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第一章 丰富的图形世界（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．从上边看下面的立体得到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查从不同方向看立体图形，掌握立体图形与平面图形的特点是解题的关键．
【详解】
解：从上边看下边到几何体分为三列，第一列有上下两层，第二列有一层，第三列有一层，即为
故选：A．
2．将如图所示的平面图形绕直线旋转一周，可得到的立体图形是（ ）
A． B．
1C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查点、线、面、体，熟练掌握点、线、面、体直角的关系是解题的关键．直角三角形
绕一条直角边旋转一周，得到的立体图形是圆锥．
【详解】解：直角三角形绕一条直角边旋转一周，可得到的立体图形是圆锥．
故选：C．
3．下列说法不正确的是（ ）
A．篮球的表面、水桶的侧面都是曲面
B．正方体有八个顶点，经过每个顶点有两条面与面的交线
C．晴朗的夜空中一颗流星划过，给我们留下一条美丽的亮线，这说明点动成线
D．在中国地图上，锦州可被看作一个点
【答案】B
【分析】本题考查生活中的立体图形，掌握点、线、面的概念是解题关键．
首先根据面有平面和曲面之分，由篮球的表面、水桶的侧面都不在同一平面，判断A；由正方体的特点，
面与面相交形成线，判断B；然后根据点动成线，判断C；在地图上，用点表示位置，判断D．
【详解】解：A．篮球的表面、水桶的侧面都是曲面，故不符合题意；
B．正方体有八个顶点，经过每个顶点有3条面与面的交线，故符合题意；
C．晴朗的夜空中一颗流星划过，给我们留下一条美丽的亮线，这说明点动成线，故不符合题意；
D．在中国地图上，锦州可被看作一个点，故不符合题意．
故选：B．
4．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（ ）
A．人 B．才 C．强 D．国
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个
正方形，“Z”型首尾是相对的面，根据这一特点作答．
2【详解】解：由图可得，有“建”字一面的相对面上的字是“国”，
故选：D．
5．如图，把一个圆柱切拼成一个长方体后，长方体的表面积和体积与圆柱的相比，（ ）
A．都不变 B．体积不变，表面积变小
C．都变大 D．体积不变，表面积变大
【答案】D
【分析】本题主要考查圆柱与正方体的表面积及体积计算公式，解题的关键是正确表示出长方体的长宽及
高．设圆柱的底面半径是r，圆柱的高为h，根据拼成长方体的高等于圆柱的高是h，再根据长方体的表面
积和体积公式与圆柱的表面积和体积公式列式表示出长方体的表面积和体积与原来圆柱的表面积和体积，
由此即可进行比较选择．
【详解】解：设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，
则长方体的高等于圆柱的高是h，长方体的长为πr，宽为r，
圆柱的表面积为： ；
2×(πr2)+2πrℎ =2πr2+2πrℎ
圆柱的体积为：πr2
ℎ
；
长方体的表面积为： ；
(πr×r+πr×ℎ +rℎ)×2=2πr2+2πrℎ +2rℎ
长方体的体积为：πr×r×ℎ =πr2
ℎ
；
所以，这个长方体和原来的圆柱体比较表面积变大了，体积没变，
故答案为：D
6．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
3【答案】D
【分析】本题考查了几何体的展开图，棱柱表面展开图中，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧．
利用棱柱及其表面展开图的特点解题．
【详解】解：A、B、C中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底
面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图；
D围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有，故D不能围成三棱柱．
故选：D．
7．用24块棱长分别为3cm，4cm，5cm的长方体积木搭成的大长方体表面积最小是（ ）
A．808cm2 B．900cm2 C．960cm2 D．788cm2
【答案】D
【分析】本题考查长方体的表面积计算，熟知搭建过程中大面重叠，可使搭成的长方体表面积最小是解决
问题的关键．若要搭成的长方体表面积最小，则依据把较大的面重叠在一起这一原则可解决问题．
【详解】解：根据搭成的长方体表面积最小的要求，遵循把较大面重叠在一起的原则，进行如下搭建：
将三块长方体按4cm，5cm面重叠得出一个大长方体，此时三条棱长为4cm，5cm，9cm．
再用两个大长方体（即6个小长方体）按5cm，9cm面重叠，可得棱长为5cm，8cm，9cm的大长方体．
再用两个大长方体（即12个小长方体）按8cm，9cm面重叠，可得棱长为8cm，9cm，10cm的大长方体．
再用两个大长方体（即24个小长方体）按9cm，10cm面重叠，可得棱长为9cm，10cm，16cm的大长方
体．
此时大长方体的表面积为： ．
2×(9×10+9×16+10×16)=788(cm2
)
故选：D．
8．下列图形中，能够折叠成一个正方体的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查正方体展开图,注意只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图.根据正
方体的表面展开图的常见形式即可判断．
【详解】解：选项A、C 、D经过折叠均不能围成正方体;
只有B能折成正方体.
