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七年级数学·上 新课标[北师]
第一章 丰富的图形世界
1.在具体的情境中,认识并能够辨别出基本的几何体.
2.进一步认识点、线、面、体,感受点、线、面、体之间的关系.
3.通过展开与折叠活动,了解棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图,认识棱柱的某些特性,能根
据展开图判断和制作简单的立体模型.
4.进一步认识立体图形与平面图形的关系,了解立体图形可由平面图形围成,立体图形可
展开为平面图形,了解圆柱、圆锥的侧面展开图,能根据展开图判断立体模型.
5.让学生通过对一些几何体进行切和截的过程,初步了解空间图形与截面的关系,理解截
面的意义.
6.能够熟练地画立方体及其简单组合体的三种形状图.
1.经历展开与折叠、模型制作等活动,发展空间观念,积累数学活动经验.
2.在动手实践制作的过程中学会与他人合作,学会交流自己的思维与方法.
3.通过展开与折叠的实践操作,在经历和体验图形的转换过程中,初步发展学生的空间观
念,发展几何意识和感知.
4.经历“从不同方向观察物体”的活动过程,发展学生的空间观念和合理的想象.
5.通过观察和动手操作,经历和体验简单组合体的三种形状图的变化的过程,培养实验操
作能力,进一步发展空间观念.
1.有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中,让学生逐步学会表达自我和倾听他人,
提高学生合作交流的意识和技能.
2.体验数学与日常生活是密切相关的,认识到许多数学研究的原型都源于生活实际,反过
来,众多的实际问题也可以借助数学方法来解决.
3.通过活动体验学习数学的快乐,增强学生学习数学的求知欲和数学活动的经验,并在合
作学习中获得成功的体验,增强自信心,提高学习数学的兴趣,培养学生的合作、探究精神.
《丰富的图形世界》是初中数学学习领域“空间与图形”中的最基础部分.“空间与图
形”学习的核心目标是发展学生的空间观念,这一章为实现这个目标打下了坚实的基础.本章
从生活中最常见的立体图形入手,经历从具体到抽象,再由抽象到具体的过程.从现实世界实
物的考察开始,从中抽象出简单的几何体及点、线、面的一些性质,再通过展开与折叠、切截、
从不同方向看等活动,在平面图形与几何体的转换中发展学生的空间观念,最后,由立体图形
转向平面图形,使学生能从生活中抽象出简单的平面图形,并能了解一些简单的性质. 展开与
折叠、切截、从不同方向看,是认识到事物的重要手段,在学习过程中,要亲自去展开与折叠、
切截,亲自去观察、思考,并与同伴交流,从而积累有关图形的经验,发展空间观念.本章主要包
括三个方面:
1.基本知识——圆柱、圆锥、长方体(正方体)、棱柱等基本几何体的认识及其展开图、
截面和物体形状图的基本性质.
2.基本活动——观察以及各种操作活动(展开、折叠、切截、从不同方向看),及其想象、
转换与推理.
3.发展空间观念——从直接到抽象、从实物操作到空间想象和转换.【重点】
1.认识常见几何体的基本特征.
2.进一步认识点、线、面、体,了解有关点、线及某些平面图形的简单性质.
3.简单几何体的展开、折叠和切截.
4.能认识简单物体的从三个不同的方向看到的几何体的形状,会画立方体及简单组合体
的从三个不同的方向看到的几何体的形状.
【难点】
1.画立方体及简单组合体的从三个不同的方向看到的几何体的形状.
2.简单几何体的展开、折叠和切截.
1.充分利用现实情境以及现实生活中大量存在的物体进行教学,鼓励学生从现实世界中
发现图形.例如,教材中提供了与学生日常学习和生活息息相关的各种实物图片及各种典型建
筑物的图片等,试图让学生从中找到相应的几何体.教学中,在充分利用好这些资源的同时,还
可以展示一些其他图片或观察周围的物体,如粉笔盒、字典、水杯等,尽可能让学生从身边去
发现几何体.
2.强调学生的动手实践和主动参与,让他们在观察、操作、想象、交流等大量活动中,积
累有关图形的经验,发展空间观念. 动手操作是学生学习过程中的重要一环,在学习的开始阶
段,它可以帮助学生认识图形,以后它可以用来验证学生的空间想象.因此,在学习之初,应鼓励
学生先动手、后思考,然后逐步过渡到先想象、再动手.如为了让学生认识圆柱、圆锥、正方
体、球等简单几何体,了解它们的特征,在教学中,可以让学生闭眼用手摸各种实物的方法猜
几何体,以加深对几何体特征的理解.
3.在保证基本要求的同时,应有意识地满足学生多样化的学习需求.学生的思维水平和思
考问题的
方式方法是存在差异的,在教学中要正确对待这种现象,让学生都有展示自己不同方法的
机会,并且对学生的要求不能一概而论.如对棱柱模型的制作,不同学生可能有不同的制作方
法,在正方体表面展开图的学习中,对所有学生可要求剪切,得出相应的展开图.
4.充分利用现代信息技术手段,丰富学生的学习资源,生动地展示图形.有些操作活动在课
堂上较难通过实际操作实现,这时可以充分利用现代技术手段,如设计动画切截圆柱、正方体
等几何体会比现场操作更形象、生动.
1 生活中的立体图形 2课时
2 展开与折叠 2课时
3 截一个几何体 1课时
4 从三个方向看物体的形状 1课时
本章概括整合 1课时
1 生活中的立体图形1.在具体情境中认识生活中常见的几类几何体,学会用准确的语言描述它们的特征,并对
它们进行分类.
2.认识点、线、面,理解点、线、面的相互关系.
3.培养观察与概括能力、判断与分类能力以及语言表达能力.
4.熟练掌握几种特殊棱柱的线和面的特点.
通过引导,让学生在不断实践中学习知识,从而激发学生的学习兴趣,提高他们的学习积
极性.
1.通过认识生活中常见的立体图形,激发起对图形学习的好奇心和求知欲.
2.初步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识.
3.感受数学与生活的密切联系,体会数学的价值.
【重点】
1.认识常见的几何体,并用语言描述它们的某些特征.
2.认识点、线、面,初步感受点、线、面的关系.
【难点】
1.常见的几何体的分类以及用语言描述它们的某些特征.
2.知道“面与面相交得到线、线与线相交得到点”的事实.
第 课时
1.能够在日常生活和具体情境中感知、认识圆柱、圆锥、长方体、正方体、棱柱、球
等几何体.
2.能够准确地描述出各种几何体的主要特征,并且能够进行辨析.
经历从现实世界中抽象出图形的过程,通过丰富的生活实例,进一步认识立体图形的形状
及结构特征.
1.使学生感受图形世界的丰富多彩,激发学生学习空间图形的兴趣.
2.鼓励学生间交流、活动、合作,初步形成参与数学活动、主动合作的意识.【重点】 认识常见的几何体,并用语言描述它们的某些特征.
【难点】 常见几何体的分类以及用语言描述它们的某些特征.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 搜集常见的立体图形.
导入一:
大家生活在一个丰富的图形世界里,在我们的周围,你会发现很多图形,它们美化了我们
生活的空间.(同时多媒体出示图片)观察图片中有没有我们所熟悉的几何体.
[设计意图] 通过图片的展示使学生能够在丰富多彩的现实生活中辨认出特征鲜明的
几何体,意识到我们所学习的这些几何体大到建筑物、小到日常生活用品,在现实生活中广泛
存在,感受到图形世界的丰富多彩,体会数学与生活的紧密联系,同时激发学生的学习兴趣.
导入二:
今天,老师准备了“一架直升机”,带领同学们插上梦想的翅膀去飞行,我们飞向了祖国
的蓝天,飞呀、飞呀,我们飞到了一座现代化大城市的上空,翻开课本看第一章的彩图,这座城
市多漂亮啊!我们在欣赏这个城市的美景时,不妨用数学的眼光观察一下,这个美丽的城市也
是我们的数学世界——丰富的图形世界,你能从中发现哪些熟悉的图形?
在我们生活的周围有很多这样的图形,而正是这些丰富的图形使我们生活的环境变得很
美丽.同学们是未来这些城市和乡村的建设者,老师相信,通过学习第一章“丰富的图形世
界”,将来用这些图形去描绘我们的城市和乡村,一定会使它们变得更美丽.接下来,我们就来
认识一下生活中常见的立体图形.[设计意图] 借助教材第一页彩图和生活实际经验引入新课,可以让学生一方面明白要
学习的主要内容,另一方面又可以使学生明白数学和生活息息相关,同时也为下一步的学习做
好铺垫.
[过渡语] 同学们,我们生活的周围就是一个丰富的图形世界,生活中处处有数学,下面我
们一起走进丰富的图形世界吧!
探究活动1 常见的几何体
(展示)这是小明书房的一角,观察图片思考下列问题:
(1)在小明的书房中,哪些物体的形状与你在小学学过的几何体类似?
(2)你能找出图片中与笔筒形状类似的物体吗?
(3)通过对你的周边物体的观察、想象,归纳一下常见的几何体有哪些?
【师生活动】 学生小组讨论,教师巡视、听取意见,归纳总结.
(展示)下面是一些常见的几何体.
[设计意图] 教师可以依据提出的问题,通过学生的回答让他们直观地感受常见的几何
体,为下一步学习几何体的分类打下了基础,接着让学生举例说明生活中还有哪些物体与上述
几何体类似,学生回答如“教学楼门厅里的柱子是圆柱形的”“魔方是正方体形状”“圣诞
老人的帽子是圆锥形的”“足球是球形”“超市里有些牛奶的包装盒是长方体形状”“铅
笔的形状是棱柱形”……此时教师总结得出七种常见的几何体.利用学生已学过的几何体给
出实际例子,让学生把生活中的实物抽象成几何体,既符合学生的认知规律,又让学生对所学
知识有熟悉感,进而有学习的信心和兴趣,激发学生的求知欲,同时通过这个环节让学生经历
从现实世界中抽象出图形的过程,感受图形世界的丰富多彩.
探究活动2 几何体的分类
(1)观察几何体,根据它们的特点对它们进行分类.
(2)了解几何体常见的三种分类方法.
【归纳总结】 分类方法一:
柱体:长方体、正方体、圆柱、棱柱.
锥体:圆锥、棱锥.
球体:球.
分类方法二:
曲面组成的几何体:圆柱、圆锥、球.
平面组成的几何体:长方体、正方体、棱柱、棱锥.
