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专题25 矩形的折叠
1．如图所示，在矩形 中， ， ，将矩形沿 折叠后，点 落在点 处，且
与 交于F．
(1)判断 的形状，并说明理由．
(2)求 的面积．
【答案】(1)等腰三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）由折叠的性质得到 ，再由 得 ，从而得到
，进而证得结论
（2）设 ，则 ，由勾股定理建立关于x的方程解出x，进而可求得
面积
（1）
解： 矩形 沿 折叠，
是等腰三角形．
（2）
解：由折叠的性质知， ，
，
由（1）知： ，设 ，
则 ，
在 中，由勾股定理得，
即 ，
解得： ，
【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是用勾股定
理建立等量关系求出AF．
2．如图，长方形纸片 ， ，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点
C'处，折痕为 ，
（1）求证： ．
（2）若 ，求 的度数．
（3）若 ， ，求 的面积．
【答案】（1）见解析；（2）54°；（3）
【分析】（1）根据翻折变换的性质，结合平行线的性质证明 ，即可利用等腰三角
形的判定得出结论；
（2）根据四边形 是长方形，可得 ，则可求出 及（1）中
所得结论 即可求解；
（3）根据折叠性质及勾股定理列出关于线段AE的方程，求解后则可得出 ，即可求
出 的面积．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ．由折叠性质得： ，
∴ ．
∴ ．
（2）∵四边形 是长方形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（3）由折叠性质可得： ．
设 ，则 ，
由勾股定理得：
，
解得： ．
即 ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，解题的关键是灵活运用等腰三角形的判
定与性质、勾股定理等几何知识点来解题．
3．如图，四边形ABCD是矩形纸片， ， ，在 上取一点 ，将纸片沿AE翻折，
使点D落在BC边上的点F处．
(1)AF的长=______；(2)BF的长=______；
(3)CF的长=______；
(4)求DE的长．
【答案】(1)10
(2)6
(3)4
(4)5
【分析】（1）根据折叠的性质即可得；
（2）先根据矩形的性质可得 ，再根据折叠的性质可得
，然后在 中，利用勾股定理即可得；
（3）根据 即可得；
（4）先根据折叠的性质可得 ，设 ，则 ，再在
中，利用勾股定理即可得．
(1)
解：由折叠的性质得： ，
故答案为：10．
(2)
解： 四边形 是矩形， ， ，
，
由折叠的性质得： ，
，
故答案为：6．
(3)
解： ，
，
故答案为：4．
(4)
解：由折叠的性质得： ，
四边形 是矩形，
，设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
即 的长为5．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关
键．
4．如图，现将一张矩形ABCD的纸片一角折叠，若能使点D落在AB边上F处，折痕为CE，恰好
∠AEF=60°，延长EF交CB的延长线于点G．
(1)求证：△CEG是等边三角形；
(2)若矩形的一边AD=3，求另一边AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据补角性质求出∠FED=180°-∠AEF=180°-60°=120°，根据折叠△EDC≌△EFC，得
出∠DEC=∠FDC= ，∠DCE=∠FCE，根据四边形ABCD为矩形，∠D=90°，
∠DCB=90°，再求∠GCE=∠DCB-∠DCE=90°-30°=60°即可；
（2）先根据30°直角三角形性质得出EF=2AE，利用折叠性质FE=ED，得出ED=2AE，根据
AD=AE+ED=3AE=3，求出AE=1，ED=2AE=2，利用30°直角三角形性质和勾股定理即可求解．
(1)
解：∵∠AEF=60°，
∴∠FED=180°-∠AEF=180°-60°=120°，
∵折叠， EDC≌△EFC，
△
∴∠DEC=∠FEC= ，∠DCE=∠FCE，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=90°，∠DCB=90°，
∴∠DCE=90°-∠DEC=90°-60°=30°，
∴∠FCE=∠DCE=30°，
∴∠GCE=∠DCB-∠DCE=90°-30°=60°，
∴∠GCE=∠GEC=60°，
∴△ECG为等边三角形；
(2)
解：∵∠AEF=60°，∠A=90°
∴∠AFE=90°-∠AEF=30°，
∴EF=2AE，
∵FE=ED，
∴ED=2AE，
