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第一章 三角形的证明（A卷·知识通关练）
考点1 等腰三角形的性质
【方法点拨】掌握等腰三角形的性质：
1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
1. 如图，在 中， ， 为 内的一点，且 ， ，则 的
大小为
A． B． C． D．
【分析】先利用三角形内角和定理求出 ，从而可求出 ，进而可得
，然后利用等腰三角形的性质可得 ，最后利用三角形内角和定理进行计
算即可解答．
【解答】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
故选： ．2. 已知等腰三角形的一边长为 ，周长为 ，则腰长为
A． 或 B． C． D． 或
【分析】分 长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
【解答】解：当长是 的边是腰时，三边为 ， ， ，等腰三角形成立，腰长是 ；
当长是 的边是底边时，三边为 ， ， ，等腰三角形成立，腰长是 ．
故腰长是 或 ，
故选： ．
3. 若一个等腰三角形的两边长分别为5和12，则该三角形的周长是
A．5 B．5或12 C．22或29 D．29
【分析】因为等腰三角形的两边分别为12和5，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分
类讨论．
【解答】解：当12为底时，其它两边都为5，12、5、5不能构成三角形，
当12为腰时，其它两边为12和5，因为 ，所以能构成三角形，
所以该三角形的周长是： ．
故选： ．
4. 已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为 ，那么这个等腰三角形的顶角等于
A． 或 B． C． D． 或
【分析】方法1：首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案．
方法2：读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不
可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．
【解答】解：方法1：根据题意得： ， ，
如图（1）， ，
则 ；
如图（2）， ，
，
．
故这个等腰三角形的顶角等于 或 ．
方法2：①当为锐角三角形时可以画图，
高与左边腰成 夹角，由三角形内角和为 可得，顶角为 ，②当为钝角三角形时可画图，
此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为 ，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为 ，
三角形的顶角为 ．
故选： ．
考点2 等腰三角形的判定
【方法点拨】掌握等腰三角形的判定：
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”
牢记：（1）等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相
反，要注意区分；
（2）判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。
5. 下列三角形中，不是等腰三角形的是
A． B．C． D．
【分析】由三角形的内角和判定选项 中的三角形是否为等腰三角形， 选项由等腰三角形的定义判
断．
【解答】解： 、由三角形的内角和为 知：第三个角的大小为： ，
选项中的图形不是等腰三角形．故 选项符合题意；
、由三角形的内角和为 知：第三个角的大小为： ，
选项中的图形是等腰三角形．故 选项不符合题意；
、由三角形的内角和为 知：第三个角的大小为： ，
选项中的图形是等腰三角形．故 选项不符合题意；
、由图形中有两边长为5知：选项 中的图形是等腰三角形．故 选项不符合题意；
故选： ．
6. 如图，平面直角坐标系中，已知 ， ．若在坐标轴上取点 ，使 为等腰三角形，则满足
条件的点 的个数是
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】由点 、 的坐标可得到 ，然后分类讨论：若 ；若 ；若 ，
确定 点的个数．
【解答】解： 点 、 的坐标分别为 、 ．
，①若 ，以 为圆心， 为半径画弧与 轴有2个交点（含 点），即 、 ，
满足 是等腰三角形的 点有1个；
②若 ，以 为圆心， 为半径画弧与 轴有2个交点 点除外），即满足 是等腰三角形
的 点有2个；
③若 ，作 的垂直平分线与 轴， 轴各有一个有1个交点，即满足 是等腰三角形的 点
有2个；
综上所述：点 在坐标轴上， 是等腰三角形，符合条件的点 共有5个．
故选： ．
7. 如图，在 中， ， 是高， 是中线， 是角平分线， 交 于点 ，交 于
点 ，下面说法正确的是
① 的面积等于 的面积；
② ；
③ ；
④ ．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得 ，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解 ，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件
无法判定④．
【解答】解： 是 的中线，
，
的面积等于 的面积，故①正确；
是 的高线，
，
，
，
，
，
为 的角平分线，
，
， ，
，故②正确；
，
，
，故③正确；
根据已知条件无法证明 ，故④错误，
故选： ．
8. 如图，已知 ，在边 上顺次取点 ， ， ，在边 上顺次取点 ， ， ，使得
，得到等腰△ ，△ ，△ ，△
（1）若 ，可以得到的最后一个等腰三角形是 △ ；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△ ，则 的度数 的取值范围是
．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出 即可判断．
