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第一章 三角形的证明（B 卷·能力提升练）
（时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案中是正确的，每小题2分，共20分）
1. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为
A．9 B．7 C．12 D．9或12
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边
长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成
三角形．
【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，
由于 ，则三角形不存在；
（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为 ．
故选： ．
2. 已知等腰三角形的一个角为 ，则它的顶角为
A． B． C． D． 或
【分析】题中没有指明该角是顶角还是底角，故应该分两种情况进行分析．
【解答】解：当这个角是底角时，其顶角 ；
当这个角是顶角时，顶角 ；
故选： ．
3. 如图，已知在 中， 平分 ， 平分 ，且 ， ，若 ，则
的周长是
A．3 B．6 C．9 D．12【分析】由 为 的平分线，得到一对角相等，再由 与 平行，根据两直线平行内错角相等
得到一对角相等，等量代换得到 ，再由等角对等边得到 ，同理 ，然后
利用三边之和表示出三角形 的周长，等量代换得到其周长等于 的长，由 的长即可求出三角形
的周长．
【解答】解： 平分 ，
，
又 ，
，
，
，
同理 ，
，
则 的周长 ．
故选： ．
4. 下列命题不正确的是
A．等腰三角形的底角不能是钝角
B．等腰三角形不能是直角三角形
C．若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形
D．两个全等的且有一个锐角为 的直角三角形可以拼成一个等边三角形
【分析】利用等腰三角形的性质和等边三角形的判定的知识，对各选项逐项分析，即可得出结果．
【解答】解：本题可采用排除法；
、利用等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，若两底角均为钝角，不能构成三角形，故这种说
法错误，故不选 ；
、举反例：等腰直角三角形，故 不正确．
即答案选 ．5. 下列条件不能判定两个直角三角形全等的是
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
【分析】根据三角形全等的判定定理判断即可．
【解答】解： 、根据 定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
、根据 定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
、根据 定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意；
故选： ．
6. 如图， 是等边三角形， ， 于点 ， 于点 ， ，则下列结论：①
点 在 的角平分线上； ② ； ③ ； ④ ．正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得 平分 ，从而判断出①正确，然后
证明出 与 全等，根据全等三角形对应边相等即可得到②正确，然后根据等边对等角的性质可
得 ，然后得到 ，然后根据内错角相等两直线平行可得 ，从而判断
出③正确；④由 ， ，即可得到④正确．
【解答】解： 是等边三角形， ， ，且 ，
在 的平分线上，故①正确；
， ，
，
，故②正确；，
，
，故③正确；
由③得， 是等边三角形，
，
又由②可知，④ ，故④也正确，
①②③④都正确，
故选： ．
7. 如图所示，在直角三角形 中，已知 ，点 是 的中点，且 ， 交 的延长
线于点 、交 于点 ，若 ， ，则 的长是
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】连接 ，由直角三角形的性质求出 ，根据中垂线的性质求出 ，求出 ，
则可得出 ．
【解答】解：连接 ，， ，
，
，
，
，
为 的中点，
，
，
，
，
又 ，
，
．
故选： ．
8. 用反证法证明“ ”时，应假设
A． B． C． D．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．要注意的是 的反面有多种情况，需一一否定．
【解答】解：用反证法证明“ ”时，应先假设 ．
故选： ．
9. 如图，在 的正方形网格中，点 、 在格点上，要找一个格点 ，使 是等腰三角形 是其中一腰），则图中符合条件的格点有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】首先由勾股定理可求得 的长，然后分别从 ， ， 去分析求解即可求
得答案．
【解答】解：如图所示：
由勾股定理得： ，
①若 ，则符合要求的有： ， ， 共4个点；
②若 ，则符合要求的有： ， 共2个点；
若 ，则不存在这样格点．
这样的 点有5个．
故选： ．
10. 如图， ， ， ，若 ，则
A．3 B．4 C．5 D．6【分析】过点 作 ，交 于点 ，先证明 是等边三角形，再证明 ，然后利
用等腰三角形的“三线合一”性质及角平分线的性质定理求得 的长，随后利用含30度角的直角三角形
的性质求得 的长，最后将 与 相加即可．
【解答】解：如图，过点 作 ，交 于点
， ，
是等边三角形，
，
，
，
，
，即 ，
是等边三角形， ，
平分 ，
，
在 中， ，
；
方法二、
， ，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形， ，
平分 ，
，， ，
，
；
故选： ．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 如图， ， ，点 、 、 、 分别在直线 与 上，点 在 上， ，
， ，则 7 ．
【分析】可判定 ，从而得出 ，则 ．
【解答】解： ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
故答案为7．
12. 等腰三角形的一个内角是 ，则它顶角的度数是 或 ．