∵AD=AE+ED=3AE=3，
∴AE=1，ED=2AE=2，
∵∠DCE=30°，∠D=90°，
∴CE=2ED=2×2=4，
∴CD= ，
∴矩形的另一边长为AB=CD= ．
【点睛】本题考查折叠性质，矩形性质，30°直角三角形性质，勾股定理，等边三角形判定，一元
一次方程掌握折叠性质，矩形性质，30°直角三角形性质，勾股定理，等边三角形判定是解题关键．
5．如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，矩形 的顶点 ， ，将矩形
的一个角沿直线 折叠，使得点 落在对角线 上的点 处，折痕与 轴交于点 ．
(1)线段 的长度为________；
(2)求线段 的长，以及直线 所对应的函数表达式；(3)若点 为该平面内一点，且使得 ，直接写出满足条件的直线 的解析式．
【答案】(1)15
(2) ，
(3) 或
【分析】（1）先根据点坐标、矩形的性质可得 ， ，再利用勾股
定理即可得；
（2）先根据折叠的性质可得 ，从而可得 ，设
，则 ，在 中，利用勾股定理可得 的长，从而可得点 的坐
标，然后利用待定系数法可得直线 的解析式；
（3）如图（见解析），分①直线 与 轴的交点在点 的右侧和②直线 与 轴的交点在点
的下方两种情况，第①种情况利用三角形的面积公式建立方程、利用平方根解方程求出与 轴的
交点 坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可；第②种情况，在第①种情况的基础上，利用
全等三角形的判定与性质求出点 的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可．
(1)
解： ，
，
四边形 是矩形，
，
，
故答案为：15．
(2)
解：由折叠的性质得： ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，，
，
，
，
设直线 所对应的函数表达式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则直线 所对应的函数表达式为 ．
(3)
解：由题意，分以下两种情况：
①如图，直线 与 轴的交点在点 的右侧，设交点为点 ，则 ，
过点 作 于点 ，
则 是等腰直角三角形，且 ，
，
，
在 中， ，即 ，
，
设点 的坐标为 ，则 ，
，，
，
整理得： ，
解得 或 （舍去），
，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则此时直线 的解析式为 ；
②如图，直线 与 轴的交点在点 的下方，设交点为点 ，则 ，
，
，
，
在 上截取点 ，使 ，过点 作 于点 ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
点 的坐标为 ，即为 ，
设直线 的解析式为 ，将点 代入得： ，解得 ，
则此时直线 的解析式为 ，
综上，满足条件的直线 的解析式为 或 ．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、求一次函数的解析式、三角形全等的判定与性
质等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．
6．将一个矩形纸片 放置在平面直角坐标系 内，边 、 分别在 轴、 轴上， 点
坐标是 且 、 满足 ，点 是线段 上的动点，将 沿 翻
折得到 ．
（1）求点 和 的坐标．
（2）如图①，当点 落在线段 上时，求点 的坐标．
（3）如图②，当点 为线段 中点时，求线段 的长度．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）先根据二次根式和平方根的非负性列式求出a、b的值，再通过矩形的特点确定A、
C的坐标即可；
（2）通过折叠和矩形的平行线推出AO=AP，再在Rt△ABP中利用勾股定理求出BP的长，再确定
点P的坐标即可；（3）连接CC'交PO于点D，再利用折叠性质易知D为CC'中点，再利用三角形中位线性质即可求
出BC'的长即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）∵ ，点 ，
∴ ， ，
由翻折可知： ，∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图②，连接 交 于 ，
在 中，∵ ， ，
∴ ，
∵ 垂直平分线段 ，∴ ，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了折叠的基本性质、勾股定理、三角形中位线的性质
等知识点，正确作出辅助线、灵活运用相关性质是解答本题的关键．
7．如图，四边形 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 在 轴上，点 在 轴上，
将边 沿直线 折叠，使点 落在 边上的点 处．
的大小 （度）；