（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△ ，需要满足： 且
，解不等式即可解决问题．
【解答】解：（1） ，
，
，
，
△ 不存在，
得到的最后一个等腰三角形是△ ．
故答案为△ ．
（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△ ，
需要满足： 且 ，
，
故答案为 ．
考点3 “三线合一”性质的应用
【方法点拨】等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G为EF的中点，求证：AG⊥EF．【分析】只要证明AF＝AE，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题；
【答案】证明：∵BE平分∠ABC
∴∠ABE＝∠CBE∠AEF＝90°﹣∠ABE
又∵∠AFE＝∠DFB＝90°﹣∠CBE
∴∠AFE＝∠AEF，
∴△AFE为等腰三角形
又∵G为EF的中点
∴AG⊥EF．
10. 在△ABC中，BC边上的高AG平分∠BAC．
（1）如图1，求证：AB＝AC；
（2）如图2，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BC＝10cm，DE＝6cm，求BD的长．
【分析】（1）想办法证明∠B＝∠C即可解决问题．
（2）如图2中，作AG⊥BC于G．利用等腰三角形的三线合一的性质证明BD＝CE即可解决问题．
【答案】（1）证明：如图1中，
∵AG为∠BAC的平分线，
∴∠BAG＝∠CAG，∵AG为BC边上高
∴∠AGB＝∠AGC＝90°，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
（2）如图2中，作AG⊥BC于G．
∵AB＝AC，AG⊥BC，
∴BG＝CG，
∵AD＝AE，AG⊥BC，
∴DG＝EG，
∴BG﹣DG＝CG﹣EG，
∴BD＝CE，
∵BC＝10cm，DE＝6cm，
∴BD＝2cm．
11. 已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝
DE．
【分析】欲证BD＝DE，只需证∠DBE＝∠E，根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明∠DBE＝
∠E＝30°．
【答案】证明：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边的中线，
∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE＝ ∠ABC＝30°．
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠E．∵∠ACB＝60°，且∠ACB为△CDE的外角，
∴∠CDE+∠E＝60°．
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴∠DBE＝∠DEB＝30°，
∴BD＝DE．
12. 如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：DM＝DN；
（2）若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N，问DM和DN有何数量关系，并证明．
【分析】（1）连接AD，可得∠ADM＝∠CDN，可证△AMD≌△CND，可得DM＝DN；
（2）连接AD，可得∠ADM＝∠CDN，可证△AMD≌△CND，可得DM＝DN．
【答案】解：（1）连接AD，
∵D为BC中点，
∴AD＝BD，∠BAD＝∠C，
∵∠ADM+∠ADN＝90°，∠ADN+∠CDN＝90°，
∴∠ADM＝∠CDN，
在△AMD和△CND中，
，
∴△AMD≌△CND（ASA），
∴DM＝DN．（2）连接AD，∵D为BC中点，∴AD＝BD，∠BAD＝∠C，
∵∠ADM+∠MDC＝90°，∠MDC+∠CDN＝90°，
∴∠ADM＝∠CDN，
∵∠MAD＝MAC+DAC＝135°，∠NCD＝180°﹣∠ACD＝135°
在△AMD和△CND中，
，
∴△AMD≌△CND（ASA），
∴DM＝DN．
考点4 等边三角形的判定与性质
【方法点拨】等边三角形的性质：
（1）等边三角形是轴对称图形，并且具有3条对称轴；
（2）等边三角形的每个角都等于60°。
等边三角形的判定：
（1）三边相等的三角形是等边三角形。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。
（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
13. 如图，在边长为2的等边三角形 中， 为边 上一点，且 ．点 ， 分别在边 ，
上，且 ， 为边 的中点，连接 交 于点 ．若 ，则 的长为A． B． C． D．
【分析】根据等边三角形边长为2，在 中求得 的长，再根据 垂直平分 ，在 中
求得 ，最后根据线段和可得 的长．
【解答】解： 等边三角形边长为2， ，
， ，
等边三角形 中， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图，连接 ，则 中， ，
，
是等边三角形，
，
垂直平分 ，
， ，中， ， ，
为 的中点，
，
，
故选： ．
14. 已知：如图， 和 都是等边三角形， 是 延长线上一点， 与 相交于点 ， 、
相交于点 ， 、 相交于点 ，则下列五个结论：① ；② ；③
；④ ；⑤ 是等边三角形．其中，正确的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据先证明 ，得出 ，根据已知给出的条件即可得出答案；
【解答】解： 和 都是等边三角形，
， ， ，
，即 ，
，
，故选项①正确；
，由 得： ，
，故选项②正确；
由 得： ，是 的外角，
，
又 是 的外角，
，故选项③正确；
在 和 中，
，
，
，故选项④正确；
，
为等腰三角形， ，
是等边三角形，故选项⑤正确；
故选： ．
