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第 03 讲 中心对称与简单的图案设计(8 类热点题型讲练)
1.掌握中心对称图形及中心对称的概念；理解他们的区别和联系，并会判别出图形是否为中心对称图形；
2.会画出给定条件的旋转对称图形或中心对称图形，会画出已知图形关于已知点成中心对称的图形；
3.能利用平移和旋转设计简单的图案.
知识点01 中心对称
（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这
两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
（2）中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A’B’C’关于点O对称.
（3）中心对称与轴对称的区别与联系：
中心对称 轴对称
有一个对称中心 有一条对称轴
区别
图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴翻折
旋转后与另一个图形重合 翻折后与另一个图形重合
联系 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等
（4）中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形
中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形.
（5）确定对称中心的方法：1.连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心；
2.连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心.
（6）中心对称作图
1.连接原图形的关键点与对称中心；
2.延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称
中心的距离相等；
3.将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形.
知识点02 中心对称图形
（1）中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那
么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
（2）中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称 中心对称图形
针对两个图形 针对一个图形
两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形
区别
对称点在两个图形上 对称点在一个图形上
对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称
联系
图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．
知识点03 简单的图案设计
我们可以分别利用各种图形变换方法设计图案，也可以利用它们的组合进行图案设计.
(1)利用平移设计图案:先设计出基本图案，然后沿着一定的方向不断平移进行设计;
(2)利用轴对称设计图案:先设计出基本图案，然后通过不断翻折进行设计;
(3)利用旋转设计图案:先设计出基本图案，然后利用旋转知识，将基本图案绕着某点依次旋转进行设计;
(4)利用图形变换的组合设计图案:综合利用上面的图形变换进行图案设计.
题型01 中心对称与中心对称图形的相关概念
【例题】（2023下·辽宁沈阳·八年级统考期末）若两个图形成中心对称，则下列说法：①对应点的连线必
经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形
绕对称中心旋转 后必与另一个图形重合．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据中心对称的性质对各小题分析判断即可得解．【详解】解：∵两个图形成中心对称，
∴①对应点的连线必经过对称中心，正确；
②这两个图形的形状和大小完全相同，正确；
③这两个图形的对应线段一定相等，正确；
④将一个图形绕对称中心旋转 后必与另一个图形重合，正确．
综上所述：正确共4个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称，熟记中心对称的性质和概念是解题的关键．中心对称图形的定义：把一个
图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，
这个点就是它的对称中心．
【变式训练】
1．（2023上·湖北恩施·九年级校考阶段练习）关于成中心对称的两个图形，下列说法中正确的是（ ）
①一定形状相同；②大小可能不等；③对称中心必在图形上；④对称中心必在对应点的连线上
A．①③ B．③④ C．①④ D．①③④
【答案】C
【分析】①成中心对称的图形全等，进行判断即可；②成中心对称的图形全等，进行判断即可；③对称中
心不一定在图形上；④根据中心对称是旋转 ，进行判断即可．
【详解】解：①成中心对称的图形全等，因此一定形状相同；故①正确；
②成中心对称的图形全等，因此大小一定相等；故②错误；
③对称中心不一定在图形上；故③错误；
④成中心对称，是旋转 ，因此对称中心必在对应点的连线上；故④正确；
综上正确的为：①④；
故选C．
【点睛】本题考查中心对称．熟练掌握成中心对称的两个图形全等，是解题的关键．
2．（2023下·江苏泰州·八年级校考周测）下列命题：①成中心对称的两个图形不一定全等；②成中心对称
的两个图形一定是全等图形；③两个全等的图形一定关于某点成中心对称；④中心对称表示两个图形之间
的对称关系，中心对称图形是指某一个图形所具有的对称性质．其中真命题的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①成中心对称的两个图形一定全等；②成中心对称的两个图形一定是全等图形；③两个全等的图
形不一定关于某点成中心对称；④中心对称表示两个图形之间的对称关系，中心对称图形是指某一个图形
所具有的对称性质．
【详解】解：①成中心对称的两个图形一定全等；故①为假命题；
②成中心对称的两个图形一定是全等图形；故②为真命题；
③两个全等的图形不一定关于某点成中心对称；故③为假命题；
④中心对称表示两个图形之间的对称关系，中心对称图形是指某一个图形所具有的对称性质．故④为真命
题；综上：真命题有2个；
