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考点 20 导数的概念及其运算
【命题解读】
从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导
数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、
恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将
导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活
应用数学知识分析问题、解决问题的能力.
【基础知识回顾】
1. 导数的概念
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且x∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个
0
常数A，则称f(x)在x＝x 处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x 处的导数，记作f′(x )．
0 0 0
若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自
变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x)．
2. 导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x 处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x ，f(x))处的切线的斜率，过点P的
0 0 0
切线方程为y－y＝f′(x )(x－x)．
0 0 0
3. 基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα f′(x)＝ αx α － 1
续表
基本初等函数 导函数
f(x)＝sinx f′(x)＝ cos x
f(x)＝cosx f′(x)＝ － si n x
f(x)＝ex f′(x)＝ e x
f(x)＝ax(a>0) f′(x)＝ a x ln a
f(x)＝lnx f′(x)＝
f(x)＝logx(a>0，且a≠1) f′(x)＝
a
4. 导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)＝(g(x)≠0)．
5. 复合函数的求导法则
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函
数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y′·u′，即y对x的导数等于
x u xy对u的导数与u对x的导数的乘积．
1、下列求导结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D正确．
故选：D．
2、若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
．
故选：C．
3、（2020·广东肇庆市·高三月考）已知函数 ，则 （ ）A．0 B．1 C．e D．2
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：D
4、 设M为曲线C：y＝2x2＋3x＋3上的点，且曲线C在点M处切线倾斜角的取值范围为，则点M横坐标的
取值范围为(D )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】、 由题意y′＝4x＋3，切线倾斜角的范围是，则切线的斜率k的范围是，∴－1≤4x＋3<0，解
得－1≤x<－. 故选D.
5、下列求导过程正确的选项是( )
A.′＝
B．()′＝
C．(xa)′＝axa－1
D．(log x)′＝′＝
a
【答案】 BCD
【解析】 根据题意，依次分析选项：
对于A，′＝(x－1)′＝－，A错误；
对于B，()′＝ ＝× ＝，B正确；
对于C，(xa)′＝axa－1，C正确；
对于D，(log x)′＝′＝，D正确；
a
则B，C，D正确．
6、（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）若曲线 在 处的
切线斜率为-1，则 ___________.
【答案】
【解析】 ，
.
故答案为:-2.7、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知 ，设函数 的图象在
点（1， ）处的切线为l，则l在y轴上的截距为________ .
【答案】1
【解析】
函数f(x)=ax−lnx,可得 ,切线的斜率为： ，
切点坐标(1,a),切线方程l为：y−a=(a−1)(x−1)，
l在y轴上的截距为：a+(a−1)(−1)=1.
故答案为1.
考向一 基本函数的导数
例1、求下列函数的导数
(1) ； (2) ； (3) ；
(4) ； (5) ； (6) ．
【解析】(1)∵y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，
∴ .
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ＝＝；(6) .
变式1、求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝ln x＋；
(3)y＝.
【解析】、(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.
(3)y′＝′＝＝－.
变式2、求下列函数的导数：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)y＝xsincos.
【解析】、(1)f′(x)＝＝.
(2)由已知f(x)＝x－ln x＋－.
∴f′(x)＝1－－＋＝.
(3)∵y＝xsin cos ＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x，
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x＝－sin 4x－2xcos 4x.
方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：
连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求
导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内
逐层求导，必要时可换元
考向二 求导数的切线方程
例2、(1)函数 的图象在点 处的切线方程为__________．
(2)函数f (x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
【答案】 (1)x－y－3＝0 (2)B
【解析】 (1)f′(x)＝，则f′(1)＝1，故该切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.
（2）函数f (x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．所以
f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－.
因为x>0，所以2－<2，所以a的取值范围是(－∞，2)．变式1、(1)已知曲线S：y＝－x3＋x2＋4x及点P(0，0)，那么过点P的曲线S的切线方程为____．
(2)已知函数f(x)＝xlnx，过点A(－，0)作函数y＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为____．
【答案】（1）y＝4x或y＝x
（2）x＋y＋＝0
【解析】 (1)设过点P的切线与曲线S切于点Q(x，y)，则过点Q的曲线S的切线斜率为k＝
0 0
y′|x＝x＝－2x＋2x＋4，又当x≠0时，k ＝，
0 0 0 PQ
∴－2x＋2x＋4＝. ①∵点Q在曲线S上，∴y＝－x＋x＋4x.②
0 0 0
将②代入①得－2x＋2x＋4＝，化简，得x－x＝0，∴x＝或x＝0，
0 0 0
当x＝时，则k＝，过点P的切线方程为y＝x.
0
当x＝0时，则k＝4，过点P的切线方程为y＝4x，故过点P的曲线S的切线方程为y＝4x或y＝x.
0
(2)设切点为T(x，y)，则k ＝f′(x )，
0 0 AT 0
∴＝lnx＋1，即e2x＋lnx＋1＝0.
0 0 0
设h(x)＝e2x＋lnx＋1，则h′(x)＝e2＋，当x>0时，h′(x)>0，
∴h(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，∴h(x)＝0最多只有一个根. 又h＝e2×＋ln＋1＝0，
∴x＝.
0
由f′(x )＝－1得切线方程是x＋y＋＝0.
0
变式2、已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线方程．
【解析】 (1)由函数f(x)的解析式可知点(2，－6)在曲线y＝f(x)上，∴f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13，
∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，
即y＝13x－32.
(2)(方法1)设切点为(x，y)，
0 0
则直线l的斜率为f′(x )＝3x＋1，
0
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x)＋x＋x－16.
