文档内容
专题 03 二次函数与几何图形
类型一：线段的最值问题
类型二：面积的最值问题
类型三：特殊三角形的存在性问题
类型四：平行四边形的存在性问题
类型五：角度问题
类型一：线段的最值问题
1．综合与探究
如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，
0），且 OA＝OC，E是线段OA上的一个动点，过点E作直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别
于点D、F．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段DF有最大值，并写出最大值为多少；
2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4），对5
称轴为直线x= ．
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BC，若点M是线段BC上一动点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴，交抛物
线于点N，连接ON，当MN的长度最大时，判断四边形OCMN的形状并说明理由；
3
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=− ．
2已知点B（1，0），C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）E是线段AC上的一个动点，过点E作ED⊥x轴，延长DE交抛物线于点F，求线段EF的最大值
及此时点E的坐标．
4．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），
AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF
的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF ；
5．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别
为A（﹣2，0），B（5，0），点C在抛物线上，且直线AC与x轴形成的夹角
为45°．（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，求点P到直线AC距离的最大值；
6．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴直
线x＝2，已知经过B、C两点直线解析式为y＝﹣x+5．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图 1，点 E 为直线 BC 上方抛物线上的一点，过点 E 作 EF⊥x 轴于 F，交 BC 于点 M，作
EG⊥BC于G．求△EGM周长的最大值，以及此时点E的坐标；
7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线
l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣
6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点
F，求PE+PF的最大值；
类型二：面积的最值问题
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+8与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y＝x﹣t
过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线
交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
5
2．如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点 A（﹣3，2），B（0，﹣2），其对称轴为直线x= ，
2
1
C(0， )为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D．
2
（1）求抛物线的解析式；（2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积；
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，点B的坐标为(❑√2，0)，抛物线与y轴交于点C
3❑√2
（0，﹣2❑√2），对称轴为直线x=− ，连接AC，过点B作BE∥AC交抛物线于点E．
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P是线段 AC 下方抛物线上的一个动点，过点 P作PF∥y轴交直线 BE于点 F，过点 F作
FD⊥AC交直线AC于点D，连接PD，求△FDP面积的最大值及此时点P的坐标；
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B
（1，0）两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与
A、D重合）．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值；
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，OA＝3，OC＝4，抛物
线y＝ax2+bx+4经过点B，且与x轴交于点D（﹣1，0）和点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接 CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的
坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；
6．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为
C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
2
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）与y轴交于点
3
C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点 P是直线 BC 下方抛物线上的任意一点，连接 PB，PC，以 PB，PC 为邻边作平行四边形
CPBD，求四边形CPBD面积的最大值；
类型三：特殊三角形的存在性问题
1 5
1．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x﹣1与抛物线y=− x2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，
2 12
点B的横坐标为﹣6，点P是抛物线上位于直线AB上方的一动点（不与点A，B重合）．
（1）求该抛物线的解析式；（2）连接PA，PB，在点P运动的过程中，是否存在某一位置，使得△PAB恰好是一个以点P为直角顶
点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
2．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的
平行线交二次函数的图象于M、N两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；
3．如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A、B（3，0）两点，与y
轴交于点C（0，3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶
点的三角形为直角三角形？若存在，试求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1
4．如图，抛物线y=− x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，
2
已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P
点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置
时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴
交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AC的解析式；（3）试探究：在抛物线上是否存在一点P，使△APC是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出
符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，
1
3），它的对称轴是直线x=− ．
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标；（3）一动点P在线段BC上方（不与点B，C重合）的抛物线上运动，是否存在点P，使得△PBC的面
积最大，若存在，求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；如不存在，请说明理由．
类型四：平行四边形的存在性问题
1．如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于点A、B，交y轴于点C，直线y＝x﹣5
经过B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M，当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A、M、P、Q为顶点的四边形是
平行四边形，求点P的横坐标；
2 10
2．如图，直线y=− x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+ x+c经过B、C两点．
3 3
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上
的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请
直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C
（0，8）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，则△ACD的面积为 ；
（3）点P是坐标平面内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝8，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）
的图象经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点
D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，E为AC直线上一动点，F为对称轴上一动点，当A，P，E，F四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求E点的坐标．
5．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其
顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意
一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四
边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛
物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
9
（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是 时，求△ABD的面
2
积；
（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，
是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
类型五：角度问题
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物
线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长；2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C，且
AB＝4，OB＝OC．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线x＝2上是否存在点M，使∠BMA＝2∠MAB？若存在，求M点坐标；
1 1
3．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=− x2+bx+c经
2 2
过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；
S
1
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S ，△BCE的面积为S ，求 的最大
1 2 S
2
值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC
的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另
一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小 值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得∠APB＝
∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
