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第 04 课 因式分解法
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课程标准
(1)会用因式分解法解一元二次方程.
(2)能选用合适的方法解一元二次方程.
知识精讲
知识点01 因式分解法
因式分解法解一元二次方程
将一元二次方程因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这
根据
两个一次式分别等于0,即 ，则 ；
实质 将一元二次方程转化为两个一元一次方程
1、适合用因式分解法求解的一元二次方程的特点
(1)方程一边为0；
(2)另一边易于分解成两个一次因式乘积的形式.
【注意】
(1)因式分解法只能解某些特殊的一元二次方程,不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解.
(2)用因式分解法解一元二次方程时,一定要把方程的右边化为0,否则会出现错误.
(3)用因式分解法解方程时，不要将方程两边同时除以含有未知数的式子,这样容易造成丢根现象.
2、利用因式分解解一元二次方程的常用方法
(1)提公因式法:把多项式各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式.
(2)逆用平方差公式 和完全平方公式 来分解因式.
3、因式分解法解一元二次方程的一般步骤
步骤 示例： 解释
1、移 移项，将方程右边化为 0
2、分 将方程左边因式分解
3、化 令每个因式都为零
4、解 解这两个一元一次方程知识点02 简单的十字相乘法
①化简下列整式乘法：
【总结】
那么对于二次三项式 =
②化简下列整式乘法：
【总结】
那么对于二次三项式 =
③化简下列整式乘法：
【总结】
那么对于二次三项式 = ;
那么对于二次三项式 =
【注意】
简单的十字相乘法，必须要让一元二次方程的a=1.
知识点03 灵活选用合适的方法解一元二次方程
方法 特点 举例
解一元二次方程最简单的方法.若方程可化为
直接开方法
的形式,则宜选用直
接开平方法求解解一元二次方程最基本的方法,它适用于解所有的一
配方法 元二次方程.配方法要先配方,再降次.通过配方法可
以推出求根公式
解一元二次方程最通用的方法,它适用于解所有的一
公式法
元二次方程.公式法是直接利用求根公式解方程
解一元二次方程较简单的方法.当方程的一边为0,另
因式分解法 一边易化为两个一次因式的积时,就可优先选用因式
分解法求解
【注意】
一元二次方程的解法选择
1.选择顺序:直接开平方法→因式分解法→公式法.
2.若方程为(mx+n)2=p(p≥0)型时,用直接开平方法.
3.若方程右边为0,而左边易于分解成两个一次因式的积时,可用因式分解法.
4.若方程二次项系数为1,一次项系数为偶数,可用配方法.
5.若用直接开平方法和因式分解法不能求解时,可用公式法.
能力拓展
考法01 因式分解法
【例题1】方程 x(x+5)=0 的根是( )
A．x=5 B．x=﹣5 C．x=0，x=5 D．x=0，x=﹣5
1 2 1 2
【答案】D
【解析】
解：方程x(x+5)=0,
可得x=0或x+5=0,
解得: =0,或 =-5.
故选D.
【即学即练1】三角形两边长分别为2和4，第三边长是方程x(x﹣4)﹣2(x﹣4)=0的解，则这个三角形周长
为( )
A．8 B．8和10 C．10 D．8 或10
【答案】C
【解析】
x(x﹣4)﹣2(x﹣4)＝0，解得：x＝4或2．分两种情况讨论：①三角形的三边为2、2、4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
②三角形的三边为2、4、4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，组成的三角形周长为
2+4+4＝10．
故选C．
【即学即练2】一元二次方程 的根是( )
A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2
【答案】D
【解析】
或
，x=-1．
2
故选：D．
【即学即练3】解方程 ，最简便的方法是( )
A．配方法 B．公式法 C．因式分解法 D．直接开平方法
【答案】C
【解析】
∵方程中有公因式(x-1)，故可采用因式分解法求解，
故选C.