[设计意图] 先通过观察几何体的特征,展示简单的分类方法.接着让学生对七种常见几何体进行分类,提出可以根据几何体的特点给出不同的分类方式.此时小组讨论交流得出答案.
学生的方法很多,教师要给予肯定,只要理由充分即可,同时教师展示两种常见的分类方法.让
学生通过观察几何体的特征,进一步了解几何体,并通过小组合作培养他们的协作交流的意识.
探究活动3 认识棱柱
思路一
请学生自学教材第2~3页,思考以下问题.
(1)与笔筒形状类似的几何体称为棱柱.以六棱柱为例认识棱柱的顶点、侧棱、侧面、底
面.
(2)棱柱的侧棱、底面、侧面有何特点?
棱柱的所有侧棱长都相等,棱柱的上、下底面的形状相同,侧面的形状都是平行四边形.
(3)长方体和正方体是棱柱吗?
(4)棱柱的分类有哪些?
①人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它
们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……
②棱柱又分为直棱柱和斜棱柱(如下图所示).本书讨论的棱柱都是直棱柱.
思路二
[过渡语] 我们知道,有些几何体有相同点,也有不同点,你能正确地进行辨别吗?
(1)圆柱与圆锥:
不同点 相同点
圆柱
圆锥
(2)棱柱与圆柱:
不同点 相同点
棱柱
圆柱
【归纳总结】
(1)圆柱与圆锥的相同点与不同点.
相同点: 底面都是圆,侧面都是曲面.
不同点:①圆柱有两个大小相同的底面,而圆锥只有一个底面;②圆柱没有顶点,而圆锥
有一个顶点.
(2)棱柱与圆柱的相同点与不同点.
相同点:都有上、下两个底面,都有侧面.
不同点:①棱柱的两个底面是形状和大小完全相同的多边形,圆柱的两个底面是大小相
同的圆;②棱柱的侧面是长方形,圆柱的侧面是曲面;③棱柱有顶点,圆柱没有顶点.
[设计意图] 先以六棱柱为例介绍棱柱的顶点、侧棱、侧面、底面;接着小组合作探索
棱柱的侧棱、侧面、底面的特点;学生回答后提出问题,长方体、正方体是棱柱吗?让学生判
断,从而更熟悉棱柱的特点,也为下面棱柱的命名做了铺垫.从棱柱的命名引申到棱锥的命名,
进而简述了多面体.对于棱柱的分类点明即可.教学中,要注意鼓励学生按照自己的理解描述
这些几何体,并适时进行点评和提升;在小组讨论活动中,要注意提醒学生倾听他人的见解,适
时、合理地表述自己的观点.这一活动,促进了学生的表达与交流,从而可以更为理性地表达
自己的观点,学习他人经验,同时认识到不同几何体的共性与个性,为后续学习几何体的组成
提供了依据.教师以表格的形式体现出来,使学生们更容易记忆.
[知识拓展] 1.圆柱、圆锥的异同点:相同点是底面都是圆,侧面都是曲面;不同点是圆柱有三个面,上、下两个面的形状完全相同,是平行的两个圆面,侧面是曲面,圆锥有两个面及一
个顶点.
2.圆柱和棱柱的异同点:相同点是都有互相平行、形状、大小完全相同的上、下两个面;
不同点是圆柱有三个面,上、下两面都是圆,侧面是曲面,棱柱有多个面,上、下面都是多边形,
侧面是平的,侧面的个数与底面的边数相等.
(1)观察下列多面体,并把表格补充完整;
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数
6 8 10 12
a
棱数b 9 12 15
面数c 5 6 7 8
(2)观察上表,你能发现a,b,c之间有什么关系吗?请写出关系式.
解:(1)表格中空白处应填18.
(2)三棱柱的顶点数为:3×2=6,棱数为:3×3=9,面数为:2+3=5;
四棱柱的顶点数为:4×2=8,棱数为:4×3=12,面数为:2+4=6;
五棱柱的顶点数为:5×2=10,棱数为:5×3=15,面数为:2+5=7;
六棱柱的顶点数为:6×2=12,棱数为:6×3=18,面数为:2+6=8.
所以a+c - b=2.
如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,那么
这个多面体叫做棱锥.如下图所示的是一个四棱柱和一个六棱锥,它们各有12条棱.下列选项
中和九棱锥的棱数相等的是 ( )
A.五棱柱B.六棱柱
C.七棱柱D.八棱柱
〔解析〕 九棱锥的侧面有9条棱,底面是九边形,也有9条棱,共9+9=18条棱.A.五棱柱
共15条棱,故A错误;B.六棱柱共18条棱,故B正确;C.七棱柱共21条棱,故C错误;D.八棱柱共
24条棱,故D错误.故选B.
1.常见的几何体:
正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球.
2.几何体的分类方法:
(1)可按柱体、锥体、球体来分;
(2)可按有无顶点来分;
(3)可按平面、曲面来分.
正确识别常见的几何体,特别注意不要混淆棱柱和棱锥,要求掌握柱体和锥体的本质特点,
能正确区分.
1.下列立体图形中是圆柱的为 ( )解析:根据圆柱的性质,可知圆柱的两个底面都是圆形,且大小相同,选项A是圆柱,选项B
是圆锥,选项C是圆台,选项D是正方体.故选A.
2.长方体的面的个数是( )
A.8 B.6 C.5 D.4
解析:长方体是特殊的四棱柱,所以根据其性质可知,长方体有6个面,包括2个底面和4
个侧面.故选B.
3.下列说法不正确的是( )
A.圆锥和圆柱的底面都是圆
B.棱锥底面边数与侧棱数相等
C.棱柱的上、下底面是形状、大小相同的多边形
D.长方体是四棱柱,四棱柱是长方体
解析:长方体是特殊的四棱柱,四棱柱不一定都是长方体,长方体的棱与底面垂直,当四棱
柱的棱与底面不垂直时就不是长方体.故选D.
4.下列说法正确的是 ( )
①教科书是长方形;②教科书是长方体,也是棱柱;③教科书的各个面是长方形.
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
解析:教科书是立体图形,属于长方体,其各个面都是长方形.故选C.
5.下面图形:①三角形;②长方形;③正方体;④圆;⑤圆锥;⑥圆柱.其中属于立体图形
的是 .(填序号即可)
解析:根据立体图形的性质,可知立体图形都占有一定的空间,所以立体图形有③⑤⑥.故
填③⑤⑥.
6.生活中的物体可以抽象成立体图形,请在横线上填上相应的几何体.
①足球: ; ②魔方: ;
③硬币: ; ④漏斗: ;
⑤砖块: .
解析:根据生活经验和实物可得:①球;②正方体;③圆柱;④圆锥;⑤长方体.
答案:①球 ②正方体 ③圆柱 ④圆锥 ⑤长方体
第1课时
1.常见的几何体
正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球
2.几何体的分类方法
(1)可按柱体、锥体、球来分
(2)可按有无顶点来分
(3)可按平面、曲面来分
3.认识棱柱
一、教材作业
【必做题】
教材第4页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第4页习题1.1的1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列立体图形中有十四条棱的是 ( )
2.六棱柱的棱的个数是( )A.17B.18C.19D.20
3.把下列立体图形的名称填在相应的括号内.
4.长方体有 个顶点,经过每个顶点有 条棱,共有 条棱.
【能力提升】
5.连线题:把下列立体图形与对应的图形名称用线连接起来.
6.将下图中的几何体进行分类,并说明理由.
【拓展探究】
7.如右图所示,已知一个正方体的六个面上分别写着六个连续的整数,且每两个相对面上的两
个数的和都相等,图中所看到的数是16,19和20,求这六个整数的和.
【答案与解析】
1.D(解析:正方体有12条棱,四棱锥有8条棱,圆柱没有棱.故选D.)
2.B(解析:因为六棱柱的每个底面有6条棱,所以两个底面共12条棱,侧棱共有6条,所以六棱
柱的棱的个数是12+6=18.故选B.)
3.圆柱 五棱锥 三棱柱 球(解析:根据图形的形状和性质可以直接判定,关键是明确各个立
体图形的名称.)
4.8 3 12 (解析:可先画出长方体,然后根据图形
作答.)
5.解:如下图所示.6.解:可分为两类:一类是(1)(4)(6);另一类是(2)(3)(5).分类的依据是几何体的各面是平面还是曲
面.答案不唯一,合理即可.
7.解:根据题目条件可得,当六个数分别为15,16,17,18,19,20时,16和19为相对的数字,不符合
题意;当六个数分别为16,17,18,19,20,21时,符合题意,所以每对相对的数字之和为37,故这六
个整数的和为111.
1.通过展示大量的图片,给予学生感官上的认识和感悟,能使学生较好地理解几何体.
2.寻找教材以外的资源,提高搜集、处理信息的能力.
3.理论与实际相结合,加深对生活中立体图形的认识和理解.
1.学生虽然有了一定的识图能力,但是画图能力还很欠缺.
2.本课时活动设计较多,时间较为紧张,在学生有一定的生活经验和基础时,可适当减少活
动.
1.活动设计要精简,必要的予以补充,形象较为明确的可以删掉.
2.给予学生充分的讨论、交流的时间,使学生在提高兴趣的同时,加深对知识的理解.
随堂练习(教材第4页)
1.解:答案不唯一.例如,六角螺母的形状类似于棱柱;圆筒形茶叶盒类似于圆柱;某些冰淇淋的
形状类似于圆锥;篮球、排球、足球的形状类似于球.
2.解:第一行:5,6,9;第二行:6,8,12.
习题1.1(教材第4页)
1.解:五棱柱有7个面,10个顶点,15条棱.六棱柱有8个面,12个顶点,18条棱.七棱柱有9个面,
14个顶点,21条棱.验证略.
2.解:(1)两个底面是六边形,侧面是长方形,两个底面的形状、大小完全相同,六个侧面的形状、
大小完全相同. (2)6×5×4=120(cm2).
3.解:答案不唯一.若按柱体、锥体、球体划分,则(1)(2)(4)(6)(7)是一类,即柱体.(5)是锥体.(3)是
球体.
4.解:(1)圆柱. (2)长方体. (3)球和圆柱. (4)六棱柱.
5.解:(1)圆柱. (2)圆柱. (3)圆柱和圆锥. (4)长方体和球.
6.解:都有上、下两个底面,且两底面形状、大小完全相同.(答案不唯一)(1)本节课为进入初中的第一课时,要求学生经历从现实世界中抽象出图形的过程,感受图
形世界的丰富多彩,并在具体情境中认识圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球,学会用自
己的语言描述它们的特征.教学中注意让学生经历从具体到抽象,再由抽象上升到具体的学习
过程,并在恰当时介绍几何的由来和学习几何的主要任务:识图、作图、测图(计算)、推理,研
究和掌握一些基本图形的性质.
