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第 03 讲 用列举法求概率
课程标准 学习目标
①用直接列举法求概率 1. 掌握列举法求概率的三种方式，直接列举，列表法与树状法求
②用列表法求概率 概率，并能在题目中熟练应用合适的方法求概率。
③用画树状图法求概率 2. 能够通过计算概率判断游戏的公平性。
知识点01 用直接列举法求概率
1. 直接列举法求事件概率：
在一次实验中，如果可能出现的结果只有 有限 个，且各种结果出现的可能性大小 相同 ，
则可通过列举实验结果的方法分析随机事件发生的概率。
【即学即练1】
1．有五条线段，长度分别是2，4，6，8，10，从中任取三条能构成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找出五条线段任取三条的所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况，即可求出所求的概
率．
【解答】解：所有的情况有：2，4，6；2，4，8；2，4，10；2，6，8；2，6，10；2，8，10；4，6，8；4，6，10；4，8，10；6，8，10，共10种，其中能构成三角形的有：4，6，8；6，8，10；4，8，
10，共3种，
则P＝ ．
故选：B．
知识点02 用列表法求事件概率
1. 列表法求事件的概率：
当一次实验要涉及的因素有两个（或是需要两部操作来完成实验）且可能出现的结果较多时，常通过
用 列表 的方法列举所有可能的结果，找出事件 A可能发生的所有的结果，再利用 概率公式
求概率。
例题说明：
三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上
部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张
小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？
分析：将上部三张图片分别记作A、B、C，下部三张图片记作a、b、c，列表得出所有等可能结果，
用列表法表示如下：
a b c
A （A，a） （A，b） （A，c）
B （B，a） （B，b） （B，c）
C （C，a） （C，b） （C，c）
可知，一共出现9中情况，记能合成完成的图片为事件A，有三种情况，所以概率为：
（A）=
P
【即学即练1】
2．有五张正面分别标有数字﹣3，﹣2，0，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面
朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，则前后两
次抽取的数字之积为正数的概率为 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
﹣3 ﹣2 0 1 2﹣3 9 6 0 ﹣3 ﹣6
﹣2 6 4 0 ﹣2 ﹣4
0 0 0 0 0 0
1 ﹣3 ﹣2 0 1 2
2 ﹣6 ﹣4 0 2 4
由表知，共有25种等可能结果，其中前后两次抽取的数字之积为正数的有8种结果，
所以前后两次抽取的数字之积为正数的概率为 ，
故答案为： ．
知识点03 用画树状图法求事件概率
1. 树状法求事件的概率：
当事件要通过多个步骤（三个或以上）完成时，常通过用 画树状图 的方法列举所有可能的结
果，在找出事件A可能发生的结果，再利用 概率公式 求概率。
例题说明：
三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上
部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张
小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？
分析：将上部三张图片分别记作A、B、C，下部三张图片记作a、b、c，列表得出所有等可能结果，
用树状图表示如下：
可知，一共出现9中情况，记能合成完成的图片为事件A，有三种情况，所以概率为：
P（A）=
【即学即练1】
3．不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出
2个球，摸出1个红球1个黑球的概率为 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中摸出1个红球1个黑球的结果有4种，再由概率公式
求解即可．
【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中摸出1个红球1个黑球的结果有4种，
∴摸出1个红球1个黑球的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
题型01 用直接列举法求事件概率
【典例1】在长度分别为3，4，7，9的四条线段中，任意选取三条，能组成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二
者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：在长度分别为3，4，7，9的四条线段中，任意选取三条，有如下4种情况：
（3，4，7）、（3，4，9）、（3，7，9）、（4，7，9），
其中能组成三角形的有（3，7，9）、（4，7，9）这2种情况，
∴能组成三角形的概率是 ＝ ，
故选：B．
【变式1】从﹣2，﹣1，3三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于
．
【分析】根据题意可利用列举出所有出现的可能，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：从﹣2，﹣1，3三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则所有的情况有：（﹣2，
﹣1），（﹣2，3），（﹣1，﹣2），（﹣1，3），（3，﹣2），（3，﹣1），共有6种可能，符合该
点在第三象限的有2种可能，
