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第 09 讲 弧长和扇形面积
课程标准 学习目标
1. 掌握扇形的弧长计算公式并能够在题目中灵活应用。
①扇形的弧长
2. 掌握扇形的面积计算公式并能够在题目中灵活应用。
②扇形的面积
3. 掌握圆锥的侧面积与全面积的计算公式，并能够在题目中熟练应
③圆锥的侧面积和全面积
用。
知识点01 扇形的弧长
1. 扇形弧长的定义：
扇形的弧长就是扇形两条 半径 间 圆弧 的长度。
2. 扇形弧长的计算公式：
在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的弧长是2πr，1°的圆心角所对的弧长l＝ ，
所以n°的圆心角所对的弧的长度l＝ 。【即学即练1】
1．已知扇形的半径为12，圆心角为60°，则这个扇形的弧长为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．4
【分析】把扇形的圆心角为和半径为代入弧长公式计算即可．
π π π π
【解答】解：依题意，n＝60，r＝12，
∴扇形的弧长＝ ＝ ＝4 ．
故选：D．
π
【即学即练2】
2．已知扇形的圆心角是120°，扇形弧长是20 ，则扇形的半径＝ 3 0 ．
【分析】根据扇形弧长的计算公式可以求得扇形的半径，从而可以解答本题．
π
【解答】解：设扇形的半径为r，
，
解得，r＝30，
故答案为：30．
【即学即练3】
3．一个扇形的弧长是8 cm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是 8 0 度．
π
【分析】直接利用弧长公式l＝ 即可求出n的值，计算即可．
【解答】解：根据l＝ ＝ ＝8 ，
解得：n＝80，
π
故答案为：80．
知识点02 扇形的面积
1. 扇形的面积计算公式：
方法1：在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的圆的面积为 ，则1°的圆心角所对的面积 ＝
，已知扇形的圆心角为n°，则扇形的面积 ＝ 。
方法2：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为： 。
【即学即练1】
4．已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．2
【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案．
π π π π【解答】解：S扇形 ＝ ＝3 ．
故选：C．
π
【即学即练2】
5．一个扇形的面积为12 cm2，半径为6cm，则此扇形的圆心角是 12 0 度．
π
【分析】根据扇形面积公式S＝ ，即可求得这个扇形的圆心角的度数．
【解答】解：设这个扇形的圆心角为n°，
根据题意得： ＝12 ，
解得：n＝120，
π
故答案为：120．
【即学即练3】
6．一个扇形的面积是60 cm2，圆心角为150°，则此扇形的弧长是（ ）
A．30 cm B．10 cm C．15 cm D．20 cm
π
【分析】根据扇形的面积公式，可以求得该扇形所在圆的半径，然后再根据弧长公式，即可计算出该扇
π π π π
形的弧长．
【解答】解：∵一个扇形的面积是60，圆心角为150°，S扇形 ＝ ，
∴60 ＝ ，
解得r＝12，
π
∴此扇形的弧长为： ＝10 ，
故选：B．
π
知识点03 圆锥的侧面积与全面积
1. 圆锥的认识：
如图，圆锥是由一个 侧面 和一个 底面 构成。顶点C到底面圆上任
意一点的连线是圆锥的 母线 ，如的CA与CB。AB是圆锥 底面直径 ，
顶点C到底面圆心O的距离CO是圆锥的 高 。
2. 圆锥的母线长、高与底面半径的关系：
圆锥的母线长与高与底面半径构成 勾股定理 。
即：如图： 。
3. 圆锥的侧面展开图的认识：圆锥的侧面展开图是一个 扇形 ，这个扇形的半径等于圆
锥的 母线长 。扇形的弧长等于圆锥底面圆的 周长 。
4. 圆锥的侧面积计算：
方法1：若已知圆锥的母线长为a，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面展开图的扇形的半径为 a
，弧长等于底面圆周长等于： ，根据已知弧长与半径可得扇形的面积为：
。
方法2：圆锥的母线长为a，侧面展开图的圆心角为n°。则侧面展开图的扇形面积为：
。
【即学即练1】
7．一个圆锥形的烟囱帽的底面直径是 80cm，母线长是 50cm，则这个烟囱帽的侧面展开图的面积是
2000 cm2．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
π
【解答】解：底面直径是80cm，则底面周长＝80 cm，烟囱帽的侧面展开图的面积＝ ×80 ×50＝
2000 cm2．
π π
【即学即练2】
π
8．一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的表面积为 1 0 ．
【分析】根据扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积，然后加上圆锥的底面积得到圆锥的表面积．
π
【解答】解：这个圆锥的表面积＝ ×2 ×2×3+ ×22＝10 ．
故答案为：10 ．
π π π
【即学即练3】
π
9．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（ ）
A．3cm B．4.5cm C．6cm D．9cm
