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专题 03 二次函数与几何图形
类型一：线段的最值问题
类型二：面积的最值问题
类型三：特殊三角形的存在性问题
类型四：平行四边形的存在性问题
类型五：角度问题
类型一：线段的最值问题
1．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，AD为等腰直角△ABC底边BC上的高，抛物线y＝a（x
﹣2）2+4的顶点为点A，且经过B、C两点，B、C两点在x轴上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，点E为抛物线上位于直线AC上方的一点，过点E作EN⊥x轴交直线AC于点N，求线段
EN的长度最大值及此时点E的坐标；
（3）如图2，点M（5，b）是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，在（2）的条件下，当线段
EN的长度最大时，求PE+PM的最小值．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）设E（t， ），N（t，﹣t+6），得到EN的表达式，即可求解；
（3）AD是此抛物线的对称轴，则过点E作AD的对称点E′（0，3），连接E′M交AD于点P，此时
PE+PM最短，即可求解．
【解答】解：（1）∵AD为等腰直角△ABC底边BC上的高，y＝a（x﹣2）2+4的顶点为点A，
∴A的坐标为（2，4），
∴AD＝4，
∵AD为等腰直角△ABC底边BC上的高，
∴CD＝AD＝4，
∴C（6，0），
把C（6，0）代入，y＝a（x﹣2）2+4，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，即 ；
（2）设直线AC的函数解析式为y＝kx+b
∵A（2，4），C（6，0）
∴AC的函数解析式为y＝﹣x+6，
设E（t， ），N（t，﹣t+6），
＝ ，
∴当t＝4时，EN最大为1，
∴E（4，3）；
（3）∵M（5，b）在抛物线 上，
∴M（5， ），
∵AD是此抛物线的对称轴，
∴过点E作AD的对称点E′（0，3），连接E′M交AD于点P，此时PE+PM最短，M（5， ），
∴PE+PM最小＝ ．
2．如图，抛物线y＝﹣ x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点
D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△BDC的面积；
（3）线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）分别求得BD、OC，然后利用三角形面积计算公式解答即可；
（3）根据抛物线的解析式求得B点的坐标，然后根据待定系数法求得直线BC的解析式，设P（m，﹣
m+2）；则Q（m，﹣ m2+ m+2），进而表示出PQ的长度，利用二次函数的最值求出即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝﹣ +mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，0），C
（0，2）．
∴ ，
解得： ，
故抛物线解析式为：y＝﹣ x2+ x+2；
（2）∵A（﹣1，0），C（0，2），
∴OA＝1，OC＝2，
∵对称轴为 ，
∴ ，AD＝BD，
∴ ，
∴ ，
∴S△BDC ＝ BD×OC＝ × ×2＝ ；
（3）令y＝0，则﹣ x2+ x+2＝0，解得x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
∴B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入得：
，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣ x+2，
设P（m，﹣ m+2），则Q（m，﹣ m2+ m+2），
则PQ＝（﹣ m2+ m+2）﹣（﹣ m+2）＝﹣ m2+2m＝﹣ （m﹣2）2+2，
此时PQ的最大值为2．
3．如图1，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴相交于点
C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点D是二次函数图象上位于第三象限内的点．
①如图2，当点D是抛物线的顶点时，连接AD、CD、AC，求△ADC的面积；
②当点D到直线AC的距离为最大值时，求此时点D的坐标；
（3）若点M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点 N，使得以M、N、B、O为
顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 N 的坐标（不写求解过程）．
【分析】（1）由题意得：y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；
（2）①由△ADC的面积＝ ×DE×OA＝ （﹣m2﹣3m）×3＝﹣ （m+ ）2+ ≤ ，即可求解；
②由题意点D到直线AC的距离取得最大，推出此时△DAC的面积最大，即可求解；
（3）分两种情形：OB是平行四边形的边或对角线分别求解即可．【解答】解：（1）由题意得：y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；
（2）①过点D作DF⊥x轴交AC于点E，
由点A、C（0，﹣3）的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
∵点D的横坐标为m，
∴D（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），
∴DE＝﹣m2﹣3m，
则△ADC的面积＝ ×DE×OA＝ （﹣m2﹣3m）×3＝﹣ （m+ ）2+ ≤ ，
∴当m＝﹣ 时，△ADC的面积有最大值 ；
②如图，连接AD，CD．
∵点D到直线AC的距离取得最大，
∴此时△DAC的面积最大，
过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（m，m2+2m﹣3），
则G（m，﹣m﹣3），
∵点D在第三象限，
∴DG＝﹣m2﹣3m，
∴S△ACD ＝ ×DG×AO＝ （﹣m2﹣3m）×3＝﹣ （m+ ）2+ ≤ ，
∴当m＝﹣ 时，△ADC的面积有最大值 ；
∴点D到直线AC的距离取得最大时，D（﹣ ，﹣ ）；（3）存在点N．使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴M点横坐标为﹣1，
设N（n，n2+2n﹣3），
①当MN、OB为平行四边形的对角线时，n﹣1＝1，
∴n＝2，
∴N（2，5）；
②当MB、ON为平行四边形的对角线时，﹣1+1＝n，
∴n＝0，
∴N（0，﹣3）；
③当MO、NB为平行四边形的对角线时，﹣1+0＝n+1，
∴n＝﹣2，
∴N（﹣2，﹣3）；
综上所述：N点坐标为（2，5）或（0，﹣3）或（﹣2，﹣3）．
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点和点A（4，0）．经过点
A的直线与该二次函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线
AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求直线解析式，再求出点C坐标，利用待定系数法即可求出解析式；