所以其概率为P＝ ＝ ；
故答案为： ．
【变式2】有4根细木棒，长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，从中任选3根，恰好能搭成直角三角形的概率是 ．
【分析】先求出三根木棒的组合的总数，再求出其中能构成直角三角形的种数，然后根据概率公式即可
得出答案．
【解答】解：∵从中任选 3根，所有等可能的结果为：2cm，3cm，4cm；2cm，3cm，5cm；2cm，
4cm，5cm；3cm，4m，5cm，共4种情况，
又∵能搭成直角三角形的有3cm，4m，5cm，共1种情况，
∴恰好能搭成直角三角形的概率是 ；
故答案为： ．
题型02 利用列表法或画树状图法求事件概率
【典例1】在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为 1、6、6，现将三张卡片放入一只不
透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意摸出一张，记下数字，则两
次摸到不同数字的概率是 ．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果，找出两次摸到不同数字的结果数，然后根据概率公式计
算．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到不同数字的结果数为4，
所以两次摸到不同数字的概率＝ ．
故答案为： ．
【变式1】有三张完全一样正面分别写有汉字“重”，“外”，“人”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从
中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的
汉字相同的概率是 ．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的结果有 3种，再根据
概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的结果有3种，
∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【变式2】一天晚上，小伟帮助妈妈清洗三个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好随机将其
中一个杯盖和一个茶杯搭配在一起．
（1）用树状图（或列表法）求这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率；
（2）若停电时小伟在慌乱之中打破了其中一个杯盖，此时只好在剩下的两个杯盖和三个杯子中随机拿
出一个杯盖和一个茶杯搭配在一起，直接写出这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率．
【分析】（1）画树状图为（三个颜色不同的有盖茶杯分别用A、B、C表示，配套的杯盖分别用a、b、
c表示）展示所有9种等可能的结果，找出这个茶杯颜色搭配恰好正确的结果数，然后根据概率公式求
解；
（2）若打破了其中一个杯盖，利用（1）中的树状图可确定总的结果数为6种，这个茶杯颜色搭配恰好
正确的结果数为2，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图为：（三个颜色不同的有盖茶杯分别用 A、B、C表示，配套的杯盖分别用
a、b、c表示）
共有9种等可能的结果，其中这个茶杯颜色搭配恰好正确的结果数为3，
所以这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率＝ ＝ ；
（2）若打破了其中一个杯盖，则总的结果数为6种，这个茶杯颜色搭配恰好正确的结果数为2，
所以这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率＝ ＝ ．
【典例2】某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、
小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现对
这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．若随机抽取两名同学，则这两名同学均来自八年级的概
率为 ．
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出两个同学均来自八年级的概率．【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中都是八年级，即抽到小志、小晴的有2种，
∴这两名同学均来自八年级的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【变式1】现有四张完全相同的刮刮卡，涂层下面的文字分别是“我”、“爱”、“学”、“习”．小光
从中随机抽取两张并刮开，则这两张刮刮卡上的文字恰好是“我”和“学”的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
我 爱 学 习
我 （爱，我） （学，我） （习，我）
爱 （我，爱） （学，爱） （习，爱）
学 （我，学） （爱，学） （习，学）
习 （我，习） （爱，习） （学，习）
由表知，共有12种等可能结果，其中这两张刮刮卡上的文字恰好是“我”和“学”的有2种结果，
所以这两张刮刮卡上的文字恰好是“我”和“学”的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【变式2】某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型、泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这
三种型号）．小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被
