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第一章 三角形的证明
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要
求的）
1．（2021·湖南邵阳市·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=40°，则∠C的
度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
2．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）等腰三角形的周长为 ，其中一边长为 ，则该
等腰三角形的底边长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·安徽蚌埠市·八年级期末）如图，在 中， 是 的角平分线， ，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·甘肃天水市·八年级期末）已知 中， 、 、 分别是 、 、 的对边，下列条
件中不能判断 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·浙江湖州市·八年级期末）如图，用尺规作 斜边 的垂直平分线，其中
，现有以下结论：
① ；② ；③ ；④ ．其中正确
的是（ ）A．①② B．①②③ C．①③④ D．①④
6．（2021·河南开封市·八年级期末）等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是40°，则这
一等腰三角形的底角为（ ）
A．65° B．25° C．50° D．65°或25°
7．（2021·北京通州区·八年级期末）如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半
径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP
交BC于点E，如果AB＝3，AC＝4，那么线段AE的长度是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·寿光市实验中学八年级期中）已知，在 中， ，且 ，应用尺规作图
中构造 边上的高 ，下列作图中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．9．（2020·无锡市钱桥中学八年级月考）如图，已知 中， ， 为 内一点，过
点 的直线 分别交 、 于点 、 ．若 在 的中垂线上， 在 的中垂线上，则
的度数为（ ）．
A．100° B．105° C．115° D．无法确定
10．（2021·安徽安庆市·八年级期末）如图O是 内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离
．若 ，则 （ ）．
A．125° B．135° C．105° D．100°
11．（2021·广西钦州市·八年级期末）如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至E，使
，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·内蒙古赤峰市·八年级期中）如图，在 中， ，BD是角平分线，若
， ，则点 到 的距离是（ ）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
13．（2020·江西萍乡市·八年级期末）将等腰Rt ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB′C′，若AC=1，则
图中阴影部分面积为（ ）
△
A． B．3 C． D．
14．（2021·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）如图，以△ABC的边AB、AC为边向外作等边△ABD与等边
△ACE，连接BE交DC于点F，下列结论：①CD=BE；②FA平分∠DFE；③∠BFC=120°；④
．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2021·河南开封市·八年级期末）如图，在 中， ， ，AD平分 交
BC于D， 于E，若 的周长是4cm，则AB的长为_________cm．16．（2021·河南周口市·八年级期末）如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=70°，分别以点A、C为圆心，大
于 的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，分别交AC、BC于点D、E，连结AE，则
∠AED的度数是______°．
17．（2021·山东潍坊市·八年级期末）如图， 为等边三角形， 则 的度数是
_________．
18．（2021·湖北十堰市·八年级期末）如图，已知A（1，3），在坐标轴上找点B，使△AOB为等腰三角形，
符合条件的点有____个．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2021·福建福州市·八年级期末）如图，在 中， 是边 上一点， 是边 的中点，作
交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．20．（2021·山西临汾市·八年级期末）如图所示，在图①和图②的网格中，小正方形的边长均为1．
（1）请在图①中画出端点在格点的线段 和 ，使 ， ，并选择其中的一个说明
理由
（2）如图②， 是一个格点三角形，这个三角形是直角三角形吗？为什么？
21．（2021·湖南长沙市·八年级期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线PQ与△ABC的外角平分线交于
点P，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E．
（1）求证：BD=AE；
（2）若BC=6，AC=4．求CE的长度．
22．（2021·江苏南京市·八年级期末）问题：如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的
A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃
气站，所得路线ACB是最短的．
为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC＋CB＜AC'＋
C'B．请完成这个证明．
（2）如图③，点P为∠MON内的一个定点，在OM上有一点A，ON上有一点B．请你作出点A和点B的位置，使得△PAB的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法）在上述条件下，若∠MON＝40°，则∠APB＝
°．
23．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图，点 为定角 的平分线上的一个定点， ，
，且 与 互补，若 在绕点 旋转的过程中，其两边分别与 ， 相交于
， 两点．
（1）试判断 的形状，并给出证明；
（2） 的值是否为定值？若是请求出这个定值，若不是，请说明理由；
（3）四边形 的面积是否为定值？请说明理由．
24．（2021·山东滨州市·八年级期末）（问题提出）（1）如图， 与 均是顶角为 的等腰
三角形， 、 分别是底边，求证： ；
（类比延伸）（2）如图， 与 均为等边三角形，点 、 、 在同一直线上，连接 ．填
空： 的度数为______；线段 与 之间的数量关系为______．（拓展研究）（3）如图， 与 均为等腰直角三角形， ，点 、 、
在同一直线上， 于点 ，连接 ．请求出 的度数及线段 、 、 之间的
数量关系，并说明理由．
25．（2021·河南洛阳市·八年级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝
110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
26．（2021·四川达州市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 交坐标轴于 两点，
过：x轴正半轴上一点 作直线 交 轴正半轴于点 ，且 ．（1）求出直线 对应的函数表达式；
（2）点 是线段 上一动点（不与点 重合）， 交 于点 ，连接 ．判断
的形状，并说明理由；
（3）若 为直线 上的点， 为 轴上的点，请问：直线 上是否存在点 ，使得 是
以 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时 点的坐标；若不存在，请说明理由．
