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第一章 三角形的证明
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要
求的）
1．（2021·湖南邵阳市·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=40°，则∠C的
度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】D
【详解】
解： 为 中点，
平分 ，
在 中，
故选：D．
2．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）等腰三角形的周长为 ，其中一边长为 ，则该
等腰三角形的底边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： 等腰三角形的周长为 ，其中一边长为 ，
当 为腰长时，则另一腰为 ，
此时底边为
而 故不合题意舍去，
当 为底边时，则腰为：
此时 ＞ 符合题意，
所以等腰三角形的底边长为：
故选：
3．（2021·安徽蚌埠市·八年级期末）如图，在 中， 是 的角平分线， ，若
，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
4．（2020·甘肃天水市·八年级期末）已知 中， 、 、 分别是 、 、 的对边，下列条
件中不能判断 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：A、∠A：∠B：∠C=3：4：5，且∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=75°≠90°，故△ABC不是直
角三角形；
B、因为∠C=∠A-∠B，且∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=90°，故△ABC是直角三角形；
C、因为a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形；
D、因为a：b：c=6：8：10，设a=6x，b=8x，c=10x，（6x）2+（8x）2=（10x）2，故△ABC是直角三角形．
故选：A．
5．（2021·浙江湖州市·八年级期末）如图，用尺规作 斜边 的垂直平分线，其中
，现有以下结论：
① ；② ；③ ；④ ．其中正确
的是（ ）A．①② B．①②③ C．①③④ D．①④
【答案】D
【详解】
∵MN是BC的垂直平分线，
∴BD=CD
∵BD+AD=AB
∴CD+AD=AB
故①正确；
∵在三角形ADC与三角形EDC中，
已知：CD=CD， ，条件不足，无法证明全等，
故②错误；
∵②中无法证明全等，
∴
故③错误，
∵ ，BD=CD
∴
∴
故④正确，
故选：D．
6．（2021·河南开封市·八年级期末）等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是40°，则这
一等腰三角形的底角为（ ）
A．65° B．25° C．50° D．65°或25°
【答案】D
【详解】
解：①当为锐角等腰三角形时，如图：∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，
∴∠A＝50°，
∴∠B=∠C= =65°；
②当为钝角等腰三角形时，如图：
∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，
∴∠BAC＝∠ADE+∠AED＝40°+90°＝130°，
∴∠B=∠C= =25°．
故选：D．
7．（2021·北京通州区·八年级期末）如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半
径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP
交BC于点E，如果AB＝3，AC＝4，那么线段AE的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝ ，
根据作图过程可知：AP是BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，AE⊥BD，
∴△ABC的面积： AB•AC＝ BC•AE，
∴5AE＝12，
∴AE＝ ．
故选：A．
8．（2020·寿光市实验中学八年级期中）已知，在 中， ，且 ，应用尺规作图
中构造 边上的高 ，下列作图中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
根据尺规作图的痕迹，应为以A为圆心画圆交BC于点D，再分别以C，E为圆心画弧即可得到垂直，故A
正确；
以AE为半径做圆弧，再以此弧与AC的交点为圆心，交点和E点距离为半径作圆弧，则可得到
，故B错误；取角B的度数，然后再A点画两个30°的角，则 ，则 ，故C正确；
D项分别以点B为圆心，AB为半径和点C为圆心，AC为半径画弧，相交于点E，可得△ABE和△ACD
是等腰三角形，即可证明BD是两个三角形底边的垂直平分线，即可得到结果；
故选：B．
9．（2020·无锡市钱桥中学八年级月考）如图，已知 中， ， 为 内一点，过
点 的直线 分别交 、 于点 、 ．若 在 的中垂线上， 在 的中垂线上，则
的度数为（ ）．
A．100° B．105° C．115° D．无法确定
【答案】C
【详解】解：∵∠ABC＝50°，
∴∠BMN＋∠BNM＝130°．
∵M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，
∴AM＝PM，PN＝CN．
∴∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN．∵∠BMN＝∠MAP＋∠MPA，∠BNM＝∠CPN＋∠PCN，
∴∠MPA＝ ∠BMN，∠CPN＝ ∠BNM．
∴∠MPA＋∠CPN＝ （∠BMN＋∠BNM）＝ ×130°＝65°．
∴∠APC＝180°－65°＝115°．
故选：C．
10．（2021·安徽安庆市·八年级期末）如图O是 内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离
．若 ，则 （ ）．
A．125° B．135° C．105° D．100°
【答案】A
【详解】
解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= ×110°=55°，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-55°=125°．
故选：A．
11．（2021·广西钦州市·八年级期末）如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至E，使
，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB＝60°，