【分析】设这个圆锥的底面半径为rcm，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底
面的周长和弧长公式得到2 r＝ ，然后解方程求出r即可．
π
【解答】解：设这个圆锥的底面半径为rcm，根据题意得2 r＝ ，解得r＝6，
所以这个圆锥的底面半径长为6cm．
π
故选：C．
【即学即练4】
10．底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°，则这个圆锥的高为（ ）
A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm【分析】圆锥的展开图为扇形，根据弧长公式l＝| |R，可求出扇形的半径，继而利用勾股定理可求出圆
锥的高．
α
【解答】解：由题意得，扇形的半径＝ ＝ ＝5cm，
即AB＝5cm，
过点A作AD⊥BC与点D，
在RT△ABD中，AD＝ ＝ ＝4cm，
即圆锥的高为4cm．
故选：D．
【即学即练5】
11．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆半径r＝2cm，扇形的圆心
角 ＝120°，则该圆锥的母线l长为 6 cm．
θ
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥
的母线长和弧长公式得到2 ×2＝ ，然后解关于l的方程即可．
π
【解答】解：根据题意得2 ×2＝ ，
解得，l＝6，
π
即该圆锥母线l的长为6cm．
故答案为：6．
【即学即练6】
12．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长 l为9cm，圆锥的底面圆的半径r
为3cm，则扇形的圆心角 为 12 0 °．
θ【分析】设扇形的圆心角 为n°，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周
θ
长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2 ×3＝ ，然后解方程即可．
【解答】解：设扇形的圆心角 为n°，
π
θ
根据题意得2 ×3＝ ，
解得n＝120，
π
即扇形的圆心角 为120°．
故答案为：120．
θ
题型01 求扇形的弧长及公式的应用
【典例1】若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为 3 ．
【分析】根据弧长公式计算．
π
【解答】解：该扇形的弧长＝ ＝3 ．
故答案为：3 ．
π
【变式1】如图，正方形ABCD的边长是2，将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后
π
的对应点为E，则弧CE的长是 （结果保留 ）．
π π
【分析】先根据正方形的性质得到∠CAD＝45°，AC＝ AB＝2 ，然后利用弧长公式计算 的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAD＝45°，AC＝ AB＝2 ，
∵对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E，∴ 的长度为 ＝ ．
π
故答案为： ．
【变式2】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．以点O为圆心，4为半径画弧，交图
π
中网格线于点A、B，则 的长为 ．
π
【分析】如图，根据直角三角形的性质得到∠OBC＝30°，根据三角形的内角和定理得到∠AOB＝60°，
根据弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，
∵OC＝ OB，∠OCB＝90°，
∴∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴ 的长＝ ＝ ，
π
故答案为： ．
π
【变式3】如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点
D刚好落在 上，则 的长是（ ）
A． B． C． D．【分析】连接OD，根据轴对称的性质得到AD＝OA，根据等边三角形的性质求出∠AOD＝60°，结合图
形求出∠BOD，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OD，
∵点D是点O关于AC的对称点，
∴AD＝OA，
∵OA＝OD，
∴OA＝OD＝AD，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴∠BOD＝100°﹣60°＝40°，
∴ 的长＝ ＝ ，
故选：B．
π
【变式4】已知水平放置半径为6cm的球形容器中装有溶液，容器内液面的面积为27 cm2．如图，是该球
体的一个最大纵截面，则该截面 O中阴影部分的弧长为（ ）
π
⊙
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
【分析】连接 OA，OB，过点 O 作 OH⊥AB 于 H．利用圆面积公式求出 AH，解直角三角形求出
π π π π
∠AOH，可得结论．
【解答】解：连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于H则AH＝BH．
由题意 •AH2＝27 ，
∴AH2＝ π27，
π∵AH＞0，
∴AH＝3 ，
∴sin∠AOH＝ ＝ ＝ ，
∴∠AOH＝60°，
∵OA＝OB，OH⊥AB，
