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第 05 讲 因式分解—公式法与十字相乘法
课程标准 学习目标
1. 掌握公式法，并且能够熟练的应用公式法进行因式
①公式法 分解。
②十字相乘法 2. 掌握十字相乘法分解因式，并且能够熟练运用十字
相乘法。
知识点01 平方差公式分解因式
1. 平方差公式分解因式的内容：
两个数的平方差等于这两个数的 和 乘以这两个数的 差 。
即：
2. 式子特点分析与因式分解结果：
①式子特点分析：式子是一个 二项式 ，符号 相反 且都可以写成 平方 的形式。
②因式分解结果：等于写成平方形式时的 底数 的和乘以 底数 的差。
考点题型：①判断式子能否用平方差公式分解。②利用平方差公式分解因式。
【即学即练1】
1．下列各式能用平方差公式进行分解因式的是（ ）
A．x2﹣25 B．x3﹣4 C．x2﹣2x+1 D．x2+1
【解答】解：A、原式＝（x+5）（x﹣5），符合题意；
B、原式不能分解，不符合题意，不符合题意；C、原式＝（x﹣1）2，不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意．
故选：A．
【即学即练2】
2．下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．﹣m2+n2 B．﹣m2﹣n2 C．4m2﹣1 D．（m+n）2﹣9
【解答】解：A、﹣m2+n2＝n2﹣m2＝（n+m）（n﹣m），故A不符合题意；
B、﹣m2﹣n2，不能用平方差公式分解，故B符合题意；
C、4m2﹣1＝（2m+1）（2m﹣1），故C不符合题意；
D、（m+n）2﹣9＝（m+n+3）（m+n﹣3），故D不符合题意；
故选：B．
【即学即练3】
3．把下列各式因式分解：
（1）x2﹣25y2．
（2）﹣4m2+25n2．
（3）（a+b）2﹣4a2．
（4）a4﹣1．
（5）9（m+n）2﹣（m﹣n）2．
（6）mx2﹣4my2．
【解答】解：（1）原式＝（x+5y）（x﹣5y）；
（2）原式＝（5n﹣2m）（5n+2m）；
（3）原式＝（a+b﹣2a）（a+b+2a）
＝（b﹣a）（3a+b）；
（4）原式＝（a2+1）（a2﹣1）
＝（a2+1）（a+1）（a﹣1）；
（5）原式＝（3m+3n﹣m+n）（3m+3n+m﹣n）
＝（2m+4n）（4m+2n）
＝4（m+2n）（2m+n）；
（6）原式＝m（x2﹣4y2）
＝m（x﹣2y）（x+2y）．
知识点02 完全平方公式分解因式
1. 完全平方公式分解因式的内容：
。2. 式子特点分析与因式分解结果：
①式子特点分析：式子是一个 三项式 ，其中两项符号 相同 且都能写成 平方 的形式，
第三项是平方两项 底数 乘积的 两倍 。
②因式分解结果：等于 底数和 的平方或 底数差 的平方。若第三项与平方两项符号 相同 ，
则等于底数和的平方，若第三项与平方两项符号 相反 ，则等于底数差的平方。若平方两项是符号，
则在括号前添加负号。
题型考点：①判断式子能否用平方差公式分解。②利用平方差公式分解因式。③求值
【即学即练1】
4．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．a2+ab+b2 B．9y2﹣4y C．4a2+1﹣4a D．q2+2q﹣1
【解答】解：4a2+1﹣4a＝（2a﹣1）2．
故选：C．
【即学即练2】
5．下列各式中：① x2﹣2xy+y2；② a2+ab+ b2；③﹣4ab﹣a2+4b2；④ 4x2+9y2﹣12xy；⑤ 3x2﹣
6xy+3y2，能用完全平方公式分解的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：在x2﹣2xy+y2； ；﹣4ab﹣a2+4b2；4x2+9y2﹣12xy；3x2﹣6xy+3y2中，能用
完全平方公式分解的有：x2﹣2xy+y2； ；4x2+9y2﹣12xy；3x2﹣6xy+3y2．
故选：D．
【即学即练3】
6．把下列各式分解因式．
（1）n2﹣6mn+9m2
（2）a2﹣14ab+49b2
（3）a2﹣4ab+4b2
（4）m2﹣10m+25．
【解答】解：（1）n2﹣6mn+9m2＝（n﹣3m）2；
（2）a2﹣14ab+49b2＝（a﹣7b）2；
（3）a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2；
（4）m2﹣10m+25＝（m﹣5）2．