∵BD是AC上的中线，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠CBD＝∠DEC，
∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，
故ABC均正确．
故选：D．
12．（2020·内蒙古赤峰市·八年级期中）如图，在 中， ，BD是角平分线，若
， ，则点 到 的距离是（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【答案】C
【详解】解： ∵ ， ，
∴CD＝10× ＝4cm，
∵BD是角平分线，∠C＝90°，过D点作DE⊥AB，
∴点D到AB的距离DE=CD＝4cm，
故选：C．13．（2020·江西萍乡市·八年级期末）将等腰Rt ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB′C′，若AC=1，则
图中阴影部分面积为（ ）
△
A． B．3 C． D．
【答案】D
【详解】
如图，设B′C′与AB交点为D，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∵△AB′C′是△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到，
∴∠CAC′＝15°，AC′＝AC＝1，
∴∠C′AD＝∠BAC−∠CAC′＝45°−15°＝30°，
∵AD＝2C′D，
∴ ＝A C′2＋C′D2，
即（2C′D）2＝12＋C′D2，
解得C′D＝
故阴影部分的面积＝
故选D．14．（2021·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）如图，以△ABC的边AB、AC为边向外作等边△ABD与等边
△ACE，连接BE交DC于点F，下列结论：①CD=BE；②FA平分∠DFE；③∠BFC=120°；④
．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【详解】
解：过点A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，过点C作CH⊥BE于H，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE，∠AEB=∠ACD，故①正确
∵△ADC≌△ABE，
∴AM=AN．
∵AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，
∴AF平分∠DFE，故②正确．
∵∠AEB=∠ACD，
∴∠AEC+∠ACE=120°=∠AEB+∠BEC+∠ACE，
∴∠ACF+∠BEC+∠ACE=120°，∴∠BFC=∠ACF+∠BEC+∠ACE=120°，故③正确，
∴∠DFE=120°，
∴∠DFA=∠EFA=60°=∠CFE．
∵AN⊥BE，CH⊥EF，
∴∠FAN=∠FCH=30°，
∴
∴
∴ 故④正确．
故选： ．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2021·河南开封市·八年级期末）如图，在 中， ， ，AD平分 交
BC于D， 于E，若 的周长是4cm，则AB的长为_________cm．
【答案】4
【详解】
解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt ACD和Rt AED中，
△ △
，
∴Rt ACD≌Rt AED（HL），
∴AE=AC，
△ △
∵AC=BC，
∴BC=AE，
∵△BDE的周长=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=BE+AE=AB，
∴AB=4cm．
故答案为：4．16．（2021·河南周口市·八年级期末）如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=70°，分别以点A、C为圆心，大
于 的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，分别交AC、BC于点D、E，连结AE，则
∠AED的度数是______°．
【答案】50；
【详解】解：∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴CE=AE，∠ADE=90°，
∴∠C=∠CAE，
∵AC=BC，∠B=70°，
∴∠BAC=70°，
∴∠C=180°-2×70°=40°，
∴∠AED=90°-40°=50°，
故答案为：50．
17．（2021·山东潍坊市·八年级期末）如图， 为等边三角形， 则 的度数是
_________．
【答案】
【详解】
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°
∴∠3+∠BCE=60°
∵∠2=∠3
∴∠2+∠BCE=60°
∴∠BEC=180°-（∠2+∠BCE）=120°．
故答案为：120°
18．（2021·湖北十堰市·八年级期末）如图，已知A（1，3），在坐标轴上找点B，使△AOB为等腰三角形，符合条件的点有____个．
【答案】8
【详解】
先假设点B在x轴上，可设B点的坐标为 ，
当OA=AB时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴点B的坐标是 ；
当OA=OB时，
∴
∴
∴ ，
∴点B的坐标为 ， ；
当OB=AB时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点B的坐标为 ；
综上所述，B点的坐标为 ， ， ， ；
同理可得当点B在y轴上时，点B的坐标是 ， ， ， ；
∴符合条件的点B有8个；故答案是8．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2021·福建福州市·八年级期末）如图，在 中， 是边 上一点， 是边 的中点，作
交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【详解】
（1）证明： 是边 的中点，
．
又 ，
．
在 与 中，
；
（2）解： ，
，
又 ，
．
是边 的中点， ，
．
．
．
20．（2021·山西临汾市·八年级期末）如图所示，在图①和图②的网格中，小正方形的边长均为1．（1）请在图①中画出端点在格点的线段 和 ，使 ， ，并选择其中的一个说明
理由
（2）如图②， 是一个格点三角形，这个三角形是直角三角形吗？为什么？
【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形，见解析
【详解】
解：（1）如图MN、EF即为所求，
理由： 小正方形的边长均为1，
,
（2）是直角三角形，
理由： ， ，
是直角三角形．
21．（2021·湖南长沙市·八年级期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线PQ与△ABC的外角平分线交于