选中的可能性均相同．请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．
【分析】先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，最后根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如图：
小安 小辰 A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
根据表格可知，一共有9种等可能的结果，两人选择同一种型号的免洗洗手液的情况有3种结果，∴两人选择同一种型号的免洗洗手液的概率为 ．
题型03 求放回与不放回事件的概率
【典例1】“二十四节气”是中华农耕文明与天文学智慧的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．
小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”三张邮票中的两张送给好朋友
小亮．小明将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取一张（不放回），
再从中随机抽取一张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中小亮抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的结
果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：将“立春”“立夏”“秋分”三张邮票分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小亮抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的结果有2种，
∴小亮抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的概率是 ＝ ，
故选：C．
【变式1】一个袋中有1个白球，3个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后
放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则摸到1个白球和1个蓝球的概率是 ．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和摸到 1个白球和1个蓝球的情况数，然后根据概率公
式求出答案即可．
【解答】解：根据题意画树状图如下：共有16种等可能的结果，摸到1个白球和1个蓝球的有6种，
∴摸到1个白球和1个蓝球的概率是 ＝ ；
故答案为： ．
【变式2】将分别标有“我”“爱”“重”“外”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉
字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上
的汉字组成“重外”的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
我 爱 重 外
我 爱我 重我 外我
爱 我爱 重爱 外爱
重 我重 爱重 外重
外 我外 爱外 重外
由表知，共有12种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“重外”的有2种结果，
所以两次摸出的球上的汉字组成“重外”的概率是 ＝ ，
故答案为： ．
【变式3】在一个不透明的袋子中装有4个小球，球上分别标有﹣1，0，1，2四个数字，这些小球除数字
外都相同．
（1）从袋中任意摸出一个球，球上标有负数的概率是 ；
（2）小明先从袋子中任意摸出一个球（不放回），小华再从袋子里摸出另一个球，如果两球数字之差
的绝对值小于或等于1，那么就称他俩“心有灵犀”，请用列表法（或画树状图）求两人“心有灵犀”
的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，两球数字之差的绝对值小于或等于1的结果有6种，再根据
概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）随机地从袋中摸出一个小球，则球上标有负数的概率为 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，两球数字之差的绝对值小于或等于1的情况数有6种，
则两人“心有灵犀”的概率是 ＝ ．
【变式4】有4张印有“青”、“山”、“绿”、“水”字样的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同），
放在一个不透明的盒子中，将卡片洗匀．
（1）从盒子中任意取出一张卡片，恰好取出印有“青”字的卡片的概率为 ；
（2）先从盒子中任意取出一张卡片，记录后放回并搅匀，再从其中任意取出一张卡片，求取出的两张
卡片中，至少有1张印有“青”字的卡片的概率（请画树状图或列表等方法求解）．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16个等可能的结果，其中取出的两张卡片中，至少有1张印有“青”字的卡片的
结果有7个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从盒子中任意取出一张卡片，恰好取出印有“青”字的卡片的概率为 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如下：
由图可知，共有16个等可能的结果，其中取出的两张卡片中，至少有1张印有“青”字的卡片的结果
有7个，
∴取出的两张卡片中，至少有1张印有“青”字的卡片的概率为 ．
题型04 通过计算概率判断游戏的公平性
【典例1】甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球（除标号外无其它差异）．从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口
袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示．若x+y为奇数，则甲获
胜；若x+y为偶数，则乙获胜．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如图所示，
（1）共有16种等可能的结果数；
（2）这个游戏对双方公平，
理由是：
∵x+y为奇数的结果数为8，x+y为偶数的结果数为8，
∴甲获胜的概率＝ ＝ ，乙获胜的概率＝ ＝ ，
∴甲获胜的概率＝乙获胜的概率，
∴这个游戏对双方公平．
【变式1】如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这
四张纸牌背面朝上洗匀．
（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下
的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公
平吗？请用列表法（或树状图）说明理由（纸牌用A、B、C、D表示）．
【分析】（1）首先根据题意结合概率公式可得答案；
（2）首先根据已知列表，求得摸出两张牌面图形的形状，继而求得小明赢与小亮赢的概率，比较概率
的大小，即可知这个游戏是否公平．
【解答】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，所以摸到正面是中心对称图形的
纸牌的概率是 ；
（2）列表得：
A B C DA （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的有6种，
∴P（两张都是轴对称图形）＝ ，因此这个游戏公平．
【变式2】四张扑克牌的牌面如图①所示，将扑克牌洗均匀后，如图②背面朝上放置在桌面上．
（1）若随机抽取一张扑克牌，则牌面数字恰好为5的概率是 ；
（2）规定游戏规则如下：若同时随机抽取两张扑克牌，抽到两张牌的牌面数字之和是偶数为胜；反之
则为负．你认为这个游戏是否公平？请画树状图或列表格说明理由．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再出抽到两张牌的牌面数字之和是偶数的结果数和抽到
两张牌的牌面数字之和是奇数的结果数，然后根据概率公式计算出胜的概率和负的概率，再通过比较概
率的大小判断这个游戏是否公平．
【解答】解：（1）若随机抽取一张扑克牌，则牌面数字恰好为5的概率＝ ＝ ；
故答案为 ；
（2）这个游戏不公平．理由如下：
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽到两张牌的牌面数字之和是偶数的结果数为4，抽到两张牌的牌面数
字之和是奇数的结果数为8，
所以胜的概率＝ ＝ ，负的概率＝ ＝ ，
而 ＜ ，
所以这个游戏不公平．
【变式3】小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子．以掷出的点数之差的绝对值判断输赢．若所得数值等于0，1，2，则小伟胜；若所得数值等于3，4，5，则小梅胜．
（1）请利用表格分别求出小伟、小梅获胜的概率；
（2）判断上述游戏是否公平．如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用表格修改游戏规则，以确
保游戏的公平性．
【分析】（1）利用列表法表示所有可能出现的结果情况，并求出小伟胜、小梅胜的概率；
（2）依据获胜的概率判断游戏的公平性，修改规则时，可使两人获胜的概率相等，或利用积分的形式
使两人的积分相等即可．
【解答】解（1）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
表中总共有36种可能的结果，每一种结果出现的可能性相同，“差的绝对值”为0，1，2共有24种，
“差的绝对值”为3，4，5的共有12种，
所以，P（小伟胜） ＝ ＝ ，P（小梅胜） ＝ ＝ ，
答：P（小伟胜） ＝ ，P（小梅胜） ＝ ；
（2）∵ ，
∴游戏不公平；
根据表格中“差的绝对值”的不同情况，要使游戏公平，即两人获胜的概率相等，
于是修改为：两人掷的点数之差的绝对值为1，2，则小伟胜；否则小梅胜．
这样小伟、小梅获胜的概率均为 ．
1．文明出行，遵守交通规则“红灯停，绿灯行”，一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30秒，绿灯
亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】让绿灯亮的时间除以时间总数60即为所求的概率．【解答】解：一共是60秒，绿的是25秒，所以绿灯的概率是 ＝ ，
故选：D．
2．中国画以墨代色，产生了墨分五色的说法，唐代张彦远《历代名画记》中曰：”运墨而五色具”，五
色：即焦、浓、重、淡、清，这就是中国画用墨的奇妙处．美术老师想从这五色中先选择两色让学生重
点练习，则正好选中淡与清的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及正好选中淡与清的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
焦 浓 重 淡 清
焦 （焦， （焦， （焦， （焦，
浓） 重） 淡） 清）
浓 （浓， （浓， （浓， （浓，
焦） 重） 淡） 清）
重 （重， （重， （重， （重，
焦） 浓） 淡） 清）
淡 （淡， （淡， （淡， （淡，
焦） 浓） 重） 清）
清 （清， （清， （清， （清，
焦） 浓） 重） 淡）
共有20种等可能的结果，其中正好选中淡与清的结果有：（淡，清），（清，淡），共2种，
∴正好选中淡与清的概率为 ．
故选：C．
3．小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三
个反面向上，则小强赢；若出现2个正面向上一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上2个反面
向上，则小文赢．下面说法正确的是（ ）
