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专题 03 与圆有关的面积计算的四种方法
类型一：利用“作差法”求面积
类型二：利用“整体法”求面积
类型三：利用“等面积变形法”求面积
类型四：利用“割补法”求面积
类型一：利用“作差法”求面积
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， O是△ABC的内切圆，若AC＝3，BC＝4，则图中阴影部分的
⊙
面积为 ．
【分析】根据题意求出圆的半径和∠AOB的度数，再计算出S△AOB 与S扇形MON 的差，即可得到答案．
【解答】解：连接OE、OF，
∵ O是△ABC的内切圆，
∴ O分别与AB、BC、AC相切于点D、E、F，
⊙
∴四边形CEOF是正方形，
⊙
设 O的半径为r，
∴CE＝CE＝r，
⊙
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∴AD＝AF＝3﹣r，BE＝BD＝4﹣r，AD+BD＝5，
∴（3﹣r）+（4﹣r）＝5，解得：r＝1，
∵ O是△ABC的内切圆，
⊙
∴ ，
∴ ，∴阴影部分的面积＝ ，
故答案为： ．
2．已知四边形ABCD是矩形，AB＝2， ，以点B为圆心BC为半径的圆交AD于点E，则图中阴
影部分的面积为 ．
【分析】证明AE＝AB，可得∠ABE＝∠AEB＝45°，∠CBE＝45°，再由阴影部分的面积为S矩形ABCD ﹣
S△ABE ﹣S扇形CBE ，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠A＝90°，
由题意得： ，
∵AB＝2，
∴ ，
∴AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴∠CBE＝45°，
∴阴影部分的面积为S矩形ABCD ﹣S△ABE ﹣S扇形CBE
＝
＝
＝ ．
故答案为： ．
3．如图，边长为4的正方形OABC的顶点B在 O上，顶点A，C在 O内，OA的延长线交 O于点D，
则图中阴影部分的面积为（ ）
⊙ ⊙ ⊙A．2 ﹣4 B．4 ﹣8 C．4 ﹣4 D．
【分析π】连接OB，由四边π形ABCO是正方形，得π到∠DOB＝45°，根据勾股定理得到OB＝ AB＝4
，再根据图中阴影部分的面积＝S扇形OBD ﹣S△AOB 得到结论．
【解答】解：连接OB，
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠DOB＝45°，
∴OB＝ AB＝4 ，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形OBD ﹣S△AOB ＝ ﹣ ×4×4＝4 ﹣8，
故选：B．
π
4．如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C'，点B经过的路径为弧
BB′，若∠BAC＝60°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．3
【分析】图中S阴影 ＝S扇形ABB′+S△AB′C′ ﹣S△ABC ．
π【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝3，
∴∠ABC＝30°．
∴AB＝2AC＝6．
根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC ＝S△AB′C′ ，AB＝AB′．
∴S阴影 ＝S扇形ABB′+S△AB′C′ ﹣S△ABC
＝
＝ ．
故选：C．
5．如图，正方形ABCD的边长为8，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E，则阴影部分的面积是（
）
A．8﹣ B．16﹣2 C．16﹣4 D．32﹣4
【分析】据图形可得，阴影部分的面积等于三角形 BCD的面积减去扇形OCE的面积，代入面积公式进
π π π π
行计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，
∴OC＝4，
∴S阴影 ＝S△BCD ﹣S扇形OCE ＝ ×8×8﹣ ＝32﹣4 ．
故选：D．
π
6．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝120°，AB＝4，以点O为圆心，OB为半
径作圆，分别与菱形ABCD的边相交形成如图所示的阴影部分，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，设 O与菱形的边AB、AD分别交于点E、F，连接OE、OF，由菱形的性质可以证得
⊙△ABD是等边三角形，进而可以证得△BEO，△DFO都是等边三角形，由等边三角形的性质可以求得
∠EOF＝60°，然后根据阴影部分的面积＝2×（S△ABD ﹣S△DFO ﹣S△BEO ﹣S扇形OEF ）代入数据计算即可．
【解答】解：如图，设 O与菱形的边AB、AD分别交于点E、F，连接OE、OF，
⊙
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，AB＝AD，∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝4，∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴BO＝DO＝2，
