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专题 24.9 弧长和扇形的面积
1. 掌握扇形的弧长计算公式并能够在题目中灵活应用。
教学目标 2. 掌握扇形的面积计算公式并能够在题目中灵活应用。
3. 掌握圆锥的侧面积与全面积的计算公式，并能够在题目中熟练应用。
1. 重点
（1）扇形的弧长弧面积的计算；
（2）圆锥的相关计算。
教学重难点
2. 难点
（1）扇形的弧长与面积公式的灵活运用；
（2）不规则图形的面积计算。知识点01 扇形的弧长
1. 扇形弧长的定义：
扇形的弧长就是扇形两条 间 的长度。
2. 扇形弧长的计算公式：
在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的弧长是2πr，1°的圆心角所对的弧长l＝ ，所以
n°的圆心角所对的弧的长度l＝ 。
【即学即练1】
1．若扇形的圆心角为75°，半径为12，则该扇形的弧长为（ ）
A．2π B．4π C．5π D．6π
【即学即练2】
2．一个扇形的半径为9，弧长为π，则该扇形的圆心角为 2 0 度．
【即学即练3】
3．在⊙O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，那么⊙O的半径是（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
知识点02 扇形的面积
1. 扇形的面积计算公式：
方法1：在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的圆的面积为 πr2 ，则1°的圆心角所对的面积S＝
S
，已知扇形的圆心角为n°，则扇形的面积 扇＝ 。
方法2：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为： 。
【即学即练1】
4．一个扇形半径为4cm，所对弧长为3.14cm，则扇形面积为 cm2．
【即学即练2】
5．已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．180°
知识点03 圆锥的侧面积与全面积
1. 圆锥的认识：
如图，圆锥是由一个 和一个 构成。顶点C到底面圆上
任意一点的连线是圆锥的 ，如的CA与CB。AB是圆锥
，顶点C到底面圆心O的距离CO是圆锥的 。2. 圆锥的母线长、高与底面半径的关系：
圆锥的母线长与高与底面半径构成 。
即：如图： 。
3. 圆锥的侧面展开图的认识：
圆锥的侧面展开图是一个 ，这个扇形的半径等于圆
锥的 。扇形的弧长等于圆锥底面圆的 。
4. 圆锥的侧面积计算：
方法1：若已知圆锥的母线长为a，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面展开图的扇形的半径为 ，
弧长等于底面圆周长等于： ，根据已知弧长与半径可得扇形的面积为：
。
方法2：圆锥的母线长为a，侧面展开图的圆心角为n°。则侧面展开图的扇形面积为：
。
【即学即练1】
6．已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为9cm，求它的侧面展开图的圆心角及侧面积．
【即学即练2】
7．如图所示，已知圆锥的母线长AB＝8cm，轴截面的顶角为60°，求圆锥全面积．
【即学即练3】
8．如图，用圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．4 B．2 C．4π D．2π
【即学即练4】
9．如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15π cm2，则母线AB的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【即学即练5】
10．如图，从一块半径是❑√13cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为60°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，
若OA＝2cm，则圆锥的高是 ．
题型01 求扇形的弧长及公式的应用
【典例1】如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝60°，连接OA，OB，若⊙O的半径为6，则扇形AOB的
弧长为（ ）
A．2π B．4π C．6π D．8π
【变式1】如图，已知A，B，C为⊙O上的三点，且AC＝BC＝2，∠ACB＝120°．点P从点A出发，沿着
逆时针方向运动到点 B，连接 CP 与弦 AB相交于点 D，当△ACD 为直角三角形时，弧 AP的长为
（ ）
1 2 1 4
A．2π B． π C． π或 π D．2π或 π
2 3 2 3
【变式2】如图，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝75°，点C在^AB上，连接OC，AD垂直平分OC交
OB于点D，则^BC的长度为（ ）π π π
A． B． C． D．π
4 3 2
【变式3】若扇形AOB的弧长为4π，∠AOB＝120°，则扇形AOB的半径为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【变式4】一个扇形的半径为4，弧长等于3π，则扇形的圆心角度数为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．270°
题型02 求运动路径的长度
【典例1】【钟表问题】一个钟表的分针长10cm，从2时走到4时，分针针尖走过的路程为（ ）cm
A．31.4 B．125.6 C．314 D．628
【变式1】如图，将△AOB绕点O逆时针旋转60°至△COD，若OA＝3，则点A旋转到点C的路径长为
．
【变式2】如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌
面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面 l上，则
木板上点A滚动所经过的路径长为 ．
【变式3】一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB
与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友
将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为 cm．
题型03 求扇形的面积及公式的应用【典例1】如果一个扇形的圆心角为120°，半径为4cm，则这个扇形的面积为（ ）cm2．
4 8 16
A．π B． π C． π D． π
3 3 3
【变式1】如图，直角三角形中阴影部分的面积之和是（ ）cm2．
A．28.26 B．56.52 C．113.04
【变式2】折扇是中国传统工艺品，历史悠久．如图是一把完全打开的扇形折扇示意图，外侧两竹条AB，
AC的夹角为120°，AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面的面积为（ ）
100π 200π 400π 800π
A．
cm2
B．
cm2
C．
cm2
D．
cm2
3 3 3 3
【变式3】扇形的弧长为20πcm，面积为240πcm2，那么扇形的半径是（ ）
A．6cm B．12cm C．24cm D．28cm
【变式4】已知扇形的圆心角为30°，面积为3πcm2，则扇形的半径为（ ）
A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm
题型04 求圆锥的侧面积与全面积
【典例1】如图，圆锥的底面半径为5，高为12，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．30π B．60π C．65π D．90π
【变式1】第十二届全国少数民族传统体育运动会于2024年11月22日在海南省三亚市正式开幕，其中陀
螺比赛吸引了无数观众观看，陀螺的底部是一个圆锥的造型．如图，圆锥的母线长为 10cm，高h为8cm，则此圆锥的侧面积为（ ）
A．40πcm2 B．60πcm2 C．80πcm2 D．120πcm2
【变式2】如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的表面积
是 ．
【变式3】如图，Rt ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝2，若把直角三角形绕边AC所在直线旋转一周，
则所得几何体的表面积等于（ ）
△
