛三角形”的周长是 ×3＝2π，
180
故答案为：2π．
15．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，已知AC＝10，BC＝6，则线段AB扫过的图形面积为
32π
．
3
32π
【答案】 ．
3
【解答】解：∵将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，BC＝6，AC＝10，∴△A′B′C≌△ABC，∠ACA′＝∠BCB′＝60°，
∴S ＝S ，
A′B′C ABC
∴S△ 阴影 ＝S扇 △ 形ACA′ ﹣S扇形BCB′ ，
60π×102 50π 60π×62
∴S = = ，S = =6π，
扇形ACA' 360 3 扇形BCB' 360
50π 32π
∴S =S -S = -6π= ，
阴影 扇形ACA' 扇形BCB' 3 3
32π
∴线段AB扫过的图形面积为 ，
3
32π
故答案为： ．
3
16．如图，在⊙O中，已知弦AC，BD相交于点E，连结AD，AC＝BD．
（1）求证：∠A＝∠D．
（2）若AC⊥BD，⊙O的半径为4，求C^D的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AC＝BD，
∴^AC=^BD，
∴^AC-^BC=^BD-^BC，
∴^AB=C^D，
∴∠A＝∠D；
（2）解：连接OC，OD，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠A＝∠ADE＝45°，
∴∠COD＝2∠A＝90°，
∵⊙O的半径为4，90π×4
∴C^D的长为 = 2π．
180
17．图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形
材料，其中AB＝AC，AD⊥BC，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．已知这种加工材料的顶
角∠BAC＝90°，圆锥底面圆的直径DE为5cm．
（1）求图2中圆锥的母线AE的长．
（2）求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π）
【答案】见试题解答内容
90⋅π⋅AD
【解答】解：（1）根据题意得π⋅DE= ，
180
∴AD＝2DE＝10（cm），
∴AE＝AD＝10cm；
（2）由条件可得BC＝2AD＝20cm，
∴S阴影部分 ＝S
ABC
﹣S扇形EAF
1 △ 90×π×102
= ×10×20-
2 360
＝（100﹣25π）cm2．
18．如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC＝BP，连结
AC．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若AB＝4，∠ABC＝30°，求阴影部分的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接AP，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠APB＝90°，∴AP⊥BC．
∵PC＝PB，
∴△ABC是等腰三角形，即AB＝AC；
（2）解：连接OP，
∵∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝60°，
∴∠POB＝120°．
∵点O是AB的中点，
1 1 1 1
∴S = S = × AP•PB = ×2×2❑√3=❑√3，
POB 2 PAB 2 2 4
△ △
∴S阴影 ＝S扇形BOP ﹣S
POB
120π×22 △
= -❑√3
360
4
= π-❑√3．
3
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB于点D，过O点作OE∥AB交AC于点
E，连接DE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，BC＝8，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解答
16π
（2）图中阴影部分的面积为：16❑√3- ．
3
【解答】（1）解：DE是⊙O的切线，理由如下，
如图所示，连接OD，∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB∥OE，
∴∠OBD＝∠COE，∠ODB＝∠DOE，
∴∠DOE＝∠COE，
在△ODE和△OCE中，
{
OD=OC
∠DOE=∠COE，
OE=OE
∴△DOE≌△COE（SAS），
∴∠ODE＝∠OCE＝90°，
又OD是圆的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A＝30°，BC＝8，AB∥OE，
1
∴∠OEC=∠A=30°，OC= BC=4，
2
∴∠COE＝60°＝∠DOE，
∴OE＝2OC＝8，CE=❑√OE2-OC2=❑√82-42=4❑√3，
1 1
∴S = OC⋅CE= ×4×4❑√3=8❑√3，
△COE 2 2
∴S =2S =2×8❑√3=16❑√3，
四边形OCED △COE
∵∠COD＝60°+60°＝120°，OC＝OD＝4，
120°×42π 16π
∴S = = ，
扇形COD 360° 3
∴阴影部分的面积＝S四边形OCED ﹣S扇形COD
16π
=16❑√3- ，
3
16π
∴图中阴影部分的面积为16❑√3- ．
3
20．【主题】利用圆形纸片制作立体图形【素材】图1中半径为6cm的圆形纸片（⊙O）若干，剪刀，胶水；
【实践操作】活动一：如图2，将圆形纸片沿直线AB折叠，使点O落在圆上，记作点O′，连接OA，
OB，剪下扇形OAB（圆心角小于180°）；
活动二：将剪下的扇形OAB，粘贴成如图3所示的圆锥（接缝处忽略不计）；
活动三：将两个相同的圆锥粘贴成如图4所示的立体图形；
【实践探究】
（1）计算AB的长和扇形OAB的面积（π取3）；
（2）求圆锥的高；
（3）制作20个图4这样的立体图形，最少需要准备多少个半径为6cm的圆形纸片？
【答案】（1）AB的长为6❑√3cm，扇形OAB的面积为36cm2；
（2）圆锥的高为4❑√2cm；
（3）最少需要准备14个半径为6cm的圆形纸片．
【解答】解：（1）如图2，OO'和AB交于点D，
由折叠可知：AB垂直平分OO′，OB＝O'B，
∴∠ODB＝90°，
∵OB＝OO'，
∴OB＝OO'＝O'B，
∴△OBO'为等边三角形，
∴∠BOO'＝60°，
∴∠ABO＝30°，
1
∴OD= OB＝3cm，BD=❑√62-32=3❑√3（cm），
2
∴AB＝2BD＝6❑√3cm，
∵OA＝OB，∠ODA＝90°，
∴∠AOB＝2∠BOO'＝120°，120π×62
∴扇形OAB的面积为： =12π＝36（cm2），
360
答：AB的长为6❑√3cm，扇形OAB的面积为36cm2；
（2）如图3，作圆锥高OH，连接O'H，
设圆锥底面圆的半径为r cm，R＝OA＝6cm，
120π×6
∵2πr= ，
180
∴r＝2，
在Rt OHO'中，
OH=
△
❑√OO'2-O'H2=❑√62-22=4❑√2(cm)，
∴圆锥的高为4❑√2cm；
（3）每个圆形纸片可制作120°的扇形纸片：360°÷120°＝3（个），
20个这样的立体图形需要120°的扇形：20×2＝40（个），
1
40÷3=13 （个），
3
∴最少需要准备14个半径为6cm的圆形纸片．