（2）将P、D坐标用m表示出来，用P的纵坐标减去D的纵坐标即可得出PD的关系式，从而求最值；
（3）由∠AOC＝90°得到△AOC是直角三角形，要使△BPD与△AOC相似，则△BPD也是直角三角形，
分类讨论，画出草图．利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵抛二次函数经过O（0，0），A（4，0），B（1，3），
∴将三点坐标代入解析式得 ，
解得：a＝﹣1，b＝4，c＝0，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+4x；
∵直线经过A、B两点，设直线AB解析式为：y＝kx+n，
∴将A、B两点代入得 ，
解得：k＝﹣1，n＝4，
∴直线AB解析式为：y＝﹣x+4，
∵点C是直线与y轴交点，
∴令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4）．
（2）①∵点P在直线AB上方，
∴0≤m≤4，
由题知P（m，﹣m2+4m），D（m，﹣m+4），
∴PD＝y ﹣y ＝﹣m2+4m+m﹣4＝﹣m2+5m﹣4＝﹣（m﹣ ）+ ，
P D
∵﹣1＜0
∴当m＝ 时，PD＝ 是最大值．
②存在，理由如下：
∵∠PDB＝∠ADE，∠ADE＝∠ACO，
∴∠BDP＝∠ACO，
∵△AOC是直角三角形，
∴要使△BPD与△AOC相似，只有保证△BPD是直角三角形就可以．
（Ⅰ）当△BPD∽△AOC时，
∵∠AOC＝90°，
∴∠BPD＝90°，
此时BP∥x轴，B、P关于对称轴对称，
∴P（3，3）；（Ⅱ）当△PBD∽△AOC时，
∴∠PBD＝∠AOC＝90°，
∴AB⊥PB，
∵k ＝﹣1，
AC
∴k ＝1，
BP
∴直线BP的解析式为：y＝x+2，
联立方程组得 ，
解得： 或 ，
∴P（2，4）
综上，存在点P使△BPD与△AOC相似，此时P的坐标为（3，3）或（2，4）．
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝﹣x+3相交于B、C两点，与x轴
交于点A（﹣1，0）．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求PD的最大值．
（3）点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点 N，使△MNO为等腰直角三角形，且
∠NMO为直角，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由PD＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣ ）2+ ，即可求解；
（3）设N（m，﹣m2+2m+3），先求得抛物线的对称轴是直线 x＝1，设直线x＝1交x轴于点G，则G
（1，0），MG⊥x轴，作NF⊥MG于点F，可证明△FMN≌△GOM，再分四种情况讨论，一是点M在
x轴上方，且点N在直线OM左侧，可列方程﹣m2+2m+3﹣（1﹣m）＝1；二是点M在x轴上方，且点
N在直线OM右侧，可列方程m﹣1﹣（﹣m2+2m+3）＝1；三是点M在x轴下方，且点N在直线OM右
侧，可列方程﹣m2+2m+3﹣（1﹣m）＝1；四是点M在x轴下方，且点N在直线OM左侧，可列方程m
﹣1﹣（﹣m2+2m+3）＝1，分别求出相应的符合题意的m值，再求出对应的点N的纵坐标即可．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3相交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，
3），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，则a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，设P（x，﹣x2+2x+3），
∵PD∥y轴交直线BC于点D，
∴D（x，﹣x+3），
∴PD＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，∵PD＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣ ）2+ ，
∴当x＝ 时，PD最大 ＝ ，
∴PD的最大值为 ．
（3）存在，设N（m，﹣m2+2m+3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴是直线x＝1，
设直线x＝1交x轴于点G，则G（1，0），MG⊥x轴，
作NF⊥MG于点F，则∠MFN＝∠OGM＝90°，F（1，﹣m2+2m+3），
如图2，点M在x轴上方，且点N在直线OM左侧，
∵∠NMO＝90°，MN＝OM，
∴∠FMN＝∠GOM＝90°﹣∠OMG，
∴△FMN≌△GOM（AAS），
∴MF＝OG＝1，FN＝GM＝1﹣m，
∴﹣m2+2m+3﹣（1﹣m）＝1，
解得m ＝ ，m ＝ （不符合题意，舍去），
1 2
∴GF＝GM+MF＝1﹣ ＝ ，
∴N（ ， ）；
如图3，点M在x轴上方，且点N在直线OM右侧，
同理可得△FMN≌△GOM（AAS），
∴MF＝OG＝1，FN＝GM＝m﹣1，∴m﹣1﹣（﹣m2+2m+3）＝1，
解得m ＝ ，m ＝ （不符合题意，舍去），
1 2
∴N（ ， ）；
如图4，点M在x轴下方，且点N在直线OM右侧，
同理可得△FMN≌△GOM（AAS），
∴MF＝OG＝1，FN＝GM＝m﹣1，
∴M（1，1﹣m），
∴﹣m2+2m+3﹣（1﹣m）＝1，
解得m ＝ ，m ＝ （不符合题意，舍去），
1 2
∴N（ ， ）；
如图5，点M在x轴下方，且点N在直线OM左侧，
同理可得△FMN≌△GOM（AAS），
∴MF＝OG＝1，FN＝GM＝1﹣m，
∴M（1，m﹣1），
∴m﹣1﹣（﹣m2+2m+3）＝1，
解得m ＝ ，m ＝ （不符合题意，舍去），
1 2
∴N（ ， ），
综上所述，点N的坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）或
（ ， ）．
类型二：面积的最值问题6．综合与探究
如图，抛物线y＝﹣x2+bx+5与x轴交于点A（﹣1，0），B，与y轴交于点C，作直线BC，点P为第一
象限内抛物线上一动点，连接PB，过点C作CQ∥PB，交x轴于点Q．
（1）求点B，C的坐标；
（2）连接PQ，求S△PBQ 的最大值；
（3）连接AC，当∠PCB＝∠ACO时，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由 ≤ ，即可求解；
（3）由 ，则 ，证明 Rt△PFD∽Rt△CHD，得到点 P的坐标为
，将点P的坐标代入二次函数表达式，即可求解．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）代入 y＝﹣x2+bx+5，得：﹣（﹣1）2﹣b+5＝0，
解得：b＝4，
∴y＝﹣x2+4x+5，
令﹣x2+4x+5＝0，解得 x＝﹣1或5，
∵点B在点A右侧，
∴B（5，0），
令x＝0，得 y＝5，
∴C（0，5）；
（2）如图，连接CP，过点P作PE∥y轴，交BC于点E．
∵CQ∥PB，∴S△PBQ ＝S△PBC ，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为 y＝﹣x+5，
设P（m，﹣m2+4m+5），
∵PE∥y轴，
∴E（m，﹣m+5）．
∴PE＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m，
则 ≤ ，
∴当 时，S△PBC 的值最大，为 ；
（3）如图，过点P分别作PD⊥CB于点D，PG⊥x轴于点G，过点D作DH⊥y轴于点H，延长HD交
