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第一章 三角形的证明
单元测试
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．斜边和一直角边对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一锐角和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等
【答案】B
【分析】根据三角形全等的判定定理即可进行解答．
【详解】解：A、斜边和一直角边对应相等可根据 判定两个直角三角形全等，故A不符合题意；
B、两个锐角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故B符合题意；
C、一锐角和斜边对应相等，可根据 判定两个直角三角形全等，故C不符合题意；
D、两条直角边对应相等，可根据 判定两个直角三角形全等，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．三角形
全等的判定方法有： ．
2．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）三角形内到三个顶点的距离相等的点是（
）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】利用线段垂直平分线的性质定理的逆定理，即可解答．
【详解】解：三角形内到三个顶点的距离相等的点是三条垂直平分线的交点，
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理以及逆定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定
理是解题的关键．
3．（2022秋·全国·九年级专题练习）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置
上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳
子应放的最适当的位置是在 的（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点【答案】A
【分析】根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分
线的性质，即可求解．
【详解】解：根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，
∵线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等，
∴凳子应放的最适当的位置是在 的三边垂直平分线的交点．
故选：A
【点睛】本题考查了与三角形相关的线段以及线段的垂直平分线，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
4．（2022秋·广西钦州·八年级校考阶段练习）如图，有 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三
个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在边 两条高的交点处
B．在边 两条中线的交点处
C．在边 两条垂直平分线的交点处
D．在 两条角平分线的交点处
【答案】C
【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆
定理知满足条件的点在线段 的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段 的垂直
平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则超市应建在 ， 两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离
相等是解决问题的关键．5．（2011·山东济南·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知 是
一个任意角，在边 上分别取 ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 重合，
则过角尺顶点 的射线 便是 的平分线 在证明 时运用的判定定理是（ ）
A．SSS B．SAS
C．ASA D．AAS
【答案】A
【分析】由作图过程可得 ， ，再加上公共边 ，可利用 定理可判定
．
【详解】解：在 和 中，
，
，
，
即 是 的平分线；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题
的一种重要的能力．
6．（2022秋·山东菏泽·八年级校考阶段练习）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑
物的高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．5米
【答案】A
【分析】根据题意画出图形，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，∵梯子的底端离建筑物5 米，梯子长为13米，∴ （米）．
∴梯子可以到达建筑物的高度为12米.
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实
际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思
想的应用．
7．（2020秋·浙江杭州·八年级统考阶段练习）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知
A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得 为等腰直角三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰
三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点
都可以作为点C，然后相加即可得解．
【详解】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有2个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
共有6个．故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论
思想是数学解题中很重要的解题思想．
8．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图， 平分 ， ， ，垂足分别为
A，B，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． 平分 C． D． 垂直平分
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质，垂直平分线的判定和三角形全等的判定和性质逐项进行判定即可．
【详解】解：对A、B、C选项，∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∵在 和 中 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 平分 ，故A、B、C正确，不符合题意；
D．∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，但 不一定垂直平分 ，故D错误，符合题意．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，根据题意证明
，是解题的关键．9．（2020秋·山东德州·八年级校考期中）如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则
∠APE的度数是（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
【答案】C
【分析】先根据等边三角形的性质可得 ， ，再根据三角形全等的判定定理证出
，然后根据三角形全等的性质可得 ，最后根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角
形是解题关键．
10．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，
BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是
△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE＋BF．其中正确的个数有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】过点D作DG⊥AB于点G，由角平分线的定义及平行线的性质可得∠ADB=90°，然后可证
△ADC≌△ADB，△DEC≌△DFB，进而问题可求解．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，
∴ ，
∵BF∥AC，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，即AD是△ABC的高，故①正确；
∵ ，AD=AD，
∴△ADC≌△ADB（ASA），
∴ ，即AD是△ABC的中线，故②正确；
∵BF∥AC，
∴ ，
∵ ，
∴△DEC≌△DFB（AAS），
∴ED＝FD，故③正确；
过点D作DG⊥AB于点G，如图所示：
∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF， ，
∴ ，
∵AD=AD，
∴ （HL），
∴ ，同理可知 ，
∵ ，
∴ ，故④正确；
综上所述：正确的个数有4个；
故选A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形
的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键．
二、填空题
11．（2022春·湖南永州·八年级校考期中）若一个三角形的三边之比为 ： ： ，且周长为 ，则它