(2)学生生活在一个丰富的图形世界里,让学生从生活中寻找并识别各种几何体是进行图
形认识的很好途径.
(3)教材呈现了生活中的一些物体,要求学生能从中“发现”熟悉的几何体.教师可以根
据当地实际,选择其他实物或图片进行教学,也可以鼓励学生列举生活中常见的几何体,引导
学生回忆小学学习过的几何体的特征,鼓励学生用自己的语言描述几何体的特征.
如下图所示的8个几何体.
其中,几何体是柱体的序号为 ;几何体是锥体的序号为 ;几何体是球体
的序号为 .
〔解析〕 几何体是柱体的序号为①②⑤⑦⑧;几何体是锥体的序号为④⑥;几何体是球
体的序号为③.
〔答案〕 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③
请把下列的立体图形与它们相应的名称用线连接起来.
解:如下图所示.第 课时
通过丰富的实例,进一步认识点、线、面,初步感受点、线、面之间的关系.
进一步经历从现实世界中抽象出图形的过程,从构成图形的基本元素的角度认识常见几
何体的某些特征.
在对图形进行观察、操作等过程中,积累处理图形的经验,发展空间观念.
【重点】 认识点、线、面,初步感受点、线、面的关系.
【难点】 知道“面与面相交得到线、线与线相交得到点”的事实.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 棱柱或棱锥的实物几何体.
导入一:
师:同学们,老师手里的这个“包装盒”可以抽象成一个什么几何体?
生:它是一个六棱柱.
师:六棱柱是比较常见的几何体,生活中除了六棱柱之外还有没有其他的几何体呢?
生:有圆柱、球、长方体、正方体和圆锥,还有棱柱和棱锥.
师:很好!这些几何体都是我们生活中常见的几何体,我们把它们简称为“体”.今天就让
我们来共同研究几何体是怎样形成的吧!导入二:
上一节课我们认识了常见的几何体,并且可以从大量的实物中抽象出这些图形.我们知道
世间万物都是由一些基本元素构成的,那么构成这些图形的基本元素是什么呢?(欣赏生活中
的图片,感受生活中处处充满点、线、面. )
[设计意图] 通过欣赏图片,说出图片中的点、线、面.利用学生感兴趣的图片,贴近学生
的生活,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣,
同时也让学生进一步体会了生活中处处充满点、线、面,这也为新课的学习做好铺垫.
探究活动1 认识点、线、面
请同学们找出下面各图中的点、线、面,并说明哪些线是直的?哪些线是曲的?哪些面是
平的?哪些面是曲的?
【师生活动】 问题比较容易,教师引导解答.比如,已经学会了从生活中抽象出所认识
的图形了,你能从中找出图中的点与线吗?学生可得到以下结论:点:地图上的城市,几何体的顶
点;线:地图上的公路、铁路、 河流,几何体的棱.
[设计意图] 让学生把生活中的实物抽象成几何体,再分析组成这些几何图形的基本元
素,既符合学生的认知规律,又让学生对知识有熟悉感,进而有学习的信心和兴趣,熟悉中又提
出新问题,利用七年级学生表现欲较强的心理激发学生的学习热情.
探究活动2 常见几何体中的点、线、面
思路一
师:现在我们回到刚才的话题中去,从“包装盒”中抽象出一个六棱柱,请问这个六棱柱
有几个面?
生:这个六棱柱有8个面.
师:面与面相交形成了多少条线?
生:形成了18条线.
师:线与线相交形成了多少个点?生:形成了12个点.
师:很好!通过问题的回答,你有没有什么发现?
生:通过刚才的问题,我发现面与面相交可以形成线,线与线相交可以形成点.
思路二
结合如下图所示的几何体完成以下内容,小组内交流.
(1)六棱柱是由 个面围成的,它们都是 ;六棱柱有 个顶点,经过
每个顶点有 条棱,共有 条棱.
(2)圆柱是由 个面围成的,其中两个面是 ,一个面是 . 圆柱的侧
面和底面相交成 条线,它们是 .
【师生活动】 学生以小组为单位讨论交流,教师在旁引导,最后以小组为单位,每个小
组代表发言,交流本小组的结果,教师适时点评.
【知识归纳】 (1)六棱柱是由八个面围成的,圆柱是由三个面围成的.六棱柱的八个面
都是平的,而圆柱上下底面是平的,侧面是曲的;(2)圆柱的侧面和底面相交成两条线,它们都是
曲线;(3)六棱柱有12个顶点,经过每个顶点有3条棱,共有18条棱.
[设计意图] 让学生通过活动感受点、线、面之间的关系,并认识到小组合作的重要性,
懂得与他人合作.
探究活动3 面、体间的关系
[过渡语] 通过前面的学习我们知道几何体是由点、线、面这些基本元素构成的,那么
它们之间又有什么关系呢?
(1) 观察下图,你发现了什么?
(2)举出生活中类似以上三幅图的例子.
【师生活动】 让学生先自主学习,再小组合作交流,学生通过对图形的认识,尝试总结
归纳点、线、面、体之间的关系,在交流时注意不要让学生死记硬背,最后小组代表发言,在
班内交流自己的答案,教师适时点评,并用投影展示答案.
【归纳总结】 对于问题(1),发现点动成线,线动成面,面动成体.对于问题(2),学生在小组
内讨论、交流的基础上,列出实例.点动成线:流星的轨迹;线动成面:汽车前玻璃上的雨刷;面动
成体:电风扇的扇叶的转动.
[设计意图] 通过演示、交流活动,进一步理解点动成线,线动成面,面动成体.
探究活动4 常见几何体的形成
(1)如图所示的各个花瓶的表面可以看做由哪个平面图形绕虚线旋转一周而得到的?用线
连一连.(2)你能想象出圆柱、圆锥、球是由什么平面图形旋转而成的吗?
【师生活动】 对于问题 (1),让学生自主练习,题目很容易得到答案.对于问题 (2),圆柱、
圆锥、球的形成答案并不是唯一的,可以先独立做,然后再小组合作交流.
【归纳总结】 点动成线、线动成面、面动成体.
(1)两平面相交,交线是 ,一平面与一个曲面相交,交线是 ;
(2)中国武术中有“枪扎一条线,棍扫一大片”这样的说法,这句话说明 ;
(3)如右图所示,以BC所在直线为轴,旋转一周,求所得的立体图形的体积.
解:(1)直线 曲线
(2)点动成线,线动成面
1
(3)旋转而成的立体图形是圆锥,其底面半径为 4 cm,高为 3 cm,所以体积为
3
×π×42×3=16π(cm3).
线与线相交可以形成点,面与面相交可以形成线;点动成线、线动成面、面动成体.
1.几何图形是由 、 、 构成的,面有 面和 面
之分.
答案:点 线 面 平 曲
2.点动成 、线动成 、面动成 .
答案:线 面 体
3.长方体是由 个面围成的,圆柱是由 个面围成的,圆锥是由 个
面围成的,其中围成圆锥的面有 面,也有 面.
答案:6 3 2 平 曲
4.如图所示,上面的平面图形绕轴旋转一周,可以得出下面的立体图形,请你把有对应关系
的平面图形与立体图形用线连接起来.解:如下图所示.
5.求如右图所示的图形绕轴旋转一周后形成的几何体的体积.
解析:长方形旋转一周后形成的几何体是圆柱,底面半径为1 cm,高为3 cm.
解:如右图所示的图形绕轴旋转一周后形成圆柱,其体积V=π×12×3=3π(cm)3.
第2课时
1.认识点、线、面
2.常见几何体中的点、线、面
3.面、体间的关系
4.常见几何体的形成
一、教材作业
【必做题】
教材第7页随堂练习.
【选做题】
教材第7页习题1.2的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.矩形绕其一边所在直线旋转一周形成的几何体叫 ,直角三角形绕其中一条直角边
所在直线旋转一周形成的几何体叫 .
2.如下图所示,直角三角形绕直线l旋转一周,得到的立体图形是 ( )【能力提升】
3.如下图所示的立体图形可以看作直角三角形ABC ( )
A.绕AC所在直线旋转一周得到
B.绕AB所在直线旋转一周得到
C.绕BC所在直线旋转一周得到
D.绕CD所在直线旋转一周得到
4.如下图所示,将标号为A,B,C,D的正方形沿图中的虚线剪开后得 P,Q,M,N四组图形,试按照
“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系填空.
由A得到M;由B得到 ;由C得到 ;由D得到 .
5.将下图中的小船向左平移4格.
【拓展探究】
6.国庆节前,市园林部门准备在文化广场特设直径均为4米的八个圆形花坛,在花坛内放置面
积相同的两种颜色的盆栽花草,要求各个花坛内两种花草的摆设不能相同,如下图中的①和②,
请你再设计出6种方案.
【答案与解析】
1.圆柱 圆锥
2.C (解析:由旋转的性质可知将已知图形旋转后得到圆锥.故选C.)
3.B(解析:根据题意可知立体图形是绕AB所在直线旋转一周得到的.故选B.)
4.P Q N5.解:如下图所示.
6.解:如下图所示.(答案不唯一)
1.本节课在复习的基础上,通过进一步感知几何体实物,明确立体图形是由点、线、面组
成的,进而在问题的层层设疑下,学生自主探究,认真思考,从而得出规律性的知识.
2.问题设计恰当,具有启发性,使学生都能主动参与,自觉应用数学知识解决问题,同时在
解答的过程中增强了学习的愿望和信心.
3.在运用多媒体实施“点动成线、线动成面、面动成体”的展示时,使知识形象、真切、
生动,学生易
于理解接受,坚持使用黑板适时板书,这样做使学生对整堂课的内容有比较清晰的认识,从而
转化为整体性和系统性较强的知识结构.
学生主动探究的时间由于课堂时间短而略感紧张,起主导作用的教师应及时把握好课堂.
让学生分组收集点、线、面、体之间关系的生活实例,在课堂上互相交流,加深对问题的
理解.
随堂练习(教材第7页)
习题1.2(教材第7页)
1.解:图中的棱柱是由五个面围成的,它们都是平的;圆锥是由两个面围成的,一个面是平的,另
一个面是曲的.2.解:如易拉罐、陀螺等(答案不唯一).它们可分别由如右图所示的图形旋转一周得到.
3.解:(1)能. (2)不能. (3)能. (4)能.