∵以点O为圆心，OB长为半径画弧，
∴BO＝OE＝OD＝OF，
∴△BEO，△DFO是等边三角形，
∴∠DOF＝∠BOE＝60°，
∴∠EOF＝60°，
∴阴影部分的面积＝2×（S△ABD ﹣S△DFO ﹣S△BEO ﹣S扇形OEF ）
＝ ．
故选：D．
7．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径
作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【分析】过O作ON⊥AD，OM⊥CD，证明△ONH≌△OMG，故四边形HOGD面积＝2△OMD面积，
再计算即可．
【解答】解：过O作ON⊥AD，OM⊥CD，连接OD．∵∠ADC+∠HOG＝180°，
∴∠NHO+∠DGO＝180°，
∵∠DGO+∠MGO＝180°，
∴∠NHO＝∠MGO．
∵菱形ABCD，
∴DO平分∠ADC，
∴OM＝ON．
在△ONH和△OMG中，
，
∴△ONH≌△OMG（AAS），
∴△ONH面积＝△OMG面积，
∴四边形HOGD面积＝四边形NOMD面积＝2△OMD面积，
∵∠ODC＝60°，
∴OD＝ CD＝1，OC＝ OD＝ ．
∴DM＝ OD＝ ，
∴OM＝ DM＝ ，
∴四边形HOGD面积＝2△OMD面积＝2× × × ＝ ，
∴阴影部分的面积＝扇形面积﹣四边形HOGD面积＝ × ×（ ）2﹣ ＝ ﹣ ，
故选：A．
π
类型二：利用“整体法”求面积
8．如图是型号为24英寸（车轮的直径为24英寸，约60cm）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分
（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形ABCD中∠DAB＝115°，∠ABC＝
125°，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（ ）A．300 cm2 B．500 cm2 C．900 cm2 D．1200 cm2
【分析】求出圆心角，再运用扇形的面积公式计算即可．
π π π π
【解答】解：∵四边形ABCD中∠DAB＝115°，∠ABC＝125°，AB∥CD，
∴∠ADC＝65°，∠BCD＝55°，
∵车轮的直径为24英寸，约60cm，
∴需要的铁皮面积约是 ，
故选：A．
9．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面
积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】因为图中的圆形喷水池的内角和度数为360°，为一个圆，利用圆的面积计算公式求出圆形喷水
π π π π
池的面积即可．
【解答】解：绿化园地为四边形，四边形的内角和为360°，阴影部分的面积和为一个圆面积，
故这四个喷水池占去的绿化园地的面积为 ×22＝4 ．
故选：B．
π π
10．某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，4m长为半径
的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（ ）
A．16 m2 B．12 m2 C．24 m2 D．48 m2
【分析】先求出五边形的内角和，再利用扇形面积公式求解即可．
π π π π
【解答】解：该五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴扇形区域总面积是 ，故选：C．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，以点B为圆心，BD
长为半径画圆弧，若AC＝2，则图中阴影部分图形的面积和为 （结果保留 ）．
π π
【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积S＝S扇形BDE +S扇形ACD ．
【解答】解：在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝2，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，即AB＝2AC＝4，
∵AD＝AC＝2，
∴BD＝AB﹣AD＝2＝AC，
∴阴影部分的面积 ，
故答案为： ．
12．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，分别以点A、B、C为圆心，以2cm为半径画弧，则图中
π
阴影部分的面积为 cm2．（结果保留根号和 ）．
π
【分析】取BC的中点D，连接AD，根据等边三角形的性质，证明AD⊥BC，由三角函数求出AD，根
据三角形的面积公式求出△ABC的面积；分别以点A、B、C为圆心，以2cm为半径画弧，得到3个相
同的扇形，根据扇形的面积公式求出一个扇形的面积，从而求出3个扇形的总面积，根据“阴影部分的
面积＝△ABC的面积﹣3个扇形的面积”计算即可．
【解答】解：如图，取BC的中点D，连接AD．
∵△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∴ ，
∴ ，
分别以点 A、B、C 为圆心，以 2cm 为半径画弧，得到 3 个完全相同的扇形，每个扇形的面积为
，
∴3个相同的扇形的总面积为 ，
∴ ），
故答案为： ．
13．如图，五个半径为2的圆，圆心分别是点A，B，C，D，E，则图中阴影部分的面积和是 6 ．