∴∠AOH＝∠BOH＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴ 的长＝ ＝4 （cm）．
故选：B．
π
题型02 求运动中的运动路径长
【典例1】在Rt△ABC中，斜边AB＝4，∠B＝60°．将△ABC绕点B按顺时针方向旋转60°，顶点C运动
的路线长是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用三角函数求得BC的长，顶点C运动的路线是以B为圆心，以60°为圆心角，半径是BC的
π
弧，利用弧长公式即可求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，斜边AB＝4，∠B＝60°，
∴BC＝AB•cosB＝4× ＝2，
∴顶点C运动的路线长是： ＝ ．
故选：B．
【变式 1】如图，一块边长为 8cm的正三角形木板 ABC，在水平桌面上绕点 B按顺时针方向旋转至
A′BC′的位置时，顶点C从开始到结束所经过的路径长为（点A，B，C′在同一直线上）（ ）
A．16 B． C． D．
【分析】由题意知，顶点C从开始到结束所经过的路径为圆弧CC′，对的圆心角为120°，根据弧长公
π π π π
式计算．【解答】解：CC′的长＝ ＝ ．
故选：D．
π
【变式2】如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）
木板上点A位置变化为A→A →A ，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成 30°角，
1 2
则点A翻滚到A 位置时共走过的路径长为（ ）
2
A．10cm B．4 cm C． D．
【分析】根据旋转的定义得到点A以B为旋转中心，以∠ABA 为旋转角，顺时针旋转得到A ；A 是由
π 1 1 2
A 以C为旋转中心，以∠A CA 为旋转角，顺时针旋转得到，由于∠ABA ＝90°，∠A CA ＝60°，AB＝
1 1 2 1 1 2
＝5cm，CA ＝3cm，然后根据弧长公式计算即可．
1
【解答】解：点A以B为旋转中心，以∠ABA 为旋转角，顺时针旋转得到A ；A 是由A 以C为旋转中
1 1 2 1
心，以∠A CA 为旋转角，顺时针旋转得到，
1 2
∵∠ABA ＝90°，∠A CA ＝60°，AB＝ ＝5cm，CA ＝3cm，
1 1 2 1
∴点A翻滚到A 位置时共走过的路径长＝ + ＝ （cm）．
2
故选：C．
π
【变式3】一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB
与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友
将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为 （ ） cm．
【分析】A点滚动到D点其圆心所经过的路线在点B处少走了一段，在点C处又多求了一段弧长，所以A 点 滚 动 到 D 点 其 圆 心 所 经 过 的 路 线 ＝ （ 60+40+40 ） ﹣ + ＝
（cm）．
【解答】解：A点滚动到D点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣ +
＝ （cm）．
故答案为：（ ）．
题型03 求扇形的面积及公式的应用
【典例1】已知扇形的弧长是6.28厘米，半径是2厘米，那么扇形的面积是 6.2 8 平方厘米．
【分析】直接利用弧长公式计算．
【解答】解：根据题意得扇形的面积＝ ×6.28×2＝6.28（平方厘米）．
故答案为：6.28．
【变式1】如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝
60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为 ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据三角形的外角的性质求出∠BDE，根据扇形面积公式计
算．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝100°，
∴∠C＝20°，
又∵D为BC的中点，
∴BD＝DC＝ BC＝2，
∵DE＝DB，
∴DE＝DC＝2，
∴∠DEC＝∠C＝20°，∴∠BDE＝40°，
∴扇形BDE的面积＝ ，
故答案为： ．
【变式2】扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初
放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为
135°，AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面面积为（ ）cm2．
A． B．600 C．300 D．30
【分析】
π
根据扇形的面积公式
π
，利用扇面的面积＝S扇π形BAC ﹣S扇形DAE 进行
π
计算．
【解答】解：∵AB＝30cm，BD＝20cm，
∴AD＝10cm，
∵∠BAC＝135°，
∴扇面的面积＝S扇形BAC ﹣S扇形DAE
＝ ﹣
＝300 （cm2）．
故选：C．
π
【变式3】如图，某数学兴趣小组将边长为1的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心，AB为半径的扇
形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由正方形的边长为1，可得 的长度为2，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB ＝ lr，计算即