A．三人赢的概率都相等 B．小文赢的概率最小
C．小亮赢的概率最小 D．小强赢的概率最小
【分析】用树状图法表示出所求情况，利用概率公式求得每个人获胜的概率，即可作出判断．
【解答】解：列树状图：则P（三个正面或三个反面向上）＝ ＝ ，即小强获胜的概率是 ；
P（出现2个正面向上一个反面向上）＝ ，即小亮获胜的概率是 ；
P（出现一个正面和2个反面向上）＝ ，即小文获胜的概率是 ．
则小强获胜的概率最小，小亮和小文获胜的概率相等．
故正确的答案只有D．
故选：D．
4．今年央视春晚上，刘谦十分钟的魔术节目《守岁共此时》：每位观众手中都有四张牌，从中间撕
开……让观众们大开眼界．现有2张扑克牌，从中间撕开（如图），将其背面朝上，打乱顺序后放在桌
面上，若从中随机抽取两张，则能拼成同一张牌的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及小明抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的结果
数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将四个半张扑克牌分别记为A，a，B，b，其中A与a可以合成完整的一张牌，B与b可以
合成完整的一张牌．
列表如下：
A a B b
A Aa AB Ab
a aA aB ab
B BA Ba Bb
b bA ba bB
共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的结果有：Aa，aA，
Bb，bB，共4种，
∴小明抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的概率是 ．
故选：C．
5．甲袋中装着分别标有数字2， ， ， 的同质同大小的四个球，乙袋中装着分别标有运算符号
“+”、“×”的同质同大小的两个球，先从甲袋中任意摸出两球，再从乙袋中摸出一球，让甲袋中摸出的两球上标的数按乙袋摸出球的运算符号计算，则结果是有理数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】列表得到所有的情况总数，找出结果是有理数的情况数，再利用概率公式求解，即可解题．
【解答】解：由题可列表如下：
乘法运算结果 2
2
﹣3 6
﹣3 ﹣6
6 ﹣6
加法运算结果 2
2
0
0
由表可知：总共有24种结果，其中结果是有理数的有8种，
∴结果是有理数的概率为 ，
故选：B．
6．从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由4条线段中任意取3条，是一个列举法求概率问题，是无放回的问题，共有4种可能结果，
每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有3个结果．因而就可以求出概率．
【解答】解：由4条线段中任意取3条，共有4种可能结果，
分别为：2，3，4；2，3，5；3，4，5；2，4，5；
每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有 2，3，4；3，4，5；2，4，5；共
3个结果，
所以P（能组成三角形）＝ ．
故选：A．
7．从﹣2，2，3，4这四个数中随机抽取两个不同的数，分别记作a和b．若点A的坐标记作（a，b），则
点A在函数y＝x2上的概率是（ ）
A． B． C． D．【分析】先求出点A的坐标的所有情况的个数，然后求出其中在直线 y＝x2上的坐标的个数，根据随机
事件概率的计算方法，即可得到答案
【解答】解：﹣2，2，3，4这四个数中随机抽取两个不同的数，点 A的坐标共有12种情况：（﹣2，
2），（﹣2，3），（﹣2，4），（2，3），（2，4），（3，4），（2，﹣2），（3，﹣2），（4，﹣
2），（3，2），（4，2），（4，3），并且它们出现的可能性相等．
点A坐标在直线y＝x2上有2种情况：（﹣2，4），（2，4）．
所以，这个事件的概率为 ．
故选：B．
8．在如图所示的电路中，随机闭合开关S 、S 、S 中的两个，能让灯泡L 发光的概率是（ ）
1 2 3 1
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡 L 发光的情况，
1
再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L 发光的有2种情况，
1
∴能让灯泡L 发光的概率为 ＝ ．
1
故选：B．
9．如图，A，B是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格上的两个格点（小正方形的顶点），在其
余的格点中任意放置点C，恰好能使△ABC构成直角三角形的概率是（ ）A． B． C． D．
【分析】由图可知，共有23种等可能的结果，其中能使△ABC构成直角三角形的结果有8种，利用概
率公式可得答案．
【解答】解：由图可知，共有23种等可能的结果，其中能使△ABC构成直角三角形的结果有：C ，
1
C ，C ，C ，C ，C ，C ，C ，共8种，
2 3 4 5 6 7 8
∴恰好能使△ABC构成直角三角形的概率是 ．
故选：B．
10．有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数﹣3，﹣2，﹣1，1，将四张卡片背面朝上，随机抽
取一张，所得卡片上的数记为m，不放回，再随机抽取一张，所得卡片上的数记为n，则方程mx2+nx+3
＝0没有实数根的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】若方程mx2+nx+3＝0没有实数根，则Δ＝n2﹣4m×3＝n2﹣12m＜0．列表可得出所有等可能的结
果数以及满足n2﹣12m＜0的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：若方程mx2+nx+3＝0没有实数根，
则Δ＝n2﹣4m×3＝n2﹣12m＜0．
列表如下：
﹣3 ﹣2 ﹣1 1
﹣3 （﹣3，﹣ （﹣3，﹣ （﹣3，
2） 1） 1）