故选：B.
49．按照如图所示的表示方法，右图由7个立方体叠加的几何体，从正面观察，可以画出的平面图形是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了从不同方向观察几何体，根据从正面观察，共有三列，左右两列只有一层一个正方体，
中间一列有两层，第一层有3个正方体叠加，第二层有两个立方体叠加，据此即可求解，正确识图是解题
的关键．
【详解】解：从正面观察，共有三列，左右两列只有一层一个正方体，中间一列有两层，第一层有3个正
方体叠加，第二层有两个立方体叠加，
∴可以画出的平面图形是 ，
故选：A．
10．分别以直角梯形（如图所示）的下底和上底为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个立体图形．则A，B
两个立体图形的体积之比是（ ）
A．1：1 B．1：2 C．4：5 D．5：4
【答案】C
【分析】本题考查圆柱体、圆锥体体积的计算方法，分别求出几何体A，几何体B的体积，再进行判断即
可．
1 8π 32π
【详解】解：几何体A的体积为π×22×2+ π×22×2=8π+ = ，
3 3 3
51 8 40π
几何体B的体积为π×22×4− π×22×2=16π− π= ，
3 3 3
所以几何体A与几何体B的体积比为4:5．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．小幽同学分别从上面、前面观察了超市置物架上的三摞杯子，画面如图，那么这三摞杯子至少有
只．
【答案】8
【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，在从上面观察的图形中，根据从前面观察的图形可以确
定左上角和右下角的杯子数量，而右上角的数量最多有3个杯子，最少有1只杯子，据此可得答案．
【详解】解：在从上面观察的图形中，从左边数第一列上面一层有4只杯子，第二列下面一层有3只杯子，
上面一层最多有3个杯子，最少有1只杯子，
∴么这三摞杯子至少有4+3+1=8只，
故答案为：8．
12．奇思用一些小正方体拼了一个立体图形，从前面和上面看到的都是 ，他拼这个立体图形至少用
了 个小正方体．
【答案】6
【分析】本题考查从不同方向看几何体，可以从从前面和上面看到的图形还原几何体，进而可得答案．
【详解】解：从前面看到的图形可知，这个几何体有2层，上层至少有2个小正方体；从上面看到的图形
可知，这个几何体的下层有4个小正方体，结合从前面和上面看到图形，可得出下面的几何体：
故他拼这个立体图形至少用了6个小正方体．
故答案为：6．
13．如图是由若干个棱长为1的小正方体搭成的几何体，从上面看该几何体得到的形状图的面积为 ．
6【答案】4
【分析】本题考查从不同方向看几何物体，先得到从上面看的几何体的形状，然后计算面积即可．
【详解】解：从上面看可以看到第二行有3个小正方形，第一行有1个小正方形，
∴上面看该几何体得到的形状图的面积为4×12=4，
故答案为：4．
14．由若干个相同的小立方体可以搭成一个几何体，从正面和上面看到的该几何体的形状图如图所示，其
中，方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，则x+ y= ．
【答案】4或5
【分析】本题考查了从不同方向看物体的形状．注意找到该几何体从正面看到的图中每列小正方体最多的
个数．从上面看到的图中的每个数字是该位置小立方体的个数，结合主视图2列中的个数，分析其中的数
字，从而求解．
【详解】解：由从上面看到的图可知，该组合体有两行两列，
左边一列前一行有两个正方体，结合从正面看到的图可知左边一列最高叠有2个正方体，故x=1或2；由
从正面看到的图右边一列可知，右边一列最高可以叠3个正方体，故y=3．
当x=1,y=3时，x+ y=4，
当x=2,y=3时，x+ y=5，
故答案为：4或5．
15．一个棱长为6cm的正方体，它是由216个棱长为1cm的小正方体组成的，点P为上底面ABCD的中心，
如果挖去（如图）的阴影部分为四棱锥，剩下的部分还包括 个完整的棱长是1cm的小正方体．
7【答案】104