15. 如图，已知 中高 恰好平分边 ， ，点 是 延长线上一点，点 是线段 上一点
且 ，下面的结论：① ；② 是等边三角形；③ ；④
．其中正确的为 ①②③④ ．（填序号）
【分析】①连接 ，根据垂直平分线性质即可求得 ，即可解题；
②根据周角等于 和三角形内角和为 即可求得 ，即可解题；
③在 上截取 ，易证 ，可得 ，即可解题；
④作 ，可证 和 ，根据全等三角形面积相等即可解题．
【解答】解：①连接 ，如图1，
中高 恰好平分边 ，即 是 垂直平分线，
， ，
，
， ，，
．故①正确；
② 中， ，
中， ，
，
， ，
，
，
是等边三角形，故②正确；
③如图2，在 上截取 ，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
；
故③正确；
④如图3，作 ，
， ，
，
在 和 中，，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
四边形 面积 ，
四边形 面积 ．故④正确．
故答案为：①②③④．16. 如图，等边 的边长为6， ， 的角平分线交于点 ，过点 作 ，交 、
于点 、 ，则 的长度为 4 ．
【分析】根据 和 分别平分 和 ，和 ，利用两直线平行，内错角相等和等量代
换，求证出 ， ．然后即可得出答案．
【解答】解：如图，连接 ，
在 中， 和 分别平分 和 ，
， ，
，
， ，
， ，
和 分别平分 和 ，
平分 ，
，
又 ，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
故答案为：4考点5 直角三角形全等的判定
【方法点拨】对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和
一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
17. 使两个直角三角形全等的条件是
A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．斜边及一条直角边对应相等
【分析】要判断能使两个直角三角形全等的条件首先要看现在有的条件：一对直角对应相等，还需要两个
条件，而 是不能判定三角形全等的，所以正确的答案只有选项 了．
【解答】解： 、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角
形全等，故本选项错误；
、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故本选项错误；
、一条边对应相等，再加一组锐角相等才能得出两三角形全等，故本选项错误；
、当两个直角三角形的两直角边对应相等时，由 可以判定它们全等；当一直角边与一斜边对应相等
时，由 判定它们全等，故本选项正确；
故选： ．
18. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是
A． B． C． D．
【分析】根据 证明全等解答即可．
【解答】解：由图可得，三角形已知一个锐角和一个直角，以及两角的夹边，
所以根据 证明三角形全等，
故选： ．
19. 下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是
A．斜边和一直角边对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一锐角和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等
【分析】直角三角形全等的判定方法： ， ， ， ， ，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
【解答】解： 、符合判定 ，故本选项正确，不符合题意；
、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误，符合题意；
、符合判定 ，故本选项正确，不符合题意；
、符合判定 ，故本选项正确，不符合题意．
故选： ．
20. 如图所示，已知在 中， ， ， 交 于点 ，若 ，则
A． B． C． D．
【分析】根据 ， ，求证 ， ，再由 ，
，求出 的度数，然后即可求出 的度数．
【解答】解： 在 中， ， ， 交 于点 ，
， ，
， ，
，
．
故选： ．
考点6 直角三角形性质的综合应用
【方法点拨】掌握直角三角形两条重要的性质：（1）斜边上的中线为斜边的一半。
（2）30°角所对直角边为斜边一半。且两直角边成 倍关系。
21. 如图，直线 ， 如图放置，若 ， ，则 的度数为
A． B． C． D．【分析】根据平行线的性质得到 ，进而求得 ，再根据直角三角形的性质求出 即
可．
【解答】解： ，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
22. 如图， 沿直线 折叠，使点 与 边上的点 重合，若 ， ，则 等于
A． B． C． D．
【分析】根据直角三角形的性质求出 ，再根据折叠的性质、三角形的外角性质计算即可．
【解答】解： ， ，
，
由折叠的性质可知， ，
，
故选： ．
23. 如图，从旗杆 的顶端 向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面 处，若旗杆的高度为3.2米，则绳
子 的长度不可能是A．3 B．3.3 C．4 D．5
【分析】直接利用直角三角形的性质斜边大于直角边进而得出答案．
【解答】解： 旗杆的高度为 米，
，
绳子 的长度不可能是：3米．
故选： ．
24. 如图，在 中， ， ， 是 上一点， 于点 ， 于点 ，
则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】由三角形内角和定理求得 ；由垂直的定义得到 ；然后根据四边
形内角和是360度进行求解．
【解答】解：如图， 在 中， ， ，
．
于点 ， 于点 ，
，
．
故选： ．
考点7 角平分线性质的应用
【方法点拨】掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