(1)几何学习最重要的目标是使学生更好地理解自己所生活的三维世界,发展空间观念.
本节课在直观感受几何体的基础上,学习最基本的几何元素:点、线、面、体,从思维层面来
说是对空间想象的较高要求,学习思考的过程中思维在直观与抽象之间、绝对与相对、有限
与无限之间反复转换,同时还需要辅以形象思维帮助思考.学生对点、线、面、体的完全理解
可能有一定的困难,教学中注意控制语言,不要涉及直线的概念,对个别不能理解的学生降低
要求,特别是不要指责.
(2)学习理解几何元素:点、线、面、体.首先是要展开想象的翅膀,在脑海中建立自己的
模型,再对多媒体展示的点动成线、线动成面、面动成体的动画仔细观察,尝试用自己的语言
说明几何图形都是由点、线、面、体组成的,并用举例的方式说明:(1)线和线相交成点,点无
大小;(2)面和面相交成线,也可看成点动成线;(3)包围成体的是面,也可看成线动成面.
圆柱可以看成是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周所得到的,由选项中的
平面图形绕着直线旋转一周可以得到如右图所示的几何体的是 ( )
〔解析〕 根据“圆柱可以看成是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周所得到
的”这一规律可知:A.可以通过旋转得到两个圆柱,故本选项正确;B.可以通过旋转得到一个圆
柱,一个管状的物体,故本选项错误;C.可以通过旋转得到一个圆柱,两个管状的物体,故本选项
错误;D.可以通过旋转得到三个圆柱,故本选项错误.故选A.
2 展开与折叠
1.在实际操作中体会几种常见几何体的展开图形.
2.发展空间观念,初步培养制作简单的几何模型的能力.让学生通过自主式学习和探究式学习,在实践中归纳所观察到的数学现象,初步形成数学
归纳的能力.
1.经历独立解决数学问题的过程.
2.在实践与交流中加强合作意识.
3.感受不同数学知识之间的紧密联系.
【重点】 在具体情境中理解几何体的展开与折叠.
【难点】 建立空间思维能力,培养学生的观察能力和动手能力.
第 课时
掌握正方体的展开图,能根据展开图判断立体模型,并能根据它的展开图判断各个面的位
置关系,进一步认识立体图形和平面图形的相互关系.
经历展开与折叠、模型制作等活动,发展空间观念,积累数学活动经验.
在数学活动中,建立自信,体验成功的乐趣,养成独立思考、合作交流的学习习惯.
【重点】 能将一个正方体的表面沿某些棱剪开,展成一个平面图形.
【难点】 经历展开与折叠的操作活动,发展空间观念,培养动手能力和语言表达能力.
【教师准备】 正方体的纸盒、礼品盒、长方体的多种展开图的投影图片.
【学生准备】 正方形纸片、正方体的盒子、剪刀等.
导入一:
同学们,请拿出你们手中的纸片,我们一起做一个折纸活动,2分钟后向同学们展示你的作
品.(部分作品展示如下图所示)
将准备好的礼品盒展开,向同学们介绍礼品盒的制作过程,请一位同学做演示.在生活中,我们经常见到正方体形状的盒子.为了设计和制作的需要,我们应了解正方体
盒子展开后的平面图形.我们这节课就来研究一下正方体的展开与折叠.
[设计意图] 手工制作——折纸活动:折纸飞机、纸船、纸鹤等.体验折叠的过程就是平
面图形向立体图形的转变.演示礼品盒的制作过程,就是将立体图形展开的过程. 通过创设生
活中真实的问题情境,使学生在操作活动中产生好奇心和求知欲,激起学生探究的兴趣.
导入二:
师:前两节课我们学习了棱柱的有关知识,结合这个几何体把有关知识回顾一下.(出示正
方体)
生:正方体有8个顶点,12条棱,6个面,这些面的形状都是正方形.
师: 你知道正方体展开后是什么样的图形吗?为了设计和制作的需要,这节课我们要了解
正方体盒子展开后的图形.(引出课题——展开与折叠)
探究活动1 你能得到哪些形状的平面图形
[过渡语] 将一个正方体的表面沿某些棱剪开,展成一个平面图形.你能得到哪些形状的
平面图形?
【师生活动】 学生以小组为单位,用手中的剪刀将准备好的正方体的表面沿某些棱剪
开,将学生的作品展示在黑板上,并让学生说一说是怎样剪的.展示时让学生比较是否有重复
的,使学生明白有些展开图通过旋转后是一样的.预设学生交流剪切的过程:把正方体中任意
两个相对面作为上下底面,其余四面作为侧面,将上、下底面与侧面相连的四条棱各任意剪开
三条,再将四条侧棱任意剪开一条,就可以得到正方体的平面展开图.
[设计意图] 让学生随意剪,使学生经历由立体向平面的转换过程,让学生感受展开图的
含义.让学生剪完后回顾交流剪的过程,以发展学生的空间观念和语言表达能力.
探究活动2 如何剪可得到指定的平面图形
[过渡语] 将一个正方体的表面沿某些棱剪开,展成一个平面图形,如何剪可得到如下图
所示的平面图形?
【师生活动】 先让学生想象一下,然后让学生动手操作进行验证,指导学生交流剪的过
程.教师引导性语言以启发学生思考:你是如何剪的?这样剪行吗?下一步该怎么办?
[设计意图] 指定路径的展开问题,意在让学生思考不同路径对展开图形状的影响,进一
步培养学生的空间观念.
探究活动3 正方体展开图的分类
[过渡语] 如下图所示的平面图形经过折叠后能否围成一个正方体?正方体的展开图一
共有多少种?
【师生活动】 学生先想象一下,思考如何折叠可以得到正方体,然后学生交流折叠的过
程,对于有困难的学生,指导他们复制课本上的图形尝试进行实际操作.(1)图可以经过折叠围
成一个正方体,但是(2)图经过折叠不可能围成正方体.预设学生可能的回答:因为正方体一共
有8个顶点,与每个顶点相连的只有三个面,而这个图形中“田”字中间的一个顶点与四个面
相连,所以不能折叠成正方体.【归纳总结】 通过大家的讨论得出正方体的11种展开图可以分为4类:
第一类,“141”型,中间四个正方形相连,上下两侧各一个,共6种.
第二类,“231”型,中间三个正方形相连,上侧有2个,下侧有1个,共3种.
第三类,“222”型,中间二个正方形相连,上下两侧各有两个,有1种.
第四类,“33”型,两排各三个正方形相连,有1种.
正方体的11种平面展开图如下图所示.
“141”型:
“231”型:
“222”型: “33”型:
总结规律:(简记口诀)
一四一,二三一,一在图层可任意,
三个二,成阶梯,两个三,目状连.
特别说明:“一线”不过四,“田凹”应弃之,“2 - 4”不可取.
[设计意图] 通过逆向思维经历将平面图形折叠成立体图形的过程,进一步认识正方体
的展开图,发展空间想象能力.
探究活动4 确定正方体展开图各个面的相对面
[过渡语] 如图所示的平面图形可以折成一个正方体的盒子.折好以后,与 1 相邻的数是
什么?相对的数是什么?先想一想,再具体折一折,看看你的想法是否正确.
【师生活动】 先通过学生的思考和想象判断出结果,然后通过操作验证自己的猜想.与
1相邻的数是2,4,5,6,相对的数是3.在活动中使学生明确一个面只有一个相对面,其余四个面
为相邻面.教师点拨学生找相对面的方法:相间、“Z”字两端是对面.
[设计意图] 检验学生对正方体表面展开图的掌握情况,进一步加深学生对正方体表面
展开图的理解和记忆,以及如何判断相对面和相邻面.
[知识拓展] 正方体的展开图多种多样,注意不要遗漏也不要重复,同时注意展开图有
“田”字形或“凹”字形时,不能围成正方体,即该展开图不是正方体的展开图.
关于正方体的平面展开图,主要有以下几种题型.
一、判断给定的图形是否是正方体的展开图
如图所示的图形中,哪些可以折叠成无盖的正方体?解:(3)(4)(5)(7)(8)(10)(11)(12)可以折叠成无盖的正方体.
二、找正方体相邻或相对的面
1.从展开图找.
如右图所示的是一个正方体的展开图,如果正方体相对的面上标注的值相同,那
么x= ,y= .
〔解析〕 “2x”与“8”中间隔一个正方形,是相对的面,“y”与“10”是相对的面.
所以x=4,y=10.
〔答案〕 4 10
2.从立体图找.
如下图所示的是一个正方体的三种不同的放置方式,该正方体的表面分别标上数
字1,2,3,4,5,6,则下底面标有的数字依次是 .
〔解析〕 先找相邻的面,余下的面就是相对的面.上图出现最多的是面“3”,和面
“3”相连的有面“2”“4”“5”“6”,余下的面“1”就和面“3”相对.再看面“6”,和
面“6”相邻的有面“2”“3”“4”和面“3”相对的面“1”必和面“6”相邻,故面“6”
和面“5”相对,余下的是面“4”和面“2”相对,下底面标有的数字依次是2,5,1.故填2,5,1.
三、由带标志的正方体去判断是否属于它的展开图
小丽制作了一个如右图所示的正方体礼品盒,其对面图案都相同,那么这个正方
体的平面展开图可能是 ( )
〔解析〕 基本方法是先定上下,后定左右,可知A正确.故选A.
1.正方体的11种展开图分为4类:
第一类,“141”型,共6种.
第二类,“231”型,共3种.第三类,“222”型,有1种.
第四类,“33”型,有1种.
2.正方体的对面在展开图中的位置:隔一相对,“Z”字头尾相对.
1.下列各图形中,经过折叠能围成一个正方体的是 ( )
解析:由平面图形的折叠及正方体的展开图解题,注意只要有“田”“凹”字格的展开图
都不是正方体的平面展开图.A.可以折叠成一个正方体;B.是“凹”字格,故不能折叠成一个正
方体;C.折叠后有两个面重合,缺少一个底面,所以也不能折叠成一个正方体;D.是“田”字格,
故不能折叠成一个正方体.故选A.
2.如图所示的是一个正方体的平面展开图,则原正方体中“梦”字所在的面相对的面上
标的字是 ( )
A.大 B.伟
C.国 D.的
解析:正方体的平面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,根据这一特点,所以面
“伟”与面“国”相对,面“大”与面“中”相对,面“的”与面“梦”相对.故选D.