【分析】本题考查立体图形．根据216=6×6×6，从正，侧面看，正方体共有6层，确定每一层的个数，
求和即可．对学生的空间图形的观察和分析能力要求较强．
【详解】从P点垂直于底面截下去，截面如下，阴影是被挖去的，
第①②层还有62−22=32个完整的正方体，
第③④层还有62−42=20个完整的正方体，
第⑤⑥层没有完整的正方体，
共有32×2+20×2=104个完整的正方体，
故答案为：104．
16．一个棱长为5厘米的正方体，在此正方体的上表面的正中间向下挖一个棱长3厘米的正方体小洞，接
着在小洞底面的正中间再向下挖一个棱长1厘米的正方体小洞，最后得到的立体图形的表面积是
平方厘米．
【答案】190
【分析】本题考查了求不规则立方体的表面积，根据题意得到正方体多出中正方体和小正方体各4个面，
8进行求解即可．
【详解】解：立体图形的表面积为5×5×6+3×3×4+1×1×4=190（平方厘米）；
故答案为：190．
三、解答题（本大题共10小题，共72分）
17．（6分）如图，是由5个棱长为1cm的小立方体组成的立体图形，请在方格纸中分别画出它的从正面看、
从左面看、从上面看得到的形状图(方格纸中每个小正方形的边长均为1cm)．
【答案】见解析
【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据从正面、左面和上面看到的图形，画出即可．
【详解】解：如图所示：
18．（6分）如图，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一角，变成一个新的多面体，若这个多面体
的面数为m，棱数为n，求m+n的值．
【答案】m+n=19
【分析】本题主要考查了正方体的截面，根据截去正方体一个角变成一个多面体，这个多面体多了一个面，
棱数不变即可进行解答．
【详解】解：由图可知，这个多面体的面数是7，即m=7．
又因为正方体有12条棱，被截去了3条棱，截面为三角形，
所以增加了3条棱，故棱数不变，即n=12．
所以m+n=7+12=19．
19．（6分）制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择（π取3.14）．
9(1)你选择材料______号作为水桶的侧面，选择材料______号作为水桶的底面（填序号）；
(2)用你选择的材料制作水桶，一共用了多少dm2的铁皮？
【答案】(1)②号，③号
(2)75.36dm2
【分析】本题主要考查圆柱体的表面积，解题的关键在于熟练掌握公式进行计算．
（1）根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是长方形，根据题意进行选择即可；
（2）根据圆柱的侧面积公式以及圆的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵3.14×4=12.56(dm)
2×3.14×3=18.84(dm)
我选②号、③号；
（2）解：
5×12.56+3.14×(4÷2) 2 =62.8+3.14×4 =62.8+12.56 =75.36
答：一共用了75.36dm2的铁皮．
20．（6分）把棱长为1cm的若干个小正方体摆放成如图所示的几何体，然后再露出的表面上涂上颜色
（不含底面）．
(1)画出该几何体从正面看到的图形．
(2)求出涂上颜色部分的总面积．
【答案】(1)见解析；
(2)涂上颜色部分的总面积是33cm2．
10【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体：
（1）从上往下三行正方形的个数依次为1，2，3，据此画图即可；
（2）涂上颜色部分的总面积可分上面，前面，后面，左面，右面，相加求出露出的面即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：先算侧面：底层12个小面，中层8个，上层4个，
再算上面：上层1个，中层3个（正方体是可以移动的，不管放在哪里，它压住的面积总是它的底面积，
也就是一个，所以中层是4减1个），底层9−4=5个，总共33个小面．
涂上颜色部分的总面积：1×1×33=33cm2．
故涂上颜色部分的总面积是33cm2．