点P，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E．（1）求证：BD=AE；
（2）若BC=6，AC=4．求CE的长度．
【答案】（1）见解析；（2）CE=1
【详解】
（1）连接PA、PB，
∵CP是∠BCE的平分线，PD⊥BC，PE⊥AC，
∴PD=PE，
在Rt CDP和Rt CEP中，
△ △
，
∴Rt CDP≌Rt CEP（HL）
∴CD=CE，
△ △
∵PQ是线段AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
在Rt AEP和Rt BDP中，
△ △
，
∴Rt AEP≌Rt BDP（HL），
∴AE=BD；
△ △
（2）AC+CE+CD=BD+CD=BC=6，
∴ ．
22．（2021·江苏南京市·八年级期末）问题：如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的
A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃
气站，所得路线ACB是最短的．
为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC＋CB＜AC'＋
C'B．请完成这个证明．
（2）如图③，点P为∠MON内的一个定点，在OM上有一点A，ON上有一点B．请你作出点A和点B的
位置，使得△PAB的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法）在上述条件下，若∠MON＝40°，则∠APB＝
°．【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析，100
【详解】
证明：（1）如图②，连接 ，
∵点A，点 关于l对称，点C在l上，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∵ ＜ ，
∴AC＋BC＜ ；
（2）如图所示，点A、B即为所求，
由轴对称的性质可得：故答案为：100°．
23．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图，点 为定角 的平分线上的一个定点， ，
，且 与 互补，若 在绕点 旋转的过程中，其两边分别与 ， 相交于
， 两点．
（1）试判断 的形状，并给出证明；
（2） 的值是否为定值？若是请求出这个定值，若不是，请说明理由；
（3）四边形 的面积是否为定值？请说明理由．
【答案】（1） 为等边三角形，证明见解析；（2） 的值是定值，定值为 ，理由见解析；
（3）四边形 的面积是一个定值，理由见解析．
【详解】
（1）证明：如图作 于 ， 于 ．
，
，
，
又 ，
，
平分 ， 于 ， 于 ，
，
在 和 中，，
，
．
又 ， ，
，
为等边三角形．
（2） 的值是定值．
理由：在 和 中，
，
，
， ，
又 ，
，
．
在 中， ，
，
3， ，
．
（3）四边形 是一个定值，
理由： ，
，四边形 的面积是一个定值．
24．（2021·山东滨州市·八年级期末）（问题提出）（1）如图， 与 均是顶角为 的等腰
三角形， 、 分别是底边，求证： ；
（类比延伸）（2）如图， 与 均为等边三角形，点 、 、 在同一直线上，连接 ．填
空： 的度数为______；线段 与 之间的数量关系为______．
（拓展研究）（3）如图， 与 均为等腰直角三角形， ，点 、 、
在同一直线上， 于点 ，连接 ．请求出 的度数及线段 、 、 之间的
数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）120°， ；（3）90°， ，见解析
【详解】
（1）证明：∵ ，∴ ，即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵△ABC和△ADE均是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，
∵∠ADE=60°，
∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°，
故答案为：120°，BE=AD；
（3）解：∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
即线段 、 、 之间的数量关系为： ．
25．（2021·河南洛阳市·八年级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝
110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【答案】（1）详见解析；（2）△AOD是直角三角形，理由详见解析；（3）当α＝110°或125°或140°时，
△AOD是等腰三角形．
【详解】
解：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC．
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，∠α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝∠α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
26．（2021·四川达州市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 交坐标轴于 两点，
过：x轴正半轴上一点 作直线 交 轴正半轴于点 ，且 ．
（1）求出直线 对应的函数表达式；
（2）点 是线段 上一动点（不与点 重合）， 交 于点 ，连接 ．判断
的形状，并说明理由；
（3）若 为直线 上的点， 为 轴上的点，请问：直线 上是否存在点 ，使得 是
以 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）等腰直角三角形；见解析；（3）存在， 或
【详解】
（1）把 代入 得：
把 代入 得： ，
设直线 对应的函数表达式为：
把 代入 得： ，解得：
直线 对应的函数表达式为：
是等腰直角三角形．理由如下：
又
即
即
在 与 中，
又
是等腰直角三角形
（3）直线 上存在点 ，使 得是以 为直角顶点的等腰三角形．
在直线 上，代入 得：
当点 在点 下方时，如图一所示连接 ，过点 作 交 的延长线于 点轴且 点 的纵坐标为
是以 为直角顶点的等腰三角形
在 与 中，
点的纵坐标为
把 代入 中得：
当点 在点 上方时，如图二所示 点作 轴，过点 作 于 点，过 点作
交 的延长线于 点．则
点的橫坐标为 ，
则
是以 为直角顶点的等腰三角形
在 与 中，
点的纵坐标为
点的纵坐标为
把 代入 中得：
综上所述，直线 上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰三角形．且 或 ．