【即学即练4】用因式分解法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【解析】
(1) ，
∴ ，
∴ ；
(2) ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(3) ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(4) ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
考法02 十字相乘法
【例题2】关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为( )
A．x=﹣1，x=3 B．x=1，x=﹣3 C．x=1，x=3 D．x=﹣1，x=﹣3
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】C
【解析】
x2-4x+3=0，
分解因式得：(x-1)(x-3)=0，
解得：x=1，x=3，
1 2
故选C．
【即学即练1】已知等腰三角形两边长分别是方程 的两个根，则三角形周长为( )
A．6 B．8 C．10 D．8或10
【答案】C
【解析】
x2﹣6x+8=0，
解得x=4，x=2，
1 2
当腰是2时，三边分别2，2，4，不能组成三角形；
当腰是4时，三边分为4，4，2，能组成等腰三角形；
所以此等腰三角形的周长是4+4+2=10．
故选C．
【即学即练2】已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 的两根，则该等腰三角形的底
边长为( )
A．2 B．4 C．8 D．2或4
【答案】A
【解析】解：x2－6x+8=0
(x－4)(x－2)=0
解得：x=4或x=2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，
所以三角形的底边长为2，
故选：A．
考法03 选择适当方法解一元二次方程
【例题3】选择适当方法解下列方程
(1)(3x﹣1)2＝(x﹣1)2
(2)3x(x﹣1)＝2﹣2x
【答案】(1)x＝0，x＝ ；(2)x＝1，x＝﹣ ．
1 2 1 2
【解析】
(1)3x﹣1＝±(x﹣1),
即3x﹣1＝x﹣1或3x﹣1＝﹣(x﹣1),
所以x1＝0,x2＝ ；
(2)3x(x﹣1)+2(x﹣1)＝0,
(x﹣1)(3x+2)＝0,
x﹣1＝0或3x+2＝0,
所以x1＝1,x2＝﹣ ．
【即学即练1】用适当的方法解下列方程
(1)x2＋10x＋21＝0
(2)4x2－4x＋1＝x2＋6x＋9
【答案】(1)x=－7， x=－3；(2)x=－ ， x=4
1 2 1 2
【解析】
解：(1)x2＋10x＋21＝0；
(x+3)(x+7)=0；
x+3=0,x+7=0,， ；
(2)4x2－4x＋1＝x2＋6x＋9；
；
；
(3x+2)(x-4)=0；
； .
考法04 整体代换
【例题4】若 ，求 的值．
【答案】4
【解析】
解：设 ，则有 ，
即 ， ．
∴ ， ．
∵ ，∴ 不合题意，舍去．
∴ ．
【即学即练1】解方程：(x2+x)2+(x2+x)＝6．
【答案】x＝﹣2，x＝1
1 2
【解析】
解：设x2+x＝y，则原方程变形为y2+y﹣6＝0，
解得y＝﹣3，y＝2．
1 2
①当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，
解得x＝﹣2，x＝1；
1 2
②当y＝﹣3时，x2+x＝﹣3，即x2+x+3＝0，
∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，∴此方程无解；
∴原方程的解为x＝﹣2，x＝1．
1 2
分层提分
题组A 基础过关练
1．方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( )
A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定
【答案】B
【解析】
解：方程变形得： ，
解得： ， ，
当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；
当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6＋6＋3＝15，
故选：B．
2．若关于x的一元二次方程 有一个根是0，那么m的值为( )
A．2 B．3 C．3或2 D．
【答案】A
【解析】
解：由一元二次方程的定义得：
解得
关于x的一元二次方程 有一个根为0，
∴ ，
解得 或 (与 不符，舍去)，
故选A．
3．一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是( )
A．12 B．9 C．13 D．12或9
【答案】A
【解析】解：因式分解可得：(x－2)(x－5)=0
解得： ，
当2为底，5为腰时，则三角形的周长为2+5+5=12；
当5为底，2为腰时， 则无法构成三角形，
故选：A
4．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周
长为( )
A．16 B．24 C．16或24 D．48
【答案】B
【解析】
解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：(x﹣4)(x﹣6)＝0，
解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．
故选：B．
5．一元二次方程 的两根为 、 ，那么二次三项式 可分解为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为3、4，那么有：(x－3)(x－4)＝0，
∴x2＋px＋q＝(x－3)(x－4)．
故选C.
