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第 05 讲 多边形及其内角和
课程标准 学习目标
1. 掌握多边形及其相关概念，能够熟练的进行判断且能够运用相关公
①多边形及其相关概念
式进行计算。
②多边形的内角和
2. 掌握多边形的内角和计算公式并能够熟练的应用。
③多边形的外角和
3. 掌握多边形的外角和并能够熟练的运用其进行相关的计算。
④正多边形
4. 掌握正多边形及其相关的计算公式，并能够熟练的进行应用。
知识点01 多边形及其相关概念
1. 多边形的概念：
在平面内，由多条线段首位顺次连接所组成的图形是多边形。组成多边形的线段有多少条，则图形就
是一个几边形。
2. 多边形的相关概念：如图：组成多边形的线段叫做多边形的 ；相邻两条边的交点叫多边形的 ；相邻两
条边构成的角是多边形的 ；任意两个不相邻的顶点间的连线段叫做多边形的 ；
多边形的边与邻边的延长线构成的角叫做多边形的 。
3. 凹多边形与凸多边形：
以多边形的任意一边画直线，若多边形整个图形都在直线的同一侧，则这个多边形为凸多边形，反之
则为凹多边形。
【即学即练1】
1．如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【即学即练2】
2．如图，下列图形不是凸多边形的是（ ）
A． B． C． D．
知识点02 多边形的内角和
1. 多边形的对角线计算：
...
总结规律：若多边形的边数为n，则多边形一个顶点的对角线条数为 条，多边形所有的对
角线条数为 条。
2. 多边形一个顶点的对角线把多边形分成的三角形数量计算：
由上图总结：一个顶点的对角线分多边形成三角形的个数为： 个。
3. 多边形的内角和计算公式：
由上图可知，多边形的内角和等于图中所有三角形的内角和之和。即： 。
【即学即练1】
3．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；
图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出 个三角形．【即学即练2】
4．六边形的内角和是 °．
【即学即练3】
5．一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【即学即练4】
6．一个多边形的内角和为540°，则其对角线的条数是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．12
知识点03 多边形的外角和
1．多边形的外角和：
任意多边形的外角和都等于 。一个外角与它相邻的内角 。
【即学即练1】
7．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是 ．
知识点04 正多边形
1. 正多边形的概念：
每条边都 ，每个内角都 的多边形是正多边形。
2. 正多边形的每个内角计算：
(n−2)⋅180°
因为正多边形的内角和为 ，每个内角都相等且有n个内角，所以正多边形的每个内角度数
为： 。
3. 正多边形的每个外角计算：
正多边形的外角和是360°，每个外角也相等，所以正多边形的每个外角度数为 。
4. 正多边形的内角与外交关系：
(n−2)⋅180° 360°
+ =
n n
；
【即学即练1】
8．如果一个正多边形的内角和为1260°，则这个多边形的任一内角度数为 ．
【即学即练2】
9．已知正多边形的一个内角是140°，则这个正多边形是（ ）
A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形【即学即练3】
10．若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
题型01 多边形的对角线分多边形成三角形的数量
【典例1】如图所示，每一个多边形都可以按如图所示的方法分割成若干个三角形，按照这种方法，十二
边形可以分割成 个三角形，由此可以判断十二边形的内角和是 ．
【变式1】在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到几个三角形（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【变式2】从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形
的边数为（ ）
A．2001 B．2005 C．2004 D．2006
【变式3】（1）若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个
三角形．
（2）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分
割成 个三角形．
题型02 与多边形的内角和与外角和有关的计算
【典例1】五边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．900°
【变式1】若一正多边形的一个外角为40°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式2】一个多边形的每个内角都等于140°，则这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式3】一个多边形的内角和与外角和相等，则它是（ ）
A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不确定
【变式4】某个正多边形的一个内角是它的外角的2倍，则该正多边形是（ ）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形
【变式5】已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（ ）A．60° B．72° C．30° D．45°
【变式6】如图，五边形ABCDE是正五边形，AF∥DG，若∠2＝26°，则∠1的度数为（ ）
A．86° B．64° C．62° D．52°
题型03 多边形的截角问题
【典例1】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个四边形，则原多边形纸片的边数不
可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1】已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
【变式2】若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6
【变式3】若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
【变式4】如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长一定比原
五边形的周长 （填：大或小），理由为 ．
题型04 实际生活与正多边形
【典例1】2022年卡塔尔世界杯是第22届国际足联世界杯，该届赛事于2022年11月20日至12月18日