【即学即练4】
7．分解因式：
①x2+6x+9＝ （ x + 3 ） 2 ；
②1﹣4x+4y2＝ （ 1 ﹣ 2 y ） 2 ；③﹣a2+2a﹣1＝ ﹣（ a ﹣ 1 ） 2 ．
【解答】解：①x2+6x+9＝（x+3）2；
②1﹣4x+4y2＝（1﹣2y）2；
③﹣a2+2a﹣1＝﹣（a2﹣2a+1）＝﹣（a﹣1）2．
故答案为：（x+3）2；（1﹣2y）2；﹣（a﹣1）2；．
【即学即练5】
8．已知x2﹣y2＝69，x+y＝3，则x﹣y＝ 2 3 ．
【解答】解：∵x2﹣y2＝69，x+y＝3，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3（x﹣y）＝69，
解得：x﹣y＝23．
【即学即练6】
9．若x2+mx+16＝（x+n）2，其中m、n为常数，则n的值是（ ）
A．n＝8 B．n＝±8 C．n＝4 D．n＝±4
【解答】解：∵x2+mx+16
＝x2+mx+（±4）2
＝（x±4）2，
又∵x2+mx+16＝（x+n）2，
∴（x+n）2＝（x±4）2．
∴n＝±4．
故选：D．
【即学即练7】
10．若x2+5x+m＝（x+n）2，则m，n的值分别为（ ）
A．m＝ ，n＝ B．m＝ ，n＝5
C．m＝25，n＝5 D．m＝5，n＝
【解答】解：∵x2+5x+m＝（x+n）2＝x2+2nx+n2，
∴2n＝5，m＝n2，
解得m＝ ，n＝ ，
故选：A．
知识点03 十字相乘法分解因式
1. 十字相乘法分解因式：
对于一个二次三项式 ，若存在 ， ，且 ，那么二次三项式 可以分解为：
举例说明：
。∴
对于初中所用的十字相乘法，二次项系数 都是等于1的，即 。若存在有 ，且
，则 可分解为：
举例说明：
∵ 且
∴
题型考点：①十字相乘法分解因式。②根据十字相乘法分解因式求值。
【即学即练1】
11．十字相乘法分解因式：
（1）x2+3x+2
（2）x2﹣3x+2
（3）x2+2x﹣3
（4）x2﹣2x﹣3
（5）x2+5x+6
（6）x2﹣5x﹣6
（7）x2+x﹣6
（8）x2﹣x﹣6
（9）x2﹣5x﹣36
（10）x2+3x﹣18
（11）2x2﹣3x+1
（12）6x2+5x﹣6．
【解答】解：（1）x2+3x+2＝（x+1）（x+2）；
（2）x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）；
（3）x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）；
（4）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）；
（5）x2+5x+6＝（x+3）（x+2）；
（6）x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）；
（7）x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2）；（8）x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）；
（9）x2﹣5x﹣36＝（x﹣9）（x+4）；
（10）x2+3x﹣18＝（x+6）（x﹣3）；
（11）2x2﹣3x+1＝（2x﹣1）（x﹣1）；
（12）6x2+5x﹣6＝（2x+3）（3x﹣2）．
【即学即练2】
12．把多项式x2﹣6x+m分解因式得（x+3）（x﹣n），则m+n的值是 ﹣ 1 8 ．
【解答】解：由题意得：
x2﹣6x+m＝（x+3）（x﹣n），
x2﹣6x+m＝x2+3x﹣nx﹣3n，
x2﹣6x+m＝x2+（3﹣n）x﹣3n，
∴3﹣n＝﹣6，m＝﹣3n，
∴n＝9，m＝﹣27，
∴m+n＝﹣18，
故答案为：﹣18．
【即学即练3】
13．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（ ）
A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3
【解答】解：∵x2+ax+b＝（x+1）（x﹣3），
∴a＝1﹣3＝﹣2，b＝﹣3×1＝﹣3，
故选：B．
题型01 公式法分解因式
【典例1】
因式分解：
（1）m2﹣16；
（2）（a2+1）2﹣4a2．【解答】解：（1）m2﹣16
＝m2﹣42
＝（m+4）（m﹣4）；
（2）（a2+1）2﹣4a2
＝（a2+1）2﹣（2a）2