π
【分析】根据五边形的内角和公式，可得出圆心角之和等于五边形的内角和（5﹣2）×180°＝540°，由
于半径相同，根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：由图可得，5个扇形的圆心角之和为：（5﹣2）×180°＝540°，
则五个阴影部分的面积之和 ．
故答案为：6 ．
π
14．已知菱形ABCD，分别以点A，B，C，D为圆心，以 的长为半径画弧，分别交AB，BC，CD，AD
于点E，F，G，H．若AC＝6，BD＝8，则图中阴影部分的面积为 2 4 ﹣ ．
π
【分析】设AC交BD于O，根据菱形的性质得出AO＝CO＝3，BO＝DO＝4，AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，根据勾股定理求出AB，求出AB＝BC＝CD＝AD＝5，求出AE＝BE＝CF＝DH＝ ，根据图
形得出阴影部分的面积S＝S菱形ABCD ﹣（S扇形EAH +S扇形EBF +S扇形FCG +S扇形HDG ），再求出答案即可．
【解答】解：设AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝4，AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝5，
即AB＝BC＝CD＝AD＝5，
∵分别以点A，B，C，D为圆心，以 的长为半径画弧，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，
H，
∴AE＝BE＝CF＝DH＝ ，
∴阴影部分的面积S＝S菱形ABCD ﹣（S扇形EAH +S扇形EBF +S扇形FCG +S扇形HDG ）
＝ ﹣
＝24﹣ ，
π
故答案为：24﹣ ．
类型三：利用“等面积变形法”求面积
π
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的 O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若
∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（ ）
⊙A． B． C． D．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠AEC＝90°，再根据等腰三角形三线合一得出点E是BC的
π
中点，从而得出OE是△ABC的中位线，于是OE∥AB，根据同底等高得到△AOD和△AED的面积相等
从而阴影部分的面积转化为扇形AOD的面积，根据扇形面积公式计算出扇形AOD的面积即可得出阴影
部分的面积．
【解答】解：连接OE，OD，
∵AC为 O的直径，
∴∠AEC＝90°，
⊙
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即点E是BC的中点，
∵点O是AC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AB，
∴S△AOD ＝S△AED ，
∴S阴影 ＝S扇形OAD ，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BED＝45°，
∴∠AED＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
16．如图，已知AB是 O的直径，弦CD⊥AB，若∠ABD＝72°，AB＝20，则图中阴影部分的面积为（
）
⊙A．5 B．9 C．10 D．10 +1
【分析】连接OD，则根据垂径定理可得出CE＝DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，
π π π π
代入扇形的面积公式求解即可．
【解答】解：如图，AB交CD于点E，连接OD，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝ CD，∠COB＝∠DOB，∠BED＝90°，
∴S△OCE ＝S△ODE ，
∴阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵∠ABD＝72°，∠BED＝90°，
∴∠D＝180°﹣90°﹣72°＝18°，
∴∠COB＝2∠D＝36°，
∴∠DOB＝36，
∵AB＝20，
∴OB＝10，
∴S扇形OBD ＝ ＝10 ，
即阴影部分的面积为10 ，
π
故选：C．
π
17．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝4，
过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据等腰三角形的性质和判定以及平行线的性质将阴影部分面积转化为S阴影部分 ＝S扇形DOE ﹣S△COD ，再根据扇形面积以及三角形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：∵OA＝OB，∠ABO＝60°，
∴△AOB是正三角形，
∴OA＝OB＝AB＝4，
∵AD∥BO，
∴∠OAD＝∠AOB＝60°，
∵OA＝OD，
∴∠AOD＝60°＝∠EOD，
∴∠EOD＝∠AOB＝60°，
∴ED＝AB， ＝ ，
∴S弓形DE ＝S弓形AB ，
在Rt△COD中，OD＝AB＝4，∠COD＝60°，
∴OC＝ OD＝2，CD＝ OD＝2 ，