﹣2 （﹣2，﹣ （﹣2，﹣ （﹣2，
3） 1） 1）
﹣1 （﹣1，﹣ （﹣1，﹣ （﹣1，
3） 2） 1）
1 （1，﹣ （1，﹣ （1，﹣
3） 2） 1）
共有12种等可能的结果，其中满足n2﹣12m＜0的结果有：（1，﹣3），（1，﹣2），（1，﹣1），共3种，
∴方程mx2+nx+3＝0没有实数根的概率为 ＝ ．
故选：C．
11．衣橱里挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱里各任取一件上衣
和一条裤子，则它们取自同一套的概率是 ．
【分析】画树状图，共有9种等可能结果，其中它们取自同一套的有3种可能，再由概率公式求解即可．
【解答】解：令3件上衣分别为A、B、C，对应的裤子分别为a、b、c，
画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能，
所以它们取自同一套的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
12．桌面上放有五张背面完全相同的卡片，卡片的正面分别标有汉字：疯，狂，的，数，学，把这五张卡
片背面朝上，随机抽取一张，记下汉字放回，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上汉字可以组成
“数学”的概率是 ．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取卡片上汉字可以组成“数学”的结果数，再利用
概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
疯 狂 的 数 学
疯 （疯， （疯， （疯， （疯， （疯，
疯） 狂） 的） 数） 学）
狂 （狂， （狂， （狂， （狂， （狂，
疯） 狂） 的） 数） 学）
的 （的， （的， （的， （的， （的，
疯） 狂） 的） 数） 学）
数 （数， （数， （数， （数， （数，
疯） 狂） 的） 数） 学）
学 （学， （学， （学， （学， （学，疯） 狂） 的） 数） 学）
共有25种等可能的结果，其中两次抽取卡片上汉字可以组成“数学”的结果有：（数，学），（学，
数），共2种，
∴两次抽取卡片上汉字可以组成“数学”的概率为 ．
故答案为： ．
13．党的二十大于2022年10月16﹣22日在北京胜利召开，某校为学习“二十大精神”开展以“心系二十
大”为主题的知识竞赛，竞赛由每班笔试初赛后推选2人参加学校现场面试决赛，我班笔试初赛由3男
2女共5个同学获得100分，现从中抽取2人参加学校的现场面试决赛，则恰好抽到一男一女的概率是
．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图为：
共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，
∴恰好选中一男一女的概率是 ，
故答案为： ．
14．四根长度分别为2cm、4cm、6cm、8cm的细木棒，任取其中三根为边，能拼成三角形的概率为
．
【分析】画树状图，共有24种等可能的结果，其中能拼成三角形（两边之和大于第三边）的结果有6
种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有24种等可能的结果，其中能拼成三角形（两边之和大于第三边）的结果有6种，∴能拼成三角形的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
15．四张相同的卡片上分别写有数字﹣1，﹣5，2，4，将卡片的背面向上洗匀后从中任意抽1张，并将卡
片上数字记为k，再从余下的卡片中任意抽1张，并将卡片上数字记为b，则一次函数y＝kx+b的图象经
过第二、三、四象限的概率为 ．
【分析】若一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k＜0且b＜0．列表可得出所有等可能
的结果数以及满足k＜0且b＜0的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：若一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k＜0且b＜0．
列表如下：
﹣1 ﹣5 2 4
﹣1 （﹣1，﹣ （﹣1， （﹣1，
5） 2） 4）
﹣5 （﹣5，﹣ （﹣5， （﹣5，
1） 2） 4）
2 （2，﹣ （2，﹣ （2，4）
1） 5）
4 （4，﹣ （4，﹣ （4，2）
1） 5）
共有12种等可能的结果，其中满足k＜0且b＜0的结果有：（﹣1，﹣5），（﹣5，﹣1），共2种，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限的概率为 ．
故答案为： ．
16．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：
径赛项目：200m，400m，800m（分别用A 、A 、A 表示）；
1 2 3
田赛项目：跳远，跳高（分别用B 、B 表示）．
1 2
（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为 ；
（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个
田赛项目和一个径赛项目的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的结果有12种，
再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的结果有12种，
∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为 ＝ ．
17．如图，转盘A中的4个扇形面积相等，转盘B中的6个扇形的面积相等，有人设计了如下游戏规则：
甲、乙两人分别任意转动转盘A、B一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的 2个数相乘，如果