＝（a2+2a+1）（a2﹣2a+1）
＝（a+1）2（a﹣1）2．
【典例2】
把下列各式因式分解：
（1）4a2﹣ ；
（2）（x+y+1）2﹣（x﹣y+1）2．
【解答】解：（1）原式＝（2a+ ）（2a﹣ ）；
（2）原式＝（x+y+1+x﹣y+1）（x+y+1﹣x+y﹣1）
＝2y（2x+2）
＝4y（x+1）．
【典例3】
把下列各式因式分解：
（1）（x2+4）2﹣16x2；
（2）﹣4ab﹣4a2﹣b2．
【解答】解：（1）（x2+4）2﹣16x2
＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）
＝（x+2）2（x﹣2）2；
（2）﹣4ab﹣4a2﹣b2
＝﹣（4ab+4a2+b2）
＝﹣（2a+b）2．
【典例4】
把下列各式因式分解：
（1）﹣x2﹣4y2+4xy；
（2）16a2﹣（2a+3b）2．
【解答】解：（1）原式＝﹣（x2+4y2﹣4xy）
＝﹣（x﹣2y）2；
（2）原式＝[4a+（2a+3b）][4a﹣（2a+3b）]
＝（6a+3b）（2a﹣3b）＝3（2a+b）（2a﹣3b）．
【典例5】
因式分解：
（1）﹣4x2+12xy﹣9y2；
（2）4﹣12（y﹣x）+9（x﹣y）2．
【解答】解：（1）﹣4x2+12xy﹣9y2
＝﹣（4x2﹣12xy+9y2）
＝﹣（2x+3y）2；
（2）4﹣12（y﹣x）+9（x﹣y）2
＝[2﹣3（y﹣x）]2
＝（2﹣3y+3x）2．
【典例6】
分解因式：
（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2；
（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9．
【解答】解：（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2
＝[（3x﹣2）+（2x+7）][（3x﹣2）﹣（2x+7）]
＝（5x+5）（x﹣9）
＝5（x+1）（x﹣9）；
（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9
＝[（x2+2）﹣3]2
＝[（x+1）（x﹣1）]2
＝（x+1）2（x﹣1）2．
题型02 公式法的应用——求值
【典例1】
若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值是（ ）
A．13 B．13或﹣11 C．﹣11 D．无法确定
【解答】解：∵4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，4x2﹣（k﹣1）x+9＝（2x）2﹣（k﹣1）
x+32，
∴k﹣1＝±2×2×3，
解得：k＝13或﹣11，
故选：B．
【典例2】已知x2﹣2ax+b＝（x﹣3）2，则b2﹣a2的值是（ ）
A．﹣72 B．﹣45 C．45 D．72
【解答】解：∵x2﹣2ax+b＝（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，
∴﹣2a＝﹣6，b＝9，
解得：a＝3，
故b2﹣a2＝92﹣32＝72．
故选：D．
【典例3】
已知9x2+mxy+16y2能运用完全平方公式因式分解，则m的值为（ ）
A．12 B．±12 C．24 D．±24
【解答】解：∵（3x±4y）2＝9x2±24xy+16y2，
∴在9x2+mxy+16y2中，m＝±24．
故选：D．
【典例4】
若x2+（m﹣3）x+4能用完全平方公式进行因式分解，则常数m的值为（ ）
A．1或5 B．7或﹣1 C．5 D．7
【解答】解：∵x2+（m﹣3）x+4能用完全平方公式进行因式分解，
∴m﹣3＝±4，
解得：m＝﹣1或7．
故选：B．
【典例5】
已知4x2+2（k+1）x+1可以用完全平方公式进行因式分解，则k＝ 1 或﹣ 3 ．
【解答】解：根据完全平方公式得：4x2+2（k+1）x+1＝（2x±1）2，
∴2（k+1）＝±4，即k＝1，k＝﹣3，
故答案为：1或﹣3．
题型03 十字相乘法分解因式
【典例1】
把多项式x2﹣3x+2分解因式，下列结果正确的是（ ）
A．（x﹣1）（x+2） B．（x﹣1）（x﹣2）
C．（x+1）（x+2） D．（x+1）（x﹣2）
【解答】解：x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）
故选：B．
【典例2】
分解因式：