故选B．
【点睛】本题考查判断命题的真假．熟练掌握成中心对称的两个图形全等，以及中心对称图形的定义，是
解题的关键．
题型02 中心对称图形的识别
【例题】（2024上·云南保山·九年级统考期末）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射任务圆满成
功．下列航天图标是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形
重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所
以不是中心对称图形；
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：C．
【变式训练】
1．（2023·山东青岛·统考三模）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，下列
窗花作品是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，熟知定义是解题的关键．根据轴中心对称图形的定义进行
逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这
个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：第1个图形是中心对称图形，符合题意；
第2个图形是中心对称图形，符合题意；
第3个图形不是中心对称图形，不符合题意；
第4个图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
2．（2024上·湖南长沙·九年级统考期末）企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美，下列企业标志图为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．根据中心对称图形的
定义进行求解即可．
【详解】解：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形能够重合，故这个
图形为中心对称图形．
故选：C．
题型03 求关于原点对称的点的坐标
【例题】（2024上·重庆潼南·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点 的
坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数进
行解答即可．
【详解】解：点 关于原点对称的点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2024上·新疆阿克苏·九年级统考期末）点 与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为
．
【答案】
【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解
题的关键．
【详解】解；∵点 与点B关于原点中心对称，
∴点B的坐标为 ，
故答案为： ．
2．（2024上·云南昆明·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，若点 与点 关于
原点 对称，则点 的坐标是 ．
【答案】【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标关系，根据关于原点对称的两个点的纵横坐标均互为相反数，
可得答案．
【详解】解：∵点 的坐标为 ，点 与点 关于原点 对称，
∴点 的坐标是 ．
故答案为： ．
题型04 已知两点关于原点对称求参数
【例题】（2024上·河南商丘·九年级校联考期末）已知点 与点 关于原点对称，则
．
【答案】
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点坐标横纵坐标互为相反数直接求解即
可得到答案；
【详解】解：∵点 与点 关于原点对称，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2023上·四川德阳·九年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）已知点 与点
关于原点对称，则 的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律是∶横、纵坐标都是
互为相反数．根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得 的值，根据零指数
幂，可得答案．
【详解】解： 点 和点 关于原点对称，
故答案为∶1．
2．（2024上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知 两点，若 两点关于原点对称，则
．
【答案】
【分析】本题考查关于原点对称点坐标特点，代数式求值．根据题意可知关于原点对称点横纵坐标都互为
相反数，即可得到 的值，再代入代数式即可得到本题答案．【详解】解：∵ 关于原点对称，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
题型05 已知中心对称图形求对称中心的坐标
【例题】（2024上·河北邯郸·九年级统考期末）如图，在正方形网格中， ， ， ， ， ， ， ，
， ， 是网格线交点，若 与 中心对称，则其对称中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称，根据A、D两点到M的距离相等且三点在一条直线上，B、E两点到M都
是 的网格且三点在一条直线上，C、F两点到M都是 的网格且三点在一条直线上，可得对称中心
是点M．
【详解】解：如图，
相交于点M，
∴点M是 与 对称中心，
故选：A．
【变式训练】
1．（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图， 和 关于点P成中心对称，则点P坐标
是 ．【答案】
【分析】根据图形找出 和 中一对对应点的坐标，则对应点连线的中点必为对称中心．
【详解】解：由图可知，点 ， ，
∴ 的中点坐标是 ，即 ，
则点P坐标是 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了中心对称图形，熟练掌握对称中心的求法是解题的关键．
2．（2022上·九年级单元测试）已知 与 关于某点中心对称，若对称点 ，C的坐标分别是