21．（8分）如图所示，在长方形ABCD中，BC=6cm，CD=8cm，现绕这个长方形的一边所在直线旋
转一周得到一个几何体．请解决以下问题：
(1)写出旋转得到的几何体的名称？
(2)请求出旋转得到的几何体的体积．（结果保留π）
【答案】(1)圆柱；
(2)旋转得到的几何体的体积为288πcm3或384πcm3．
【分析】（1）由图形旋转性质可知旋转后得到的几何体是圆柱；
（2）分情况讨论，找出圆柱的底面半径和高，根据圆柱的体积计算公式即可求解；
本题考查了点、线、面、体，圆柱的体积计算等知识点，解题的关键是理解点动成线、线动成面、面动成
体．
【详解】（1）解：由图形旋转性质可知，绕长方形的一边所在直线旋转一周后所得几何体为柱体，底面
为圆，因此得到的几何体是圆柱，
11故答案为：圆柱；
（2）解：分情两种况讨论：
若绕边 旋转，则所得圆柱的体积为： ；
AB π×62×8=288π(cm3)
若绕边 旋转，则所得圆柱的体积为： ；
AD π×82×6=384π(cm3)
答：旋转得到的几何体的体积为288πcm3或384πcm3．
22．（8分）有一种牛奶软包装盒如图1所示，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样．
(1)图2给出的四种纸样A、B、C、D，正确的有________．
(2)求包装盒的表面积．
【答案】(1)A、D
(2)298cm2
【分析】本题考查几何体的展开图，熟知长方体展开图的特征是关键．
（1）根据长方体展开图的特征逐项判断即可；
（2）求出展开的每个面的面积再求和即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，牛奶软包装盒是长方体，根据长方体展开图的特征，选项A、D是展开图纸
样，符合题意，选项B、C上下两个底面在侧面展开图的同侧，不是展开图纸样，不符合题意，
故答案为：A、D；
（2）解：由图可知，该牛奶软包装盒的表面积为
(7×4+7×11+4×11)×2
=(28+77+44)×2
=149×2
．
=298(cm2)
23．（10分）当同一个平面图形绕不同的轴旋转时，得到的立体图形一般不同．已知一个直角三角形，它
的各边长如图所示．
12(1)当三角形绕着长为3cm的边所在的直线旋转一周时，得到的是一个什么样的几何体__________.这个几何
1
体的体积是________________.（结果保留π，圆锥的体积= πr2 ℎ）
3
(2)当三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，你能求出得到的这个图形的体积吗？（结果保留π）
【答案】(1)圆锥；16πcm3
(2)32πcm3
【分析】本题考查点、线、面、体，理解“面动成体”是正确解答的前提，掌握圆柱体、圆锥体体积的计
算方法是正确解答的关键．
（1）根据“面动成体”得出所得到的几何体的特征，再根据圆锥体积的计算方法进行计算即可；
（2）根据“面动成体”得出所得到的几何体的特征，再根据圆柱体、圆锥体积的计算方法进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，
绕着长为3cm的边所在直线旋转一周得到一个圆锥，其底面半径为4cm，高为3cm，
1
圆锥体积V = ×π×42×3=16π(cm3)，
1 3
故答案为：圆锥；16πcm3；
（2）解：三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个圆柱挖去一个圆锥后剩余的几何体，其
中圆柱和圆锥的底面半径均为4cm，高均为3cm，得到的几何体的体积
1
V =π×42×3− ×π×42×3=32π(cm3)．
3 3
24．（10分）点动成线，线动成面，面动成体，立体之美，无处不在，需要我们会用数学的眼光观察现实
世界．如图，直角三角形ABC，绕AB边旋转一周所得的圆锥放到一个盛有水的圆柱形容器中，完全浸没，
水面上升至8cm，求未放入圆锥前圆柱形容器内的水面高度？
13【答案】6.72cm
【分析】本题主要考查了圆锥的体积、圆锥的截面、圆柱的体积等知识点，掌握圆锥、圆柱的体积公式成