所得的积是偶数，则甲获胜；若所得的积是奇数，则乙获胜．
（1）用列表法或树状图求出甲、乙两人分别获胜的概率；
（2）当此游戏规则修改为：当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的 2个数字相加，如果所得的和是
偶数，则甲获胜；若所得的和是奇数，则乙获胜，这样的规则公平吗？通过计算说明理由．
【分析】（1）根据题意画出树状图，展示所有等可能的结果，利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概
率即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图，展示所有等可能的结果，利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得
出答案．
【解答】解：（1）画树状图：
由树状图知，共有24种等可能结果，其中甲获胜的有18种结果，乙获胜的有6种结果，
所以甲胜的概率＝ ，乙胜的概率＝ ；（2）这样的规则公平，理由如下：
画树状图：
由树状图知，共有24种等可能结果，其中甲获胜的有12种结果，乙获胜的有12种结果，
所以甲胜的概率＝ ，乙胜的概率＝ ，
所以这样的规则公平．
18．有四张牌，点数分别是2、3、5、7，洗牌后把牌背面向上放好．
（1）若增加m张点数为偶数的牌，使得只抽一张抽到奇数和偶数的概率相等，直接填写m的值：m＝
2 （m为正整数）；
（2）小丽先从这四张牌中抽一张，小芳从剩下的三张牌中抽一张，求两张牌上的数字之和是奇数的概
率，请用列表或画树状图的方法说明．
【分析】（1）由题意得，只抽一张抽到奇数的概率为 ，只抽一张抽到偶数的概率为 ，进而可
得 ＝ ，求出m的值即可．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两张牌上的数字之和是奇数的结果数，再利用概率公式可得
出答案．
【解答】解：（1）若增加m张点数为偶数的牌，此时点数为偶数的牌有（1+m）张，点数为奇数的牌
有3张，
∴只抽一张抽到奇数的概率为 ，只抽一张抽到偶数的概率为 ，
∴ ＝ ，
解得m＝2，
经检验，m＝2是原方程的解且符合题意，
∴m＝2．
故答案为：2．
（2）列表如下：
2 3 5 7
2 （2，3） （2，5） （2，7）
3 （3，2） （3，5） （3，7）5 （5，2） （5，3） （5，7）
7 （7，2） （7，3） （7，5）
共有12种等可能的结果，其中两张牌上的数字之和是奇数的结果有：（2，3），（2，5），（2，
7），（3，2），（5，2），（7，2），共6种，
∴两张牌上的数字之和是奇数的概率为 ．
19．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四
张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
（1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是 ；
（2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化
的概率．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C卡片的结果有1种，利用概率公式可得
答案．
（2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果数，再利用
概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C卡片的结果有1种，
∴抽中C卡片的概率是 ．
故答案为： ．
（2）四张卡片内容中是化学变化的有：A，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：AD，DA，共2种，
∴小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为 ＝ ．
20．某学校为了解学生暑假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学暑假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类
别：A（0＜t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图
（尚不完整），根据以上信息，回答下列问题：
（1）请补全条形统计图；并计算扇形统计图中圆心角 的度数为 144 ° ；
（2）若该校有1500名学生，估计暑假阅读的总时间不少于12小时的学生有多少名？
β
（3）教育处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取 2名同学参加该校“阅
读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
【分析】（1）根据D类别的人数及百分比求出总量，用总量乘以C类别的百分比求出人数，然后补全
条形统计图即可；用360°乘以C类别的百分比可得答案．
（2）根据用样本估计总体，用1500乘以扇形统计图中B，C，D的百分比之和，即可得出答案．
（3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好选中甲和乙的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）本次抽样的学生人数为6÷10%＝60（人），
∴C类别的人数为40%×60＝24（人）．
补全条形统计图如图所示．
扇形统计图中圆心角 的度数为40%×360°＝144°．
故答案为：144°．
β
（2）1500×（40%+30%+10%）＝1200（名）．
答：估计暑假阅读的总时间不少于12小时的学生约有1200名．
（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有：甲乙，乙甲，共2种，
∴恰好选中甲和乙的概率为 ．
