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第 08 课 一元二次方程章末复习
课程标准
(1)梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识.
(2)能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根
与系数的关系，并能利用它们解决有关问题.
(3)列一元二次方程解决实际问题.
(4)进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想(即降次)的理解与运用.
知识点01 一元二次方程相关概念
①含有1 个未知数
a 一元二次方程的概念 ②最高次为2 次
③整式方程
b 一元二次方程一般形式
c 一元二次方程如何验根 将x的值代入方程
①直接开方法
②配方法
d 一元二次方程的解法
③公式法
④因式分解法
①
e 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根x,x，求根公式
1 2
②①
f 根与系数的关系是：
②
当 时，
方程有两个不等的实数根;
当 时，
g 判别一个一元二次方程是否有实根
方程有两个相等的实数根;
当 时，
方程没有实数根.
h 列一元二次方程可以解决许多实际问题，解题的一般步 审、设、列、解、验、答
知识点02 一元二次方程的相关应用
【1】握手(送礼)问题
解题技巧：有2种类型
①握手问题，设有x个人，两人之间握一次手，则一共的握次数为 ；
①送礼问题，设有x个人，任意两人之间互相送一个礼物，则一共的送礼次数为 ；
【2】传染问题
解题技巧：有2种类型
(1)个体传播一轮后，依旧传染。设a为传播前基础人数，b为传播后的人数，n为传播的轮次，p为传播过
程中，平均一人传染的人数。
传播轮次 传播前人数 传染人数 传播后总人数
1 a ap a+ap=a(1+p)
2 a(1+p) a(1+p)p a(1+p)+a(1+p)p= a (1+p) 2
3 a(1+p) 2 a(1+p) 2p a(1+p) 2+a(1+p) 2x=a(1+p) 3
发现规律：传播人数：b=a(1+p) n，与增长率问题公式一致。
【3】平均增长率问题
解题技巧：设a为增长(下降)基础数量，b为增长(下降)后的数量，n为增长(下降)的次数，p为增长(下
降)率。
增长(下
增长(下降)前数量 增长(下降)量 增长(下降)后数量
降)次数1 a ap a±ap=a(1±p)
2 a(1±p) a(1±p)p a(1±p)±a(1±p)p= a (1±p) 2
3 a(1±p) 2 a(1±p) 2p a(1+p) 2±a(1±p) 2x= a(1±p) 3
发现规律：①增长时：b=a(1+p) n；
②减少时：b=a(1-p) n
注：①本章考察一元二次方程，通常增长(下降)次数n为2；
②通常设增长(下降)率为x；
③例求解得x=0.1，则表示增长(下降)10%。
【4】图形问题
类型 图形 面积表示
如图所示的矩形ABCD长为a,宽为b,空白部分宽均为
1、内挖类型
x,则阴影的面积可表示为 .
如图所示的阴影部分矩形的长为a,宽为b,空白部分宽
2、外扩类型 均 为 x, 则 矩 形 ABCD 的 面 积 可 表 示 为
.
如图所示矩形的长为a,宽为b,在矩形中挖四条等宽的
3、开路问题 小路，路宽均为x,则剩余部分(绿色阴影)面积可表示
为 .
①如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，
篱笆总长为a，设垂直于墙面的边CD长为x，则矩形
BC 边的长为 ，矩形 ABCD 的面积为
；
4、围栏问题
②如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，
中间还有一道篱笆EF，篱笆总长为a，设垂直于墙面
的边CD长为x，则矩形BC边的长为 ，矩
形ABCD的面积为 ；③如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，
并开一个宽度为b的门，篱笆总长为a，设垂直于墙
面的边CD长为x，则矩形BC边的长为
，矩形ABCD的面积为 ；答：销售单价应为80元．