6．若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为(
)
A．(x+5)(x﹣6) B．(x﹣5)(x+6) C．(x+5)(x+6) D．(x﹣5)(x﹣6)
【答案】B
【解析】
根据题意可得
解得
所以二次三项式为x2+x-30
因式分解为x2+x-30=(x﹣5)(x+6)
故选B.
7．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是________．
【答案】14
【解析】
解： ，
(x-2)(x-6)=0，
x=2，x=6，
1 2
当腰长为2时，三角形的三边为2，2，6，不符合三角形的三角关系，舍去；
当腰长为6时，三角形的三边关系为6，6，2，符合三角形的三角关系，
则周长为：6+6+2=14，
故答案为：14．
8．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长是_____．
【答案】7
【解析】
x2﹣4x+3=0，(x﹣3)(x﹣1)=0，x﹣3=0或x﹣1=0，所以x=3，x=1．
1 2①当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7；
②当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去．
所以三角形的周长为7．
故答案为7．
9．解下列方程
(1) (用配方法)
(2) (因式分解法)
(3) (公式法)
(4) (直接开平方法)
【答案】(1) ， ；(2) ， ；(3) ， ；(4)
【解析】
解：(1) ，
，
，
，
所以 ， ；
，
或 ，
所以 ， ；
(3) ，，
所以 ， ；
(4) ，
所以 ．
10．解下列一元二次方程：
(1)5x﹣2=(2﹣5x)(3x+4)
(2)4(x+3)2=25(x﹣2)2
【答案】(1)x= x =﹣ ；(2) = 或 = .
1 2
【解析】
(1)解：原式=(2﹣5x)+(2﹣5x)(3x+4)=0
∴(2﹣5x)(1+3x+4)=0
解得：x= x =﹣
1 2
(2)解：4(x+3)2﹣25(x﹣2)2=0，
[2(x+3)+5(x﹣2)][2(x+3)﹣5(x﹣2)]=0，
∴(7x﹣4)(-3x+16)=0
∴ = 或 = .
11．已知关于x的方程x2 -(m+1)x+2(m-1)=0，
(1)求证：无论m取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形腰长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另外两条边长.
【答案】 证明见解析 4和2
【解析】
(1)证明：∵△=[﹣(m+1)]2﹣4×2(m﹣1)=m2﹣6m+9=(m﹣3)2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
(2)等腰三角形的腰长为4，将x=4代入原方程，得：16﹣4(m+1)+2(m﹣1)=0，
解得：m=5，∴原方程为x2﹣6x+8=0，
解得：x=2，x=4．
1 2
组成三角形的三边长度为2、4、4；
所以三角形另外两边长度为4和2．
题组B 能力提升练
1．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次
项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是( )
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【答案】B
【解析】
解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故选：
2．如图，在一次函数 的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的
面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P共有()
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
解：①当0＜x＜6时，设点P(x，﹣x+6)，∴矩形PBOA的面积为5，
∴x(﹣x+6)=5，化简 ，
解得 ， ，
∴P(1，5)，P(5，1)，
1 2
②当x＜0时，设点P(x，﹣x+6)，
∴矩形PBOA的面积为5，
∴﹣x(﹣x+6)=5，
化简 ，
解得 ， (舍去)，
∴P( ， )，
3
∴在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有3个．
故选：C．
3．已知 ，则 等于( )
A． 或 B．6或1 C． 或1 D．2或3
【答案】A
【解析】
∵
∴
∴
∴ = 或 .
故选A.
4．方程 的解是( )
A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0
【答案】B
【解析】解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 或 ，
故选：B．
5．已知2是关于x的方程x2﹣(5+m)x+5m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条
边长，则△ABC的周长为( )
A．9 B．12 C．9或12 D．6或12或15
【答案】B
【解析】
把x＝2代入方程x2−(5＋m)x＋5m＝0得4−2(5＋m)＋5m＝0，解得m＝2，
方程化为x2−7x＋10＝0，解得x＝2，x＝5，
1 2
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
所以等腰△ABC的腰长为5，底边长为2，
所以△ABC的周长为5＋5＋2＝12．
故选B．
6．已知 ，则 的值是_____________．
【答案】5或10
【解析】
解：同时除以 ：
或
∴ ，
7．解方程： .