3.如右图所示的是一个正方体,它的平面展开图可能是下面四个展开图中的( )
解析:由正方体可得:4,6,8所在的平面不可能是对面的关系.对于A,满足条件;对于B,4,8所
在的平面相对,不满足条件; 对于C,6,8所在的平面相对,不满足条件;对于D,6,8所在的平面相
对,不满足条件.故选A.
4.如右图所示,要使图中的展开图折叠成正方体后,相对面上的两个数字之和为7,则x=
,y= .
解析:由图可知面“x”与面“1”相对,面“y”与面“3”相对,故可得x=6,y=4.
答案:6 4
第1课时
正方体平面展开图的分类确定正方体的平面展开图各个面的相对面
一、教材作业
【必做题】
教材第9页习题1.3的1,2题.
【选做题】
教材第9页习题1.3的3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列图形中不能折叠成正方体的是( )
2.一个同学画出了正方体的平面展开图的一个部分,还缺一个正方形(如右图所示),请在图中
添上这个正方形.
【能力提升】
3.如图所示的是一个正方体的平面展开图,则正方体的面“4”的对面是正方体的 .
4.如图所示的是一个正方体纸盒的平面展开图,请把8, - 3, - 15分别填入余下的三个正方形
中,使得折成正方体后,相对面上的两个数互为相反数.
5.在如图所示的正方体的平面展开图中,确定正方体上的点M,N的位置.6.如右图所示的立方体,如果把它展开,可以是下列图形中的 ( )
7.下列图形是正方体的平面展开图,还原成正方体后,其中完全一样的是 ( )
A.(1)和(2) B.(1)和(3)
C.(2)和(3)D.(3)和(4)
【拓展探究】
8.一个正方体的骰子,1和6,2和5,3和4是分别相对的面上的点.现在有12个正方形格子的纸
上画好了点状的图案,如右图所示,若要经过折叠能做成一个骰子,你认为应剪掉哪6个正方形
格子?(请用笔在要剪掉的正方形格子上打“×”,不必写理由)
【答案与解析】
1.C
2.解:答案不唯一.如图所示.
3.面“1”
4.解:如图所示 .
5.解:如图所示.6.D
7.D
8.解:如图所示.
本节课学生动手操作验证自己对正方体平面展开图的猜想,激发学生的学习兴趣.实现从
学生操作实验,提出猜想、验证等,都能有效地启发学生的思考,使学生成为学习的主体,逐步
学会学习.
在与同伴交流和小组讨论之前,教师应注意扮演好自己的角色,做学生学习知识的引路人,
留给学生充分的独立思考时间,不要过早地进行归纳总结,也不要让一些思维活跃的学生的回
答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师应在小组讨论之后给予适当的指导,
包括知识的启发引导,学生交流合作中需注意的问题和对学困生的帮助等,并及时归纳总结.
课前给每位学生下发一张卡纸,利用课余时间做一个棱长为5 cm的正方体,以便于课上
使用.
习题1.3(教材第9页)
1.解:(1)(3)能,(2)不能.
2.解:(1)能,(2)不能.
3.解:(1)能,(2)(3)不能.
4.解:答案不唯一,四种情况如图所示.
5.解:由于正方体共有12条棱、6个面,将其表面展开成一个平面图形,面与面之间相连的棱有
5条,因此需剪开7条棱.“展开与折叠”的学习基础是学生对立体图形已有了一定认识,而且已在小学学过简单
立体图形及其侧面展开图.本节课从学生生活周围较为熟悉的物体入手,通过图形展开与折叠
使学生进一步认识立体图形与平面图形的关系,让学生了解立体图形可由平面图形围成,而立
体图形可按不同方式展开成平面图形,更重要的是让学生通过动手操作、观察、思考,经历和
体验图形的变化过程,进一步发展学生的空间观念,养成研究性学习的良好习惯.
水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”
表示.如右图所示的是一个正方体的平面展开图,若图中的“进”表示正方体的前面,“步”
表示右面,“习”表示下面,则“祝”“你”“学”分别表示正方体的 .
〔解析〕 “祝”与“进”,“你”与“习”中间都隔一个正方形,是相对的面,所以
“学”与“步”也是相对的面.故填后面、上面、左面.
第 课时
1.通过展开与折叠活动,了解三棱柱、四棱柱、五棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图.
2.能根据展开图判断和制作简单的立体模型.
1.经历展开与折叠、模型制作等活动,发展空间观念,积累数学活动经验.
2.在动手实践制作的过程中学会与他人合作,学会交流自己的思维与方法.
1.初步获得动手制作的乐趣及制作成功后的成就感.
2.在制作实验的过程中感受生活中立体图形的美.
【重点】 在具体情境中让学生动手实践,在实践中理解棱柱、圆柱、圆锥的展开与折
叠;了解棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图,能在操作实践中认识棱柱的某些性质.
【难点】 发展学生的空间观念,培养观察能力和动手能力.
【教师准备】 多媒体课件、十字星形和五角星形的纸质模型.
【学生准备】 剪刀一个,卡纸一张.导入一:
上节课,我们研究了正方体的展开与折叠,那么一些常见的几何体的展开又是什么样的?
这节课,我们探索棱柱、圆柱、圆锥等几何体的展开与折叠.
导入二:
你能判断出如下图所示的展开图对应的几何体是什么吗?
探究活动1 棱柱的展开图的形状
[过渡语] 将图中的棱柱沿某些棱剪开,展成一个平面图形,你能得到哪些形状的平面图
形?
【师生活动】 学生利用课前准备好的学具进行裁剪,得出棱柱不同的展开图.教师巡视,
指导学生以小组为单位进行折叠验证,并把学生裁剪好的平面图形贴在黑板上并编号(重复的
不再贴).及时归纳总结出棱柱的展开图是由两个边数相同的多边形和一些长方形组成的.棱
柱的展开图的特点:(1)多边形的边数与长方形个数相等;(2)两个多边形在长方形的两侧.
[设计意图] 通过学生动手操作,展开棱柱,自然地进入新课题的探究.让学生亲自动手裁
剪,在收获新知的同时感受其中的乐趣,体验棱柱的展开与折叠的变化过程,激发学生的学习
兴趣.
探究活动2 可以折叠成棱柱的图形
[过渡语] 如下图所示,哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱?先想一想,再动手折一折.
【师生活动】 在学生经历了棱柱的展开过程后,给出几个图形,让学生先想一想是否能
折成棱柱,再让学生折一折,进行验证,使学生经历平面图形到立体图形的变化过程.对于(1)和
(3)(4)这三种不能折叠成棱柱的图形,提问学生:“怎样修改,才能使它们也能围成棱柱?”学生
操作验证,教师多媒体演示,提出各自的意见.
[设计意图] “先想一想”是对学生空间想象能力的更高要求.但在教学中,也不能忽略
折一折的作用,它可以作为验证或辅助发现结论的方法.先想象一下,然后动手操作,再回想操
作的过程,是培养学生空间观念的重要环节.
探究活动3 圆柱、圆锥的侧面展开图
[过渡语] 按照如下图所示的方法把圆柱、圆锥的侧面展开,会得到什么图形?先想一想,
再试一试.【师生活动】 先让学生想象,再利用课前准备好的学具(无底的圆柱和圆锥的纸质模
型)进行裁剪,教师巡视,并让学生把自己剪好的圆柱、圆锥的侧面展开图贴在黑板上,然后利
用课件演示圆柱、圆锥的侧面展开的过程.
[设计意图] 在学生经历了棱柱的展开与折叠的过程后,通过想象、动手操作进行尝试,
进一步探索圆柱与圆锥的侧面展开图.让学生充分实践、探索与交流,培养学生的空间观念和
语言表达能力,激发学生的好奇心.
猜一猜:如图所示的两个图形经过折叠可以围成什么几何体?
【师生活动】 教师把两个数学模型十字星形和五角星形贴在黑板上,请猜一猜,这两个
图形能围成什么?鼓励学生展开想象的翅膀,大胆猜想,然后把教具给学生,让学生动手折一折,
验证自己的猜想.最后用课件演示折叠的过程.
[设计意图] 通过拓展训练,使学生了解棱锥的展开图,进一步发展学生的空间想象能力
和语言表达能力.
1.棱柱展开图的特点.
2.知道什么样的图形能折成棱柱.
3.圆柱、圆锥的侧面展开图.
1.如图所示的立体图形中,侧面展开图是扇形的是 ( )
解析:根据圆锥的特征可知,侧面展开图是扇形的是圆锥.故选B.
2.下图中的图形经过折叠能否围成棱柱?如果能,写出棱柱的名称.
解:(1)三棱柱. (2)不能. (3)四棱柱. (4)四棱柱.
第2课时
1.棱柱的展开图的形状
2.可以折叠成棱柱的图形
3.圆柱、圆锥的侧面展开图
一、教材作业【必做题】
教材第11页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第11页习题1.4的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.三棱锥的展开图是由 个 形组成的.
2.圆锥的展开图是由一个 和一个 组成的图形.
3.在下列图形中,是三棱柱的平面展开图的是 ( )
4.下面这些图形经过折叠可以围成一个棱柱吗?先想一想,然后动手折一折.
【能力提升】
5.如图所示的是一个几何体的展开图,每个面都标有字母,请根据要求回答提问.
(1)如果面A在几何体的底部,那么面 在上面;
(2)如果面F在前面,从左面看是面B,那么面 在上面;
(3)如果面D在后面,从右面看是面C,那么面 在上面.
6.下面两个图形分别是哪种几何体的展开图?若不能确定,先动手折一折再回答.
7.如图所示的是长方体的平面展开图,折叠成一个长方体,那么与字母J重合的字母是哪几个?
【拓展探究】
8.用一张8K的白纸制作一个墨水盒.
【答案与解析】
1.4 三角
2.圆 扇形
3.D
4.解:(1)(3)不能,(2)能.5.(1)F (2)E(或C) (3)F(或A)
6.解:(1)是三棱锥,(2)是三棱柱.
7.解:与字母J重合的字母是H,N.
8.略
本节课让学生动手操作验证棱柱、圆柱等一些简单的立体图形的展开图的结构,激发学
生的学习兴趣.通过操作实验,提出猜想、验证,有效地启发了学生的思考,使学生成为学习的
主体,逐步学会学习.
少数学生由于课前准备不足,动手活动无法开展.学生的动手能力弱些,操作环节浪费时
间多,使得交流以及练习时间有些仓促.
多借助多媒体将平面图形和立体图形之间的转换形象地展示给学生,便于学生理解.
随堂练习(教材第11页)
1.解:(1)长方体. (2)五棱柱.
2.解:(1)能围成三棱柱. (2)不能围成棱柱.