， ，则对称中心的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据中心对称的性质，对应点连线的中点即为对称中心，据此求解．
【详解】解：∵对称点 ，C的坐标分别是 ， ，
∴对称中心的坐标是 ，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化 中心对称，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
题型06 根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【例题】（2023上·河南商丘·九年级统考阶段练习）如图， 与 关于 成中心对称，不一定
成立的结论是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中点对称的性质．根据中心对称的性质，对应边相等、对应角相等、对应点的连线被
对称中点平分，据此来判断．
【详解】解：对应点的连线被对称中心平分，A，B正确；
成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确；
D选项 的对应角应该是 ；
故选：D．
【变式训练】
1．（2024上·广东汕头·九年级统考期末）如图， 与 关于点C成中心对称，
则 的长是
【答案】
【分析】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识．利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．
【详解】解： 与 关于点 成中心对称，
，
， ， ，
，
，
，
故答案为： ．
2．（2023上·河北保定·九年级统考期中）如图，D是 边 的中点，连接 并延长到点E，使
，连接 ．（1） 和 成中心对称，
（2）已知 的面积为4，则 的面积是 ．
【答案】 8
【分析】本题考查了中心对称图形及三角形中线的性质，
（1）根据中心对称图形的性质即可求解；
（2）根据三角形中线的性质即可求解；
熟练掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：（1）根据中心对称图形的性质可得；
和 成中心对称，
故答案为： ；
（2）由（1）得： 和 成中心对称，
线段 是 的中线，
，
D是 边 的中点，
，
故答案为：8．
题型07 画已知图形关于某点对称的图形
【例题】（2023上·陕西渭南·九年级统考期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位
长度，在平面直角坐标系内， 的三个顶点坐标分别为 ， ， ．
(1)在图中画出 关于原点O成中心对称的 ；
(2)在图中画出将 绕原点O逆时针旋转90°后得到的 ，并写出点A、B的对应点 ， 的坐标．【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析， ，
【分析】本题考查的是关于原点成中心对称的图形，关于原点旋转的图形，掌握旋转的性质是解本题的关
键；
（1）先分别确定A，B，C关于原点对称的点 ， ， ，再顺次连接即可；
（2）先分别确定A，B，C关于原点对称的点 ， ， ，再顺次连接即可；再根据点 ， 的位置可
得其坐标．
【详解】（1）解：如图， 即为所求作的三角形；
（2）如图， 即为所求作的三角形；
根据点的位置可得： ， ．
【变式训练】
1．（2024上·上海普陀·七年级统考期末）如图，在正方形网格中、每个小正方形的边长都为1，网格中有
一个格点 （即三角形的顶点都在格点上）．
(1)画出 ，使 与 关于直线MN成轴对称；画出 ，使 与 关于点A
成中心对称．
(2)在第（1）小题的基础上，联结 ，四边形 的面积为_______．（直接写出答案）
【答案】(1)见解析
(2)【分析】本题考查了轴对称作图与中心对称作图，网格中求三角形的面积；
（1）根据轴对称与中心对称的性质画出 ， 即可求解；
（2）根据正方形的面积减去三个三角形的面积求得 的面积，再奖赏 的面积，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示， ， 即为所求
（2）解：如图所示，
四边形 的面积为
2．（2022上·广东东莞·九年级校考期中）如图， 三个顶点的坐标分别为 ．
(1)画出将 绕原点O按逆时针方向旋转 ，所得的 ；
(2)请画出 关于原点O成中心对称的图形 ；
(3)在x轴上找一点P，使 的周长最小，请求出点P的坐标．【答案】(1)图形见解析
(2)图形见解析
(3)点P的坐标
【分析】本题考查了作图-旋转变换，轴对称-最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决
问题，属于中考常考题型．
（1）分别作出A，B，C的对应点 即可；
（2）分别作出A，B，C 的对应点 即可；
（3）作点A关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，连接 ，此时 的值最小．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）解：如图， 即为所求
（3）解：如图，取点A关于x轴的对称点 ，交x轴于点P，
此时 ，为最小值，
∴ 最小，
即 的周长最小，
∴点P的坐标为 ．
题型08 在方格中补画图形使之成为中心对称图形
【例题】（2024上·吉林辽源·九年级统考期末）如图①，是由2个白色和2个阴影全等正方形组成的“L”
型图案，请你分别在图②，图③上按下列要求画图．
(1)在图②中，添1个白色或阴影正方形，使它成中心对称图案；(2)在图③中，先改变1个正方形的位置，再添1个白色或阴影正方形，使它既成中心对称图案，又成轴对
称图案．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了中心对称图形及轴对称图形的性质及其作图的方法，确定对称轴及对称点是解题
的关键．
（1）先确定对称中心，再根据中心对称的性质画图即可；
（2）根据中心对称和轴对称的性质画一个图形即可．
【详解】（1）解：如图②即为所求．
（2）解：如图③即为所求．
【变式训练】
1．（2023上·吉林·九年级期中）图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为
格点.已知点A、B、C均在格点上，分别按下列要求作一个四边形，使A、B C这三个点在这个四边形的边
（包括顶点）上，且四边形的顶点均在格点上.
