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专题 22.5 二次函数与三角形存在性问题
【例题精讲】
【例1】如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点
，顶点为 ，连接 ， ， ，直线 与抛物线的对称轴 交于点 ．
（1）求抛物线的解析式和直线 的解析式；
（2）求四边形 的面积；
（3） 是第一象限内抛物线上的动点，连接 ， ，当 时，求点 的坐
标；
（4）在抛物线的对称轴 上是否存在点 ，使得 为等腰三角形？若存在，请直接
写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） 抛物线 过点 和 ，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ．令 ，得 ．
解得 ， ．
点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ．
把点 ， 分别代入 ，
得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ．
（2）如图1，设抛物线的对称轴 与 轴交于点 ．
抛物线的解析式为 ，
顶点 的坐标为 ．
（3） ．
．
如图2，过点 作 轴，交 轴于点 ，交 于点 ．
设点 ．
点 在直线 上，
．
．．
．
解得 ， ．
点 的坐标为 或 ．
（4）存在．
为等腰三角形，
或 或 ，
设 ，
， ，
， ， ，
当 时，
，
，
解得： ，
；
当 时，
，
，
解得： 或 （舍去），
；
当 时，
，解得： 或 ，
或 ，
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ．
【例2】如图，已知抛物线 与 轴交于点 、 ，与 轴交于点 ，点 是
抛物线上一动点，连接 ， ．（1）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（2）如图1，当点 在直线 上方时，过点 作 上 轴于点 ，交直线 于点 ．
若 ，求 的面积；
（3）抛物线上存在一点 ，使 是以 为直角边的直角三角形，求点 的坐标．
【解答】解：（1）令抛物线 ，则 ，
解得： ， ，
， ；
故答案为： ， ；
（2）在 中，
当 时， ，
．
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入，得：
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
若 ，则 ，
设 ，
轴于点 ，
，
，
，
解得 ， （舍 ，
，
此时 ， ，
，
．
的面积为3；
（3） 是以 为直角边的直角三角形，
有两种情况：
①点 为直角顶点，如图，过点 作直线 ，交 轴于点 ，交抛物线于点 ，连
接 ，， ，
，
．
，
，
，
又 ，
，
，
，
直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得 或 （舍 ；
；②点 为直角顶点，
如图，过点 作直线 ，交抛物线于点 ，交 轴于点 ，连接 ，
， ，
，
设直线 的解析式为 ，
将 代入，得 ，
，
直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得 或 （舍 ，
．
综上，点 的坐标为 或 ．
【题组训练】
1．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点．
（1）求抛物线顶点 的坐标（用含 的代数式表示）， ， 两点的坐标；
（2）证明 与 的面积相等；
（3）是否存在使 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理
由．【解答】解：（1） ，
抛物线顶点 的坐标为 ，
抛物线与 轴交于 、 两点，
当 时， ，
，
，
解得 ， ，
， 两点的坐标为 、 ，
（2）当 时， ，
点 的坐标为 ，
，
过点 作 轴于 ，则 ， ， ，
，
，
，
，
（3）存在使 为直角三角形的抛物线．
过点 作 于点 ，则 为直角三角形， ， ，
，
，
在 中， ，
在 中， ．
①如果 是直角三角形，且 时， ，即 ，解得 ，
，
．
存在抛物线 使得 是直角三角形；
②如果 是直角三角形，且 时， ．
即 ，解得 ，
，
．
存在抛物线 使得 是 △；
③ ， ，
以 为直角的直角三角形不存在，
综上，存在抛物线 和 使 是直角三角
形．