可．
【解答】解：∵正方形的边长为1，
∴ 的长度＝2，
∴S扇形DAB ＝ lr＝ ×2×1＝1．故选：A．
【变式4】如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地
上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）
A． m2 B． m2 C． m2 D． m2
【分析】小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°和一个半径为1、圆心角为60°的小扇形的
π π π π
面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围．
【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，
所以面积＝ ＝ m2；
小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m，
π
则面积＝ ＝ （m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积＝ + ＝ （m2）．
故选：D．
π π
题型04 求圆锥的侧面积和全面积
【典例1】如图，圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，则圆锥的侧面积是（ ）
A．36 B．60 C．64 D．48
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于
π π π π圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以利用扇形的面积公式可计算出圆锥的侧面积．
【解答】解：∵圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，
∴圆锥的母线长为： ＝10，
∴圆锥的侧面积＝ ×2 ×6×10＝60 ．
故选：B．
π π
【变式1】已知圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，则它侧面展开图的面积是 6 5 cm2（结果保留
）．
π
【分析】首先利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积＝ ×底面半径×母线长，把相应
π
数值代入即可求解．
π
【解答】解：∵圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，
∴勾股定理得圆锥的母线长为13cm，
∴圆锥的侧面积＝ ×13×5＝65 cm2．
故答案为：65 ．
π π
【变式2】圆锥的母线长为4，底面半径为3，圆锥的侧面积为 1 2 （结果保留 ）．
π
【分析】圆锥的侧面积＝ ×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
π π
【解答】解：∵圆锥的母线长为4，底面半径为3，
π
∴该圆锥的侧面积为： ×3×4＝12 ．
故答案为：12 ．
π π
【典例1】圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（ ）
π
A．12 cm2 B．26 cm2
C． π cm2 D．（π4 +16） cm2
【分析】
π
利用勾股定理求得圆锥的母线长，则圆锥表面积＝底面
π
积+侧面积＝ ×底面半径2+底面周长×
母线长÷2．
π
【解答】解：底面半径为 4cm，则底面周长＝8 cm，底面面积＝16 cm2；由勾股定理得，母线长＝
cm， π π
圆锥的侧面面积＝ ×8 × ＝4 cm2，∴它的表面积＝16 +4 ＝（4 +16） cm2，故选
D．
π π π π π
【变式1】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，
则所得几何体的表面积为 8 （结果保留 ）．
π π【分析】首先求得高CD的长，然后根据圆锥的侧面积的计算方法，即可求解．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴AB＝ AC＝4，
∴CD＝2，
以CD为半径的圆的周长是：4 ．
π
故直线旋转一周则所得的几何体得表面积是：2× ×4 ×2 ＝8 ．
故答案为：8 ． π π
π
题型05 圆锥的底面半径、高及母线长之间的计算
【典例1】如果圆锥侧面展开图的面积是15 ，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
π
【分析】根据圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2即可求出答案．
【解答】解：设底面半径为R，则底面周长＝2 R，圆锥的侧面展开图的面积＝ ×2 R×5＝15 ，
∴R＝3．
π π π
故选：A．
【变式1】一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（ ）
A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm
【分析】根据圆锥侧面展开图的实际意义和圆锥的弧长公式l＝ 求解即可．
【解答】解：圆锥的底面周长为2 ×4＝8 cm，即为展开图扇形的弧长，
π π由弧长公式得 ＝8 ，