0 0
又∵直线l过点(0，0)，
∴0＝(3x＋1)(－x)＋x＋x－16，
0 0
整理得x＝－8，∴x＝－2，
0
∴y＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
0
f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13，
故直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(方法2)设直线l的方程为y＝kx，切点坐标为(x，y)，则k＝＝.
0 0
又∵k＝f′(x )＝3x＋1，
0
∴＝3x＋1，解得x＝－2，
0
∴y＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
0
k＝3×(－2)2＋1＝13，∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵曲线f(x)的某一切线与直线y＝－＋3垂直，∴该切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x，y)，
0 0
则f′(x )＝3x＋1＝4，
0
∴x＝±1，∴或
0
故切线方程为y－(－14)＝4(x－1)
或y－(－18)＝4(x＋1)，即y＝4x－18或y＝4x－14.
方法总结： 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：
(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．
(3)曲线y＝f(x)“在”点P(x ，y)处的切线与“过”点P(x ，y)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x ，
0 0 0 0 0y)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k＝f′(x )，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过
0 0
点P(x ，y)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
0 0
考向三 导数几何意义的应用
例3、已知函数 ， 和直线 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)是否存在 ，使直线 既是曲线 的切线，又是曲线 的切线？如果存在，求出 的值；
如果不存在，请说明理由．
【解析】：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，
∵f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.
(2)存在．
由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，
则设切点为(x 3x＋6x＋12)．∵g′(x)＝6x＋6，
0, 0 0 0
∴切线方程为y－(3x＋6x＋12)＝(6x＋6)(x－x)，
0 0 0
将(0,9)代入切线方程，解得x＝±1.当x＝－1时，切线方程为y＝9；
0 0
当x＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，
0
①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.
在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；
在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.
②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.
在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；
在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；
∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.
综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.
变式1、已知函数 是 的导函数，则过曲线 上一点
的切线方程为__________________．
变式2：若直线 是曲线 的切线，则实数 的值为________．
【答案】：(1)3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0 (2)－e
【解析】：(1)由f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x得f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，
则a＝f′()＝3－2sin ＋2cos ＝1.由y＝x3得y′＝3x2，
当P点为切点时，切线的斜率k＝3a2＝3×12＝3.又b＝a3，则b＝1，所以切点P的坐标为(1,1)．
故过曲线y＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
当P点不是切点时，设切点为(x，x)，∴切线方程为y－x＝3x(x－x)，
0 0
∵P(a，b)在曲线y＝x3上，且a＝1，∴b＝1.∴1－x＝3x(1－x)，
0∴2x－3x＋1＝0，∴2x－2x－x＋1＝0，∴(x－1)2(2x＋1)＝0，∴切点为 ，
0 0
∴此时的切线方程为 ，
综上，满足题意的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.
(2)设切点为(x，xln x)，
0 0 0
由y′＝(xln x)′＝ln x＋x·＝ln x＋1，得切线的斜率k＝ln x＋1，
0
故切线方程为y－xln x＝(ln x＋1)(x－x)，整理得y＝(ln x＋1)x－x，与y＝2x＋m比较得
0 0 0 0 0 0
解得x＝e，故m＝－e.
0
变式3、(2019常州期末） 若直线kx－y－k＝0与曲线y＝ex(e是自然对数的底数)相切，则实数k＝
________．
【答案】、 e2
【解析】、设切点 A(x ，ex)，由(ex)′＝ex，得切线方程为 y－ex ＝ex(x－x)，即y＝exx＋(1－
0 0 0 0 0 0
x)ex，所以解得
0 0
方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，
进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数 的图像在点 处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
故选：B．2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线 在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则
A． B．a=e，b=1
C． D． ，
【答案】D
【解析】∵
∴切线的斜率 ， ，
将 代入 ，得 .
故选D．
3、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数 .若 为奇函数，则曲线
在点 处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a−1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x，f '(x)=3x2+1，
所以f '(0)=1,f(0)=0，
所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y−f(0)=f '(0)x，化简可得y=x.
故选D.
4、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线 在点 处的切线方程为____________．
【答案】
【解析】所以切线的斜率 ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，即
5、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ________．
【答案】−3
【解析】 ，则 ，所以a=−3.
6、【江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初】给出下列三个函数：① ；② ；③
，则直线 ( )不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序
号）．
【答案】①
【解析】直线 的斜率为k＝ ，
对于① ，求导得： ，对于任意x≠0， ＝ 无解，所以，直线 不能作为切线；
对于② ，求导得： 有解，可得满足题意；
对于③ ，求导得： 有解，可得满足题意；
故答案为：①
7、【江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测】已知函数 ，若曲线
在点 处的切线方程为 ，则 的值为_______.
【答案】3e
【解析】因为 ，所以 ，
则 ，又曲线 在点 处的切线方程为 ，
当 时， ，即 ，
所以有 ，解得 .
因此 ，所以 .
故答案为
8、【2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)】如图，曲线 在点 处
的切线为 ，直线 与 轴和直线 分别交于点 、 ，点 ，则 的面积取值范围为
_____．
【答案】
【解析】 的导数为 ,
在点 处的切线斜率为 ,切点为 ,
切线方程为
令 可得 ；令 ,可得 ,则 的面积为 ,
由 ,
当 时, ,函数 递增；当 时, ,函数 递减,
可得 处 取得极大值,且为最大值 ,
且 时, ； 时, ,
可得 的面积取值范围为 ,
故答案为： .