3．如图，抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于点 ，点 的坐标为
，点 坐标为 ，对称轴为 ．点 为线段 上的一个动点（不与两端点重
合），过点 作 轴，交抛物线于点 ，交 于点 ．
（1）求抛物线及直线 的表达式；（2）过点 作 ，垂足为点 ．求线段 的最大值；
（3）试探究点 在运动过程中，是否存在这样的点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角
形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） 抛物线对称轴为 ，点 与 关于直线 对称，
，
设 ，把 代入得： ，
解得： ，
，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
故抛物线解析式为 ，直线 的解析式为 ；
（2）设 ，则 ，
，
， ，，
轴，
轴，
，
，
，
，
当 时， 的最大值为 ；
（3）存在，设 ， ，
， ，
， ，
，
以 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形，
或 或 ，
当 时， ，
解得： （舍去）或 ，
；
当 时， ，解得： （舍去）或 ，
， ；
当 时， ，
解得： ，
， ；
综上所述，点 的坐标为 或 ， 或 ， ．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线 相交于 ， 两点，
其中 ， ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点 为直线 下方抛物线上任意一点，连接 ， ，求 面积的最大值及
此时点 的坐标；
（3）点 为抛物线对称轴上的一点，当以点 ， ， 为顶点的三角形为等腰三角形时，
直接写出点 的坐标．
【解答】解：（1）将点 、 的坐标代入抛物线表达得： ，解得 ，
故抛物线的表达式为 ；（2）由点 、 的坐标得，直线 的表达式为 ，
过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，
设点 ，则点 ，
则 面积 ，
，故 面积有最大值，
当 时， 面积的最大值为8，此时点 ；
（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线 ，设点 ， ，
由点 、 、 的坐标得： ， ， ，
当 时，即 ，解得 ；
当 时，同理可得： ；
当 时，同理可得： ，
故 点 的 坐 标 为 ， 或 ， 或 ， 或 ，或 ， ．
5．如图，已知二次函数 的图象与 轴的两个交点为 与点 ，与 轴
交于点 ．
（1）求此二次函数关系式和点 的坐标；
（2）请你直接写出 的面积；
（3）在 轴上是否存在点 ，使得 是等腰三角形？若存在，请你直接写出点 的坐
标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点 的坐标代入抛物线表达式得： ，解得 ，
故抛物线的表达式为 ，
令 ，则 ，故点 的坐标为 ；
令 ，解得 或 ，
故点 的坐标为 ， ；
（2）连接 ，则 的面积 ；
（3）设点 的坐标为 ，
由题意得： ， ， ，
当 时，则 ，解得 或 ，
当 时，同理可得 （舍去）或 ，
当 时，同理可得 ，
故点 的坐标为 或 或 或 ， ．
6．如图，已知二次函数 的图象交 轴于点 ， ，交 轴于点 ．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将直线 向下移动 个单位 ，若直线与抛物线有交点，求 的取值范围；
（3）直线 分别交直线 和抛物线于点 ， ，当 是等腰三角形时，直接写
出 的值．【解答】解：（1）将 ， 代入函数解析式，得 ，
解得 ，
这个二次函数的表达式是 ①；
（2）由抛物线的表达式知，点 ，
设直线 的表达式为 ，则 ，解得 ，
故直线 的表达式为 ，
直线 平移后的表达式为 ②，
联立①②并整理得： ，
则△ ，解得 ，
故 ；
（3）设： ， ，点 ，则 ， ，
当 时，① ，
解得 或3（舍去 ，
② ，
解得 或3（舍去 ，
当 时， ，
，
解得 或 （舍 ，
当 时， ，
则 ，
解得 或 （舍 ，
当 是等腰三角形时， 的值为 ， ，1，2．
7．如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴的负半轴交于点 ，
且 的面积为6．
（1）求 ， 两点的坐标；