（1）x2﹣12x+36＝ （ x ﹣ 6 ） 2 ；x2+2x﹣15＝ （ x + 5 ）（ x ﹣ 3 ） ；（2）（x﹣2）（x﹣3）﹣20．
【解答】解：（1）x2﹣12x+36＝（x﹣6）2；x2+2x﹣15＝（x+5）（x﹣3），
故答案为：（x﹣6）2，（x+5）（x﹣3）．
（2）（x﹣2）（x﹣3）﹣20＝x2﹣5x+6﹣20＝x2﹣5x﹣14＝（x﹣7）（x+2）．
【典例3】
阅读下列材料：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足 q＝mn且p＝m+n，则可以把
x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．
例如：①x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；
②x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
（1）x2﹣6x+8；
（2）x2﹣2x﹣15；
（3）（x﹣4）（x+7）+18．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）x2﹣2x﹣15＝（x+3）（x﹣5）；
（3）（x﹣4）（x+7）+18
＝x2+3x﹣28+18
＝x2+3x﹣10
＝（x﹣2）（x+5）．
【典例4】
阅读下面的材料．
材料一：当ab＝0时，a＝0，或b＝0．
材料二：把等式（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab的左右两边交换位置后，得到 x2+（a+b）x+ab＝
（x+a）（x+b），也就是说一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如 x2+3x+2＝（x+1）
（x+2）．
所以在解方程x2+3x+2＝0时，可以把方程变形为（x+1）（x+2）＝0，所以x+1＝0，或x+2＝0．所以x
1
＝﹣1，x ＝﹣2．
2
根据以上材料回答下列问题：
（1）因式分解：x2+7x﹣18＝ （ x + 9 ）（ x ﹣ 2 ） ；
（2）解方程：x2﹣5x+4＝0；
（3）若x2﹣xy﹣12y2＝0，则x与y的关系式是 x ＝﹣ 3 y 或 x ＝ 4 y ．
【解答】解：（1）x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）；
故答案为：（x+9）（x﹣2）；
（2）方程分解得：（x﹣1）（x﹣4）＝0，
可得x﹣1＝0或x﹣4＝0，解得：x ＝1，x ＝4；
1 2
（2）等式左边分解得：（x+3y）（x﹣4y）＝0，
可得x+3y＝0或x﹣4y＝0，
∴x＝﹣3y或x＝4y．
故答案为：x＝﹣3y或x＝4y．
题型04 十字相乘法的应用——求值
【典例1】
把多项式x2+5x+m因式分解得（x+n）（x﹣2），则常数m，n的值分别为（ ）
A．m＝﹣14，n＝7 B．m＝14，n＝﹣7
C．m＝14，n＝7 D．m＝﹣14，n＝﹣7
【解答】解：由题意得：
x2+5x+m＝（x+n）（x﹣2），
∴x2+5x+m＝x2+nx﹣2x﹣2n，
∴x2+5x+m＝x2+（n﹣2）x﹣2n，
∴n﹣2＝5，m＝﹣2n，
∴n＝7，m＝﹣14，
故选：A．
【典例2】
若x2+px+q＝（x+3）（x﹣5），则p、q的值分别为（ ）
A．﹣15，﹣2 B．﹣2，﹣15 C．15，﹣2 D．2，﹣15
【解答】解：∵（x+3）（x﹣5）＝x2﹣2x﹣15，且（x+3）（x﹣5）＝x2+px+q，
∴p＝﹣2，q＝﹣15，
故选：B．
【典例3】
若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【解答】解：∵（x﹣2）（x+b）＝x2+bx﹣2x﹣2b，
∴x2+bx﹣2x﹣2b＝x2﹣ax﹣1，
∴b﹣2＝﹣a，2b＝1，
∴b＝ ，a＝ ，
∴a+b＝ + ＝2，
故选：D．【典例4】
若将多项式x2﹣ax+b因式分解为（x﹣2）（x+5），则（﹣3a+b）2023的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1
【解答】解：∵（x﹣2）（x+5）＝x2+3x﹣10，x2﹣ax+b＝（x﹣2）（x+5），
∴a＝﹣3，b＝﹣10，
∴﹣3a+b＝9﹣10＝﹣1，
∴原式＝﹣1，
故选：B．