习题1.4(教材第11页)
1.解:(1)三棱柱. (2)圆柱. (3)六棱柱. (4)圆锥.
2.解:(1)能. (2)能.
3.解:剪出的形状经过折叠可得到四棱柱.(答案不唯一)
教学中为了方便地得到圆锥(柱)的侧面展开图,可以将一张纸包裹在这些几何体的表面
上,并剪去多余的部分,实际上是复制了这个几何体的侧面,然后在这个侧面上画出准备剪断
的那条线,将复制的“侧面”从几何体中褪下来,这时沿着所画的那条线,可以十分方便地得
到该几何体的侧面展开图.可以选择不同的切割线,得到不同的展开图.
下列图形是某些几何体的平面展开图,试写出对应几何体的名称.〔答案〕 (1)正方体 (2)圆柱 (3)圆锥
在第一行中找出第二行几何体对应的展开图,并用线把它们连起来.
解:如下图所示.
3 截一个几何体
1.理解截面的概念.
2.直观地判断常见几何体的截面的形状.
3.空间观念的培养.
1.利用多媒体,展示出几何体的切截过程.
2.展示截面的多种情况,充分激发学生的想象力.
1.体会用平面去截几何体的过程,在面与体的转换中丰富数学活动经验,发展空间观念.
2.进一步感受空间几何体的特性,激发学习兴趣.
3.加深对所生活的空间的认识,提高数学修养.
【重点】 引导学生经历用一个平面去截一个正方体的活动过程,体会截面和几何体的关系,充分让学生动手操作、自主探索、合作交流.
【难点】 从切截活动中发现规律,能应用规律来解决问题,从理论上理解一个正方体截
出五边形、六边形的可能性,以及七边形的不可能性.
【教师准备】 应急的药品(如创可贴).
【学生准备】 每组准备若干个小正方体、4个圆柱、4个圆锥、小刀及食品袋(用来
装废料).材料可以用土豆、地瓜、胡萝卜、黄瓜等.
导入一:
同学们玩过“水果忍者”这个小游戏吗?里面的西瓜、菠萝、桃子等水果被忍者纷纷切
成两半,把每一种水果抽象成一个几何体,这里就有我们这节课要学习的数学知识——截一个
几何体.
[设计意图] 通过学生喜闻乐见的小游戏“水果忍者”来吸引注意力,同时为下一步的
学习埋下伏笔.
导入二:
调查数据显示:我国有40%~60%的儿童存在挑食、偏食问题.这种不良的饮食行为,对少
年儿童的健康影响很大.为此,每个“厨师长”妈妈们都想为儿女做出色香味俱全的美食,这
就要求妈妈们除了对材料、火候的掌控之外,还要具有丰富的创造力,在刀工上下工夫.大家
看,这里可蕴含着数学知识呢!
师:一刀下去,这些物体被切出了什么形状?
生:黄瓜被切出了近似的圆形,火腿切出了椭圆,西红柿切的面近似于圆形(或心形),面包切
出了正方形.把这些物体看成几何体,本节课我们就来学习“截一个几何体”.
[设计意图] 从观察厨房里的食品切面,使学生初步认识截面的含义,体现数学知识来源
于生活,同时为下一步的学习做好铺垫.
探究活动1 球体的截面形状
[过渡语] 如果我们把西瓜、黄瓜、火腿等看成一个几何体,把刀面看成一个平面,那么
切的过程就是用一个平面截几何体的过程,截出的平面称为截面.水果忍者一刀将西瓜切出的
截面形状是什么?
【师生活动】 教师利用多媒体展示球体的切截,让学生明白球体的截面形状只有圆形.探究活动2 正方体的截面形状
[过渡语] 如果用一个平面去截一个正方体,截面可能是什么形状?请猜想一下,小组内交
流讨论.
【师生活动】 学生分组利用课前准备好的小刀、橡皮泥、水果等来研究正方体的截
面形状,教师巡视并适时加以指导,然后分组展示成果,其他学生予以补充,及时补充缺少的情
况.
[设计意图] 小组合作完成正方体的截面形状,从猜想到实践,培养了学生的动脑动手的
能力.以展览会的形式来展示结果,全班共享,使课堂气氛更融洽,学生看得更清楚,听得更明白,
思考得更积极,胜过坐在位子上发呆;促进对各小组活动的监督;加强对各小组活动的评价.
探究活动3 其他几何体的截面形状
[过渡语] 下面图中的截面形状分别是什么形状?
【师生活动】 学生利用手中的小刀、橡皮泥验证几种几何体的截面,教师巡视并适时
加以指导.
[设计意图] 通过对圆柱、圆锥、棱柱等几何体截面的充分想象、实际操作和推理判
断,进一步激发学生的思维,丰富学生的数学活动经验,应用规律来解决问题.
[知识拓展] 截面是一个平面图形,由于面与面相交得到线,截面的边是由截面与被截几
何体的面相交而成的,所以截面与被截几何体的几个面相交,得到的截面就是几边形.
1.用一个平面去截一个几何体,截出的面叫做截面.
2.用一个平面去截一个正方体,截出的形状可能是三角形、正方形、长方形、梯形、五
边形或六边形.
3.用平面去截球、圆锥、圆柱、圆台等一些几何体,都可能使截面是圆.(如下图所示)4.用平面去截三棱柱、四棱柱、五棱柱、圆锥等一些几何体,截面形状也有可能相同.(如
下图所示)
1.用一个平面去截圆锥,得到的截面形状不可能是 ( )
答案:C
2.如下图所示,用平面去截此几何体(圆台)得到的截面形状是 ( )
答案:C
3.下面三个图形中,图形 可以用平面截长方体得到,图形 可以用平面截
圆锥得到,图形 可以用平面截圆柱得到.
答案:(1)(2) (1)(3) (2)(3)
4.如右图所示的是一个外形是长方体的物体,其内部构造不详,用一组水平的平面截这个
物体时,得到了一组(自下而上)截面,截面形状如下图所示,请你给出一个合理的解释.
解:长方体内部被挖空成一个圆锥.
3 截一个几何体
1.球体的截面形状
2.正方体的截面形状
3.其他几何体的截面形状
一、教材作业
【必做题】
教材第14页随堂练习的1,2题.
【选做题】教材第15页习题1.5的2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.用一个平面去截一个正方体,截面图形不可能是 ( )
A.长方形 B.梯形 C.三角形D.圆
2.如右图所示,长方体中截面BB D D是长方体的对角面,它是 .
1 1
3.在正方体中,经过从一个顶点出发的三条棱的中点的截面形状是 .
【能力提升】
4.用一个平面去截一个球所得的截面图形是 .
5.用一个平面去截一个几何体,若截面的形状是圆,则这个几何体不可能是 ( )
A.圆柱 B.圆锥 C.正方体D.球
【拓展探究】
6.用一个平面去截圆锥,可以得到几种不同的图形?动手试一试.
【答案与解析】
1.D
2.长方形
3.三角形
4.圆
5.C
6.略
本节课先从学生熟悉的几何体开始,观察正方体、圆柱、圆锥的特点,接下来以问题情境
出发,通过一组学生的观察引出几何体的截面的概念,接着讨论用一个平面以不同的方向截正
方体得到不同的平面图形,之后探究用一平面截圆柱、圆锥得出不同的图形.总结归纳出从不
同方向截几何体所得出的不同平面图形,学生经历观察、对比、归纳、总结以及由具体到抽
象、由特殊到一般的学习探究过程,学会了探究问题,解决问题的方法,加深了对学习知识的
理解.
本节课涉及的切截活动较多,更多的是依赖动手操作和电脑动画,造成学生动脑活动太少,
时间紧张.
应选取具有代表性的几何体的切截,不要面面俱到,造成课上时间的不充足及知识点的重
复.随堂练习(教材第14页)
1.(1)B (2)C
2.解:根据截面的形状去判断原来几何体的形状,是逆向思维的运用,但最终还需从几何体入手,
考虑其截面的形状,原来的几何体可能是正方体、长方体、棱柱、圆柱等.
习题1.5(教材第15页)
1.解:(1)三角形. (2)圆. (3)五边形. (4)长方形.
2.解:截面可能是三角形、四边形、五边形.
3.解:如果截面是圆,原来的几何体可能是圆柱、圆锥、球或含有其中某些几何体的组合体等.
如果截面是三角形,原来的几何体可能是正方体、长方体、棱柱和圆锥等.
在学习过程中,应主动观察、动手操作、大胆猜想、多与同伴交流自己的看法.寻找一些
橡皮泥、土豆、萝卜之类的材料动手切截验证,是值得坚持的教学方法.在教学中更要注重多
媒体教学手段的应用,在实际操作之后尽量利用电脑让学生观看各种几何体的切截情况,通过
动画课件进行探究活动.从目前来看,“Z+Z智能教育平台”立体几何软件是最易操作的,特别
是具有交互性,可以现场制作并演示让学生体会在电脑上完成用一个平面对正方体无限次切
截的过程,以弥补实物操作中只能进行有限次切截的不足,从中体验CT“切截”的意义,同时
利用动画效果,可以从不同的角度来观察截面与几何体的情况,有利于学生掌握截面的产生和
变化规律,有利于提高学生探索问题、解决问题的能力.
找出下列几何体的截面图形.
解:第1个几何体的截面是长方形,故(2)为其截面图形.第2个几何体的截面是圆,故(5)为
其截面图形.
4 从三个方向看物体的形状1.从各个角度观察几何体.
2.准确描述观察到的图形,并能够画出简单几何体的三个方向的形状图.
3.发展几何直觉,初步培养描绘简单平面图形的能力.
1.实际经历从各个方向观察物体的过程,培养学习数学的兴趣.
2.养成善于观察、细心观察的好习惯.
体会数学在实际生活中的应用,培养唯物主义世界观.
【重点】 会画立方体及其简单组合的三个方向的形状图.
【难点】 根据从上面看的形状图及其相应位置的立方体的数量,画出从正面看与从左
面看到的形状图.
【教师准备】 教材P 图1—17、图1—18、图1—19的投影图片.
16
【学生准备】 预习本课内容.
导入一:
观察下面一组图片,你能回答出这五幅图分别是从什么位置看到的吗?
导入二:
同学们,今天上课我们从一个故事开始:盲人摸象,请同学们思考:四位盲人为什么摸的是
同一只大象,而回答的结果不同呢?
探究活动1 辨识观察方向
[过渡语] 每台摄像机拍到的分别是下面的哪张照片?