【分析】先分情况讨论： 是等腰三角形的底角或 是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理
进行计算．
【解答】解：当 是等腰三角形的顶角时，则顶角就是 ；
当 是等腰三角形的底角时，则顶角是 ．故答案为： 或 ．
13. 如图，在 中，边 的垂直平分线分别交 、 于点 ， ，若 为 ， 的周长为
，则 的周长为 1 8 ．
【分析】由已知条件，利用垂直平分线的性质可得其两条边 ，然后等效替换即可求出周长．
【解答】解： 垂直平分 ，
，
， ，
的周长为 ，
，
的周长 ．
故填18．
14. 等边三角形的每个内角都等于 6 0 度．
【分析】根据等边三角形各边长相等的性质即可求得 ，根据三角形内角和为 的性质即
可求得 ，即可解题．
【解答】解：等边三角形各边长相等，
，
三角形内角和为 ，
．
故答案为：60．
15. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 或 ．
【分析】本题已知没有明确三角形的类型，所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况
讨论．
【解答】解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为50，则顶角是 ，因而底角是 ；
如图所示：当这个三角形是钝角三角形时： ， ，故 ，
所以 ，
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
16. 如图，在 中， 、 分别是 和 的平分线，过点 作 交 于 、交
于 ，若 ， ，则 周长为 7 ．
【分析】根据角平分线的定义可得 ， ，再根据两直线平行，内错角相等可
得 ， ，然后求出 ， ，再根据等角对等边
可得 ， ，即可得出 ；求出 的周长 ，然后代入数据进
行计算即可得解．
【解答】解： 是 ， 平分线的交点，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
，
即 ，
的周长 ，
， ，
的周长 ，
故答案为7．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17. 如图，在 中， ， 为 边的中点， 于点 ， 于点 ， ．求
证： 是等边三角形．
【分析】证明 得到 ，则 ，然后根据等边三角形的判定方法得到结论．
【解答】证明： 为 的中点，
．
， ，
．
在 和 中，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
18. 如图， ， ，点 是 上一点， 于 ， 于 ， ，
求证： ．【分析】连接 ，由直角三角形全等的“ “判定定理证得 ，根据全等三角形的
性质得到 ，再由直角三角形全等的“ “判定定理即可证得 ．
【解答】解：连接 ，
，
在 和 中，
，
，
，
于 ， 于 ，
，
在 和 中，
，
．
19. 如图，在 中， ， 是 边上的中线， 是 边上的一点，且 ．求证：．
【分析】根据等腰三角形的性质得出 ，再得出 ．
【解答】证明： ， 是 边上的中线，
，
，
又 ，
，
．
四、解答题：（第20题10分，第21题12分，共22分）
20. 已知：如图 中 ， ， 平分 ， 平分 ，过 作直线平行于 ，
交 ， 于 ， ．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）求 的周长．
【分析】（1）根据平行线的性质可得 ，根据角平分线的定义可得 ，可得
，进一步即可得证；
（2）同理（1）可得 ，根据 的周长 ，求解即可．
【解答】（1）证明： ，
，
平分 ，
，，
，
是等腰三角形；
（2）解： ，
，
平分 ，
，
，
，
，
的周长 ，
， ，
，
的周长为 ．
21. 如图，在 中， ，点 是 上一点，点 是 上一点，且 ．若 ，
，求 的度数．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到 ，进而得到 ，由 ，
得到 ，由 ，进而求出结论．
【解答】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
，．
五、解答题：（本题12分）
22. 如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至 ， ，
（1）求证： ．
（2）在图中过 作 交 于 ，若 ，求 的周长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到 ， ，再根据角之间的关系求得
，根据等角对等边即可得到 ．
（2）由 的长可求出 ，进而可求出 的长，则 的周长即可求出．
【解答】（1）证明： 是等边三角形， 是中线，
．
（等腰三角形三线合一）．
又 ，
．
又 ，
．
．
（等角对等边）；
（2） ，
，
，
，
，
，
的周长 ．六、解答题：（本题12分）
23. 如图，一只船从 处出发，以18海里 时的速度向正北航行，经过10小时到达 处．分别从 、 处望
灯塔 ，测得 ， 度．求 处与灯塔 距离．
【分析】本题的关键是利用题中给出的角的度数，求得 ，再速度乘时间就是路程，从而求出
的长．
【解答】解： 是 的外角
（海里）
因此 处与灯塔 距离是180海里．
七、解答题：(本题12分)
24. 如图，点 是等边 内一点， 是 外的一点， ， ， ，
，连接 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）当 时，试判断 的形状，并说明理由；
（3）探究：当 为多少度时， 是等腰三角形．【分析】（1）根据有一个角是 的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得 ，结合（1）中的结论可得 为 ，那么可得所求三角
形的形状；
（3）根据题中所给的全等及 的度数可得 的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即
可．
【解答】证明：（1） ，
，
，
是等边三角形．
解：
（2） 是直角三角形．
理由如下：
是等边三角形，
，
， ，
，
，
是直角三角形．
（3） 是等边三角形，
．
， ，
，
，
．
①当 时， ，．
②当 时， ，
．
③当 时，
，
．
综上所述：当 或 或 时， 是等腰三角形．