1．下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2 B．16m2﹣25n2 C．4x2+4x+1 D．a2+2ab﹣b2
【解答】解：A、﹣a2+b2＝b2﹣a2，能运用平方差公式分解，不符合题意；
B、16m2﹣25n2＝（4m）2﹣（5n）2，能运用平方差公式分解，不符合题意；
C．4x2+4x+1＝（2x+1）2能用完全平方公式分解，不符合题意；
D、a2+2ab﹣b2不符合完全平方公式结构，符合题意．
故选：D．
2．已知x2+kx+36可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（ ）
A．±6 B．±12 C．6 D．12
【解答】解：∵x2±12x+36＝（x±6）2，
∴k＝±12．
故选：B．
3．下面分解因式正确的是（ ）
A．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1
B．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b）C．4a2﹣12a+9＝（2a﹣3）2
D．2ab﹣a2﹣b2＝﹣（a+b）2
【解答】解：A、原式＝（2a﹣1）2，不符合题意；
B、原式＝（a+2b）（a﹣2b），不符合题意；
C、原式＝（2a﹣3）2，符合题意；
D、原式＝﹣（a2﹣2ab+b2）＝﹣（a﹣b）2，不符合题意．
故选：C．
4．若多项式x2+mx+n可因式分解为（x﹣2）（x+3），则mn的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．﹣5 D．1
【解答】解：∵x2+mx+n＝（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6，
∴m＝1，n＝﹣6，
则mn＝1×（﹣6）＝﹣6，
故选：B．
5．已知多项式4x2﹣（y﹣z）2的一个因式为2x﹣y+z，则另一个因式是（ ）
A．2x﹣y﹣z B．2x﹣y+z C．2x+y+z D．2x+y﹣z
【解答】解：原式＝（2x+y﹣z）（2x﹣y+z），
∴另一个因式是2x+y﹣z．
故选：D．
6．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数
法可表示为（ ）
A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027
C．1.111111×1056 D．1.1111111×1017
【解答】解：根据题意得：第⑧个式子为 5555555552﹣4444444452＝（555555555+444444445）×
（555555555﹣444444445）＝1.1111111×1017．
故选：D．
7．若（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|＝0，则a2﹣b2的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6
【解答】解：∵（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|＝0，
∴a﹣b＝2，a+b＝﹣3，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×（﹣3）＝﹣6；
故选：D．
8．若二次三项式ax2+bx+c＝（a x+c ）（a x+c ），则当a＞0，b＜0，c＞0时，c ，c 的符号为（ ）
1 1 2 2 1 2
A．c ＞0，c ＞0 B．c ＜0，c ＜0 C．c ＞0，c ＜0 D．c ，c 同号
1 2 1 2 1 2 1 2
【解答】解：∵ax2+bx+c＝（a x+c ）（a x+c ），
1 1 2 2
∴ax2+bx+c＝a a x2+a c x+a c x+c c ，
1 2 1 2 2 1 1 2ax2+bx+c＝a a x2+（a c +a c ）x+c c ，
1 2 1 2 2 1 1 2
∴a＝a a ，b＝a c +a c ，c＝c c ，
1 2 1 2 2 1 1 2
∵a＞0，b＜0，c＞0，
∴a a ＞0，a c +a c ＜0，c c ＞0，
1 2 1 2 2 1 1 2
∴a ，a 同号，c ，c 同号，
1 2 1 2
故选：D．