PG于点F，则∠CHD＝∠CDP＝90°．
∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，5），
∴OA＝1，OB＝OC＝5．
∴∠DCH＝45°，∠CDH＝45°，
∴CH＝DH．
∵∠CDP＝90°，
∴∠PDF＝45°，
则∠PFD＝90°，∠DPF＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF．
∴PF＝DF．
由题意得，四边形OHFG是矩形，
∴OH＝GF．
设CH＝DH＝x，则 OH＝GF＝5﹣x．
∵∠PCB＝∠ACO，
则 ．
即 ．
∵∠CDH+∠PDF＝90°，∠CDH＝45°，
∴∠PDH＝∠CDH＝45°，∴Rt△PFD∽Rt△CHD，
∴ ．
则 ．
∴点P的坐标为 ，
将点P的坐标代入二次函数表达式得：5﹣ x＝﹣（ x）2+4× x+5，
解得： ，
∴点P的坐标为 ．
7．已知抛物线y＝x2+bx+c与过点P（0，1）的直线l：y＝kx+m，k＜0，交于A、B两点（点A在点B右
侧）
（1）若抛物线对称轴为直线x＝﹣1且与y轴交于点（0，﹣3），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件之下，若k＝﹣1，C为抛物线上的一动点，且在点A与点B之间，求△ABC面积的
最大值；
（3）若该抛物线的顶点为原点，已知Q（1，1），QA、QB交y轴于M、N两点，当 时，
求l的方程．
【分析】（1）根据抛物线对称轴为直线x＝﹣1以及抛物线与y轴交于点（0，﹣3），利用待定系数法
即可求解；
（2）联立抛物线和直线的解析式可求得A（1，0），B（﹣4，5），设抛物线上在点A与点B之间的一
动点C（x，x2+2x﹣3）（﹣4＜x＜1），过点C作y轴平行线CD交直线l与点D，设△BCD，△ACD底
边 CD 上 的 高 分 别 为 h 、 h ， 则
1 2
，化简后利用二次
函数的性质即可求得最大值；
（3）首先根据抛物线的顶点为原点求出抛物线解析式为y＝x2，直线l：y＝kx+m过定点P（0，1），可
得直线l：y＝kx+1（k＜0），设A（x ，y ），B（x ，y ），联立抛物线和直线解析式，利用根与系数
1 1 2 2
的关系可得 x +x ＝k，x x ＝﹣1，利用待定系数法求出直线 BQ、AQ 解析式，求出点 M 坐标为
1 2 1 2
，点N坐标为 ，即可求出 ， ，
然后利用 ，代入即可求出k，由此得解．
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∴ ，
解得b＝2，
∵抛物线与y轴交于点（0，﹣3），
将点（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为 y＝x2+2x﹣3．
（2）∵直线l：y＝kx+m过点P（0，1），m＝1，
若k＝﹣1，则直线l：y＝﹣x+1，
联立抛物线和直线l解析式得 ，
解得 或 ，
∴A（1，0），B（﹣4，5），
设抛物线上在点A与点B之间的一动点C（x，x2+2x﹣3）（﹣4＜x＜1），
过点C作y轴平行线CD交直线l与点D，如图所示，
∵点D在直线l上，
∴点D坐标为 （x，﹣x+1），
设△BCD，△ACD底边CD上的高分别为h 、h ，
1 2
则 ），∵x ﹣x ＝1﹣（﹣4）＝5， ，
A B
∴ ，
∴当 时，△ABC面积取得最大值为 ．
（3）若该抛物线y＝x2+bx+c的顶点为原点（0，0），
∵顶点坐标为 ，
∴ ， ．
∴b＝0，c＝0，
∴抛物线解析式为y＝x2，
∵直线l：y＝kx+m过点P（0，1），
∴m＝1，
∴直线l：y＝kx+1（k＜0），
设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
联立抛物线与直线l解析式得 ，
得x2﹣kx﹣1＝0，
∴x +x ＝k，x x ＝﹣1，
1 2 1 2
设直线BQ解析式为y＝k x+e，
1将点B（x ，y ），Q（1，1）代入y＝k x+b，
2 2 1
得
解得
∴直线BQ解析式为 ，
∴点M坐标为 ，
设直线AQ解析式为y＝k x+d，
2
将点A（x ，y ），Q（1，1）代入y＝k x+d，
1 1 2
同理解得 ，
∴直线AQ解析式为 ，
∴点N坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵点A（x ，y ），B（x ，y ）在直线l：y＝kx+1（k＜0）上，
1 1 2 2
∴y ＝kx +1，y ＝kx +1，
1 1 2 2
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得k＝1（由于k＜0，不合题意）或 ，解得 ，
∴直线l解析式为 ．
8．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C，且OB＝OC，抛物线的
对称轴为直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若DE是该抛物线的对称轴，点D是顶点，点P是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点．
（ⅰ）如图2，连接BP，若△PCB的面积为3，求点P的坐标；
（ⅱ）如图3，连接BC，与DE交于点G，连接PC，PG，PD，求2S△PCG +S△PDG 的最大值．
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x＝1和点B（3，0），得点A（﹣1，0）．由点B（3，0），
OB＝OC，得点C（0，3）．再运用待定系数法即可求得答案；
（2）（ⅰ）由点B（3，0），C（0，3），得直线BC的解析式，过点P作PF∥y轴交BC于点F．设
点P（m，﹣m2+2m+3），则点F（m，﹣m+3），得关于m的方程，解出即可；
（ⅱ）由抛物线y＝﹣x2+2x+3求出顶点D的坐标为（1，4）．由（ⅰ）知直线BC的解析式为y＝﹣
x+3，则点G（1，2）．设直线CP交DE于点F，设点P（m，﹣m2+2m+3）．由直线PC经过点C（0，
3），可设直线PC的解析式为y＝kx+3，把点P（m，﹣m2+2m+3）代入，得关于m的方程，解出即可．
【解答】解：（1）由抛物线的对称轴为直线x＝1和点B（3，0），得点A（﹣1，0），
由点B（3，0），OB＝OC，得点C（0，3），
由抛物线经过点A，B，得y＝a（x+1）（x﹣3），
把点C（0，3）代入，得3＝a（0+1）×（0﹣3），
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）（ⅰ）由点B（3，0），C（0，3），得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
如图2，过点P作PF∥y轴交BC于点F，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点F（m，﹣m+3），
∴PF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
由题意，得 ，
整理，得m2﹣3m+2＝0，
解得m＝1（舍去）或m＝2，
则﹣m2+2m+3＝3，
∴点P的坐标为（2，3）；
（ⅱ）由抛物线y＝﹣x2+2x+3知，顶点D的坐标为（1，4），
由（ⅰ）知直线BC的解析式为y＝﹣x+3，则点G（1，2），
如图3，设直线CP交DE于点F，设点P（m，﹣m2+2m+3），
由直线PC经过点C（0，3），
设直线PC的解析式为y＝kx+3，
把点P（m，﹣m2+2m+3）代入，
得﹣m2+2m+3＝km+3，
解得m＝0（舍去）或m＝﹣k+2，
即k＝﹣m+2，