若 ，用含 的代数式表示 ．则
在 的条件下，已知折痕 的长为 ，求点 的坐标．
【答案】（1）90°；（2）5k，5k；（3）点 的坐标为
【分析】（1）利用折叠的性质：对应角相等即可得出答案；
（2）在 中，利用勾股定理得出 的长度，进而得出 的长度；
（3）设 ，在 中得出 ，在 中得出 ，进而求出点 的坐标即
可．
【详解】解：（1）∵边 沿直线 折叠，使点 落在 边上的点 处，
∵由折叠的性质可知： ，
∵ ，
故答案为： ；（2）由题意可知： ，
∴在 中，由勾股定理得： ，即： ，
解得： ，
由折叠的性质可知： ，
∴ ，
故答案为： ；
设
四边形 是矩形，
，
， ，
由折叠后点 与点 重合，由折叠的性质可知： ，
在 中，由勾股定理得：
即： ，解得： ，
在 中，由勾股定理得： ，即： ，
解得 ，
，
点 的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，点的坐标的表示，涉及的基础知
识较多，解决本题的关键是折叠前后的两个图形全等的灵活应用以及合理的使用勾股定理．
8．如图，将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3），动
点F从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OC向终点C运动，运动 秒时，动点E从点A出发
以相同的速度沿AO向终点O运动，当点E、F其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点E的运动时间为t：（秒）
（1）OE= ，OF= （用含t的代数式表示）
（2）当t=1时，将 OEF沿EF翻折，点O恰好落在CB边上的点D处
①求点D的坐标及直△线DE的解析式；
②点M是射线DB上的任意一点，过点M作直线DE的平行线，与x轴交于N点，设直线MN的解
析式为y=kx+b，当点M与点B不重合时，S为 MBN的面积，当点M与点B重合时，S=0．求S与
b之间的函数关系式，并求出自变量b的取值范△围．
【答案】（1）6-t， +t；（2）①直线DE的解析式为：y=- ；②
【分析】(1)由O(0，0)，A(6，0)，C(0，3)，可得：OA=6，OC=3，根据矩形的对边平行且相等，可
得：AB=OC=3，BC=OA=6，进而可得点B的坐标为：(6，3)，然后根据E点与F点的运动速度与运
动时间即可用含t的代数式表示OE，OF；
(2)①由翻折的性质可知：△OPF≌△DPF，进而可得：DF=OF，然后由t=1时，DF=OF= ，CF=OC-
OF= ，然后利用勾股定理可求CD的值，进而可求点D和E的坐标；利用待定系数可得直线DE的
解析式；
②先确定出k的值，再分情况计算S的表达式，并确认b的取值．
【详解】(1)∵O(0，0)，A(6，0)，C(0，3)，
∴OA=6，OC=3，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC=3，BC=OA=6，
∴B(6，3)，
∵动点F从O点以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动 秒时，动点E从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动，
∴当点E的运动时间为t(秒)时，
AE=t，OF= +t，
则OE=OA-AE=6-t，
故答案为6-t， +t；
(2)①当t=1时，OF=1+ = ，OE=6-1=5，则CF=OC-OF=3- = ，
由折叠可知：△OEF≌△DEF，
∴OF=DF= ，
由勾股定理，得：CD=1，
∴D(1，3)；
∵E(5，0)，
∴设直线DE的解析式为：y=mx+n(k≠0)，
把D(1，3)和E(5，0)代入得： ，解得： ，
∴直线DE的解析式为：y=- ；
②∵MN∥DE，
∴MN的解析式为：y=- ，
当y=3时，- =3，x= (b-3)= b-4，
∴CM= b-4，
分三种情况：i)当M在边CB上时，如图2，
∴BM=6-CM=6-( b-4)=10- b，
DM=CM-1= b-5，
∵0≤DM＜5，即0≤ b-5＜5，
∴ ≤b＜ ，
∴S= BM•AB= ×3(10− b)=15-2b=-2b+15( ≤b＜ )；
ii)当M与点B重合时，b= ，S=0；
iii)当M在DB的延长线上时，如图3，
∴BM=CM-6= b-10，
DM=CM-1= b-5，
∵DM＞5，即 b-5＞5，∴b＞ ，
∴S= BM•AB= ×3( b−10)=2b-15(b＞ )；
综上， ．
【点睛】本题是四边形和一次函数的综合题，考查了动点的问题、矩形的性质、全等三角形的判
定与性质等知识，解(1)的关键是：明确动点的时间和速度；解(2)的关键是：由翻折的性质可知：
△OEF≌△DEF，并采用了分类讨论的思想，注意确认b的取值范围．
9．长方形ABCD中，AD=10，AB=8，将长方形ABCD折叠，折痕为EF.