解得，R＝12，即圆锥的母线长为12cm．
π
故选：B．
【变式2】小明用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为5cm，扇形的弧长是
6 cm，那么这个圆锥的高是（ ）
π
A．4cm B．6cm C．8cm D．3cm
【分析】设圆锥的底面圆的半径为rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底
面的周长得到2 r＝6 ，解得r＝3，然后根据勾股定理计算圆锥的高．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
π π
根据题意得2 r＝6 ，解得r＝3，
所以圆锥的高π＝ π ＝4（cm）．
故选：A．
题型06 求不规则图形的面积
【典例1】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，分别以点A，C为圆心，AB，CD为半径画弧，图
中阴影部分面积为 ．（结果保留 ）
π
【分析】连接BD，过点D作DE⊥AB于E，先证明△ABD和△CBD均为等边三角形，则 AE＝BE＝
3/2，进而得DE＝ ，则S菱形ABCD ＝AB•DE＝ ，从而得S△ABD ＝S△CBD ＝ S菱形ABCD ＝ ，
再求出S扇形ABD ＝S扇形△CBD ＝ ，然后根据“S阴影 ＝2（S扇形ABD ﹣S△ABD ）”可得出答案．
【解答】解：连接BD，过点D作DE⊥AB于E，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，AB＝3，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠C＝∠A＝60°，
∴△ABD和△CBD均为等边三角形，
∵AE＝BE＝ AB＝ ，
在Rt△ABD中，有勾股定理得：DE＝ ，
∴S菱形ABCD ＝AB•DE＝ ，
∴S△ABD ＝S△CBD ＝ S菱形ABCD ＝ ，
又∵S扇形ABD ＝S扇形△CBD ＝ ＝ ，
∴S阴影 ＝2（S扇形ABD ﹣S△ABD ）＝ ＝ ．
【变式1】如图，AB＝8，以AB为直径的半圆绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影
部分的面积是 ．
π
【分析】根据题意得出 AB＝AB′＝8，∠BAB′＝60°，根据图形得出图中阴影部分的面积 S＝
+ ×82﹣ ×82，求出即可．
π π
【解答】解：
∵AB＝AB′＝8，∠BAB′＝60°∴图中阴影部分的面积是：
S＝S扇形B′AB +S半圆O′ ﹣S半圆O
＝ + ×82﹣ ×82
π π
＝ ．
π
故答案为： ．
【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，E为AD上一点，以点A
为圆心，AE长为半径画弧，交BC于点F，已知BF＝AB，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，BF＝AB，判定△ABF 是等边三角形，得到
，根据S阴影 ＝S△ADC ﹣S扇形AEG 计算即可．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，BF＝AB，平行四边形ABCD中，BC＝8，
∴△ABF是等边三角形，CD＝AB，AD＝BC，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠DAC＝∠ACB＝30°，
∴ ，AD＝BC＝8， ．
S阴影 ＝S△ADC ﹣S扇形AEG
＝
＝ ，
故答案为： ．
【变式3】如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为点D，延长OD与半圆O
交于点E．若AB＝16，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为 ﹣8 ．
π
【分析】连接OC，由等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA＝30°，即可求出∠AOC＝180°＝﹣30°﹣30°＝120°，由含30度角的直角三角形的性质求出OD＝ OA＝4，由勾股定理求出AD＝ ＝
4 ，由垂径定理得到AC＝2AD＝8 ，求出△AOC的面积＝ AC•OD＝16 ，扇形AOC的面积＝
，即可得到阴影的面积＝（扇形AOC的面积﹣△AOC）× ＝ ﹣8．
【解答】解：连接OC，
π π
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴∠AOC＝180°＝﹣30°﹣30°＝120°，
∵AB＝16，
∴OA＝ AB＝8，
∵OD⊥AC，∠OAD＝30°，
∴OD＝ OA＝4，
∴AD＝ ＝4 ，
∵OD⊥AC，
∴AC＝2AD＝8 ，
∴△AOC的面积＝ AC•OD＝ ×8 ×4＝16 ，
∵扇形AOC的面积＝ ＝ ，
π
∴阴影的面积＝（扇形AOC的面积﹣△AOC）× ＝（ ﹣16 ）× ＝ ﹣8 ．
π π
故答案为： ﹣8 ．
π
1．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ）
A．6 B．12 C．15 D．24
π π π π【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求解．
【解答】解：S侧 ＝ rl＝ ×3×4＝12 ，
故选：B．
π π π
