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第 04 讲 解一元二次方程——因式分解法与换元法
课程标准 学习目标
①复习巩固因式分解的方法 1. 复习巩固熟练掌握因式分解的几种方法。
②利用因式分解法解一元二次方程 2. 学会利用因式分解解一元二次方程。
③整体法或换元法解一元二次方程 3. 学会并掌握整体法或换元法解一元二次方程。
知识点01 因式分解的方法
1. 因式分解的方法：
①提公因式法： ；
②公式法：平方差公式： ；
完全平方公式： ；
③十字相乘法：分解 ，若 且 ，则 。
题型考点：①对因式分解进行熟练应用。
【即学即练1】
1．把下列各式因式分解：
（1）2a2﹣4a；
（2）（a2+9）2﹣36a2；（3 ）x2+2x﹣15．
【解答】解：（1）2a2﹣4a
＝2a（a﹣2）；
（2）（a2+9）2﹣36a2；
＝（a2+9+6a）（a2+9﹣6a）
＝（a+3）2（a﹣3）2；
（3 ）x2+2x﹣15
＝（x+5）（x﹣3）．
知识点02 利用因式分解法解一元二次方程
1. 因式分解法解一元二次方程的基本步骤：
①将一元二次方程的右边全部移到左边，使其右边为 0 。
②对方程的左边进行 因式分解 ，使其成为两个整式的积的形式。
③别分令两个整式为 0 ，得到两个一元一次方程。
④解这两个一元一次方程，一元一次方程的解合起来就是一元二次方程的解。
题型考点：①根据求根公式确定 的值。②利用公式法解一元二次方程。
【即学即练1】
2．一元二次方程（x﹣5）2＝4（x﹣5）的解为（ ）
A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x ＝5x ＝9 D．x ＝5x ＝1
1 2 1 2
【解答】解：（x﹣5）2＝4（x﹣5），
（x﹣5）2﹣4（x﹣5）＝0，
（x﹣5）（x﹣5﹣4）＝0，
x﹣5＝0或x﹣5﹣4＝0，
所以x ＝5，x ＝9．
1 2
故选：C．
【即学即练2】
3．方程x2﹣3x﹣18＝0的根是（ ）
A．x ＝3，x ＝6 B．x ＝﹣3，x ＝6
1 2 1 2
C．x ＝3，x ＝﹣6 D．x ＝﹣3，x ＝﹣6
1 2 1 2
【解答】解：x2﹣3x﹣18＝0，
（x+3）（x﹣6）＝0
解得：x ＝﹣3，x ＝6．
1 2
故选：B．
【即学即练3】4．解方程（3x﹣4）2﹣（4x+1）2＝0．
【解答】解：（3x﹣4）2﹣（4x+1）2＝0
，
∴ ，x ＝﹣5．
2
知识点03 整体法或换元法解一元二次方程
1. 整体法或换元法：
在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，
起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。
例题讲解：【例】解方程 ．
解：设 ，则原方程可化为 ．
解得 ．
当y=1时，即x-1=1，解得x=2；
当y=4时，即x-1=4，解得x=5．
所以原方程的解为x =2，x =5．
1 2
题型考点：利用整体法或换元法解一元二次方程。
【即学即练1】
5．解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0．
【解答】解：设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，
解得y ＝1，y ＝4．
1 2
当y＝1时，即x2﹣1＝1，
解得x＝± ；
当y＝4时，即x2﹣1＝4，
解得x＝± ，
所以原方程的解为：x ＝± ，x ＝± ．
1 2
【即学即练2】
6．如果有理数a、b同时满足（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，那么a2+b2的值为（ ）
A．±5 B．5
C．﹣5 D．以上答案都不对
【解答】解：（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，
设a2+b2＝x，则方程化为：（x+3）（x﹣3）＝16，
x2﹣9＝16，x2＝25，
x＝±5，
当x＝5时，a2+b2＝5，
当x＝﹣5时，a2+b2＝﹣5，
∵不论a、b为何值，a2+b2≥0，
∴此时不行，
即a2+b2＝5，
故选：B．
题型01 利用因式分解法解一元二次方程
【典例1】
用因式分解法解下列方程．
（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0； （2）2（t﹣1）2+t＝1．
【解答】解：（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0，
∴[（2x﹣3）+（x﹣2）][（2x﹣3）﹣（x﹣2）]＝0，