【师生活动】 先让学生观察图片,再回答上面的问题,然后归纳出:当从不同的方向观
察同一物体时,通常可以看到不同的图形.从不同的方向看物体,效果不同,因此从单一方向看
得到的平面图形并不能全面地刻画出立体图形.
[设计意图] 通过观察同一物体的不同方向的图片,讨论得出“观察同一物体时,可能看
到不同的图形”的结论.而且从小学的知识出发让学生更容易接受,不会感觉很突然,为下面
的复杂知识的学习起到铺垫的作用.
探究活动2 画简单几何体的从三个不同方向看到的形状图如右图所示,由小正方体搭成的几何体,我们分别从正面看、从左面看和从上面看得到的
平面图形分别是怎样的呢?请同学们试着画一画.
【师生活动】 学生在练习本上独立画图,教师巡视,发现具有代表性的图形就收集起来,
利用实物投影进行展示.教师组织学生展示自己所画的图形,利用投影仪展示答案,以规范学
生的画法(如下图所示).
与学生共同总结:画从正面看、从左面看和从上面看的物体的形状图时,先确定几列,有
几列就横排连续画几个正方形,再确定每列最高有几层,有几层就竖排连续画几个正方形,并
且一定要标明是从哪个方向看到的.
[设计意图] 循序渐进地安排活动,让学生感受从不同角度看结果不一样,逐步得到从正
面、左面、上面所看到的三种形状图的概念.由于问题层次清晰,学生直接参与到活动过程中,
学生可以顺利地获得三种几何体的形状图.
探究活动3 根据组合几何体画三个方向看到的形状图
利用六个小立方块搭成一个几何体,各自画一画它的从正面看、从左面看和从上面看所
得到的形状图.
【师生活动】 应鼓励学生尽可能多的搭出不同的几何体,再从不同方向看一看自己所
搭成的几何体,画出三种形状图,并与同伴进行充分的交流.
[设计意图] 结合例子引导,学生直接参与到活动过程中,初步学会画出几何体的从三个
不同方向看到的形状图.
议一议:一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成,从上面看和从左面看所得到的形状
图如右图所示.请搭出满足条件的几何体.你搭的几何体由几个小立方块搭成?与同伴交流.
【师生活动】 开展小组活动,利用手中的小立方块尝试搭出满足条件的几何体.教师并
适时的进行指导,引导学生尝试各种可能,最后组织学生进行交流,最终发现:该几何体是用5
块或6块小立方块搭成的,共有三种搭法.
[设计意图] 已知部分形状图及有关数据信息,反向思考几何体的构成,从而力图让学生
脱离实物观察,迫使学生进入真正的想象层面,提高空间想象能力.在此过程中,通过由问题到
模型,由模型再到脱离模型,较为完整地反映出一个问题解决的全过程.
出示问题:如右图所示的是由几个大小相同的立方块所搭成的几何体从上面看所得到的
形状图,小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数.请画出相应的几何体从正面看和从
左面看所看到的形状图.解:如下图所示.
【师生活动】 师生共同总结作法:画“从正面看”的形状图时,先看有几列,有几列就
横排连续画几个正方形,再确定每列最高有几层,有几层就竖排连续画几个正方形;画“从左
面看”的形状图时,先看有几行,有几行就横排连续画几个正方形,再确定每行最高有几层,有
几层就竖排连续画几个正方形.
[设计意图] 根据从上面看及有关数据信息,来画它的“从正面看”“从左面看”的形
状图,增强了学生的思维能力,提高了空间想象能力.
问题1
画出如右图所示的几何体的从正面看、从左面看、从上面看所看到的形状图.
问题2
用若干个相同的小立方块搭建一个几何体,使从它的正面和上面看到的图形如下图所示,
动手搭一搭.
(1)最多需要多少个小立方块?画出从左面看该几何体得到的图形;
(2)最少需要多少个小立方块?画出从左面看该几何体得到的图形.
【师生活动】 问题1让学生先思考片刻,然后进行讨论和交流.问题2是本节课的难点,
可以动手做一做来确定小立方块的个数,也可以通过空间想象来完成.
[设计意图] 学以致用,感受从不同的方向观察几何体的不同. 这是本节课的难点,需要
师生拿出更多的时间来一起研究,教学时可以适当地给予学生提示.
1.会画小立方块的简单组合体的从三个不同的方向看到的形状图.
2.根据从不同方向看到的几何体的形状,确定搭出的几何体的小立方块的个数.
1.一个小立方体的六个面分别标有字母A,B,C,D,E,F,从三个不同方向看到的情形如下图所
示.A对面的字母是 ,B对面的字母是 ,E对面的字母是 .
解析:通过(1)(3)可得到,与A面相邻的面是B,D,E,F,所以与A面相对的面是C面,通过(2)(3)
可以得到与B面相邻的面有A,C,E,F面,所以与B面相对的面是D面,剩下的E,F面相对.
答案:C D F
2.用若干个大小相同的小正方体搭成一个几何体模型,从三个方向观察几何体形状如下
图所示,则搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是 .答案:5
4 从三个方向看物体的形状
1.辨识观察方向
2.画简单几何体的从三个不同方向看到的形状图
3.根据组合几何体画从三个方向看到的形状
一、教材作业
【必做题】
教材第17页随堂练习.
【选做题】
教材第17页习题1.6的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.“横看成岭侧成峰”从数学的角度解释为 ( )
A.从不同的方向观察同一建筑物时,看到的图形不一样
B.从同一方向观察同一建筑物时,看到的图形不一样
C.从同一方向观察不同的建筑物时,看到的图形一样
D.以上答案都不对
【能力提升】
2.如下图所示的是从三个不同方向观察物体所得到的形状图,该物体是由一些相同的小正方
体搭成的,这些小正方体的个数是 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【拓展探究】
3.用小立方块搭一个几何体,从正面看和从上面看所得到的形状图如下图所示.这样的几何体
是否只有一种?它最少需要多少个小立方块?最多需要多少个小立方块?
【答案与解析】
1.A
2.A
3.解:不止一种,最少10个,最多16个.
本节课学习了三种形状图的判断和画立方体及其简单组合体的三种形状图.首先安排学
生观察实物,初步体会从不同方向观察同一物体可能得到不同的图形.让学生观察几种简单的
几何体的组合,辨别观察的方向,由此得到三种形状图,然后通过搭建模型,观察想象,学会如何画立方体及其简单组合体的三种形状图.
对概念的发生、发展过程阐述得不够充分.从多角度观察物体到利用从不同方向看所得
到的形状图来画一个几何体,这是蕴含着构建数学模型,以及对数学知识的归纳和抽象,如何
把空间的问题转化为平面问题来处理等这样一种深层次的数学思维和数学活动.这是本节课
的一个重点也是难点,然而在这方面显然挖掘得不够,不自觉地步入结论教学的误区.
充分放手给学生,相信学生能自己发现结论,教师不要直接把结论总结给学生.
随堂练习(教材第17页)
解:如下图所示.
习题1.6(教材第17页)
1.解:(1)如图所示.
(2)如图所示.
2.解:A的对面是C,B的对面是D,E的对面是F.判断的方法有多种,如可在实物模型上将三种情
形做标注,结果自然就有了;也可根据条件做推理,如由第一种情形知A的对面可能是B或C或
F,而由第三种情形知A的对面不可能是B和F,所以A的对面是C,其他的情况同样依照上述方
法进行推理可得结果.
3.解:如图所示.
4.解:至少用6个.
复习题(教材第19页)
1.解:图中的几何体有4个面,面与面相交成6条线,有直的,有曲的.
3.解:(2)可以围成一个棱柱.
4.提示:六边形、长方形、梯形、平行四边形.(画图略)
5.解:可以,可以.
6.解:如图所示.
7.解:如图所示.(6) 2 1 (6) 2
9.解:V=V +V =π× ×4+ π× ×(7 - 4)=36π+9π=45π(m3).
圆柱 圆锥
2 3 2
10.解:如图所示.
11.解:如图所示.
运用空间与平面的相互转化来解决问题的思想是全章的一条主线,尤其在“从三个方向
看物体的形状”这一节,其中的数学思维和方法韵味很深,经历观察、猜想的数学活动过程是
十分必要的.首先要从大的方面理解物体的形状和变化,但挖掘不宜过深,要理解从正面看、
从左面看、从上面看所看到的平面图形在现实生活中的实用价值,开始建立初步的空间观念.
由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的从上面看所得到的形状图如右图
所示,小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数,则从正面看这个几何体的形状是 (
)
〔解析〕 从上面看所得到的几何体的形状图中的每个数字是该位置小正方体的个数,
分析其中的数字,得从正面看几何体的形状图有四列,从左到右分别有1,2,2,1个小正方形.故
选A.
如下图所示的是由一些小立方块所搭成的几何体从三个不同方向看得到的图形,
若在所搭成的几何体的基础上(不改变原几何体中小立方块的位置),继续添加相同的小立方
块,以搭成一个大正方体,至少还需要 个小立方块.〔解析〕 由从上面看得到的图形易得最底层有7个小立方块,第二层有2个小立方块,
第三层有 1 个小立方块,那么共有 7+2+1=10 个立方块组成.若搭成一个大正方体,共需
4×4×4=64个小立方块,所以还需64 - 10=54个小立方块.故填54.
1.会辨认基本几何体(棱柱、圆柱、圆锥、球等).
2.了解棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图,能根据展开图判断和制作立体模型.
3.能想象基本几何体的截面形状.
4.会画基本几何体的形状图,会判断简单物体的形状图,能根据形状图描述几何体或实物
原型.
5.掌握几何体与平面图形的相互转化,能进行几何体与其三种形状图、展开图之间的转
化.
1.初步建立空间观念,发展几何直觉,进一步丰富对空间图形的认识和感受.
2.获得一些研究问题的方法和经验,发展思维能力,加深理解相关的数学知识.
1.体验数学知识之间的内在联系,初步形成对数学整体性的认识.
2.进一步丰富数学学习的成功体验,激发学生对空间与图形学习的好奇心,增强观察能力,
形成积极主动参与活动并与他人合作交流的意识.
【重点】 几何体的基本特征、几何体的三种形状图以及点、线、面、体之间的相互
关系.
【难点】 对点、线、面、体相互关系的理解,线、截面、三种形状图等基本概念的掌
握.专题一 常见几何体的特征
【专题分析】
几何体的特征在中考中单独命题很少,作为最基础的知识隐含在相关的知识中考查.要熟
记和掌握这些几何体的基本特征.
长方体:有8个顶点,12条棱,6个面,且各个面都是长方形(或正方形).