A．2❑√21π B．10π C．12π D．14π
题型05 圆锥的母线长、底面半径以及高
【典例1】如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r＝1 cm，
扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为（ ）cm．
A．1 B．12 C．3 D．6
【变式 1】用一个圆心角是 120°，半径是 3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为
（ ）3 4
A．1 B． C． D．2
2 3
【变式2】如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径R是5，则该圆锥的高是（
）
A．4❑√3 B．❑√21 C．3❑√3 D．2❑√6
题型06 求不规则图形的面积
1
【典例1】如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，分别以点A，B，C，D为圆心， AB的长为半
2
径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积（ ）
9
A．18❑√3-9π B．9❑√3-3π C．9❑√3- π D．12❑√3-6π
2
【变式1】如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部
分的面积为（ ）
5 1 3 1 5 1 5 1
A． + π B． - π C． - π D． - π
2 4 2 4 2 2 2 4
【变式2】在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的
大正方形ABCD，分别以点F，H为圆心，EF长为半径作弧，若AG＝5，DE＝3，则图中阴影部分的面
积为（ ）
A．2π﹣2 B．2π﹣4 C．π﹣2 D．π﹣4【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），将△ABC绕点B顺时
针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，得到△A′BC′，则阴影部分面积为（ ）
π π 2π 2π
A． B． -1 C． +1 D．
3 3 3 31．若圆锥的底面半径为4cm，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（ ）
A．240° B．120° C．180° D．90°
2．把一个扇形的圆心角扩大到原来2倍，半径缩小到原来的一半，则其面积变为原来的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．50% D．100%
3．如图，一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升了4πcm，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一
点P旋转了（ ）
A．108° B．120° C．135° D．144°
4．如图，在等腰直角三角形ABC中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转90°，那么斜
边AB扫过的面积为（ ）
3
A．π B． π-2 C．2π D．2π﹣2
2
5．从一张圆形纸板剪出一个小圆形和一个扇形，分别作为圆锥体的底面和侧面，下列的剪法恰好配成一
个圆锥体的是（ ）
A． B．
C． D．
6．综合实践课上，刘明和张亮合作制作一个带底的圆锥型道具，刘明裁剪侧面，张亮裁剪底面．刘明先
裁出一个半径为30cm，圆心角为120°的扇形用来制作侧面（无重合，无缝隙），那么张亮裁出的圆的
半径应该为（ ）
A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm
7．嘉嘉同学制作了一把扇形纸扇．如图，OA＝20cm，OB＝5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽
度忽略不计）的夹角∠AOC＝120°．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）25
A．150π B．125π C．75π D． π
3
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠ODE＝30°，AB＝4，则阴影部分的面积为（ ）
2π 4π 8π
A． B． C．2π D．
3 3 3
9．如图，在△ABC中，∠B＝30°，点D是BC上一点，以CD为直径的半圆O经过△ABC的顶点A，C，
交AB，BC于点F，D，若AC＝AF，CD＝10，则^AC的长为（ ）
5 5 20 25
A． π B． π C． π D． π
3 6 9 18
10．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，以点C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接
AE、AF，若AD＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A．8﹣π B．8﹣2π C．4﹣2π D．4﹣π
11．已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则圆锥的全面积为 9 6 π cm2．
12．如图是一块扇面宣传展板示意图，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝90°形成的
扇面，若OA＝2，OB＝1，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．13．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且^AC=^BC，连接BC，以B为圆心，BC长为半径
画弧交AB于点D，若AB＝4，则C^D的长是 ．
14．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为
圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为2，则这个“莱洛三角形”的周长是
．
15．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，已知AC＝10，BC＝6，则线段AB扫过的图形面积为
．
16．如图，在⊙O中，已知弦AC，BD相交于点E，连结AD，AC＝BD．
（1）求证：∠A＝∠D．
（2）若AC⊥BD，⊙O的半径为4，求C^D的长．
17．图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形
材料，其中AB＝AC，AD⊥BC，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．已知这种加工材料的顶角∠BAC＝90°，圆锥底面圆的直径DE为5cm．
（1）求图2中圆锥的母线AE的长．
（2）求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π）
18．如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC＝BP，连结
AC．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若AB＝4，∠ABC＝30°，求阴影部分的面积．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB于点D，过O点作
OE∥AB交AC于点E，连接DE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，BC＝8，求图中阴影部分的面积．
20．【主题】利用圆形纸片制作立体图形
【素材】图1中半径为6cm的圆形纸片（⊙O）若干，剪刀，胶水；
【实践操作】活动一：如图2，将圆形纸片沿直线AB折叠，使点O落在圆上，记作点O′，连接OA，
OB，剪下扇形OAB（圆心角小于180°）；
活动二：将剪下的扇形OAB，粘贴成如图3所示的圆锥（接缝处忽略不计）；
活动三：将两个相同的圆锥粘贴成如图4所示的立体图形；
【实践探究】
（1）计算AB的长和扇形OAB的面积（π取3）；
（2）求圆锥的高；
（3）制作20个图4这样的立体图形，最少需要准备多少个半径为6cm的圆形纸片？