∴（3x﹣5）（x﹣1）＝0，
∴3x﹣5＝0或x﹣1＝0，
∴x ＝ ，x ＝1；
1 2
（2）2（t﹣1）2+t＝1，
∴2（t﹣1）2+t﹣1＝0，
∴（t﹣1）（2t﹣1）＝0，
∴t ＝1，t ＝ ．
1 2
【典例2】
用因式分解法解一元二次方程：
（1）（4x+1）（5x﹣7）＝0； （2）（2x+3）2＝4（2x+3）．
【解答】解：（1）（4x+1）（5x﹣7）＝0，
∴4x+1＝0或5x﹣7＝0，
∴ ， ；
（2）（2x+3）2＝4（2x+3），
（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0，（2x+3）（2x+3﹣4）＝0，
∴2x+3＝0或2x﹣1＝0，
∴ ， ．
题型02 整体法或换元法解一元二次方程
【典例1】
请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值；
解：设x+y＝t，则原方程可变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10．即t2+t﹣2＝0
∴（t+2）（t﹣1）＝0得t ＝﹣2，t ＝1，
1 2
∴x+y＝﹣2或x+y＝1．
已知（x2+y2﹣2）（x2+y2﹣3）＝12，求x2+y2的值．
【解答】解：设x2+y2＝t，则原方程可变形为：
（t﹣2）（t﹣3）＝12，
即t2﹣5t﹣6＝0
∴（t+1）（t﹣6）＝0，
解得：t ＝﹣1，t ＝6；
1 2
又∵x2+y2≥0，
∴x2+y2＝6．
【典例2】
阅读材料：
为了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，设x2﹣1＝y，那么原方程
可化为y2﹣5y+4＝0①，解得y ＝1，y ＝4．
1 2
当y＝1，时，x2﹣1＝1，∴x2＝2．∴x＝ ；
当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5．∴x＝ ．
故原方程的解为 ， ＝ ， ＝ ， ＝ ．
解答问题：
（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现
了 的数学思想；
（2）请利用以上知识解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0；
（3）请利用以上知识解方程：x4﹣3x2﹣4＝0．
【解答】解：（1）换元；转化；
（2）设y＝x2+x，
原方程可变为y2﹣5y+4＝0，则（y﹣4）（y﹣1）＝0，
∴y﹣4＝0或y﹣1＝0，
∴y ＝4，y ＝1，
1 2
当y＝4时，x2+x＝4，
解得x＝ ，
当y＝1时，x2+x＝1，
解得x＝ ，
∴原方程的解为x ＝ ，x ＝ ，x ＝ ，x ＝ ；
1 2 3 4
（3）设y＝x2，
原方程可变为y2﹣3y﹣4＝0，
解得y ＝4，y ＝﹣1，
1 2
∵x2≥0，
∴x2＝4，
解得x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
题型03 解含有绝对值的方程
【典例1】
阅读下面的材料，并完成相应的任务．
材料：解含绝对值的方程：x2﹣5|x|﹣6＝0．
解：分两种情况：
（1）当x≥0时，原方程可化为：x2﹣5x﹣6＝0，解得x ＝6，x ＝﹣1（舍去）．
1 2
（2）当x＜0时，原方程可化为：x2+5x﹣6＝0，解得x ＝﹣6，x ＝1（舍去）．
1 2
综上所述：原方程的解是x ＝6，x ＝﹣6．
1 2
任务：请参照上述方法解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
【解答】解：分两种情况：
（1）当x≥0时，原方程可化为：x2﹣x﹣2＝0，解得x ＝2，x ＝﹣1（舍去）．
1 2
（2）当x＜0时，原方程可化为：x2+x﹣2＝0，解得x ＝﹣2，x ＝1（舍去）．
1 2
综上所述：原方程的解是x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
【典例2】
分类讨论在数学中既是一个重要的策略思想又是一个重要的数学方法．例如对于像 x2+|x|﹣6＝0这样含有
绝对值符号的方程，可采用如下的分类讨论方法：
解：当x≥0时，原方程可化为x2+x﹣6＝0．解得：x ＝﹣3，x ＝2．
1 2
∵x≥0，∴x＝2．
当x＜0时，原方程可化为x2﹣x﹣6＝0，
解得：x ＝3，x ＝﹣2．
1 2
∵x＜0，∴x＝﹣2．
综上可得：原方程的解为x ＝﹣2，x ＝2．
1 2
仿照上面的解法，解方程：x2+|2x﹣1|﹣4＝0．
【解答】解：当2x﹣1≥0，即x≥ 时，原方程可化为x2+2x﹣5＝0．