∴直线PC的解析式为y＝（﹣m+2）x+3，
当x＝1时，y＝（﹣m+2）x+3＝5﹣m，即FG＝5﹣m﹣2＝3﹣m，
∴2S△PCG +S△PDG
＝
＝＝﹣（m﹣2）2+3≤3，
即2S△PCG +S△PDG 的最大值为3．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，
其中A（﹣3，0），B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是直线AC上方抛物线上一点，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值，及此时点P
的坐标；
（3）如图2，连接BC，在抛物线上是否存在一点N，使得S△ABC ＝2S△ABN ？若存在，求出点N的坐标；
若不存在，说明理由．
【分析】（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+bx+3，即可求解；
（2）由△PAC面积＝ ×OA•PH＝ ×3×（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）＝﹣ （x+ ）2+ ≤ ，即可求解；
（3）S△ABC ＝2S△ABN ，则|y
N
|＝ y
C
＝ ，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+bx+3，
则a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）过点P作PH∥y轴交AC于点H，
由抛物线的表达式知，点C（0，3），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+3，
设点P（x，﹣x2﹣2x+3），则点H（x，x+3），则△PAC面积＝ ×OA•PH＝ ×3×（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）＝﹣ （x+ ）2+ ≤ ，
故△PAC面积的最大值为 ，此时x＝﹣ ，则点P（﹣ ， ）；
（3）存在，理由：
∵S△ABC ＝2S△ABN ，则|y
N
|＝ y
C
＝ ，
即﹣x2﹣2x+3＝± ，
解得：x＝﹣1± 或﹣1± ，
则点N的坐标为：（﹣1+ ， ）或（﹣1﹣ ， ）或（﹣1+ ，﹣ ）或（﹣1﹣ ，
﹣ ）．
10．如图，抛物线c：y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
点M（m，0）为动点，且0＜m＜4，过点M作EM⊥AB于点M，交抛物线于点E，交直线BC于点F．
（1）求抛物线c的表达式及顶点坐标；
（2）若MF＝EF，求m的值；
（3）连接CE，BE，CM，求四边形CMBE面积最大值．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由MF＝EF得：﹣ m+2＝﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2），即可求解；
（3）由四边形CMBE面积＝S△BCE +S△BMC ＝ ×FE×BO+ ×BM×CO，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
则﹣4a＝2，则a＝﹣
∴抛物线的表达式为y＝﹣ x2+ x+2＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴顶点坐标为（ ， ）；（2）在y＝﹣ x2+ x+2中，令x＝0得y＝2，
∴C（0，2），
由B（4，0），C（0，2）得直线BC解析式为y＝﹣ x+2，
∵点M（m，0），
∴F（m，﹣ m+2），E（m，﹣ m2+ m+2），
∵MF＝EF，
∴﹣ m+2＝﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2），
解得m＝1或m＝4（舍去），
∴m的值为1；
（3）点M（m，0），则F（m，﹣ m+2），E（m，﹣ m2+ m+2），
则四边形CMBE面积＝S△BCE +S△BMC ＝ ×FE×BO+ ×BM×CO＝ ×4×（﹣ m2+ m+2+ m﹣2）+ ×2
（4﹣m）＝﹣（m﹣1.5）2+ ≤ ，
故四边形CMBE面积最大值为 ．
类型三：特殊三角形的存在性问题
11．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），与y轴交于点C，过点C作BC∥x轴，交抛物线于点
B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，且BC＝2OA．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为抛物线对称轴上一点，且位于x轴上方，连接PA、PC，若△PAC是以AC为直角边的直角
三角形，求点P的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当∠PAC＝90°时，PA2+AC2＝PC2，即可求解；当∠PCA＝90°时，PC2+AC2＝AP2，同理可解．
【解答】解：（1）∵BC＝2OA＝2，
则抛物线的对称轴为直线x＝1，则 ，解得： ，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴是直线x＝1，
设P（1，m），
∴PA2＝m2+22＝m2+4．
PC2＝（m+3）2+12＝（m+3）2+1．
AC2＝12+32＝10．
∵△PAC是以AC为直角边的直角三角形，
当∠PAC＝90°时，PA2+AC2＝PC2．
∴m2+4+10＝（m+3）2+1，解得m＝ ；
当∠PCA＝90°时，PC2+AC2＝AP2，
∴（m+3）2+1+10＝m2+4，解得m＝﹣ （不符合题意，舍去）．
∴P（1， ）．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝﹣x2+bx+c与x轴交于点B，A（﹣3，0），与y轴交于点C
1
（0，3）．
（1）求直线AC和抛物线的解析式．
（2）若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点 M，使得以M，A，C三点为顶点的三角形是以AC
为底的等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，求△PAC面积的最大值．
【分析】（1）将点代入解析式求解即可得到答案；
（2）设存在，设出点的坐标根据等腰列式求解即可得到答案；
（3）设点P坐标，表示出面积，结合新函数性质求解即可得到答案．【解答】解：（1）设直线AC的解析式为：y＝kx+t，将点A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝kx+t，y ＝
1
﹣x2+bx+c得，
， ，
解得： ， ，
∴直线AC的解析式为 y＝x+3；抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在M（﹣1，1），理由如下，
抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为：x＝﹣ ＝﹣1，
设点M（﹣1，m），
∵M，A，C三点为顶点的三角形是以AC为底的等腰三角形，
∴MA＝MC，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
，
解得：m＝1，
∴M（﹣1，1）；
（3）设P（n，﹣n2﹣2n+3），且﹣3＜n＜0，连接OP，
∴S△PAC ＝S△PAO +S△POC ﹣S△AOC
＝ ×3×3
＝﹣ n
＝﹣ ，
，