的面积为______ ．
【答案】120
【分析】根据已知可求得三边的长，再根据勾股定理的逆定理得出该三角形是直角三角形，进而根据三角
形的面积公式即可求解．
【详解】设三边分别为 ， ， ，
则 ，
，
三边分别为 ， ， ，
，
三角形为直角三角形，
．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查勾股定理的逆定理的理解及运用，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
12．（2022秋·八年级单元测试）如图， 中， 是 的垂直平分线， ， 的周长
为 ，则 的周长为______．
【答案】19cm##19厘米
【分析】由线段垂直平分线的性质可得 ， ，结合条件可求得，代入可求得答案．
【详解】解：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ， ，
∵ 的周长为 ，
∴ ，
∴ ，
即 的周长为 ，
故答案为：19cm．
【点睛】考查线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等把 的周
长转化成 的周长与 的和是解题的关键．
13．（2022秋·贵州黔东南·八年级校联考期中）如图， 是 中 的角平分线， 于点
， 于点 ， ， ， ，则 长是_____．
【答案】3
【分析】根据角平分线的性质得出DE=DF，再利用面积求解即可．
【详解】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S ABC= ×4×2+ AC×2=7，
△
解得AC=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题关键是熟记角平分线上的点到角两边的距离相等．
14．（2022秋·山东滨州·八年级校考阶段练习）如图，射线OC是∠AOB的平分线，P是射线OC上一点，
PD⊥OA于点D，DP＝6，若E是射线OB上一点，OE＝4，则△OPE的面积是 _____．【答案】12
【分析】过点P作PF⊥OB于点F，根据角平分线的性质定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点P作PF⊥OB于点F，
∵射线OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，DP＝6，
∴PF=PD=6，
∴△OPE的面积是 ．
故答案为：12
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关
键．
15．（2022春·广东河源·七年级校考期末）如图，在 中， cm，AB的中垂线交BC于E，AC的
中垂线交BC于G，则 的周长等于________．
【答案】8
【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得：EA=EB，GA=GC，再根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：由AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，
∴EA=EB，GA=GC，
则△AGE的周长=EA+GA+EG=EB+GC+EG
=BC=8，
故答案是：8．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
16．（2022秋·湖北恩施·八年级校考期中）如图 ， ，则
__________．
【答案】60°
【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．
【详解】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，
∴∠BCD=180°-（∠CBD+∠BDC）=180°-60°=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°-∠BCD-∠BCA=180°-120°-15°=45°，
∴∠CDE=180°-（∠ECD+∠CED）=180°-90°=90°，
∴∠EDF=∠EFD=180°-∠CDE-∠BDC=180°-90°-30°=60°，
∴∠DEF=180°-（∠EDF+∠EFC）=180°-120°=60°．
故答案为：60°．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与
它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是
180°这一隐含的条件．
三、解答题
17．（2020秋·天津西青·八年级校考期中）已知如图， 是 的角平分线， ， ，
垂足分别是E，F．求证： 垂直平分 ．【答案】见解析
【分析】根据角平分线的性质可得 ，易证 ，即△AEF为等腰三角形，根据三线合一可证
结论．
【详解】证明：∵ 是 的角平分线， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等腰三角形 的顶角平分线，
∴ 垂直平分 （三线合一）
【点睛】本题考查了角平分线的性质和等腰三角形的性质—“三线合一”的应用，熟练掌握性质是解题的
关键．
18．（2022秋·湖南长沙·八年级校考期中）如图所示， 中， ， 于点E，
于点D，交 于F．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若点F是 的中点，求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析【分析】（1）求得 的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可；
（2）连接 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得到 ， ，又易证
，即得出 ．
【详解】（1）∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，连接 ，
∵ ，且点F是 的中点，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查四边形的内角和、三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题的关键是准确作出辅助线，
合理转化角与角之间的关系．
19．（2022秋·八年级课时练习） 如图， ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C
△作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
(1)求证：AE＝CD；
(2)若AC＝12cm，求BD的长
【答案】(1)见解析
(2)BD=6cm．
【分析】（1）利用角角边证明 DBC≌△ECA即可；
△
（2）由（1）得BD=EC= BC= AC，且AC=12，即可求出BD的长．
【详解】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．
∴∠D=∠AEC．
又∵∠DBC=∠ECA=90°，
且BC=CA，
在 DBC和 ECA中，
△ △
∵ ，
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE=CD；
（2）解：∵△CDB≌△AEC，
∴BD=CE，
∵AE是BC边上的中线，
∴BD=EC= BC= AC，且AC=12cm．
∴BD=6cm．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．（2022春·贵州毕节·八年级校考阶段练习）如图， 为 的角平分线， 于点 ，
于点 ，连接 交 于点 ．
（1）求证： 垂直平分 ；
（2）若 ，猜测 与 间有何数量关系？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） ．理由见解析．
【分析】（1）根据角平分线的性质可得 ，根据等腰三角形的判定定理，可得 ，结合中垂
线的判定定理，即可得到结论；
（2）由 ，可得 ，同理可得 ，进而即可得到结论．
【详解】（1）证明： 为 的角平分线， ， ，
， ，
，
，
点A、 都在 的垂直平分线上，
垂直平分 ；
（2）解： ．
理由： ， 平分 ，
，
， ，
，
，
，，
．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理以及中垂线的判定定理和含30°角的直角三角形的性质定理，
熟练掌握上述定理是解题的关键．
21．（2021秋·北京·八年级期末）在 中， ，在 的外部作等边三角形 ，E为
的中点，连接 并延长交 于点F，连接 ．
（1）如图1，若 ，求 和 的度数；
（2）如图2， 的平分线交 于点M，交 于点N，连接 ．
①补全图2；
②若 ，求证： ．
【答案】（1） ， ；（2）①作图见解析；②见解析
【分析】（1）结合等腰三角形和等边三角形的性质，可得∠ABD=∠ADB，从而求解出角度后，再计算
∠BDF即可；
（2）①根据尺规作图作角平分线的方法画出 的平分线即可；
②设∠ACM=∠BCM=α，由AB=AC，推出∠ABC=∠ACB=2α，可得∠NAC=∠NCA=α，∠DAN=60°+α，由
ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN=∠ADN=30°，∠BAN=∠DAN=60°+α，∠BAC=60°+2α，在 ABC中，根据
△∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，构建方程求出α，再证明∠MNB=∠MBN即可解决问题． △
【详解】（1）∵ ， 为等边三角形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵E为 的中点，
∴由“三线合一”知， ，∴ ；
（2）①如图所示：利用尺规作图的方法得到CP，交 于点M，交 于点N；
②如图所示，连接 ，
∵ 平分 ，
∴设 ，
∵ ，
∴ ，
在等边三角形 中，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题
的关键是灵活运用各类图形的性质进行综合分析．