在卡塔尔境内8座球场举行，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世
界杯足球赛，本次比赛给全世界足球爱好者带来了一场足球盛宴．足球一般是有黑白两种颜色的皮块缝
制而成，如图所示，黑色皮块是五边形，白色皮块是六边形，若一个球上共有黑皮块 12块，则白色皮
块的块数为（ ）A．20块 B．24块 C．12块 D．18块
【变式1】如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图 2是它的示意图，它的一个
外角 的度数为（ ）
α
A．70° B．72° C．60° D．108°
【变式2】如图，大建从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转的角度为 ，再沿直线前进8米，
到达点C后，又向左旋转 角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了 72米，则每次旋
α
转的角度 为（ ）
α
α
A．30° B．40° C．45° D．60°
【变式3】参加创客兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点 O出发，沿直线前进
1米后左转18°，再沿直线前进1米，又向左转18°……照这样走下去，机器人第一次回到出发地O点时，
一共走的路程是（ ）
A．10米 B．18米 C．20米 D．36米
题型05 正多边形的组合图形的计算
【典例1】将一把直尺和正六边形ABCDEF按如图所示的位置放置，若∠1＝50°，那么∠2的大小为（
）A．50° B．60° C．70° D．68°
【变式1】如图，以正五边形ABCDE的边DE为边作正方形EDFG，延长AE交FG于点H，则∠EHF的
度数为（ ）
A．104° B．106° C．108° D．110°
【变式2】如图，正五边形ABCDE和正方形CDFG的边CD重合，连接EF，则∠AEF的度数为（ ）
A．27° B．28° C．29° D．30°
【变式3】将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1＝50°，∠2＝40°，那么∠3
的度数等于（ ）
A．10° B．12° C．15° D．20°
【变式 4】如图，在正六边形 ABCDEF 和正方形 ABGH 中，连接 FH 并延长交 CD 边于 P，则
∠CPH+∠GHP＝（ ）A．116° B．118° C．120° D．122°
1．下列多边形中，内角和最小的是（ ）A． B． C． D．
2．如果一个多边形的每一个外角都是45°，那么这个多边形的内角和是（ ）
A．540° B．720° C．1080° D．1260°
3．农安是祖国东北历史上的重镇，南宋名将岳飞曾对部下说：“直捣黄龙府，与诸君共饮耳．”即指此
地．2013年5月，农安辽塔被中华大民共和国国务院公布为第七批全国重点文物保护单位．其造型优美
端庄，八角十三层，塔高约44米，为密檐实心塔，如图①．如图②所示的正八边形是辽塔其中一层的
平面示意图，其每个内角的度数为（ ）
A．80° B．100° C．120° D．135°
4．直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则 + ＝（ ）
α β
A．115° B．120° C．135° D．144°
5．如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG，若DE∥CG，FG∥CD，根据所标数据，
则∠A的度数为（ ）
A．54° B．64° C．66° D．72°
6．如图，Rt△ABC的两条直角边AC，BC分别经过正五边形的两个顶点，则∠1+∠2等于（ ）A．126° B．130° C．136° D．140°
7．如图，已知∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
8．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内点A′的位置，∠A＝35°，则∠1+∠2的
度数是（ ）
A．80° B．70° C．45° D．35°
9．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，
则∠P＝（ ）
A．10° B．15° C．30° D．40°
10．剪掉多边形的一个角，则所成的新多边形的内角和（ ）
A．减少180°
B．增加180°
C．减少所剪掉的角的度数
D．增加180°或减少180°或不变
11．若一个正多边形内角和为1440°，则这个正多边形的每个外角为 °．
12．如果正多边形的中心角是60°，那么该正多边形的内角和为 ．13．如图，在正五边形ABCDE中，连接BD，∠BDC的度数为 .
14．将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则
∠BOC的度数是 ．
15．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
16．（1）一个多边形的每一个内角是144°，求它的边数；
（2）若一个多边形的内角和的 比一个四边形的外角和多90°，求它的边数．
17．已知n边形的内角和 ＝（n﹣2）×180°．
（1）甲同学说， 能取360°；而乙同学说， 也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若
θ
θ θ不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了540°，用列方程的方法确定x．
18．如图所示，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，CE平分∠BCD交AB于点E，连接DE．
（1）若∠A＝50°，∠B＝85°，求∠BEC的度数；
（2）若∠CDE＝∠DCE，试说明∠A＝∠1．
19．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）利用（1）中的结论，试求图2中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．20．如图1，凹四边形ABDC形似圆规，这样的四边形称为“规形”．
模型探究（1）如图1，在规形ABDC中，请探究∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系，并说明理由．
实践应用
（2）应用（1）中探究的结论解决下列问题：
①如图2，在规形ABDC中，∠ABD与∠ACD的角平分线BE、CE交于点E，若∠BDC＝145°，∠A＝
85°，则∠BEC的度数是 °；
②如图3，在规形ABDC中，若∠BAC、∠BDC的角平分线AE、DE交于点E，且∠B＞∠C，试探究
∠E、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由．