∵﹣ ＜0，﹣3＜n＜0，
∴当n＝﹣ 时，S△PAC 最大为 ．13．如图，顶点坐标为（1，4）的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y
轴交于点C（0，3），D是直线BC上方抛物线上的一个动点，连接AD交抛物线的对称轴于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，当△ACE的周长最小时，求点D的坐标；
（3）过点D作DH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，连接AF．在点D运动过程中，是否存在使△ACF
为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）作点C关于抛物线对称轴得对称点D，连接AD交CB于点E，此时△ACE的周长最小，即可求解；
（3）当AC＝AF时，列出等式即可求解；当AC＝CF或AF＝CF时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣1）2+4，
将点C的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）如下图，作点C关于抛物线对称轴得对称点D，连接AD交CB于点E，此时△ACE的周长最小，
理由：△ACE＝AC+CE+AE＝AC+AE+DE＝AC+AD为最小，
由点的对称性知，点C（0，3）的对称点D的坐标为：（2，3）；
（3）存在，理由：
由抛物线的表达式知，点B（3，0），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点F（m，﹣m+3），
由点A、C、F的坐标得，AC2＝10，AF2＝（m+1）2+（﹣m+3）2，同理可得：CF2＝2m2，
当AC＝AF时，则10＝（m+1）2+（﹣m+3）2，
解得：m＝0（舍去）或2，
即点F（2，1）；
当AC＝CF或AF＝CF时，
同理可得：（m+1）2+（﹣m+3）2＝2m2或2m2＝10，
解得：m＝﹣ （舍去）或 或2.5；
综上，点F的坐标为：（ ，3﹣ ）或（2.5，0.5）或（2，1）．
14．如图，抛物线 的图象经过点D（1，﹣1），与x轴交于点A，点B．
（1）求抛物线C 的表达式；
1
（2）将抛物线C 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C ，求抛物线C 的表达式，并
1 2 2
判断点D是否在抛物线C 上；
2
（3）在x轴上方的抛物线C 上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P的
2
坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点D的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由题意得：C ：y＝ （x﹣1）2+ （x﹣1）﹣4+3＝ （x﹣ ）2﹣ ，当x＝1时，y＝ （x﹣
2
）2﹣ ＝ （1﹣ ）2﹣ ＝﹣1，即可求解；
（3）当∠BAP为直角时，证明△DGB≌△EHD（AAS），求出点E（2，2），当x＝2时，y＝ （x﹣
）2﹣ ＝ （2﹣ ）2﹣ ＝2，即点E在抛物线C 上，即点P即为点E（2，2）；当∠DBP为直
2
角时，同理可解；当∠HPD为直角时，如图3，同理可得点E（0，1），即可求解．
【解答】解：（1）将点D的坐标代入抛物线表达式得：﹣1＝a+ ﹣4，解得：a＝ ，
则抛物线的表达式为：y＝ x2+ x﹣4；
（2）由题意得：C ：y＝ （x﹣1）2+ （x﹣1）﹣4+3＝ （x﹣ ）2﹣ ，
2
当x＝1时，y＝ （x﹣ ）2﹣ ＝ （1﹣ ）2﹣ ＝﹣1，
故点D在抛物线C 上；
2
（3）存在，理由：
当∠BAP为直角时，
如图1，过点D作DE⊥BD且DE＝BE，则△BDE为等腰直角三角形，
∵∠BDG+∠EDH＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，
∴∠BDG＝∠DEH，
∵∠DGB＝∠EHD＝90°，
∴△DGB≌△EHD（AAS），
则DH＝BG＝1，EH＝GD＝1+2＝3，
则点E（2，2），
当x＝2时，y＝ （x﹣ ）2﹣ ＝ （2﹣ ）2﹣ ＝2，
即点E在抛物线C 上，
2
即点P即为点E（2，2）；
当∠DBP为直角时，如图2，
同理可得：△BGE≌△DHB（AAS），
则DH＝3＝BG，BH＝1＝GE，
则点E（﹣1，3），当x＝﹣1时，y＝ （x﹣ ）2﹣ ＝ （﹣1﹣ ）2﹣ ＝3，
即点E在抛物线C 上，
2
即点P即为点E（﹣1，3）；
当∠HPD为直角时，如图3，
设点E（x，y），
同理可得：△EHB≌△DGE（AAS），
则EH＝x+2＝GD＝y+1且BH＝y＝GE＝1﹣x，
解得：x＝0且y＝1，即点E（0，1），
当x＝0时，y＝ （x﹣ ）2﹣ ＝ （0﹣ ）2﹣ ≠1，
即点E不在抛物线C 上；
2
综上，点P的坐标为：（2，2）或（﹣1，3）．
15．如图，二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，
3），点P（m，n）是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，当m＝2时，求△BCP的面积；
（3）当∠PCB＝15°时，求点P的坐标；
（4）如图2，点Q是抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使△POQ是以点P为直角顶点的等腰直角
三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把B（3，0），点C（0，3）代入二次函数y＝ax2﹣4x+c中列方程组可解答；
（2）先计算点P的坐标，利用待定系数法可得PC的解析式，最后利用面积和可得△BCP的面积；
（3）先计算∠OCH＝45°﹣15°＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质和勾股定理可得：OH＝ ，
则H（ ，0），从而根据直线PC和抛物线的交点坐标可解答；
（4）作辅助线构建全等三角形，过点 P 作 DE∥x 轴，交 y 轴于 D，交对称轴于点 E，证明
△ODP≌△PEQ（AAS），得PE＝OD，列方程可解答．
【解答】解：（1）把B（3，0），点C（0，3）代入二次函数y＝ax2﹣4x+c中得：
，
解得： ，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）∵点P（m，n）是抛物线上的动点，m＝2，
∴n＝4﹣8+3＝﹣1，
∴P（2，﹣1），
设PC的解析式为：y＝kx+b，PC与x轴交于点H，
把C（0，3）和P（2，﹣1）代入得： ，
∴ ，∴PC的解析式为：y＝﹣2x+3，
当y＝0时，﹣2x+3＝0，
x＝ ，
∴BH＝OB﹣OH＝3﹣ ＝ ，
∴△BCP的面积＝S△BHC +S△PBH ＝ × ×3+ × ×1＝3；
（3）如图1，∵C（0，3），B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝45°，
∵∠PCB＝15°，
∴∠OCH＝45°﹣15°＝30°，
∴OH＝ CH，
∵OC＝3，
∴OH＝ ，
∴H（ ，0），
同理可求得PC的解析式为：y＝﹣ x+3，
∴x2﹣4x+3＝﹣ x+3，
解得：x ＝0（舍），x ＝4﹣ ，
1 2
∴P（4﹣ ，6﹣4 ）；
当点P位于直线BC上方时，P（4﹣ ， ）．
综上，P（4﹣ ，6﹣4 ）或（4﹣ ， ）．
（4）如图2，过点P作DE∥x轴，交y轴于D，交对称轴于点E，由题意得：P（m，m2﹣4m+3），