（1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；
（2）当直线EF过点D时（如图2），点A的对应点A′落在线段BC上，求线段EF的长；
（3）如图3，点A的对应点A′落在线段BC上，E点在线段AB上，同时F点也在线段AD上，则A′
在BC上的运动距离是 ；
【答案】（1）EF=10（2）5 （3）4≤BA′≤8
【分析】（1）根据题意结合图形直接写出答案即可解决问题；
（2）根据勾股定理首先求出A′C的长度；再次利用勾股定理求出AE的长度，即可解决问题；
（3）当E与B重合时，可得BA′使得最大值为8，当F与D重合时，可得BA′的最小值为4.
【详解】（1）如图1，当A′与B重合时，EF=10；
（2）如图2，设AE=x，则BE=8-x；
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=10，DC=AB=8；∠B=∠C=90°，
由题意得：A′D=AD=10，
由勾股定理得：A′C2=A′D2-DC2=100-64=36，
∴A′C=6，BA′=10-6=4，
在直角△A′BE中，由勾股定理得：x2=（8-x）2+42，解得：x=5，
由勾股定理得：EF2=102+52=125，
∴EF＝5 ；
（3）当E与B重合时，可得BA′使得最大值为8，
当F与D重合时，可得BA′的最小值为4，
∴4≤BA′≤8，
【点睛】该命题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质准确找出
命题图形中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
10．将一张矩形的纸片放到平面直角坐标系中，使矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴、y轴
上．如图，将△OAB沿对角线OB翻折到△ONB，ON与CB交于点M．
(1)重叠部分△OBM是什么形状的三角形，请说明你的理由；
(2)已知OC＝3， ，请直接写出点M坐标（______，______）．
【答案】(1)等腰三角形，见解析；
(2)1，3
【分析】（1）△OBM是等腰三角形，根据矩形的性质得到OA∥BC，证得∠AOB=∠OBC，由折叠
得∠AOB=∠BON，即可证得OM=BM，由此得到 OBM是等腰三角形；
（2）由矩形得到∠OCB=90°，OA=BC，勾股定理△求出CM即可．
（1）解：△OBM是等腰三角形，理由如下，∵四边形OABC是矩形，∴OA∥BC，
∴∠AOB=∠OBC，由折叠得∠AOB=∠BON，∴∠OBC=∠BON，∴OM=BM，∴△OBM是等腰三角
形；
（2）∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB=90°，OA=BC，∵OC＝3，OM= ，∴CM=
，∴点M的坐标为（1，3），故答案为：1，3．
【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定定理，勾股定理，正确理解折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，矩形 的顶点 ， ，将矩形
的一个角沿直线 折叠，使得点 落在对角线 上的点 处，折痕与 轴交于点 ．
(1)线段 的长度______；
(2)求直线 所对应的函数表达式；
(3)若点 在线段 上，在线段 上是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点 的坐标是
【分析】（1）利用勾股定理即可求出结果；
（2）设 ，则 ，利用折叠的性质结合勾股定理求出 值，进而求出点 坐标，利
用待定系数法求出直线 所对应的函数表达式；
（3）过点 作 交 于 ，过点 作 交 于点 ，过点 作 于点 ，
则四边形 是平行四边形，利用等积法求出 ，利用勾股定理，求出 的长，进而求出点
的坐标，再求出直线 函数表达式即可解决问题．
（1）∵ ， ，∴ ， ，∵四边形 是矩形，∴ ，
，∴ ．在 中，∴ ．故答案为：
（2）设 ，则 ∵ 沿直线 折叠得到 ，点 落在对角线 上的点 处，∴ ， ，∴ ，在 中∵ ，∴
，∴ ，∴ ，设直线 所对应的函数表达式为 ∵
， ∴ ∴ ∴直线 所对应的函数表达式为 ．
（3）过点 作 交 于 ，过点 作 交 于点 ，过点 作 于点 ，
∵ ， ，∴四边形 是平行四边形， ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴
，∴ ．∵ ，直线 的函数表达式是 ，∴设
直线 函数表达式是 ．∵ 在直线 上，∴ ，∴ ，∴直
线 函数表达式是 ，令 ，则 ，∴ ，∴ ．故答案为：在线段
上存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，点 的坐标是 ．
【点睛】本题考查了一次函数的综合，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，
熟练掌握待定系数法，学会构建一次函数模型解决问题是解本题的关键．
12．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将 ABE沿BE折叠后得到 GBE，且G点在矩形
ABCD内部，延长BG交DC于点F．(1)求证：GF＝DF；
(2)若DC＝9，DE＝2CF，求AD的长；
