文档内容
第 15 课 二次函数章末复习
目标导航
课程标准
(1)通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；
(2)会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
(3)会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问
题；
(4)会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
知识精讲
知识点01 二次函数的定义
一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数。
【注意】
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数。这里，当a=0时就不是二次函数了，但
b、c可分别为零，也可以同时都为零。a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
知识点02 二次函数的图象与性质
1．二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
① ；② ；③ ；④ ，
其中 ；⑤ .(以上式子a≠0)
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
( 轴) (0，0)
( 轴) (0， )
当 时
开口向上 ( ，0)
当 时
( ， )
开口向下
( )
2．抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点。(1) 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下； 相等，抛物线的
开口大小、形状相同.
(2)平行于 轴(或重合)的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .
3．抛物线 y ax2 bxc(a≠0)中，a,b,c的作用：
(1) 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.
(2) 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ，
故：① 时，对称轴为 轴；② (即 、 同号)时，对称轴在 轴左侧；③ (即 、 异
号)时，对称轴在 轴右侧.
(3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.
当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点(0， )：
① ，抛物线经过原点； ② ，与 轴交于正半轴；③ ，与 轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .
4．用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式： (a≠0).已知图象上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.
(2)顶点式： (a≠0).已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成 的图象
平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：
(a≠0).(由此得根与系数的关系： ).
【注意】
y ax2 bxc
求抛物线 (a≠0)的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种
方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
知识点03 二次函数与一元二次方程的关系
函数 ，当 时，得到一元二次方程 ，那么一元二次
方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方
程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时 ，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时 ，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时 ，则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
方程有两个相等实数解
方程有两个不等实数解 方程没有实数解
的解
【注意】
二次函数图象与x轴的交点的个数由 的值来确定.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时 ，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时 ，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时 ，则方程没有实根。
知识点04 利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、
内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意
自变量的取值范围应具有实际意义。
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
【注意】
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、桥梁、抛物线的模型问题等.解决这
些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
能力拓展
考法01 求二次函数的解析式【典例1】已知二次函数 经过点 ，且函数最大值为4，则a的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵二次函数 经过点 ，且函数最大值为4，
∴ 且 ．
解得 ．
故选B．
【即学即练】已知二次函数的图像过点 ，图像向右平移1个单位后以y轴为对称轴，图像向上平移3
个单位后与x轴只有一个公共点，则这个二次函数的解析式为( ).
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设 ，
∵图像向右平移1个单位后以y轴为对称轴，
∴ ，
∵图像向上平移3个单位后与x轴只有一个公共点，
∴ ，
，
代入点 ，得 ，
解得 ，
，
故选：C．
【典例2】如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于A， 两点 ，则该抛
物线的解析式是____．
【答案】
【详解】当 时， ，∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
将 ， 代入 得，
，
解得 ，
∴该抛物线的解析式是 ．
【即学即练】已知二次函数 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … －1 0 1 …
y … …
则该二次函数解析的一般式为___．
【答案】
【详解】解：将点 ， ， 代入 中，得
解得， ，
则二次函数的解析式为： ，
故答案为： ．
考法02 根据二次函数图象及性质判断代数式的符号
【典例3】已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论①abc＜0；②3a+b＞﹣ c；③2c＜3b；④(k+1)(ak+a+b)≤a+b，其中正确的是( )
A．①③④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【答案】A
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴是直线x＝1，
∴﹣ ＝1，即b＝﹣2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
由图象可知，x＝3时y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∴3a+b＜﹣ c，故②错误；
∵9a+3b+c＜0，b＝﹣2a，
∴﹣ b+3b+c＜0，
∴2c＜3b，故③正确，
∵x＝1时，y＝a+b+c是函数的最大值，
∴a(k+1)2+b(k+1)+c≤a+b+c，
∴a(k+1)2+b(k+1)≤a+b，
∴(k+1)(ak+a+b)≤a+b，
故④正确，
∴正确的有①③④，
故选：A．
【即学即练】抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞
0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b＋c＝0；④若点(﹣0.5，y)，(﹣2，y)均在抛物线上，则y＞y；其中正确的
1 2 1 2
个数有( )A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】解：由图象可知a＞0，c＜0，
∵对称轴为x＝﹣1，
∴b＝2a，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵图象与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵图象与x轴的一个交点是(1，0)，
∴与x轴的另一个交点是(﹣3，0)，
∴9a﹣3b＋c＝0，故③正确；
∵(﹣2，y)到对称轴x＝﹣1的距离是1，(﹣0.5，y)到对称轴x＝﹣1的距离是0.5，
2 1
∴y＜y；故④错误；
1 2
综上分析可知，②③正确，故A正确．
故选：A．
【典例4】如图，二次函数 的图象经过A(1，0)，B(5，0)，以下结论：① ②
③ ④图象的对称轴是直线 ，正确的是_________
【答案】④
【详解】解：由图象可知： ，故①错误；
∵二次函数 的图象经过A(1，0)，B(5，0)，
∴ ，故②错误；根据二次函数的对称性可知抛物线的对称轴为直线 ，故④正确；∴由图象可知当x=-1时，则 ，故③错误；
∴正确的有④；
故答案为④．
【即学即练】已知平面直角坐标系中，抛物线 (a，b，c是常数， )经过点 和
，当 时， ．有下列结论：
①抛物线开口向上；
②关于x的方程 有两个不相等的实数根；
③当 时，y随x的增大而减小；
④ ．
其中正确结论的序号是_____________．
【答案】①④
【详解】根据题意把点的坐标和x=2时y>1代入抛物线表达式，得：
，
解得： ，
∵a>1，
∴抛物线开口向上，①正确；
∵方程 的 ，b>-1，
∴ ，方程可能有两个相等的实数根，②错误；
∵抛物线的对称轴为 ，a>1，
∴
∴当 时，y不一定随x的增大而减小，③错误；
∵ ，b>-1，
∴ ，④正确
故答案为：①④．
考法03 函数与一元二次方程
【典例5】小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如图所示二次函数y＝ax2+bx+c的图象，并求
得一个近似根为x＝﹣4.3，则方程的另一个近似根为( )(精确到0.1)A．x＝4.3 B．x＝3.3 C．x＝2.3 D．x＝1.3
【答案】C
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣4.3，0)，又抛物线的对称轴为：x＝﹣1，
∴另一个交点坐标为：(2.3，0)，
则方程的另一个近似根为x＝2.3，
故选：C．
【即学即练】二次函数 的部分图像如图所示，可知方程 的所有解的积为( )
A．－4 B．4 C．5 D．－5
【答案】D
【详解】解：由图象可知对称轴为 ，与x轴的一个交点横坐标是5，
∵交点到对称轴的距离是3个单位，
∴另外一个交点的横坐标是﹣1，
∴ .