(1)在图①中作一个四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形；
(2)在图②中作一个四边形，使其既是轴对称图形又是中心对称图形.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了作轴对称图形，作中心对称图形，对于（1），根据平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，作出图形即可；
对于（2），根据菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，作出图形即可．
【详解】（1）如图所示，四边形 是所求作的图形；
（2）如图所示，四边形 是所求作的图形．
2．（2023上·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，正三角形网格中，已知两个小正三角形被涂黑．
(1)再将图①中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形(画出两种不同的涂法)；
(2)再将图②中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个中心对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查轴对称作图和中心对象作图，选择合适的对称轴或对称中心是解题的关键．
（1）先根据题意选择合适的对称轴作图即可；
（2）先根据题意选择合适的对称中心作图即可．
【详解】（1）解：如下图所示，即为所求作的图形，
（2）如下图所示，即为所求作的图形，一、单选题
1．（2024上·四川成都·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，据
此即可求解．
【详解】解：由题意得：点 关于原点对称的点的坐标是： ，
故选：D
2．（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）“致中和，天地位焉，万物育焉”． 对称美是我国古人和谐平
衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年． 下列大
学校徽的主体图案是中心对称图形的是（ ）
A．北京体育大学 B．华中师范大学 C．清华大学 D．武汉大学【答案】A
【分析】根据一个图形绕一点旋转180度，能与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，进行判断
即可．
【详解】解：四个图形中，只要北京体育大学的校徽图案绕一点旋转180度后，能与自身完全重合，是中
心对称图形，
故选：A．
3．（2024上·内蒙古呼伦贝尔·九年级校考期末）已知点 与点 是关于原点O的对称点，则（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
本题比较容易，根据平面直角坐标系中任意一点 ，关于原点的对称点是 ，即关于原点的对
称点，横纵坐标都变成相反数．就可以求出a、b的值．
【详解】解：根据题意得 ，
故选：A．
4．（2020上·浙江杭州·九年级期末）在平面直角坐标系中有三个点 ､ ､ ，点
关于 的对称点为 关于 对称点 关于 的对称点为 ，按此规律继续可以以 为对称中心
重复前面的操作，依次得到 ， ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设P（x，y），再根据中点的坐标特点求出x、y的值，找出循环的规律即可得出点P 的坐标．
1 2020
【详解】解：设P（x，y），
1
∵点A（1，-1）、B（-1，-1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P，P 关于B的对称点P，
1 1 2
∴ =1， =-1，
解得x=2，y=-4，
∴P（2，-4）．
1
同理可得，P（-4，2），P（4，0），P（-2，-2），P（0，0），P（0，2），P（2，-4），…，
2 3 4 5 6 7
∴每6个操作循环一次．
∵2020=6×336+4，
∴点P 的坐标与P（-2，-2）相同．
2020 4故选：B．
【点睛】本题考查的是点的坐标，根据题意找出规律是解答此题的关键．图形或点旋转之后要结合旋转的
角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
5．（2023·河北衡水·统考二模）三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边
三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（
）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形
重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
二、填空题
6．（2024上·陕西渭南·九年级统考期末）点 关于原点O成中心对称的点的坐标为 .