（2）求该二次函数的表达式；（3）如果点 在坐标轴上，且 是等腰三角形，直接写出 点坐标．
【解答】解：（1）由解析式可知，点 的坐标为 ，
，
．所以 或 ，
二次函数与 轴的负半轴交于点 ，
点 的坐标为 ；
（2）把点 的坐标 代入 ，
得 ．
解得 ，
所求二次函数的解析式为 ；
（3）（Ⅰ）当点 在 轴上时，
①如图1，当 时，则点 和点 关于 轴对称，
则点 的坐标为 ；
②如图2，当 时，
当点 在 轴左侧时， ，则 ，故点 ，
当点 在 轴右侧时，则 ，过点 ，
点 的坐标为 或 ；
③如图3，当 时，
设点 的坐标为 ，
根据题意，得 ．
解得 ．
点 的坐标为 ， ；
故点 的坐标为 ， ， ， ， ．（Ⅱ）当点 在 轴上时，
同理可得，点 的坐标为 或 或 或 ；
综上所述，点 的坐标为 ， ， ， ， 或 或 或 或
．
8．如图，直线 和抛物线 都经过 和 两点，抛物线
与 轴交于 、 两点（点 在点 右侧）．
（1）求直线和抛物线的函数表达式；
（2）求四边形 的面积 ；
（3）在 轴上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形？若存在，求出
所有的点 ，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把 代入 中得，
，即 ，
把 代入 中得，
，
，
把 代入 中得，
，，即 ，
把 代入 中得， ，
，即 ，
直线表达式是 ，
抛物线解析式为： ；
（2）解方程 ，得
， ，
点 在点 右侧，
， ，
过 作 轴于 ，作 轴于 ，
，
， ， ， ，
， ， ， ， ，，即四边形 的面积为10；
（3）设 ， ， ，
， ，
，
①当 时，
，
，即 ， ；
②当 时，
，
或4，
或 ，
综上所述 以 为直角边时， ， 或 或 ．
9．如图，抛物线 与坐标轴交于点 、 、 ，点 为抛物
线上动点，设点 的横坐标为 ．
（1）若点 与点 关于抛物线的对称轴对称，求 点的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点 在第四象限，连接 、 及 ，当 为何值时， 的面积最大？最大
面积是多少？
（3）是否存在点 ，使 为以 为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1） 抛物线 经过点 、 ，
抛物线的对称轴为 ，
点 与点 关于抛物线的对称轴对称，点 ，
，
抛物线表达式为 ，
故 ，解得： ，
抛物线的表达式为 ；
（2）如图，过点 作 轴的平行线交 于点 ，
由点 ， 的坐标得直线 的表达式为 ，
设点 ，则点 ，的面积 ，
当 时， 有最大值 ；
（3） 直线 表达式中的 值为1，
，
①当 时，
，
直线 与 轴的夹角为 ，
设直线 的表达式为 ，将点 的坐标代入并解得 ，
直线 的表达式为 ，
联立得 ，
解得 或3（不合题意，舍去）
故点 的坐标为 ，
②当 时，同理可得，点 ，
综上，点 的坐标为 或 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形 ，点 在 轴上，点 在 轴上，其中
，已知抛物线 经过点 和点 ．
（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点 在直线 上，点 为 轴右侧抛物线上一点，连接 、 ，
，若 ，求 点坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下， 为射线 上一点，作 直线 于点 ，连接
， ， ，若 为直角三角形，请直接写出 点坐标．
【解答】解：（1） ，矩形 ，
，
抛物线 经过点 和点 ，
，
，
；
（2） ，
，
设 ，
，
，
，
，
，解得 或 ，
点在 轴由侧，
，
， ；
（3） ， ， ，
设直线 的解析式为 ，
，
，
，
直线与 轴的交点为 ，
如图1，当 点与 点重合， 点为 ，
此时 为等腰直角三角形，
；
如图2，过点 作 交 的延长线于点 ，
， ， ，
，
，
，设 ，
直线 的解析式为 ， ，
，
， ，
， ， ， ，
，
或 ，
或 ；
如图3，当 时，
， ，
，
，
直线 的解析式为 ，
；
综上所述： 点的坐标为 或 或 ．11．如图，抛物线与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ．
（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）连接 ，在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使 是直角三角形？若存在，