为解题的关键．先确定圆锥的底面半径和高，然后再用圆锥的体积公式求出圆锥的体积；设未放入圆锥前
圆柱形容器内的水面高度为
ℎ
，根据“放入圆锥后的总体积=圆锥体积+未放入圆锥的水的体积”列方程求
解即可．
【详解】解：设未放入圆锥前圆柱形容器内的水面高度为h，
1
圆锥的体积为： π×42×6=32π(cm3 )．
3
由题意可得： (10) 2 (10) 2 ，
π× ×8=32π+π× ×ℎ
2 2
解得：
ℎ
=6.72．
答：设未放入圆锥前圆柱形容器内的水面高度为6.72cm．
25．（12分）综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方形盒子．如果我们按照如图所示的方式，
将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子．
(1)如果原正方形纸片的边长为acm，剪去的正方形的边长为bcm，则折成的无盖长方体盒子的高为______
cm，底面积为______cm2 ，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______cm3；
(2)如果a=20cm，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，
6cm，7cm，8cm，9cm，10cm时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表；
剪去正方形的边长/
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
cm
32 __ 38
容积/cm3 512 ___ 500 252 128 36 0
4 _ 4
14(3)观察绘制的统计表，你发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？
（ ）
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
(4)为了得到边长为20cm的无盖长方体盒子的最大容积，小明请教学习编程的哥哥后得到：当剪去小正方
1
形的边长为原正方形纸片边长的 时，此时容积最大，请你求出此时无盖长方体的最大容积：______cm3．
6
【答案】(1) ， ，
b (a−2b) 2 (a−2b) 2b
(2)588；576
(3)C
16000
(4)
27
【分析】本题考查认识立体图形，掌握长方体的展开与折叠以及底面积、体积的计算方法是正确解答的关
键．
（1）根据长方体的展开与折叠的特征即可得出长方体盒子的高，再根据盒子“底面”的长、宽根据面积
公式即可得出答案，根据体积计算公式进行计算即可；
（2）把 ， ，以及 ， 代入 进行计算即可；
a=20cm b=3cm a=20cm b=4cm (a−2b) 2b
1 10
（3）求出当a=20cm，b= a= cm时，计算(a−2b) 2b的值即可．
6 3
【详解】（1）解：如果原正方形纸片的边长为a cm，剪去的正方形的边长为b cm，则折成的无盖长方
体盒子的高为 ，底面积为 ，请你用含 ， 的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积
b cm (a−2b) 2cm2 a b
；
(a−2b) 2b cm3
故答案为： ， ， ；
b (a−2b) 2 (a−2b) 2b
（2）当 ， 时， ，
a=20cm b=3cm (a−2b) 2b=(20−2×3) 2×3=588(cm3 )
当 ， 时， ，
a=20cm b=4cm (a−2b) 2b=(20−2×4) 2×4=576(cm3 )
15故答案为：588，576；
（3）由统计表中的数据发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后
减小，
故答案为：CC；
1 10
（4）当a=20cm，b= a= cm时，体积最大，最大体积为
6 3
10 2 10 16000
(a−2b) 2b=(20−2× ) × = (cm3 )，
3 3 27
16000
故答案为： ．
27
16