9. 分解因式：x6﹣28x3+27＝ （ x ﹣ 1 ）（ x 2 + x + 1 ）（ x ﹣ 3 ）（ x 2 + 3 x + 9 ） ．
【解答】解：原式＝（x3）2﹣28x3+27，
＝（x3﹣1）（x3﹣27），
＝（x﹣1）（x2+x+1）（x﹣3）（x2+3x+9）．
故答案为：（x﹣1）（x2+x+1）（x﹣3）（x2+3x+9）．
10．分解因式：（y+2x）2﹣（x+2y）2＝ 3 （ x + y ）（ x ﹣ y ） ．
【解答】解：原式＝（y+2x+x+2y）（y+2x﹣x﹣2y）＝3（x+y）（x﹣y），
故答案为：3（x+y）（x﹣y）
11．若多项式x2+mx+n分解因式后的结果为（x+2）（x+3），则m﹣n的值为 ﹣ 1 ．
【解答】解：（x+2）（x+3）＝x2+2x+3x+2×3＝x2+5x+6，
∴x2+mx+n＝x2+5x+6，
即m＝5，n＝6，
∴m﹣n＝5﹣6＝﹣1．
12．若|a﹣2|+b2﹣2b+1＝0，则a2﹣b＝ 3 ．
【解答】解：∵|a﹣2|+b2﹣2b+1＝0，
∴|a﹣2|+（b﹣1）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝2，b＝1，
∴a2﹣b＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
13．已知4m+n＝40，2m﹣3n＝5．求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．
【解答】解：（m+2n）2﹣（3m﹣n）2
＝（m+2n+3m﹣n）（m+2n﹣3m+n）
＝（4m+n）（3n﹣2m）
＝﹣（4m+n）（2m﹣3n），
当4m+n＝40，2m﹣3n＝5时，原式＝﹣40×5＝﹣200．
14．下面是某同学对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解的过程：
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝y（y+8）+16（第一步）＝y2+8y+16（（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）．
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了 c ．
A．提取公因式
B．逆用平方差公式
C．逆用完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果不彻底，应更正为 （ x ﹣ 2 ） 4 ．
（3）请你模仿上述方法，对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解．
【解答】解：（1）y2+8y+16＝（y+4）2（第三步），系逆用完全平方公式；
故答案为：C；
（2）（x2﹣4x+4）2＝{（x﹣2）2}2＝（x﹣2）4；
故答案为：（x﹣2）4；
（3）设x2﹣2x＝m，
（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4＝（m﹣1）（m+3）+4＝m2+2m+1＝（m+1）2＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣
1）4．
15．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：
①用配方法分解因式：a2+4a+3．
解：原式：＝a2+4a+4﹣1＝（a+2）2﹣1＝（a+2+1）（a+2﹣1）＝（a+3）（a+1）；
②M＝2a2﹣4a+6，利用配方法求M的最小值．
解：M＝2a2﹣4a+6＝2（a2﹣2a+1）+6﹣2＝2（a﹣1）2+4，
∵2（a﹣1）2≥0，∴2（a﹣1）2+4≥4，
∴当a＝1时，M有最小值4．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解x2﹣4x﹣12；
（2）若M＝4x2+4x﹣1，求M的最小值．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣12
＝（x2﹣4x+4）﹣4﹣12
＝（x﹣2）2﹣16
＝（x﹣6）（x+2）．
（2）M＝4x2+4x﹣1
＝（4x2+4x+1）﹣1﹣1
＝（2x+1）2﹣2，∵（2x+1）2≥0，
∴（2x+1）2﹣2≥﹣2，
∴当 时，M有最小值﹣2．