解得：x ＝﹣1+ ，x ＝﹣1﹣ ．
1 2
∵x≥0，
∴x＝﹣1+ ．
当2x﹣1＜0，即x＜ 时，原方程可化为x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x ＝3，x ＝﹣1．
1 2
∵x＜0，
∴x＝﹣1．
综上可得：原方程的解为x ＝﹣1+ ，x ＝﹣1．
1 2
题型04 用适当的方法解一元二次方程
【典例1】
解下列方程
（1）2x2﹣12＝0； （2）x2+4x﹣12＝0；
（3） ； （4）3（x﹣2）2﹣1＝5；
（5）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2； （6）x4﹣2x2+1＝0；
（7）（x﹣1）2﹣3（x﹣1）+2＝0； （8）x2﹣3|x﹣1|＝1．
【解答】解：（1）2x2﹣12＝0，
2x2＝12，
x2＝6，
x＝ ，
∴x ＝ ，x ＝﹣ ；
1 2
（2）x2+4x﹣12＝0；
（x+6）（x﹣2）＝0，
x+6＝0或x﹣2＝0，解得：x＝﹣6或x＝2，
∴x ＝﹣6，x ＝2；
1 2
（3） ，
x2﹣8（x﹣1）＝0，
x2﹣8x＝﹣8，
x2﹣8x+16＝8，
（x﹣4）2＝8，
x﹣4＝ ，
x ＝4+2 ，x ＝4﹣2 ；
1 2
（4）3（x﹣2）2﹣1＝5；
3（x﹣2）2＝6，
（x﹣2）2＝2；
x﹣2＝ ，
∴x ＝2+ ，x ＝2﹣ ；
1 2
（5）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2；
2x﹣1＝±（3﹣x）；
2x﹣1＝3﹣x或2x﹣1＝﹣3+x
解得：x ＝ ，x ＝﹣2；
1 2
（6）x4﹣2x2+1＝0；
（x2﹣1）2＝0，
x2﹣1＝0，
x+1＝0或x﹣1＝0，
解得：x＝1或x＝﹣1
∴x ＝1，x ＝﹣1；
1 2
（7）（x﹣1）2﹣3（x﹣1）+2＝0；
[（x﹣1）﹣1][（x﹣1）﹣2]＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝2或x＝3，
∴x ＝2，x ＝3；
1 2
（8）x2﹣3|x﹣1|＝1，
解：当x﹣1≥0，即x≥1时，方程化为x2﹣3x+2＝0，
即（x﹣2）（x﹣1）＝0，解得：x ＝1，x ＝2；
1 2
当x﹣1＜0，即x＜1时，方程化为x2+3x﹣4＝0，
即（x﹣1）（x+4）＝0，
解得：x ＝1（舍去），x ＝﹣4，
1 2
∴x ＝1，x ＝2，x ＝﹣4．
1 2 3
1．方程x2+10x+9＝0的两个根是（ ）
A．x ＝1，x ＝9 B．x ＝﹣1，x ＝9
1 2 1 2
C．x ＝1，x ＝﹣9 D．x ＝﹣1，x ＝﹣9
1 2 1 2
【解答】解：x2+10x+9＝0
∵（x+1）（x+9）＝0，
∴x+1＝0或x+9＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝﹣9，
1 2
故选：D．
2．用下列哪种方法解方程2（x﹣1）2＝8最合适（ ）
A．配方法 B．开平方法 C．因式分解法 D．公式法
【解答】解：2（x﹣1）2＝8，
（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
所以x ＝3，x ＝﹣1
1 2
故选：B．
3．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．18或9
【解答】解：x2﹣9x+18＝0，
（x﹣3）（x﹣6）＝0，
所以x ＝3，x ＝6，
1 2
所以等腰三角形的底为3，腰为6，这个等腰三角形的周长为3+6+6＝15．
故选：B．
4．方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（ ）
A．x ＝2，x ＝1 B．x ＝2，x ＝﹣2 C．x ＝2，x ＝0 D．x ＝2，x ＝﹣1
1 2 1 2 1 2 1 2
【解答】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0，
x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，
所以x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
故选：B．
5．已知某三角形的两边长恰是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得：x ＝2，x ＝4，
1 2
即三角形的两边为2和4，
设第三边为x，
则由三角形的三边关系定理得：4﹣2＜x＜4+2，
即2＜x＜6，
即只有选项D符合题意，选项A、选项B、选项C都不符合题意；