(3)若DC＝n•DF，那么n• 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AD= ；
(3)4
【分析】（1）利用HL证明△EGF≌△EDF，即可得到结论；
（2）设CF=x，则DF=9-x，DE=2CF=2x，BC=AD=2DE=4x，求得BF =18-x，根据勾股定理得
BC2+CF2=BF2，列得（4x）2+x2=（18-x）2，求出x即可得到AD的长；
（3）由DC＝n•DF得到DF、BF的长，根据勾股定理得BC2+CF2=BF2，列得BC2+( )2=(
)2，求出 ，即可得到答案．
（1）
证明：连接EF，
由折叠得AE=EG，∠EGB=∠A=90°，
∵E是AD的中点，
∴DE=AE=EG，
∵∠D=90°，∴∠D=∠EGF=90°，
∵EF=EF，
∴△EGF≌△EDF，
∴GF=DF；
（2）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=BG=9，AD=BC，
设CF=x，则DF=9-x，DE=2CF=2x，BC=AD=2DE=4x，
∵GF=DF，
∴GF=9-x，
∴BF=BG+GF=9+9-x=18-x，
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，
∴（4x）2+x2=（18-x）2，
解得x= 或x= （舍去），
∴AD=4x= ；
（3）
n• 是定值．
∵DC＝n•DF，
∴ ，
∴FC=DC-DF=DC- = ，
∵DF=GF，AB=BG=CD，
∴BF=BG+GF= ，在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，
∴BC2+( )2=( )2，
∴ ，
∴ ，
∴n• =4．
【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确掌握全等三角形的
判定及性质结合勾股定理进行论证是解题的关键．
13．如图，四边形OABC为矩形，A点在x轴上，C点在y轴上，矩形一角经过翻折后，顶点B落
在OA边的点G处，折痕为EF，F点的坐标是(4，1)，∠FGA=30°
(1)求B点坐标.
(2)求直线EF解析式.
(3)若点M在y轴上，直线EF上是否存在点N，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)4，3）
(2)
(3)点N的坐标为 或 或
【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质先求出 ，再由
折叠的性质求出AB=3，再由矩形的性质得到CB=OA=4，则B点坐标为（4，3）；
（2）先求出点E的坐标，然后用待定系数法求解即可；（3）当FN是以M、N、F、G为顶点的四边形的对角线时，当FN是以M、N、F、G为顶点的四
边形的边时，两种情形讨论求解即可．
(1)
解：∵F点的坐标是（4，1），
∴FA=1，OA=4，
∴ ，
由折叠的性质知BF=FG=2，
∴AB=3，
∵四边形OABC为矩形，
∴CB=OA=4，
∴B点坐标为（4，3）；
(2)
解：∵∠FAG=90°，∠AGF=30°，
∴∠AFG=60°，
∴由折叠的性质可得 ，
∴∠BEF=30°，
∴ ，
∴ ，
∴点E的坐标为 ，
设直线EF的解析式为y=kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线EF的解析式为 ；
(3)解：设点N的坐标为 ，
由（1）得，点G的坐标为
如图1所示，当FN是以M、N、F、G为顶点的四边形的对角线时，
∵平行四边形对角线的中点相同，即NF与MG的中点坐标相同，
∴ ，
∴ ，
∴点N的坐标为 ；
如图2所示，当FN是以M、N、F、G为顶点的四边形的边时，
同理可得 ，
∴ ，
∴点N的坐标为同理如图3所示，当FN是以M、N、F、G为顶点的四边形的边时，同理可得 ，
∴ ，
∴点N的坐标为 ，
综上所述，点N的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查矩形的性质、一次函数的应用、翻折变换，平行四边形的性质等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
14．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折
痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形PBFE为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，
填“无”．最大值为 ；最小值为 ．
【答案】（1）见解析；（2）① ；②36，
【分析】（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论；
（2）①根据矩形的性质和勾股定理求得AE的长，再在Rt APE中求得PE，即菱形的边长；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时△AE＝2；当点P与点A重合时，点E离
点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝6，即可得出答案．
【详解】解：（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，
又∵EF∥AB，
∴∠BPF＝∠EFP，
∴∠EPF＝∠EFP，
∵EP＝EF，
∴BP＝BF＝EF＝EP，