∴S阴影部分 ＝S扇形DOE ﹣S△OCD ＝ ﹣ ＝ ﹣2 ．
故选：B．
18．如图，扇形的圆心角为120°，点C在圆弧上，∠ABC＝30°，OA＝2，阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． ﹣ D． ﹣
【分析】连接AC，CO，通过“同旁内角互补，两直线平行”得出AC∥OB，进而得出△ABC的面积等
于△AOC的面积，所以可得出阴影部分的面积与扇形AOC的面积相等，据此可解决问题．
【解答】解：连接AC，CO，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°．
又∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，∴∠CAO＝60°．
又∵∠AOB＝120°，
∴∠CAO+∠AOB＝180°，
∴AC∥OB，
∴S△ABC ＝S△AOC ，
∴ ．
故选：B．
19．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以OB为直径作半圆交AB于点D，连接OD，则阴影部分
的面积是（ ）
A． B． C． ﹣2 D． ﹣1
【分析】先根据题意可知OA＝OB＝2，∠AOB＝∠ODB＝90°，从而证明OD＝BD，最后根据阴影部分
π π
的面积＝扇形AOB的面积﹣△AOB的面积，进行解答即可．
【解答】解：由题意可知：OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵OB为直径，
∴∠ODB＝90°，
∴∠DOB＝∠DBO＝45°，
∴OD＝BD，
∴弓形OD的面积＝弓形BD的面积，
∴阴影部分的面积
＝扇形AOB的面积﹣△AOB的面积
＝
＝ ﹣2，
故选：C．
π
20．如图，在等边△ABC中，AB＝4，以BC为直径作 O，与AB，AC分别交于D，F两点，则图中阴影
部分的面积为（ ）
⊙A． B． C． D．
【分析】根据正三角形的性质，扇形面积的计算方法以及弓形面积的计算方法将阴影部分的面积转化为
S阴影部分 ＝2S扇形DOF ﹣S△BOD 进行计算即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝4，
∵BC是 O的直径，
∴OB＝OC＝OD＝OF＝2，
⊙
∴△BOD，△DOF，△FOC是等边三角形，
∴∠DFO＝∠FOC＝60°，
∴DF∥BC，
∴S△DOF ＝S△DCF ，
∴S阴影部分 ＝S扇形DOF +S弓形BD
＝S扇形DOF +（S扇形DOB ﹣S△BOD ）
＝2S扇形DOF ﹣S△BOD
＝2× ﹣ ×2×（ ×2）
＝ ﹣ ．
故选：C．
π
21．如图，将扇形OAB沿OB方向平移，使点O平移到OB的中点O′处，得到扇形O'A'B'．若∠AOB＝
90°， ，则阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C． D．【分析】如图，设 O′A′与 交于点 T，连接 OT，则 ，由 OT＝OB，可得
， 则 ， 可 得 ∠ TOO′ ＝ 60° ，
，∠AOT＝∠AOB﹣∠TOO′＝30°，由平移的性质，得S
阴影+S
1
＝S
2
+S
1
，根据S阴影 ＝S
2
＝S扇形OAT +S△OO′T ，计算求解即可．
【解答】解：如图，设O′A′与 交于点T，连接OT，
∵点O′是OB的中点， ，
∴ ，
∵OT＝OB，
∴ ，
由平移的性质，得∠A′O′B′＝∠AOB＝90°，即∠OO′T＝180°﹣∠A′O′B′＝90°，
∵ ，
∴∠TOO′＝60°，
∴ ，∠AOT＝∠AOB﹣∠TOO′＝30°，
由平移的性质，得S阴影+S
1
＝S
2
+S
1
，
∴ ，
故选：B．
类型四：利用“割补法”求面积
22．如图，AB为半圆O的直径，CD垂直平分半径OA，EF垂直平分半径OB，若AB＝4，则图中阴影部
分的面积等于（ ）A． B． C． D．
【分析】根据图形可得，阴影部分的面积＝S半圆 ﹣2S扇形ACO ，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：如图所示：连接OC，
∵CD垂直平分半径OA，
∴AC＝OC，
∵OC＝OA，
∴OA＝OC＝AC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴S阴影 ＝ S
O
﹣2S扇形ACO
⊙
＝ × ﹣2×
＝ ×4 ﹣2× ×4
π π
＝2 ﹣
π π
＝ ．
故选：B．
π
23．如图，在正方形ABCD中，以A为圆心，AD为半径画弧，再以AD为直径作半圆，连接AC，若正方
形边长为4，则图中阴影部分的面积为 2 ﹣ 4 ．
π
【分析】根据题意得到 ，即可得到答案．
【解答】解：如图，设半圆与AC的交点为点E，取AD的中点为点O，连接OE、DE，设以A为圆心，
AD为半径画弧交AC于点F，∴∠AED＝90°， ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝45°，
∴∠ADE＝∠DAE＝45°，
∴OE⊥AD，
∴ ，
故答案为：2 ﹣4．
24．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点O，A，B，D均在格点上，以O为圆心OA为半径的
π
弧经过点B，以O为圆心，OD为半径的弧交OA于点E，OD的延长线交弧AB于点C，则图中阴影部
分的面积为 ﹣2 .