【答案】
【分析】本题考查了关于原点对称的点，根据关于两个原点对称的两个点的横坐标、纵坐标护卫相反数即
可得，掌握关于原点对称的点是解题的关键．
【详解】解：点 关于原点O成中心对称的点的坐标为 ，
故答案为： ．
7．（2023上·山东日照·九年级校考期中）已知点 与点 关于原点成中心对称，则
．
【答案】3
【分析】此题考查了关于原点对称点的性质：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点
关于原点O的对称点是 ，解二元一次方程组．直接利用关于原点对称点的性质建立关于a，b的
二元一次方程组，解方程组求出a，b的值，代入 计算得出答案．
【详解】解： 点 与点 关于原点成中心对称，，即 ，
解得： ，
．
8．（2024上·辽宁大连·九年级校联考期末）在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的
三角形（ ，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于 中心对称后的 ，
则此时 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了中心对称作图，正确作出点B关于 对称的点 是解题的关键．
【详解】根据题目要求作出点B关于 对称的点 如图所示，
由图可知， 的坐标为 ，
故答案为： ．
9．（2022下·山东青岛·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为 ，
， ，点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点 ，使得点 与点O关于点A成中心对称；第
二次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点B成中心对称；第三次跳跃到点 ，使得点 与点 关
于点C成中心对称；第四次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点 的坐标是 ．
【答案】（0，0）
【分析】画出图形，探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：如图，由题意， ， ， ，
发现3次一个循环，
∵ ，
∴ 的坐标与 的坐标相同，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查图形规律及画中心对称图形，解题的关键是根据题意提取出图形规律．
10．（2023下·全国·八年级假期作业）在平面直角坐标系中，三颗棋子A，O，B的位置如图所示，它们的
坐标分别是 ， 和 ．现要在其他点的位置上添加一颗棋子P，使以A，O，B，P为顶点的四
边形是一个中心对称图形，则棋子P的坐标为 ．
【答案】 或 或
【解析】略三、解答题
11．（2022上·吉林·九年级校考阶段练习）如图所示是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格
图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，挍下列要求选取三个涂上阴影，
使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
【答案】详见解析
【分析】根据中心对称的定义：把一个图形绕某点旋转180°后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图
形，根据定义画图即可．
【详解】解：答案不唯一，如图．
【点睛】本题主要考查了利用中心对称图形的定义设计图案，掌握定义是解题的关键．
12．（2024上·云南昭通·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，毎个小方格都是边长为1的正方
形， 的顶点均在格点上，点 的坐标是 ．
(1)将 以点O为旋转中心旋转 ，画出旋转后对应的 ，并写出 点的坐标；
(2)在 轴上有一点 ，使得 的值最小，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1) 见解析，
(2)
【分析】本题考查了中心对称以及两点之间线段最短等知识点，熟记相关结论即可．
（1）关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，据此即可完成作图；
（2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴的交点即为点 ．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求：点的坐标为：
（2）解：如图所示：作点 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴的交点即为点 ，
由图可知：点 的坐标为：
13．（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）如图是由边长为1的小正方形构成的 网格，每个小正方
形的顶点叫做格点， 的三个顶点均在格点上，点 是另一格点，下列作图仅用无刻度直尺在网格中
完成．
(1)画出 关于点 的中心对称图形 ．
(2)将 绕点 逆时针旋转 得 ，画出 ；
(3)直接写出 的形状和面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) 是等腰直角三角形，面积为5【分析】本题考查了平移，旋转，勾股定理及其逆定理，
（1）连接 ，反向延长使 ，连接 ，反向延长使 ，连接 ，反向延长使 ，
即可得；
（2）连接 ，绕点 逆时针旋转 ，使 ，连接 ，绕点 逆时针旋转 ，使 ，
连接 ，绕点 逆时针旋转 ，使 ，即可得；