故选：D．
6．已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（ ）
A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣2
【解答】解：设 x2+y2＝z，则原方程换元为 z2﹣2z﹣8＝0，
∴（z﹣4）（z+2）＝0，
解得：z ＝4，z ＝﹣2，
1 2
即 x2+y2＝4或 x2+y2＝﹣2（不合题意，舍去），
∴x2+y2＝4．
故选：B．
7．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣15＝0，则代数式x2﹣x的值是 ．
【解答】解：已知方程分解因式得：（x2﹣x﹣5）（x2﹣x+3）＝0，
可得x2﹣x﹣5＝0或x2﹣x+3＝0（无解），
∴x2﹣x＝5．
故答案为：5．
8．已知方程x2﹣10x+21＝0的根为x ＝3，x ＝7，则方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0的根是 ．
1 2
【解答】解：∵方程x2﹣10x+21＝0的根为x ＝3，x ＝7，
1 2
∴在方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0中2x﹣1＝3或2x﹣1＝7，
解得x＝2或x＝4，
故答案为：x ＝2，x ＝4．
1 29．定义新运算“*”，规则：m*n＝ 如1*2＝2，（﹣ ）* ＝ ．若x2﹣x﹣6＝0的两根
分别为x ，x ，则x *x ＝ ．
1 2 1 2
【解答】解：x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，
x﹣3＝0或x+2＝0，
所以x ＝3，x ＝﹣2，
1 2
所以x *x ＝3*（﹣2）＝3．
1 2
故答案为：3．
10．菱形ABCD的一条对角线长为6cm，其边长是方程x2﹣2x﹣15＝0的一个根，则菱形ABCD的面积为
24 cm2．
【解答】解：x2﹣2x﹣15＝0，
则（x﹣5）（x+3）＝0，
∴x﹣5＝0或x+3＝0，
解得：x ＝5，x ＝﹣3（舍去），
1 2
∵一条对角线长为6cm，
∴这条对角线的一半为3cm，
则另一条对角线的一半为： ＝4（cm），
∴另一条对角线长为8cm，
∴菱形ABCD的面积为： ×6×8＝24（cm2），
故答案为：24．
11．解下列一元二次方程．
（1）x2﹣4x﹣12＝0； （2）x（4x﹣1）＝3（4x﹣1）．
【解答】解：（1）因式分解可得，（x﹣6）（x+2）＝0，
∴x+2＝0或x﹣6＝0，
解得：x ＝6，x ＝﹣2，
1 2
故方程的解为：x ＝6，x ＝﹣2；
1 2
（2）移项得，x（4x﹣1）﹣3（4x﹣1）＝0，
因式分解可得，（x﹣3）（4x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0，4x﹣1＝0，
解得：x ＝3， ．
112．阅读与思考：
解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，
解：设x2﹣1＝y，
则原方程可化为：y2﹣5y+4＝0①，
解得y ＝1，y ＝4
1 2
当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴x＝±
当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±
∴原方程的解为：x ＝ ，x ＝﹣ ，x ＝ ，x ＝﹣
1 2 3 4
解答问题：
（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 转
化 的数学思想；
（2）请利用以上知识解方程：①（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+4＝0；
②x4﹣3x2﹣4＝0．
【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的体现了转化的数学
思想．
故答案为：转化；
（2）①设y＝x2﹣x，原方程可变为y2﹣5y+4＝0，
则（y﹣4）（y﹣1）＝0，
∴y﹣4＝0或y﹣1＝0，
∴y ＝4，y ＝1，
1 2
当y＝4时，x2﹣x＝4，解得x＝ ；
当y＝1时，x2﹣x＝1，解得x＝
∴原方程的解为x ＝ ，x ＝ ，x ＝ ，x ＝ ．
1 2 3 4
②设y＝x2，原方程可变为y2﹣3y﹣4＝0，
解得y ＝4，y ＝﹣1，
1 2
∵x2≥0，
∴x2＝4，
解得x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