牢记：（1）角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；（2）当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。
25. 如图， ， 平分 ， 于点 ， 交 于点 ，若 ，则 的
长为
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解： ， 交 于点 ，
，
过 作 于 ，
， 平分
， ，
，
，
故选： ．
26. 如图， 平分 ， 于点 ，若 ，点 是边 上一动点，关于线段 叙述正确的
是
A． B． C． D．【分析】过 点作 于 ，如图，根据角平分线的性质得到 ，然后根据垂线段最短可
对各选项进行判断．
【解答】解：过 点作 于 ，如图，
平分 ， ， ，
，
点 是边 上一动点，
．
故选： ．
27. 如图，在 中， 为 的平分线， 于 ， 于 ， 的面积是 ，
， ，则 的长
A． B． C． D．
【分析】根据角平分线的性质得到 ，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解： 为 的平分线， ， ，
，
，即 ，解得 ，
故选： ．
28. 如图， ， ，垂足分别为 、 ． ，若 ，则 ．
【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出 平分 ，再根据角平分线的定义可
得 ．
【解答】解： ， ， ，
平分 ，
．
故答案为： ．
考点8 线段垂直平分线性质的应用
【方法点拨】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。
29. 如图，在 中， 的垂直平分线 与边 ， 分别交于点 ， ．已知 与 的周长
分别为 和 ，则 的长为
A． B． C． D．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 ，根据三角形的周长公式计算即可得到结论．
【解答】解： 是 的垂直平分线，
， ．
的周长是 ，，即 ．
的周长是 ，
，
，
．
故选： ．
30. 如图，在 中， 是 的垂直平分线，且分别交 、 于点 和 ， ， ，
则 为
A． B． C． D．
【分析】根据三角形内角和定理求出 ，根据线段垂直平分线的性质得到 ，得到
，计算即可．
【解答】解：在 中， ， ，
则 ，
是 的垂直平分线，
，
，
，
故选： ．
31. 如图， ， 分别是线段 ， 的垂直平分线，连接 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质求解判断即可．【解答】解：如图，连接 ，
， 分别是线段 ， 的垂直平分线，
， ，
，
故选： ．
32. 如图，在 中， 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ．若 的周长为22， ，则
的周长为
A．26 B．20 C．18 D．14
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 ， ，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解： 是 的垂直平分线，
， ，
的周长为22，
，
，
的周长 ，
故选： ．
考点9 等腰三角形与全等三角形的综合
33. 如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．
（1）求证：BF＝AC；
（2）若CD＝3，求AF的长．【分析】（1）根据等腰三角形腰长相等性质可得AD＝BD，即可求证△BDF≌△ACD，即可解题；
（2）连接CF，根据全等三角形的性质得到DF＝DC，得到△DFC是等腰直角三角形．推出AE＝EC，
BE是AC的垂直平分线．于是得到结论．
【答案】解：（1）AD⊥BD，∠BAD＝45°，
∴AD＝BD，
∵∠BFD＝∠AFE，∠AFE+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BFD＝∠ACD，
在△BDF和△ACD中，
，
∴△BDF≌△ACD（AAS），
∴BF＝AC；
（2）连接CF，
∵△BDF≌△ADC，
∴DF＝DC，
∴△DFC是等腰直角三角形．
∵CD＝3，CF＝ CD＝3 ，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴AE＝EC，BE是AC的垂直平分线．
∴AF＝CF，
∴AF＝3 ．
34. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：CD＝BF；
（2）求证：AD⊥CF；
（3）连接AF，试判断△ACF的形状．
【分析】（1）由平行可求得∠CBF＝90°，再结合等腰三角形的判定和性质可求得BF＝BD，可得BF＝
CD；
（2）结合（1）的结论，可证明△ACD≌△CBF，可得∠DCG＝∠CAD，可证明∠CGD＝90°，可得结
论；
（3）由（2）可得CF＝AD，又AB垂直平分DF，可得AD＝AF，可证明CF＝AF，可知△ACF为等腰
三角形．
【答案】（1）证明：
∵AC∥BF，且∠ACB＝90°，
∴∠CBF＝90°，
又AC＝BC，
∴∠DBA＝45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠BEF＝∠DBF＝90°，
∴∠BDE＝∠BFE＝45°，
∴BD＝BF，
又D为BC中点，
∴CD＝BD，
∴CD＝BF；
（2）证明：
由（1）可知CD＝BF，且CA＝CB，∠ACB＝∠CBF＝90°，
在△ACD和△CBF中∴△ACD≌△CFB（SAS），
∴∠CAD＝∠BCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠CDA＝90°，
∴∠BCF+∠CDA＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴AD⊥CF；
（3）解：
由（2）可知△ACD≌△CBF，
∴AD＝CF，
由（1）可知AB垂直平分DF，
∴AD＝AF，