∴四边形BFEP为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，∠A＝∠D＝90°，
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE＝BC＝10，
在Rt△CDE中，DE＝ ＝8，
∴AE＝AD﹣DE＝2；
在Rt△APE中，AE＝2，AP＝6-PB＝6﹣PE，
∴ ，解得： ，
∴菱形BFEP的边长为 ；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝2， ，
，当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝6，
，
∴菱形的面积范围： ．
菱形PBFE面积的最大值是36，最小值是 ．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、
等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，求出PE是本题的关键．
15．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到 的位置， 与CD交于点E．
（1）求证： ；
（2）若 ，点P为线段AC上任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥CD于H．求PG + PH
的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）由折叠的性质知， ， ， ，则由
得到 ；
（2）由 ，可得 ，又由 ，即可求得 的长，然后在 中，利用勾股定理即可求得 的长，再过点 作 于 ，由角平分线的性质，可得 ，
易证得四边形 是矩形，继而可求得答案．
【详解】（1） 四边形 为矩形，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到B′的
位置，
， ，
又 ，
；
（2） ，
，
，
，
在 中， ，
过点 作 于 ，
， ，
，
， ，
，
、 、 共线，
，
四边形 是矩形，
，
．
【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的判定和性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性
质以及勾股定理等知识，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作法和数形结合
思想的应用．
16．如图①，在矩形OACB中，点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6．
（1）请直接写出点C的坐标；
（2）如图②，点F在BC上，连接AF，把 ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点 重合，
求线段CF的长度；
（3）如图③，动点P(x，y)在第一象限，且y＝2x﹣6，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P
的等腰直角 BDP，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）C(8，6)；（2）CF＝3；（3）存在，P(4，2)或( ， )
【分析】（1）由矩形的性质可得BC＝OA＝8，AC＝OB＝6，AC∥OB，BC∥OA，即可求解；
（2）由折叠的性质的可得AC＝AC'＝6，CF＝C'F，∠C＝∠AC'F＝60°，由勾股定理可求CF的长；
（3）分两种情况讨论，利用全等三角形的性质可求PF＝BE，EP＝DF，即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形OACB是矩形，
∴BC＝OA＝8，AC＝OB＝6，AC∥OB，BC∥OA，
∴点C的坐标（8，6）；
（2）∵BC＝8，AC＝6，
∴AB＝ ＝ ＝10，
∵把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C'重合，
∴AC＝AC'＝6，CF＝C'F，∠C＝∠AC'F＝60°，
∴BC'＝AB﹣AC'＝4，
∵BF2＝C'F2+C'B2，
∴（8﹣CF）2＝CF2+16，
∴CF＝3；
（3）设点P（a，2a﹣6），
当点P在BC下方时，如图③，过点P作EF∥BC，交y轴于E，交AC于F，∵△BPD是等腰直角三角形，
∴BP＝PD，∠BPD＝90°，
∴EF∥BC，
∴∠BEP＝∠BOA＝90°，∠PFD＝∠CAO＝90°，
∴∠BPE+∠DPF＝∠DPF+∠PDF，
∴∠BPE＝∠PDF，
∴△BPE≌△PDF（AAS），
∴PF＝BE＝6﹣（2a﹣6）＝12﹣2a，EP＝DF，
∵EF＝EP+PF＝a+12﹣2a＝8，
∴a＝4，
∴点P（4，2）；
当点P在BC的上方时，如图④，过点P作EF∥BC，交y轴于E，交AC的延长线于F，
同理可证△BPE≌△PDF，
∴BE＝PF＝2a﹣6﹣6＝2a﹣12，
∵EF＝EP+PF＝a+2a﹣12＝8，∴a＝ ，
∴点P（ ， ），
综上所述：点P坐标为(4，2)或( ， )．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾
股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