请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 ，
将点 代入 ，
，
，
，
，
顶点为 ；（2）存在一点 ，使 是直角三角形，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线 ，
设 ，
是直角三角形，
，
， ，
， ， ，
①当 为斜边时，
，
解得 ，
点坐标为 或 ；
②当 为斜边时，
，
解得 ，
点坐标为 ；
③当 为斜边时，
，
解得 ，
点坐标为 ；
综上所述： 点坐标为 或 或 或 ．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 ， ，
交 轴于点 ．
（1）求抛物线 的表达式和顶点 的坐标．
（2）将抛物线 关于 轴对称的抛物线记作 ，点 为抛物线 上一点若 是以
为直角边的直角三角形，求点 的坐标．
【解答】解：（1）将点 ， ， 代入 ，
，
解得 ，
，
，
顶点 ；
（2）设抛物线 上任意一点 ，则 关于 轴对称的点为 ，点 在抛物线 上，
抛物线记作 的解析式为 ，
设 ，
过点 作 轴交于点 ，过点 作 轴交于点 ，
，
，
，
，
，
，
， ， ， ，
，
或 ，
或 ， ．13．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
抛物线的顶点为 ，连接 ， 为线段 上的一个动点 不与 、 重合），过点
作 轴，交抛物线于点 ，交 轴于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当 时，求点 的坐标；
（3）连接 、 、 、 ，当 的面积等于 的面积时（点 与点 不重
合），求点 的坐标；
（4）在（3）的条件下，在 轴上，是否存在点 ，使 为等腰三角形，若存在，请
直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将 ， ， 代入 ，
，
，
；（2）设直线 的解析式为 ，
，
，
，
设 ，则 ， ，
， ，
，
，
或 （舍 ，
， ；
（3） ，
，
， ， ，
，
，
，
，
，，
或 （舍 ，
；
（4）存在，理由如下：
①当 时， 点与 点关于 对称，
；
②当 时， ，
，
或 ；
③当 时，作 的垂直平分线交 轴于点 ，交 于点 ，
，
，
，
，
，
；
综上所述： 点的坐标为 或 或 或 ．14．将抛物线 向下平移6个单位长度得到抛物线 ，再将抛物线 向左平移
2个单位长度得到抛物线 ．
（1）直接写出抛物线 ， 的解析式；
（2）如图（1），点 在抛物线 （对称轴 右侧）上，点 在对称轴 上， 是以
为斜边的等腰直角三角形，求点 的坐标；
（3）如图（2），直线 ， 为常数）与抛物线 交于 ， 两点， 为线段
的中点；直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为线段 的中点．求证：直
线 经过一个定点．
【解答】解：（1） 抛物线 向下平移6个单位长度得到抛物线 ，，
抛物线 向左平移2个单位长度得到抛物线 ，
，
即 ，
（2）当点 在 轴上方时，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，如图
所示：
设 点坐标为 ， ，
点坐标为 ，
的对称轴 ，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，解得， ，或 ，或 ，或 ，
点在第一象限，
或 ，
（舍去）或 ，
．
当点 在 轴下方时，同理可求点 ，
综上所述：点 坐标为 或 ．
（3）把 代入 中得， ，
，
，
将 代入 ，中得 ，
，
，
设 的解析式为 ，则
，
解得， ，
直线 的解析式为： ，
当 时， ，直线 经过定点 ，
即直线 经过一个定点．
15．已知抛物线 的对称轴是直线 ，与 轴相交于 ， 两点（点 在
点 右侧），与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式和 ， 两点的坐标；
（2）如图，若点 是抛物线上 、 两点之间的一个动点（不与 、 重合），过点
作 轴的平行线，交直线 于点 ；
①设点 的横坐标为 ，用含 的式子表示出 的长，并求出 的最大值及此时
点的坐标；
②过点 作 ，交抛物线于点 ，是否存在点 使 为等腰直角三角形？
若存在，求出点 的横坐标 的值；若不存在，说明理由；
（3）点 为 轴正半轴上一点，直接写出使 为等腰三角形的点 的坐标．