（3）利用勾股定理分别计算出三角形的三条边的长度，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可得三角形
的形状，根据三角形面积计算公式即可得；
掌握平移，旋转，勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，连接 ，反向延长使 ，连接 ，反向延长使 ，
连接 ，反向延长使 ，
（2）解：如图所示，连接 ，绕点 逆时针旋转 ，使 ，连接 ，绕点 逆时针旋转 ，
使 ，连接 ，绕点 逆时针旋转 ，使 ，
（3）解：如图所示，，
，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
14．（2023上·北京·九年级期末）如图，在正方形网格中， 的三个顶点都在格点上，点A、C的坐标
分别为 、 ，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)点B的坐标是 ；
(2)在（1）的条件下，画出 关于原点O对称的 ，点 坐标是 ；
(3)在（1）的条件下，平移 ，使点A移到点 ，画出平移后的 ，点 的坐标是 ，
点 的坐标是
【答案】(1)(2)见解析，
(3)见解析， ，
【分析】本题考查了中心对称作图，平移作图，中心对称与坐标的关系，平移与坐标的关系，属于基础题，
解题的关键是正确作出变换后的图形．
（1）根据点B的位置直接写出坐标，在 轴上的点，其纵坐标是0；
（2）先找出 三点关于原点的对称点 ，再连接对称点 即可，结合图形写出
的坐标；
（3）先找出 三点平移后的对应点 ，再连接对应点 即可，结合图形写出
的坐标．
【详解】（1）解：点B的坐标是 ；
故答案为： ；
（2）解：如图所示：
点 坐标是 ；
故答案为： ；
（3）解：如图所示：
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ．
故答案为： ， ．
15．（2023下·江西抚州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标为 ，
， ， 各顶点的坐标为 ， ， ．(1)在图中作出 关于 轴对称的图形 ；
(2)若 与 关于点 成中心对称，则点 的坐标是______；
(3)在 轴上找一点 ，使得 最小，并写出 点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果）
【答案】(1)作图见解析
(2)
(3)作图见解析，
【分析】（1）由题意确定点 ， ， 的位置，再连线即可；
（2）根据中心对称的性质求解即可；
（3）作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴的交点即为所求的点 ．
【详解】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解： 由 与 关于点 成中心对称，如图所示，则 与 是对称点，
， ，
点的横坐标为 ，纵坐标为 ，即点 的坐标为 ，
故答案为： ；（3）解：如图所示：
点 即为所求， ．
【点睛】本题考查作图 轴对称变换、轴对称 最短路线问题、中心对称，熟练掌握轴对称与中心对称的
性质是解答本题的关键．
16．（2022上·全国·九年级专题练习）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对
称，在平面直角坐标系中，任意两点 ， 、 ， 的对称中心的坐标为 ， ．
观察应用：
(1)如图，在平面直角坐标系中，若点 、 的对称中心是点 ，则点 的坐标为 ；
(2)另取两点 、 ．有一电子青蛙从点 处开始依次关于点 、 、 作循环对称跳动，即
第一次跳到点 关于点 的对称点 处，接着跳到点 关于点 的对称点 处，第三次再跳到点 关于点
的对称点 处，第四次再跳到点 关于点 的对称点 处， 则点 、 的坐标分别为 、 ．
拓展延伸：
(3)求出点 的坐标，并直接写出在 轴上与点 ，点 构成等腰三角形的点的坐标．
【答案】(1)点 的坐标为
(2) 、 的坐标分别为 ， ；
(3) ； 或 或 或 ．【分析】（1）直接利用题目所给公式即可求出点A的坐标；
（2）根据题目所给公式求出 ， ， 的坐标，依此类推即可求出 的坐标；
（3）根据所求出的坐标可得 的坐标和 的坐标相同， 的坐标和 的坐标相同，即每6次为一个周期
进行循环，利用这个规律即可求出点 的坐标；然后分情况讨论，根据等腰三角形的性质求出在 轴上
与点 ，点 构成等腰三角形的点的坐标．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴点 的坐标为 ；
（2）解：∵ ， ，
∴ 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即 ，
∵ ，
∴ 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即 ，
∵ ，
∴ 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即 ，
同理可得： ， ， ， ，
即点 、 的坐标分别为 ， ，
故答案为： ， ；
（3）解： ， ， ， ， ， ， ，
；
的坐标和 的坐标相同， 的坐标和 的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环，
，
的坐标与 的坐标相同，即 ；
∴ ，
设 轴上与点 、点 构成等腰三角形的点为点D，
当 时，点D坐标为 或 ；
当 时，
∵ ，
∴ ，点D坐标为 ；
当 时，点D在 的垂直平分线上，
∴点D与原点重合，点D坐标为 ；综上，在 轴上与点 、点 构成等腰三角形的点的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，中心对称的性质，规律型—点的坐标，等腰三角形的判定和性质，勾股
定理等知识，此题是一个阅读材料的题目，读懂题目，灵活运用题目所给公式是解题的关键．