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线对称轴是直线x＝2，
∵△OPQ是等腰直角三角形，
∴∠OPQ＝90°，OP＝PQ，
∴∠EPQ+∠OPD＝90°，
∵∠OPD+∠POD＝90°，
∴∠POD＝∠EPQ，
∵∠ODP＝∠PEQ＝90°，
∴△ODP≌△PEQ（AAS），
∴PE＝OD，
∴2﹣m＝m2﹣4m+3，
∴m2﹣3m+1＝0，
∴m ＝ （如图3），m ＝ ；
1 2如图4，过点P作DE∥x轴，交y轴于D，交对称轴于点E，
同理可得：PE＝OD，
∴2﹣m＝﹣m2+4m﹣3，
∴m2﹣5m+5＝0，
解得：m ＝ ，m ＝ ，
1 2
综上，m的值是 或 ．
类型四：平行四边形的存在性问题
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+bx﹣6（a、b为常数．且a≠0）经过点 ，
交x轴于点A、B（A在B的左侧），其顶点的横坐标为2．
（1）求抛物线L的函数表达式；（2）将抛物线L向左平移2个单位长度后得到抛物线L′，Q为抛物线L′上的动点，点P为抛物线L
的对称轴上的动点，请问是否存在以A、D、P、Q为顶点且以AQ为边的四边形是平行四边形？若存在，
求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线L的函数表达式为y＝ x2﹣2x﹣6；
（2）求出A（﹣2，0），抛物线L′的解析式为y＝ x2﹣8，设P（2，t），Q（m， m2﹣8），以AQ
为边的四边形是平行四边形分两种情况：①以 AP，QD 为对角线，则 AP，QD 中点重合，
，②以AD，PQ为对角线， ，解方程组可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得： ，
解得 ，
∴抛物线L的函数表达式为y＝ x2﹣2x﹣6；
（2）存在以A、D、P、Q为顶点且以AQ为边的四边形是平行四边形，理由如下：
在y＝ x2﹣2x﹣6中，令y＝0得0＝ x2﹣2x﹣6，
解得x＝6或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
把抛物线L向左平移2个单位长度后得到抛物线L′的解析式为y＝ （x+2）2﹣2（x+2）﹣6＝ x2﹣
8；
由抛物线L顶点的横坐标为2知其对称轴为直线x＝2，
设P（2，t），Q（m， m2﹣8），又D（3，﹣ ），
①以AP，QD为对角线，则AP，QD中点重合，
∴ ，
解得 ，
∴Q（﹣3，﹣ ）；
②以AD，PQ为对角线，则AD，PQ的中点重合，
∴ ，
解得 ，
∴Q（﹣1，﹣ ）；
综上所述，Q的坐标为（﹣3，﹣ ）或（﹣1，﹣ ）．
17．如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，点B的坐标为（3，0），OC＝2，AB＝4，点
D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若直线BC与抛物线的对称轴交于点E，点P是抛物线上的动点，点Q是直线BC上的动点，是否
存在以D、E、P、Q为顶点的四边形是以DE为边的平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，
请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当DP为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当DQ为对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）B的坐标为（3，0），AB＝4，则点A（﹣1，0），
∵OC＝2，则点C（0，2），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ），
1 2则y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝2，
则y＝﹣ x2+ x+2；
（2）存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣ x+2，
设点P（m，﹣ m2+ m+2），点Q（t，﹣ t+2），
当DP为对角线时，由中点坐标公式得：
，解得：m＝t＝ ，
则点Q（ ， ）或（ ， ）；
当DQ为对角线时，同理可得：
，解得：m＝t＝1（舍去）或2，
则点Q（2， ），
综上，点Q的坐标为Q（ ， ）或（ ， ）或（2， ）．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），
与y轴交于点E（0，﹣2），将抛物线L向右平移2个单位得到抛物线L′，抛物线L′与x轴交于C、
D两点（点C在点D的左侧）．
（1）求抛物线L′的函数表达式；
（2）点P、Q分别在抛物线L、L′上，且点P、Q在x轴的同侧，若以点B、D、P、Q为顶点的四边
形是面积为4的平行四边形，请求出点Q的坐标．【分析】（1）把E（0，﹣2）代入 ，解方程得到c＝﹣2，求得抛物线L的函数表达式
为 ， 根 据 平 移 的 性 质 得 到 抛 物 线 L′ 的 函 数 表 达 式 为
；
（2）解方程得到A（﹣4，0），B（2，0），C（﹣2，0），D（4，0），求得BD＝2，设点Q的纵坐
标为y ，根据平行四边形的面积公式得到 BD•|y |＝4，求得|y |＝2，当点P、Q都在x轴的上方时，点
Q Q Q
P只能在点Q的左侧，由题可得将点P向右平移2个单位的点一定在抛物线L′上，平移后的点就是点
Q，求得 ， ．当点P、Q都在x轴的下方时，点P在点Q的左侧，
由题可得将点P向右平移2个单位的点一定在抛物线L′上，平移后的点就是点Q，求得Q （2，﹣
3
2），Q （0，﹣2）．点Q在点P的左侧，不存在面积为4的平行四边形．
4
【解答】解：（1）把E（0，﹣2）代入 ，得 × ，
∴c＝﹣2，
∴抛物线L的函数表达式为 ，
∵将抛物线L向右平移2个单位得到抛物线L′，
∴抛物线L′的函数表达式为 ；（2）令y＝0，则 ，
解得x ＝﹣4，x ＝2，
1 2
∴A（﹣4，0），B（2，0），
在y＝ （x﹣1）2﹣ 中，令y＝0，则 （x﹣1）2﹣ ＝0，
解得x＝﹣2或x＝2，
∴C（﹣2，0），D（4，0），
∴BD＝2，
∵点P，Q在x轴的同侧，
∴BD为平行四边形的边，
∴PQ∥BD，PQ＝BD＝2．
设点Q的纵坐标为y ，
Q
∵以点B、D、P、Q为顶点的四边形是面积为4的平行四边形，
∴BD•|y |＝4，
Q
∴|y |＝2，
Q
当点P、Q都在x轴的上方时，点P只能在点Q的左侧，由题可得将点P向右平移2个单位的点一定在
抛物线L′上，平移后的点就是点Q，
∴y ＝2，则 ，
Q
解得 ， ，
∴ ， ．
当点P、Q都在x轴的下方时，点P在点Q的左侧，由题可得将点P向右平移2个单位的点一定在抛物
线L′上，平移后的点就是点Q，
∴y ＝﹣2，则 ，
Q
解得x ＝2，x ＝0，
3 4∴Q （2，﹣2），Q （0，﹣2）．
3 4
点Q在点P的左侧，不存在面积为4的平行四边形，
综上，点Q的坐标为（1+ ，2）或（1﹣ ，2）或（2，﹣2）或（0，﹣2）．
19．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B，C，连接AC，已知抛物线的对称轴为直线
．
（1）求a，b的值．
（2）若点D在线段AB上，过点D作DE∥AC，交抛物线y＝ax2+bx+3于点E，求线段DE的最大值．
（3）若点D在x轴上，点E在抛物线上，当A，D，E，C为平行四边形的四个顶点时，求点D的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；