【解答】解：（1） 抛物线的对称轴是直线 ，
，解得 ，
抛物线的解析式为： ．
当 时， ，解得 ， ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
答：抛物线的解析式为： ；点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；（2）①当 时， ，
点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，将 ， 代入 得：
，解得 ，
直线 的解析式为 ．
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
，
当 时， 的最大值是4，
点 是抛物线上 、 两点之间的一个动点（不与 、 重合），
，
此时 点的坐标为 ．
答：用含 的式子表示出 的长为 ， 的最大值是4，此时 点的坐标为
；
② ，
，
当 时， 为等腰直角三角形，
点 在对称轴右侧时，如图：，交抛物线于点 ， 轴，抛物线的对称轴是直线 ，点 的横坐
标为 ，
， ，
当 时 为等腰直角三角形，
的长为 ，
，解得： 或 （舍去），
；
点 在对称轴左侧时，如图：
，交抛物线于点 ， 轴，抛物线的对称轴是直线 ，点 的横坐
标为 ，
， ，
当 时 为等腰直角三角形，的长为 ，
，解得： 或 （舍去），
；
存在，点 的横坐标 的值为 或 ；
（3） 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
， ， ，
①当点 为 轴正半轴上一点， 时，如图，
，
，
点 的坐标为 ；
②当点 为 轴正半轴上一点， 时，如图：，则点 的坐标为 ， ；
③当点 为 轴正半轴上一点， 时，如图：过点 作 于 ，
， ，
，
，
，即 ，
，
，
则点 的坐标为 ；
故点 的坐标为： 或 ， 或 ．
16．在平面直角坐标系中，抛物线 ， 是常数， 与 轴交于 、
两点，与 轴交于点 ，对称轴为直线 ．
（1）填空： （用含 的代数式表示）；
（2）当 时，抛物线上的点到 轴的最大距离为5，求 的值；
（3）若点 的坐标为 ，点 的坐标为 （其中 ，点 为抛物线上一动点，
是否存在以 为斜边的等腰直角三角形 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请
说明理由．【解答】解：（1） 抛物线 对称轴为直线 ，
对称轴为直线 ，
，
故答案为： ；
（2）当 时， ，此时点 到 轴的距离小于5，
当 时， ，
解得 ；
（3）存在，
是以 为斜边的等腰直角三角形，
设 ，
①如图，过点 作 轴的垂线 ，再分别过点 和点 作垂线 的垂线，分别交于点 和
点 ，
，
，
，
，， ，
，
， ，
，
解得 或 （舍去），
，
， ；
②如图，点 与点 关于直线 对称，
点的坐标为 ．
点 和点 重合，点 和点 重合，此时 ；
③如图，过点 作 轴的垂线 ，再分别过点 和点 作垂线 的垂线，分别交于点
和点 ，
同理：△ △ ，， ，
，
解得 ， （舍去），
，
， ，
综上所述，点 的坐标为 ， 或 或 ， ．
17．如图，抛物线 的图象过点 、 、 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 的周长最小，若存在，请求出点
的坐标及 的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求出所有符
合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） 抛物线图象经过点 、 ，
不妨设抛物线的解析式为 ，
将点 代入其解析式得 ，解得 ，
抛物线的解析式为 ，即 ；
（2）如图1，
抛物线的对称轴为直线 ，连接 ，与直线 交于点 ，则 ，
当点 、 、 三点共线时， 周长取得最小值，
设点 ，直线 表达式为 ，
将点 代入 ，得 ，
解得 ，
则直线 表达式为 ，
当 时， ，
，
故点 ，
， ， ，
，
周长最小值为： ；
（3）设 ， ， ，则 ， ， ，
如图2所示，当 时，即 ，
解得 ，此时点 ；
如图3所示，
当 时，即 ，
解得 ，此时点 ， ；
如图4所示，当 时，即 ，
解得： ， （舍去），此时点 ，
综上所述，点 的坐标为 ， ， ， ．
18．如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左边），与
轴交于点 ，连接 ．
（1）求 、 、 三点的坐标；