棱柱:上下两个面称为棱柱的底面,其余各面称为侧面,长方体是四棱柱.
圆柱:有上下两个底面和一个侧面,两个底面都是半径相等的圆.
圆锥:有一个底面和一个顶点,且侧面展开图是扇形.
球:由曲面组成的几何体.
能否将下列几何体进行分类?并请说出分类的依据.
〔解析〕 因为几何体的分类标准不同,所以可以分为不同的类型.
解:根据几何体的各面是平面还是曲面可分为两类:
平面:(3)(4)(5)(6)(8);曲面:(1)(2)(7).
根据几何体的类型可分为三类:
柱体:(1)(3)(4)(5)(6)(8);
锥体:(2);
球:(7).
[注意事项] 无论是按照哪种分类方法,都要把整体的内容不交叉、不遗漏地体现出来.
【针对训练1】 如下图所示的几何体是由几个面组成的?面与面相交成几条线?它们
是直线还是曲线?
〔解析〕 根据立体图形的基本知识和几何体的特征进行解答.
解:几何体(1)是由三个面组成的,其中2个平面和1个曲面,底面和侧面相交成2条曲线.
几何体(2)是由7个面组成的,都是平面,面与面相交成15条线,都是直线.
几何体(3)是由3个面组成的,2个平面和1个曲面,面与面相交成4条线,有3条直线和1
条曲线.
[注意事项] 图形的构造内容较为简单,这部分内容对感知几何体的特征有很大帮助.几
何体的分类有着不同的分类标准,因而分类方法也不同,应让学生充分说明分类的依据.
【针对训练2】 下列四个图形中,是三棱柱的平面展开图的是 ( )〔解析〕 根据三棱柱的平面展开图的特点进行解答即可.A是三棱锥的平面展开图,故
选项错误;B是三棱柱的平面展开图,故选项正确;C两底有4个三角形,不是三棱柱的平面展开
图,故选项错误;D是四棱锥的平面展开图,故选项错误.故选B.
专题二 正方体的展开图及常见几何体的侧面展开图
【专题分析】
几何体的展开图是近年中考的热点问题,与展开图有关的面积计算是中考中经常考查的
内容.棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图,能根据展开图判断和制作立体模型.会画基本几何体
的从三个方向观察得到的物体形状,会判断简单物体的从三个方向观察物体形状,能根据从三
个方向观察物体形状描述几何体或实物原型.能画正方体及其简单组合体从三个方向观察得
到的物体形状.根据从正面看、从左面看、从上面看到的图形想象出实物图形是本章难点.
如右图所示的是正方体的一种平面展开图,它的每个面上都有一个汉字,那么在
原正方体的表面上,与汉字“香”相对的面上的汉字是 .
〔解析〕 正方体的平面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,“力”与“城”是
相对面,“香”与“泉”是相对面,“魅”与“都”是相对面.故填泉.
【针对训练3】 下面的平面图形中,是正方体的平面展开图形的是 ( )
〔解析〕 根据空间想象能力和动手操作能力,可知选项C为正方体的一种平面展开图.
故选C.
[规律方法] 熟记一些常见几何体的平面展开图可以帮助我们准确想象出某个几何体
展开后的基本形状.
专题三 用平面截某几何体及生活中的平面图形
【专题分析】
用一个平面去截一个几何体,截出的面叫做截面.用一个平面去截一个正方体,所得截面
的形状的特征以及圆柱、圆锥的截面的形状特征,认识生活中各类物体所含有的平面图形并
将基本图形抽象出来是本章重点.难点是用平面截几何体,很多情况是靠想象、归纳,并猜想
一些规律性的结论.
如图所示,六棱柱的截面形状是 ( )
〔解析〕 图中的阴影部分就是截后的形状图.故选B.【针对训练4】 如下图所示的几何体的截面(图中阴影部分)依次是 、
、 、 .
〔解析〕 阴影部分既是切截的方式,也是截后所得的图形.
〔答案〕 圆 三角形 六边形 圆
【针对训练5】 用一个平面去截几何体,若截面是三角形,则这个几何体可能是
.
〔解析〕 若截面是三角形,则需要几何体至少有三个平面且有共同的顶点,或几何体有
一个平面,其他的面若是曲面,必须能截出直线.符合上述条件的几何体可能是正方体、长方
体、棱柱、棱锥、棱台、圆锥.
[方法归纳] 截面的形状既与被截的几何体有关,还与截面的角度、方向和位置有关.
本章质量评估
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如图所示的图形绕虚线旋转一周,所形成的几何体是 ( )
2.经过折叠不能围成一个正方体的图形是( )
3.圆锥的侧面展开图是( )
A.三角形 B.长方形
C.圆 D.扇形
4.用一个平面截圆柱,则截面形状不可能是( )
A.圆B.三角形 C.长方形D.椭圆
5.如下图所示的是由一些相同的小正方体构成的立体图形的三个不同方向的形状图,那么构
成这个立体图形的小正方体有 ( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
6.下列图形中,不属于三棱柱的展开图的是( )7.如下图所示的四张正方形硬纸片,剪去阴影部分后,如果沿虚线折叠,那么可以围成一个封闭
的长方体包装盒的是 ( )
8.下面四个图形都是由相同的六个小正方形纸片组成,小正方形上分别贴有北京奥运会吉祥
物五个福娃(贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮)的卡通画和五角星标志,如果分别用“贝、晶、
欢、迎、妮”五个字来表示五个福娃,那么折叠后能围成如图所示的正方体的图形是 (
)
9.下列说法中,正确的有( )
①柱体的两个底面一样大; ②圆柱、圆锥的底面都是圆;③棱柱的底面是四边形;④长方体
一定是柱体;⑤棱柱的侧面一定是长方形.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10.下面四个几何体中,从上面看为四边形的是 ( )
二、填空题(每小题4分,共32分)
11.正方体或长方体是一个立体图形,它们是由 个面, 条棱, 个顶点
组成的.
12.要把一个长方体剪开展成平面图形,需要剪开 条棱.
13.如下图所示,正方体截去一角后变成一个多面体,这个多面体有 个面, 条
棱, 个顶点.
14.要使如图所示的平面展开图折叠成正方体后,相对面上两个数字之和为 6,则 x=,y= .
15.如左下图所示的是由四个相同的小立方体组成的立体图形从正面看到的形状图和从左面
看到的形状图,那么原立体图形可能是 .(把正确的立体图形的序号都填在横线上)
16.薄薄的硬币在桌面上转动时,看上去像球,这说明了 .
17.如右图所示的几何体由 个面围成,面与面相交成 条线,其中直线有
条,曲线有 条.
18.用一个平面去截一个圆柱,图甲中截面的形状是 ,图乙中截面的形状是 .
三、解答题(共58分)
19.(7分)如下图所示,至少找出下列几何体的四个共同点.
20.(7分)如下图所示,电视台的摄像机1,2,3,4在不同位置拍摄了四幅图象,求A,B,C,D四幅图象
分别是几号摄像机所拍摄的.21.(7分)若要使得如右图所示的平面展开图折叠成正方体后,相对面上的两个数之和为5,求
x+y+z的值.
22.(11分)(1)画出从三个方向(正面、左面、上面)看如图甲所示的几何体所得到的图形,并标
出该位置小立方块的个数;
(2)用若干个小立方块搭成一个几何体,如图乙所示的分别是从正面、上面看到的图形,这样的
几何体有多少种可能?它最多需要多少个小立方块?最少需要多少个小立方块?请画出最少和
最多时从左面看到的图形,同时标出该位置小立方块的个数.
23.(13分)我们知道,对于一些立体图形问题,常把它转化为平面图形来研究和处理.棱长为a
的小正方体摆成如下图所示的几何体.
(1)求该几何体由几个小正方体组成;
(2)求该几何体的表面积.
24.(共13分)有一张铁皮,形状如图所示.
(1)计算铁皮的面积;
(2)它能否做成一个长方体的盒子?若能,画出它的几何图形,并计算它的体积;若不能,请说明理
由.【答案与解析】
1.B(解析:根据题意分析可知所形成的几何体是圆锥和圆柱的组合体.故选B.)
2.B(解析:选项A,C,D经过折叠均能围成正方体,选项B折叠后第一行两个面无法折起来,而且
下边没有面,不能折成正方体.故选B.)
3.D (解析:圆锥的侧面展开图是扇形.故选D.)
4.B(解析:用一个平面截圆柱,截面形状可能是圆、长方形、正方形、椭圆,抛物面形等.故选
B.)
5.B(解析:通过观察三个不同方向的形状图可知每一位置的正方体的个数.故选B.)
6.B(解析:从选项B中可看出上下底面是正方形,这样不能围成三棱柱;三棱柱的底所在面一定
是三角形.故选B.)
7.C
8.C(解析:由原正方体可知,“妮”“迎”“欢”三个字所在的面是相交的,而选项A,B中,
“妮”和“欢”所在的面是相对的,故A,B错;选项D中的图形不能围成正方体,D错.故选C.)
9.B(解析:说法中正确的有①②④,四棱柱的底面是四边形,不能说棱柱的底面是四边形,故③错
误;棱柱的侧面还可以是正方形,平行四边形不能说一定是长方形,故⑤错误.故选B.)
10.D
11.6 12 8
12.7 (解析:本题可逆向思考,长方体共有六个面,展成平面图形,且六个面相连,则必有五条棱
不剪开,因此需要剪开7条棱.)
13.7 12 7 (解析:按图形数即可.)
14.2 3 (解析:与x相对的数字是4,与y相对的数字是3.)
15.①②④
16.面动成体
17.4 6 4 2
18.圆 长方形
19.解:答案不唯一,如:都由平面组成,侧面都是长方形,都有上下底面,都有侧棱等.
20.解:A图象是2号摄像机所拍,B图象是3号摄像机所拍,C图象是4号摄像机所拍,D图象是
1号摄像机所拍.
21.解:由图可知面 y 的对面是面 2,面 x 的对面是面 1,面 z 的对面是面 3,所以
y+2=5,y=3;x+1=5,x=4;z+3=5,z=2.故x+y+z=4+3+2=9.
22.解:(1)如图所示. (2)如图所示,有两种可能,最多需要8个小立方块,最少需要7个小立方块.
23.解:(1)该几何体由10个小正方体组成. (2)表面积为6×6×a2=36a2(平方单位).24.解:(1)铁皮的面积为(1×3+1×2+2×3)×2=22(m2). (2)能做成一个长方体的盒子,如下图所示,
它的体积为1×2×3=6(m3).