（2）过点E作EF⊥x轴，将EF的长度用二次函数表示，即可求出EF最大值，从而求得线段DE的最
大值；
（3）分两种情况进行讨论，求出点D的坐标．
【解答】解：（1）由题意可得点A的坐标为（﹣3，0），
∴ ，
解得 ；
（2）过点E作EF⊥x轴于点F，
当x＝0时，y＝3，
∴点C的坐标为（0，3），OC＝3，
当y＝0时，x ＝﹣3， ，
1
∴点B的坐标为 ，
∴OA＝OC，∠CAO＝45°，∵DE∥AC，
∴∠EDB＝45°，
∴△DEF为等腰直角三角形， ，
∵点E在抛物线 上，
∴设 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时，EF的最大值为 ，
∴DE的最大值为 ；
（3）设 ，
情况一：当CE∥AD时，过点E作EF⊥x轴于点F， ，
∵ ， ，
∴ ，
解得m ＝0（舍去）， ，
1
∴ ，DF＝EF＝3，
∴ ， ；
情况二：当CD∥AE时，过点E作EF⊥x轴于点F， ，∵ ， ，
∴ ，
解得 （舍去），m ＝6，
2
∴F（6，0），D（9，0），
综上所述，点D的坐标为 或（9，0）．
20．综合与探究
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过△ABC的三个顶点，若这三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B
（3，0），C（0，﹣2）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接CP和BP，当△BCP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）若N是x轴上的一个动点，在抛物线上是否存在点M，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c，解方程组即可得到结论；
（2）过P作PQ⊥x轴于H交BC于F，过点C作CQ⊥PH于Q，如图：设直线BC的解析式为y＝mx+n
（m≠0），把B（3，0），C（0，﹣2）代入解方程组得到直线BC的解析式为y＝ x﹣2，设P（t，
t2﹣ t﹣2），则F（t， t﹣2），求得PF＝（ t﹣2）﹣（ t2﹣ t﹣2）＝﹣ t2+2t，根据三角形 打
麻将公式得到S△BCP ＝﹣（t﹣ ）2+ ，根据二次函数的性质即可得到结论；（3）设N（n，0），M（m， m2﹣ m﹣2），①当AM和CN为平行四边形对角线时，②当AN和
CM为平行四边形对角线时，③当AC和NM为平行四边形对角线时，根据平行四边形的性质列方程组
即可得到结论．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得 ，
∴二次函数的解析式为y＝ x2﹣ x﹣2；
（2）过P作PQ⊥x轴于H交BC于F，过点C作CQ⊥PH于Q，如图：
设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
把B（3，0），C（0，﹣2）代入得 ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝ x﹣2，
设P（t， t2﹣ t﹣2），则F（t， t﹣2），
∴PF＝（ t﹣2）﹣（ t2﹣ t﹣2）＝﹣ t2+2t，
∴S△BCP ＝S△CPF +S△BPF ＝ （ t2+2t）•t+ （ t2+2t）（3﹣t）＝﹣m2+3m＝﹣（t﹣ ）2+ ，
∵﹣1＜0，0＜t＜3，∴当t＝ 时，S△BCP 取最大值，最大值为 ，
当t＝ 时， t2﹣ t﹣2＝﹣
∴△BCP的面积最大时P点坐标为（ ，﹣ ）；
（3）设N（n，0），M（m， m2﹣ m﹣2），
①当AM和CN为平行四边形对角线时，
此时 ，
解得m＝0（舍去）或m＝2，
∴M（2，﹣2），
②当AN和CM为平行四边形对角线时，
此时 ，
解得m＝1﹣ 或1+ ，
∴M（1+ ，2）或（1﹣ ，2）；
③当AC和NM为平行四边形对角线时，
此时 ，
解得m＝0（舍去）或m＝2，
∴M（2，﹣2）；
综上所述，点M的坐标为（2，﹣2）或（1+ ，2）或（1﹣ ，2）．
类型五：角度问题
21．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+2与x轴交于两点 ，B（点A在B左
边），交y轴于C，点 是抛物线上一点．（1）求抛物线的关系式；
（2）在对称轴上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；
（3）如图2，抛物线上是否存在点Q，使∠QCP＝45°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说
明理由．
【分析】（1）根据待定系数法，将点A，点P代入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方程组，即
可求得抛物线的解析式；
（2）由对称可得，直线BC与对称轴的交点就是所求的点M，求出直线BC的关系式和对称轴，求出交
点坐标即可；
（3）分两种情况：当Q在PC下方或当Q在PC上方，构造等腰直角三角形和全等三角形求解即可．
【解答】解：（1）将点 ， 代入y＝ax2+bx+2，
得： ，
解得：
∴抛物线的解析式为 ；
（2）当x＝0时，y＝2，
∴点C（0，2），
当y＝0时，有 ，
解得： ，x ＝4，
2
∴点B（4，0），
∴抛物线的对称轴为：直线 ，
设直线BC的关系式为y＝kx+2，把点B坐标代入，得：0＝4k+2，解得， ，
∴直线BC的关系式为 ，
由对称可得，直线BC与对称轴交点就是所求的点M，
当 时， ，
∴ 时，MA+MC最小；
（3）当 Q 在 PC 下方时，如图，过 P 作 PH⊥CQ 于 H，过 H 作 MN⊥y 轴，交 y 轴于 M，过 P 作
PN⊥MH于N，
∴∠PHC＝∠CMH＝∠HNP＝90°，
∵∠QCP＝45°，
∴△PHC是等腰直角三角形，
∴CH＝HB，
∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，
∴∠CHM＝∠HPN，
∴△CHM≌△HPN（AAS），
∴CM＝HN，MH＝PN，
∵H（m，n），
∵C（0，2）， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
设直线CH的解析式为 y＝px+q，
∴ ，解得 ，∴直线CH的解析式为 ，
联立直线CH与抛物线解析式得 ，
解得 或 ，
∴ ；
②当Q在PC上方时，如图，过 P作．PH⊥CQ于H，过H作．MN⊥y轴，交y轴于M，过P作
PN⊥MH于N，
同理得 ．
综上，存在，点Q的坐标为 或 ．
22．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0）、B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，
顶点为D，连接CD，点P为抛物线上一动点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若点P在直线BC的下方运动时，过点P作PE⊥BC交于点E，过点P作y轴的平行线交直线BC
于点F．求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标．
（3）在该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD．若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，