（2）若点 为线段 上的一点（不与 、 重合）， 轴，且 交抛物线于点
，交 轴于点 ，当线段 的长度最大时，求点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，当线段 的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点 ，使得
为直角三角形，直接写出点 的坐标．
【解答】解：（1）对于 ，令 ，则 ，
，
令 ，则 ，解得： ， ，
，
；（2）设 的表达式为 ，则 ，解得 ，
直线 的表达式为 ，
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
，
时， 最大，
此时点 坐标 ， ；
（3） ，
抛物线的对称轴为直线 ，
设 ，且 ， ， ，
， ，
，
为直角三角形，
分点 为直角顶点、点 为直角顶点和点 为直角顶点三种情况，
①当点 为直角顶点时，则有
即 ，解得： ，
此时点 坐标为 ，
②当点 为直角顶点时，则有 ，即 ，解得： ， ，
此时点 坐标为 或 ，
③当点 为直角顶点时，则有 ，
即 ，解得： ，
此时点 坐标为 ，
综上所述，点 坐标为 或 或 或 ．
19．如图，抛物线 与 轴相交于 、 两点，与 轴相交于点 ，且点
与点 的坐标分别为 ， ，点 是抛物线的顶点，点 为线段 上一个动点，
过点 作 轴于点 ，若 ．
（1）求二次函数解析式；
（2）设 的面积为 ，试判断 有最大值或最小值吗？若有，求出其最值，若没有，
请说明理由；
（3）在 上是否存在点 ，使 为直角三角形？若存在，请写出点 的坐标；若不
存在，请说明理由．【解答】解：（1）把 、 代入 ，
得 ，解得 ，
二次函数的解析式为 ．
（2） 有最大值．
如图1，设直线 的解析式为 ，
，
该抛物线的顶点坐标为 ，
把 、 代入 ，得 ，解得 ，
，
，
；
由 ，
得 ；
当点 与点 重合时，不存在以 、 、 为顶点的三角形，
，
不存在最小值；
，
当 时， ，
的最大值为 ．（3）存在．
若 ，如图2，则 轴，
，且在直线 上，
，
解得 ，
， ；
若 ，如图3，则 ，
，
整理得 ，
解得 ， （不符合题意，舍去）；
， ；
若 ，则 ，
，
整理得 ，解得 ，此时不存在以 ， ， 为顶点的三角形，
舍去．
综上所述，点 的坐标为 ， 或 ， ．20．如图，抛物线 过点 和点 ，与 轴交于点 在 轴上有一
动点 （其中 为实数， ，过动点 作直线 轴，交抛物线于点 ．
（1）求抛物线解析式及点 的坐标；
（2）当 时，在直线 上是否存在第一象限内的点 ，使得 是以 为底角
的等腰三角形，若存在，求点 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）连接 并延长交 轴于点 ，连接 ， 若 的面积等于 面积的
2倍，求 的值．
【解答】解：（1）将点 、 的坐标代入抛物线表达式，得 ，
解得 ，
故抛物线的表达式为 ，
当 时， ，故点 ；
（2）当 时，点 ，设点 的坐标为 ，
由点 、 、 的坐标得， ，同理可得： ，
．
①当 时，即 ，
解得 ；
②当 时，同理可得 （舍去负值）；
故点 的坐标为 或 ；
（3）存在，点 的坐标为 或 ．理由如下：
，则设点 ，
设直线 的表达式为 ，则 ，解得 ，
故直线 的表达式为 ，
当 时， ，故点 ，则 ；
，
，
解得 或 （舍去负值），
故 ．
21．如图，抛物线 经过 ， 两点，与 轴交于点 ， 为第
一象限抛物线上的动点，连接 ， ， ， ， 与 相交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求点 的坐标；
（3）是否存在点 ，使 为直角三角形，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，
说明理由．
【解答】解：（1） 抛物线 经过 ， 两点，．
解得 ．
抛物线的解析式是 ；
（2）设 ，对于抛物线 ．令 ，则 ，
．
，
．
，即 ．
．
．
．
解得 ， ．
点 的坐标是 或 ．
（3）存在，点 的坐标是 或 ， ．
理由：
若 时，即 ．由 ， 知， ，
．
．
设直线 解析式为： ．
把 代入，得 ．
解得 ．
故直线 的解析式为 ．
联立 ，
解得 （舍去）或 ．
；
若 时， 是直角三角形，
设 ，则 ．
则由 ，即 ．
整理，得 ．
．
解得 ， ．
当 时， ，即 ．
解得 ， ．
当 时， ，即 ，解得 ， （舍去）．
此时点 的坐标分别是 （舍去）， （舍去）， ， ．
若 时，该种情况不存在．
综上所述，符合条件的点 的坐标是 或 ， ．