π
【分析】根据S阴 ＝S扇形AOC ﹣S扇形DOE +S扇形BOC ﹣S△OBD 求解即可．
【解答】解：根据题意得，∠AOC＝∠BOC＝45°，∠ODB＝90°，OD＝BD＝2，OA＝OC＝ ＝
2 ，
∵S阴 ＝S扇形AOC ﹣S扇形DOE +S扇形BOC ﹣S△OBD ，
∴S阴 ＝ ﹣ + ﹣ ×2×2＝ ﹣2，
π
故答案为： ．
25．如图，在正方形ABCD中，连接对角线AC和BD相交于点O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为
半径画弧，分别与正方形的边相交，当 AB＝2时，则图中的阴影部分的面积为 4 ﹣ （结果保留
）．
π
π【分析】根据正方形的性质得出BC＝AB＝AD＝AC＝2，∠ABC＝∠DCB＝∠DAB＝90°，根据勾股定理
求出AC，求出AO和CO，再分别求出正方形ABCD和扇形EAF、扇形MCN的面积即可．
【解答】解：
∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，
∴BC＝AB＝AD＝AC＝2，∠ABC＝∠DCB＝∠DAB＝90°，
由勾股定理得：AC＝ ＝ ＝2 ，
即AO＝CO＝ ，
所以阴影部分的面积S＝S正方形ABCD ﹣S扇形EAF ﹣S扇形MCN
＝2×2﹣ ﹣
＝4﹣ ﹣
＝4﹣ ，
故答案为：4﹣ ．
π
26．如图，矩形ABCD中，AB＝3，以AB为直径作半圆O交CD于点E、F，连接OF，以B为圆心，BE
π
为半径作弧刚好经过点O，则图中阴影部分的面积为 .
【分析】过点O作OG⊥CD，交CD于点G；过点E作EH⊥AB于点H．连接OB、BE．由“以B为圆
心，BE为半径作弧刚好经过点O”可以证明△OBE是等边三角形，且以点O为圆心圆的半径与以点B
为圆心圆的半径相等，从而可以证明S扇形EOF ＝S扇形OBE ，进而证明S阴影 ＝S△OBE ，根据三角形的面积公
式计算△OBE的面积即可．【解答】解：过点O作OG⊥CD，交CD于点G；过点E作EH⊥AB于点H．连接OB、BE．
∵OG⊥CD，
∴∠CGO＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠GOB＝90°．
∵以B为圆心，BE为半径作弧刚好经过点O，
∴BE＝OB，
∵OB＝OE，
∴OB＝OE＝BE（设为R，R＝ ），
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOE＝∠OBE＝60°，
∴∠GOE＝∠GOB﹣∠BOE＝90°﹣60°＝30°，
∵OE＝OF，OG⊥EF，
∴∠GOE＝∠GOF＝30°，
∴∠EOF＝60°，
∴S扇形EOF ＝S扇形OBE ＝ R2＝ R2，
∵S阴影+S弓形OE ＝S扇形EOF ，πS△OBE +Sπ弓形OE ＝S扇形OBE ，
∴S阴影 ＝S△OBE ，
∵EH＝OE•sin∠BOE＝ R，
∴S△OBE ＝ OB•EH＝ R2＝ ×（ ）2＝ ．
故答案为： ．