∴AF＝CF，
∴△ACF为等腰三角形．
35. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D是BC的中点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD
于点F．
（1）求证：AE＝CE；
（2）求证：△AEF≌△CEB．
【分析】（1）求出∠ACE＝45°，证明∠EAC＝∠ACE，即可解答；
（2）利用同角的余角相等，证明∠BAD＝∠BCE，利用ASA证明即可解答．
【答案】解：（1）∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∵∠BAC＝45°，∴∠ACE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAC＝∠ACE，
∴AE＝CE．
（2）∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠B+∠BCE＝90°，
∴∠BAD＝∠BCE，
在△AEF和△CEB中，
∴△AEF≌△CEB．
36. 如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交
于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
【分析】（1）证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；
（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．
【答案】解：（1）∠ABE＝∠ACD；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE＝∠ACD；
（2）连接AF．∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
由（1）可知∠ABE＝∠ACD，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴FB＝FC，
∵AB＝AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC．
考点10 与三角形有关的动点问题
37. 如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，
已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时
M、N运动的时间．
【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程
比M的运动路程多12cm，列出方程求解即可；
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A
等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出
CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．
【答案】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+12＝2x，
解得：x＝12；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图 ，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t， ①
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t＝12﹣2t，
解得t＝4，
∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图 ，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN②＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵ ，
∴△ACM≌△ABN，
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，
y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16
秒．38. 已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，点D为AB边的中点，∠EDF＝60°，DE、DF分别交AC、BC于
E、F点．
（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE＝DF．
（2）如图2，若EF与AB不平行． 则问题（1）的结论是否成立？说明理由．
【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△BDF，再根据全等三角形的性质可得DE＝DF；
（2）过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．可证明DM＝DN．再分一、当M与E重
合时，N就一定与F重合．二、当M落在C、E之间时，N就一定落在B、F之间．三、当M落在A、E
之间时，N就一定落在C、F之间．三种情况讨论即可求解．
【答案】解：（1）∵EF∥AB．
∴∠FEC＝∠A＝30°．
∠EFC＝∠B＝30°
∴EC＝CF．
又∵AC＝BC
∴AE＝BF
D是AB中点．
∴DB＝AD
∴△ADE≌△BDF．
∴DE＝DF
（2）过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
又∵∠ACB＝120°，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠ACB）÷2＝30°，
∴∠ADM＝∠BDN＝60°，
∴∠MDN＝180°﹣∠ADM﹣∠BDN＝60°．
∵AC＝BC、AD＝BD，∴∠ACD＝∠BCD，
∴DM＝DN．