2．圆的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则（ ）
A．弧长扩大为原来的4倍
B．弧长扩大为原来的2倍
C．弧长不变
D．弧长缩小为原来的一半
【分析】根据弧长公式l＝ ，即可解答问题．
【解答】解：设半径为r，圆心角为n°，
∵弧长公式l＝ ，
∴圆心角扩大为原来的2倍后，弧长为 ，
∴弧长扩大为原来的2倍．
故选：B．
3．如图，AB 是 O 的直径，C 是 O 上一点，连接 AC，OC，若 AB＝6，∠A＝30°，则 的长为
（ ）
⊙ ⊙
A．6 B．2 C． D．
【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半径OB，再根据弧长公式求出答案即可．
π π π π
【解答】解：∵直径AB＝6，
∴半径OB＝3，
∵圆周角∠A＝30°，
∴圆心角∠BOC＝2∠A＝60°，
∴ 的长是 ＝ ，
故选：D．
π
4．如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为 15cm，圆锥母线长为
20cm，则围成这个灯罩的铁皮的面积是（不考虑缝隙等因素）（ ）A．150 cm2 B．300 cm2 C．400 cm2 D．525 cm2
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母
π π π π
线长，然后根据扇形的面积公式计算即可：
【解答】解：灯罩的铁皮的面积是 ×2 ×15×20＝300 （cm2）．
故选：B．
π π
5．为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固
定规格的扇形草毡围成一个底面周长为10 ，侧面积为75 的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草
毡的圆心角为（ ）
π π
A．150° B．120° C．180° D．100°
【分析】设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数．
【解答】解：设扇形的半径为r，则 ，
解得：r＝15；
设扇形圆心角度数为n度，则 ，
解得：n＝120，
即扇形圆心角为120°；
故选：B．
6．如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C'，点B经过的路径为弧
BB′，若∠BAC＝60°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．3
【分析】图中S阴影 ＝S扇形ABB′+S△AB′C′ ﹣S△ABC ．
π
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝3，
∴∠ABC＝30°．
∴AB＝2AC＝6．
根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC ＝S△AB′C′ ，AB＝AB′．∴S阴影 ＝S扇形ABB′+S△AB′C′ ﹣S△ABC
＝
＝ ．
故选：C．
7．如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝15cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别
裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（ ）
A．7.5cm B．8cm C．9cm D．10cm
【分析】设圆锥的底面的半径为r cm，则DE＝2r cm，AE＝AB＝（15﹣2r）cm，利用圆锥的侧面展开
图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到 ，解方程求出r，然后
计算15﹣2r即可．
【解答】解：设圆锥的底面的半径为r cm，则DE＝2r cm，AE＝AB＝（15﹣2r）cm，
根据题意得 ，
解得 ，
所以 ．
故选：D．
8．设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（ ）
A．有最大值 B．有最小值
π π
C．有最大值 D．有最小值
【分析】由2r+πl＝6，得出l＝6﹣2r，代入圆锥的侧面积公式
π
：S侧 ＝ rl，利用配方法整理得出，S侧 ＝
π
﹣2 （r﹣ ）2+ ，再根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：∵2r+l＝6，
π π
∴l＝6﹣2r，
∴圆锥的侧面积S侧 ＝ rl＝ r（6﹣2r）＝﹣2 （r2﹣3r）＝﹣2 [（r﹣ ）2﹣ ]＝﹣2 （r﹣ ）2+
π π π π π，
π
∴当r＝ 时，S侧 有最大值 ．
故选：C．
π
9．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面
积为S 、S 、S ，则它们之间的关系是（ ）
1 2 3
A．S ＜S ＜S B．S ＜S ＜S C．S ＜S ＜S D．S ＜S ＜S
1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 1
【分析】设出半径，作出△COB底边BC上的高，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个
图形面积，比较即可求解．
【解答】解：作OD⊥BC交BC与点D，
∵∠COA＝60°，
∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°．
∴S扇形AOC ＝ ；
S扇形BOC ＝ ．
在三角形OCD中，∠OCD＝30°，
∴OD＝ ，CD＝ ，BC＝ R，
∴S△OBC ＝ ，S弓形 ＝ ＝ ，
＞ ＞ ，
∴S ＜S ＜S ．
2 1 3
故选：B．
10．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，D为 上一点，且AD＝4， ，则图中的阴影部分面积
为（ ）A．5 ﹣10 B．5 ﹣14 C．10 ﹣20 D．10 ﹣24
【分析】取AD中点M，BD中点N，连接OM，ON，OD，AB，作AE⊥BD交BD延长线于点E，在
π π π π
Rt△ADE中，求出AE、DE，进而求出AB，再求出半径OA长，用扇形面积减去△AOB，△ABD即可得
出．
【解答】解：取AD中点M，BD中点N，连接OM，ON，OD，AB，作AE⊥BD交BD延长线于点E，
∵OA＝OB＝OD，
∴OM⊥AD，ON⊥BD，OM平分∠AOD，ON平分∠BOD，
∴ ，
∴ ，
在四边形MOND中，∠MON＝360°﹣90°×2﹣45°＝135°，
∴∠ADE＝180°﹣135°＝45°，
在Rt△ADE中，AD＝4，
∴
∴
在Rt△ABE中，
，
在Rt△AOB中，
，
∴ ， ，
∴图中的阴影部分面积为5 ﹣10﹣4＝5 ﹣14，
π π故选：B．
11．一条弧所在圆的半径为6厘米，圆心角为60°，那么这条弧长为 2 厘米．
【分析】利用弧长公式求解即可．
π
【解答】解：弧长＝ ＝2 （厘米）．
故答案为：2 ．
π
12．一个圆锥的底面周长是6 cm，母线长是6cm，则圆锥侧面展开图的扇形圆心角是 180 ° ．
π
【分析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的侧面展开扇形的弧长的计
π
算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可．
【解答】解：∵圆锥的底面圆的周长是6 cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为6 cm，
π
π
∴ ＝5 ，
解得：n＝180
π
故答案为：180°．
13．如图，从一块直径是2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下来的扇形围成一个圆锥，
则圆锥的底面圆的半径是 m．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质得到AB＝ m，设圆锥的底面圆的半径为r m，利用弧长公式
得到2 r＝ ，然后解方程即可．
【解答】解：∵BC＝2m，∠BAC＝90°，
π
∴AB＝ m，
设圆锥的底面圆的半径为r m，
根据题意得2 r＝ ，
π
解得r＝ ，
即圆锥的底面圆的半径为 m．
故答案为： ．14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则阴影部
分的面积为 ．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠OBA＝30°，得到DO＝DB，根据直角三角形的性质得到
BD＝ AD，根据三角形的面积公式得到S△BOD ＝ S△AOD ＝3 ，根据扇形和三角形的面积公式即可得
到结论．
【解答】解：∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA＝30°，
∵OC⊥AO，
∴∠AOD＝90°，
∴∠BOD＝30°，
∴DO＝DB，
在Rt△AOD中，OD＝ OA＝ ，OD＝ AD，
∴BD＝ AD，
∵S△AOD ＝ ×6× ＝6 ，
∴S△BOD ＝ S△AOD ＝3 ，
∴阴影部分的面积＝S△AOD +S扇形BOC ﹣S△BOD
＝6 + ﹣3
＝3 +3 ．
故答案为π3 +3 ．
15．图①是由若干个相同的图形（图②）组成的美丽图案的一部分，图②中，图形的相关数据：半径
π
OA＝2cm，∠AOB＝120°，则图①中图形（实线部分）的周长为 cm（结果保留 ）．
π【分析】根据弧长公式可得结论．
【解答】解：由图①得： 的长+ 的长＝ 的长，
∵半径OA＝2cm，∠AOB＝120°，
则图②的周长为： ＝ （cm）．
∵图①中有4个完整的图②，
∴图①中图形（实线部分）的周长为故 ×4＝ （cm），
故答案为： ．
16．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作 O，点E在BC边上，连结AE交 O于点F，连结
BF并延长交CD于点G．
⊙ ⊙
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝50°，OA＝3，求劣弧BF的长．（结果保留 ）
π
【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，AB为 O的直径，得到∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，根
据余角的性质得到∠EBF＝∠BAF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
⊙
（2）连接 OF，根据三角形的内角和得到∠BAE＝90°﹣55°＝35°，根据圆周角定理得到∠BOF＝
2∠BAE＝70°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AB为 O的直径，
∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，
⊙
∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠EBF＝∠BAF，
在△ABE与△BCG中，
，∴△ABE≌△BCG（ASA）；
（2）解：连接OF，
∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝50°，
∴∠BAE＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝80°，
∵OA＝3，
∴ 的长＝ ．
17．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC．
（1）求剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径；
（2）若用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥形铁帽，求此圆锥形铁帽的底面圆的半径r．
【分析】（1）连接OA，过点O作OD⊥AC于D，根据含30°角的直角三角形的性质求出OD，根据勾
股定理求出AD，进而求出AC；
（2）根据圆的周长公式计算即可．
【解答】解：（1）连接OA，过点O作OD⊥AC于D，
则AD＝DC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴OD＝ OA＝2，
∴AD＝ ＝ ，
∴AC＝2AD＝2 ，即剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径为2 ；
（2）扇形BAC的弧长为： ＝ ，∴圆锥形铁帽的底面周长为 ，
∴2 r＝ ，
π
解得：r＝ ．
18．（原创题）如图所示，扇形 OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O＝60°，OA＝
1．
（1）求O点所运动的路径长；
（2）O点走过路径与直线L围成的面积．
【分析】本题一共转动了三次，关键是分析每一次转动的圆心角和半径，然后利用弧长公式求．
【解答】解：（1）运动路径第一段弧长 ＝ ，
第二段路径为线段长为 ，
第三段路径为 ，
即O在L上运动路径为 ．
（2）围成面积，
S ＝ ．
1
19．如图，BC是 O的直径，点A在 O上，AD⊥BC，垂足为D， ＝ ，BE分别交AD、AC于点
F、G．
⊙ ⊙
（1）证明：FA＝FB；
（2）若BD＝DO＝2，求 的长度．【分析】（1）根据BC是 O的直径，AD⊥BC， ＝ ，推出∠AGB＝∠CAD，即可推得FA＝FB．
（2）根据BD＝DO＝2，A⊙D⊥BC，求出∠AOB＝60°，再根据 ＝ ，求出∠EOC＝60°，即可求出弧
EC的长度是多少．
【解答】（1）证明：∵BC 是 O 的直径，
∴∠BAC＝90°，
⊙
∴∠ABE+∠AGB＝90°；
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD＝90°；
∵ ＝ ，
∴∠C＝∠ABE，
∴∠AGB＝∠CAD，
∵∠C＝∠BAD
∴∠BAD＝∠ABE
∴FA＝FB．
（2）解：如图，连接AO、EO，
∵BD＝DO＝2，AD⊥BC，
∴AB＝AO，
∵AO＝BO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵ ＝ ，
∴∠AOE＝60°，
∴∠EOC＝60°，∴ 的长度＝ ＝ ．
20．石家庄水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光，据工作人员介绍，新建摩天轮直径为
π
100m，最低点距离地面1m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），
游客在距离地面最近的位置进舱．
（1）小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 10 1 m；
（2）在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于P，Q两点）．
①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（ 的长）；
②求此时两人所在座舱距离地面的高度差．
【分析】（1）由题意得出最高点是直径加1m即可；
（2）①求出圆心角∠POQ的度数，再根据弧长公式进行计算即可；
②求出NQ的长，利用直角三角形的边角关系得出ON的长，进而求出NQ的长，即可得解．
【解答】解：（1）如图，
，
由题意得：QM＝1m，AQ＝100m，
当座椅转到点A时，距离地面最高，此时AM＝AQ+QM＝100+1＝101（m），
∴小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为101m；
故答案为：101．
（2）①∵摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱，
∴每相邻两个座椅之间所对的圆心角为360°÷24＝15°，
∴∠POQ＝4×15°＝60°，
∴ 的长为： ，
∴两人所在座舱在摩天轮上的距离为 ；
②作PN⊥OM于N，，
由题意得：两人所在座舱距离地面的高度差为NQ的长，
在Rt△OPN中，OP＝50m，∠PON＝60°，
∴ ，
∴NQ＝OQ﹣ON＝25m，
∴两人所在座舱距离地面的高度差为25m．