【答案】【解析】
解：移项得： ，
两边平方得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
经检验 不是原方程的解，舍去，
∴ 是原方程的解.
题组C 培优拔尖练
1．阅读理解：对于x3﹣(n2+1)x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣(n2+1)x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x(x2﹣n2)﹣(x﹣n)＝x(x﹣n)(x+n)﹣(x﹣n)＝(x﹣n)(x2+nx﹣1)．
理解运用：如果x3﹣(n2+1)x+n＝0，那么(x﹣n)(x2+nx﹣1)＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣(n2+1)x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．
【答案】x＝2或x＝﹣1+ 或x＝﹣1﹣ ．
【解析】
解：∵x3﹣5x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0，
∴x(x2﹣4)﹣(x﹣2)＝0，
∴x(x+2)(x﹣2)﹣(x﹣2)＝0，
则(x﹣2)[x(x+2)﹣1]＝0，即(x﹣2)(x2+2x﹣1)＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝﹣1 ，
故答案为：x＝2或x＝﹣1+ 或x＝﹣1﹣ ．
2．已知 ， ， ，求值 ．
【答案】5或13或10
【解析】∵
∴
∴ 或
∵
∴
∴ 或
∵
∴当 时， ；当 时， 或
∴ 或13或10．
3．已知 ， ， 为有理数，且多项式 能够写成 的形式．
(1)求 的值．
(2)求 的值．
(3)若 ， ， 为整数，且 ，试求 ， ， 的值．
【答案】(1) ；(2) ；(3) ， ， ．
【解析】
(1) 是 的一个因式，
，即 ， 是方程 的解，
，
得： ③，
．
(2)由③得： ④，④代入①得： ⑤，
．
(3) ，
，
，
解得： ，
又 ， 均为大于 的整数，
可取的值有 ， ， ， ， ，
又 为正整数，
， ，
则 ，
， ， ．
4．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016．
【答案】原方程的解为x＝4 029，x＝－2．
1 2
【解析】
解：由题意得：
方程组 的解一定是原方程的解，解得x＝4 029，
方程组 的解也一定是原方程的解，解得x＝－2，
∵原方程最多有两个实数解，
∴原方程的解为x＝4 029，x＝－2．
1 2
5．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
【答案】x1＝ ，x2＝ .【解析】
原方程即[(x－1)(x－4)][(x－2)(x－3)]＝48，
即(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48.
设y＝x2－5x＋5，则原方程变为(y－1)(y＋1)＝48.
解得y1＝7，y2＝－7.
当x2－5x＋5＝7时，解得x1＝ ，x2＝ ；
当x2－5x＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程无实数根．
∴原方程的根为x＝ ，x＝ .
1 2
6．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.
【答案】原方程的解为x＝2，x＝ ，x＝3，x＝ .
1 2 3 4
【解析】
本题主要考查利用整体换元法解高次方程,先将方程两边同时除以x2，得6x2－35x＋62－ ＋ ＝0,然后
分组提公因式可得: 6 －35 ＋62＝0,此时设
y＝ , 则 ＝y2－2,原方程可化为: 6(y2－2)－35y＋62＝0,解方程求出y,然后把求出的y值代入y＝
,得到关于x的方程,然后解方程即可求解.
经验证x＝0不是方程的根，原方程两边同除以x2，得6x2－35x＋62－ ＋ ＝0，
即6 －35 ＋62＝0.
设y＝ ，则 ＝y2－2，
原方程可变为6(y2－2)－35y＋62＝0.
解得y1＝ ，y2＝ .当 ＝ 时，解得x1＝2，x2＝ ；
当 ＝ 时，解得x3＝3，x4＝ .
经检验，均符合题意．
原方程的解为x＝2，x＝ ，x＝3，x＝ .
1 2 3 4