请说明理由．【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）运用待定系数法可得直线BC的解析式为：y＝x+1．设点P（t，t2+6t+5），则F（t，t+1），PF＝
﹣t2﹣5t﹣4，再证得△PEF是等腰直角三角形，得出PE＝EF＝ PF，设△PEF的周长为1，则l＝
PE+EF+PF＝﹣（ +1）[（t+ ）2﹣ ]，运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线过A（﹣5，0）、B（﹣4，﹣3）两点，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5；
（2）令y＝0，得x2+6x+5＝0，
解得：x ＝﹣5，x ＝﹣1，
1 2
∴C（﹣1，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+d，则 ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为：y＝x+1．
设点P（t，t2+6t+5），则F（t，t+1），
∴PF＝（t+1）﹣（t2+6t+5）＝﹣t2﹣5t﹣4，
如图，过点B作BG⊥x轴于G，则∠BGC＝90°，
∵B（﹣4，﹣3），C（﹣1，0），
∴BG＝3，CG＝﹣1﹣（﹣4）＝3，
∴BG＝CG，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴∠CBG＝45°，
∵PF∥y轴，BG∥y轴，∴PF∥BG，
∴∠PFE＝∠CBG＝45°，
∵PE⊥BC，
∴∠PEF＝90°，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE＝EF＝ PF，
设△PEF的周长为1，
则l＝PE+EF+PF＝（ +1）PF＝（ +1）（﹣t2﹣5t﹣4）＝﹣（ +1）[（t+ ）2﹣ ]，
∴当t＝﹣ 时，周长1最大，最大值为： ，此时点P为（﹣ ，﹣ ）；
（3）存在．连接BD，
∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
∴抛物线的顶点为D（﹣3，﹣4），
∴ BD ＝ ＝ ， BC ＝ ＝ 3 ， CD ＝
＝2 ，
∵BC2+BD2＝（3 ）2+（ ）2＝20＝CD2，
∴∠CBD＝90°，
（i）当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴CM＝BM，∵∠BCD+∠BDC＝∠PBC+∠PBD＝90°，
∴∠PBD＝∠BDC，
∴DM＝BM，
∴CM＝DM，
∴点M是CD的中点，
∴M（﹣2，﹣2），
设直线BP的解析式为y＝k′x+b′，则 ，
解得： ，
∴直线BM的表达式为：y＝ x﹣1，
由x2+6x+5＝ x﹣1，
解得：x ＝﹣4（舍去），x ＝﹣ ，
1 2
此时点P（﹣ ，﹣ ）．
（ii）当点P在直线BC上方时，如图，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴BP∥CD．
设直线CD的解析式为y＝mx+n，把点C、D的坐标代入得： ，解得： ，
∴直线CD的解析式为y＝2x+2，
设直线BP的解析式为y＝2x+t，把点B的坐标代入得：﹣3＝2×（﹣4）+t，
解得t＝5，
∴直线BP的表达式为 y＝2x+5，
联立得x2+6x+5＝2x+5，
解得x＝﹣4（舍去）或 x＝0，
∴此时点P（0，5）．
综上，存在点P，使得∠PBC＝∠BCD．点P的坐标为（﹣ ，﹣ ）或（0，5）．
23．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）与x轴交于A、B（A在B的左边），A（﹣1，0）与y轴负半轴
交于C，且OC＝3OA．
（1）求a，c的值；
（2）如图1，点D是抛物线y＝ax2﹣2ax+c在第四象限内图象上一点，点P是y轴上一点，P点坐标是
（0，﹣7），点D是直线PD与该抛物线唯一的公共点，直线y＝tx﹣2t+3（t≠0）与该抛物线交于M，
N两点，若S△DMN ＝6 ，
①求出D点的坐标；
②求出t的值．
（3）在（2）的条件下，如图2，连接AD和BC，在抛物线上是否存在点Q使∠QBC+∠ADP＝180°，
若存在，求出Q点坐标，若不存在请说明理由．
【分析】（1）先求出A、C两点的坐标，再将A、C两点的坐标代入y＝ax2﹣2ax+c中，利用待定系数
法即可求出a、c的值；
（2）①由a＝1，c＝﹣3得抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．设PD：y＝k x﹣7，联立y＝x2﹣2x﹣3
1
和y＝k x﹣7得一元二次方程，由Δ＝0可求出k 的值，进而求出D点的坐标．
1 1
②过点D作y轴的平行线交MN于点E，求出E点坐标是（2，3），则可得DE＝6．设M，N两点的横坐标是m，n，联立y＝x2﹣2x﹣3和y＝tx﹣2t+3，可得x2﹣（2+t）x+2 t﹣6＝0，则可得m+n＝2+t，mn
＝2 t﹣6，进而可得|m﹣n|的值， ，即可求出t的值．
（3）由A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）可得∠OCB＝∠HAD＝45°、 ，又由
∠QBC+∠ADP＝180°，∠ADF+∠ADP＝180°，得∠QBC＝∠ADF，则可得△CGB≌△AFD，则
，则可得 ．求出直线BQ的表达式为 ，再与抛物线y＝x2﹣2x﹣3联立，
求出交点坐标，即可得Q点的坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵OC＝3OA，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
把A（﹣1，0），C（0，﹣3）分别代入y＝ax2﹣2ax+c中得：
，
解得：a＝1，c＝﹣3．
（2）①∵a＝1，c＝﹣3，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
设：PD：y＝k x﹣7，
1
联立 ，
则x2﹣（2+k ）x+4＝0，
1
∵两个函数只有唯一公共点，
∴Δ＝0，
∴ ，
解得：x2﹣4x+4＝0k ＝2或﹣6，
1
∵点D在第四象限，
∴k ＞0，
1
∴k ＝2，
1
∴ ，
解得x＝2，y＝﹣3，
∴D（2，﹣3）；
②过点D作y轴的平行线交MN于点E，∵D（2，﹣3），
∴E点横坐标是2，
∴E点坐标是（2，3），
∴DE＝6，
设：M，N两点的横坐标是m，n，
联立 ，
得：x2﹣（2+t）x+2 t﹣6＝0，
则m+n＝2+t，mn＝2 t﹣6，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
两边平方得t2﹣4t﹣12＝0，
∴t ＝﹣2，t ＝6；
1 2
（3）延长PD交x轴于点F，过D点作DH⊥x轴于H点，设BQ与y轴的交点为G点，如图2，将y＝0代入PD直线的解析式y＝2x﹣7中得：x＝3.5，
∴得F（3.5，0），
由y＝x2﹣2x﹣3＝0得：x ＝﹣1，x ＝3
1 2
∴A（﹣1，0），B（3，0），
又∵C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝45°， ，
∵DH⊥x，且D（2，﹣3），
∴DH＝AH＝3，
∴∠HAD＝45°， ，
∴∠OCB＝∠HAD，BC＝AD，
∵∠QBC+∠ADP＝180°，∠ADF+∠ADP＝180°，
∴∠QBC＝∠ADF，
∴△CGB≌△AFD（ASA），
∴CG＝AF，
∵AF＝3.5﹣（﹣1.5）＝4.5，
∴CG＝4.5，
∴ ，
∴ ，
设直线BQ的表达式为： ，
则 ，
解得 ，∴直线BQ的表达式为： ，
联立 ，
得 ， ，
∵B（3，0），
∴ ．