由∠MDN＝60°、∠EDF＝60°，可知：
一、当M与E重合时，N就一定与F重合．此时：
DM＝DE、DN＝DF，结合证得的DM＝DN，得：DE＝DF，但EF∥AB，不合题意．
二、当M落在C、E之间时，N就一定落在B、F之间．此时：
∠EDM＝∠EDF﹣∠MDF＝60°﹣∠MDF，
∠FDN＝∠MDN﹣∠MDF＝60°﹣∠MDF，
∴∠EDM＝∠FDN，
又∵∠DME＝∠DNF＝90°、DM＝DN，
∴△DEM≌△DFN（ASA），
∴DE＝DF．
三、当M落在A、E之间时，N就一定落在C、F之间．此时：
∠EDM＝∠MDN﹣∠EDN＝60°﹣∠EDN，
∠FDN＝∠EDF﹣∠EDN＝60°﹣∠EDN，
∴∠EDM＝∠FDN，
又∵∠DME＝∠DNF＝90°、DM＝DN，
∴△DEM≌△DFN（ASA），
∴DE＝DF．
综上一、二、三所述，得：DE＝DF．
39. △ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与 B、C重合），以 AD为一边向 AD的左侧作
△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．
（1）如图1，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则△BEF是 三角形；
（2）若∠BAC＝∠DAE≠60°
如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；
①当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．
②【分析】（1）根据题意推出△AED和△ABC为等边三角形，然后通过求证△EAB≌△DAC，结合平行
线的性质，即可推出△EFB为等边三角形，（2） 根据（1）的推理依据，即可推出△EFB为等腰三
角形， 根据题意画出图形，然后根据平行线的性①质，通过求证△EAB≌△DAC，推出等量关系，即可
推出△E②FB为等腰三角形．
【答案】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴△AED和△ABC为等边三角形，
∴∠C＝∠ABC＝60°，∠EAB＝∠DAC，
∴△EAB≌△DAC，
∴∠EBA＝∠C＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠ABC＝60°，
∵在△EFB中，∠EFB＝∠EBA＝60°，
∴△EFB为等边三角形，
（2） △BEF为等腰三角形，
∵AB＝①AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴△AED和△ABC为等腰三角形，
∴∠C＝∠ABC，∠EAB＝∠DAC，
∴△EAB≌△DAC，
∴∠EBA＝∠C，
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠ABC，
∵在△EFB中，∠EFB＝∠EBA，
∴△EFB为等腰三角形，
AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使
②AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．∵△BEF为等腰三角形，
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴△AED和△ABC为等腰三角形，
∴∠ACB＝∠ABC，∠EAB＝∠DAC，
∴△EAB≌△DAC，
∴∠EBA＝∠ACD，
∴∠EBF＝∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠AFE＝∠ACB，
∵在△EFB中，∠EBF＝∠AFE，
∴△EFB为等腰三角形．
40. 如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，
以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）判断AD与BE是否相等，请说明理由；
（2）如图2，若AB＝8，点P、Q两点在直线BE上且CP＝CQ＝5，试求PQ的长；
（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ的长是否
为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC＝BC，CD＝CE，再求出∠ACD＝∠BCE，然后利用“边
角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）过点C作CN⊥BQ于点N，根据等腰三角形三线合一的性质可得PQ＝2PN，CM⊥AD，根据全等
三角形对应边上的高线相等可得CN＝CM，然后利用勾股定理列式求出PN的长度，从而得解；
（3）根据（2）的结论，点C到PQ的距离等于CM的长度，是定值，所以，PQ的长是定值不变．
【答案】解：（1）AD＝BE．理由如下：
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∵∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝60°，
∠BCE+∠BCD＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∵ ，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）如图，过点C作CN⊥BQ于点N，
∵CP＝CQ，
∴PQ＝2PN，
∵△ABC是等边三角形，AM是中线，
∴CM⊥AD，CM＝ BC＝ ×8＝4，
∴CN＝CM＝4（全等三角形对应边上的高相等），∵CP＝CQ＝5，
∴PN＝ ＝ ＝3，
∴PQ＝2PN＝2×3＝6；
（3）PQ的长为定值6．
∵点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时，△ACD和△BCE全等，
∴对应边AD、BE上的高线对应相等，
∴CN＝CM＝4是定值，
∴PQ的长是定值．