故选：D.
【典例6】二次函数 的图象与 轴的交点坐标为________．
【答案】
【详解】解：对于二次函数 ，
当 时， ，
则二次函数 的图象与 轴的交点坐标为 ，
故答案为： ．
【即学即练】已知二次函数 ，过 ， ，假设 ，则 ， 的大
小关系是______．【答案】
【详解】解： 二次函数 ，
该函数的图象开口向下，对称轴是直线 ，
，
，
故答案为： ．
考法04 二次函数与实际问题
【典例7】如图，某拱形门建筑的形状时抛物线，拱形门地面上两点的跨度为192米，高度也为192米，
若取拱形门地面上两点的连线作x轴，可用函数 表示，则a的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，若取拱形门地面上两点的连线作x轴，两点的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A(96，0)，
可设抛物线的解析式为 ，
将A(96，0)代入，得： ，
解得： ，
所以，该抛物线的解析式为 ，
故选：D．
【即学即练】如图，在 中， ， ， ， ，垂足为点 ，动
点 从点 出发沿 方向以 的速度匀速运动到点 ，同时动点 从点 出发沿射线 方向以
的速度匀速运动．当点 停止运动时，点 也随之停止，连接 ，设运动时间为 ， 的面
积为 ，则下列图象能大致反映 与 之间函数关系的是( )A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ，
∴∠B＝60°， ， ，
∵CD⊥AB，
∴ ， ， ，
∴当M在AD上时，0≤t≤3，
， ，
∴ ，
当M在BD上时，3＜t≤4，
，
∴ ，
故选：B．
【典例8】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，以B为原点、AB所在水平线为x轴建
立坐标系，拱桥对应抛物线的解析式为______．
【答案】 (或 )
【详解】解：以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，
由题意得A(-4，0)，顶点(-2，2)，设抛物线的解析式为：
把A(-4，0)代入，得
4a＝﹣2，解得a ，
所以抛物线解析式为 ．
故答案为： ．
【即学即练】小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第x分钟时，小丽、小明离B地
的距离分别为 米、 米，y 与x之间的函数表达式是 ＝﹣180x+2250， 与x之间的函数表达式是
1
＝﹣10 ﹣100x+2000．小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人之间的最近距离为 ___米．
【答案】90
【详解】解：设小丽出发第x min时，两人相距s m，则
，
∴当x＝4时，s取得最小值，此时最小值s＝90，
答：小丽出发第4min时，两人相距最近，最近距离是90m．
故答案为：90．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是( )
A．y＝4x+2 B． C． D．y＝
【答案】C
【详解】解：A．y=4x+2，是一次函数，故A不符合题意；
B． ，当a≠0时，才是二次函数，故B不符合题意；
C． ，是二次函数，故C符合题意；
D．y＝ ，等号右边是分式，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：C．
2．把抛物线 向上平移 个单位，向右平移 个单位，得到( )
A． B． C． D．【答案】D
【详解】抛物线 向上平移1个单位，可得 ，再向右平移2个单位得到的抛物线是
．
故选：D．
3．二次函数 中， 的取值范围是( )
A． B． C． D．一切实数
【答案】C
【详解】解：∵函数 是二次函数，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
4．对二次函数y＝x2﹣2x的图像性质描述，正确的是( )
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．对称轴右侧图像呈下降趋势
【答案】C
【详解】解：y=x2-2x=(x-1)2-1，
A．由a=1＞0可知抛物线开口向上，此选项错误；
B．抛物线的对称轴为直线x=1，此选项错误；
C．当x=0时，y=0，即此抛物线经过原点，此选项正确；
D．由a＞0且对称轴为直线x=1知，当x＞1，即对称轴右侧时，y随x的增大而增大，此选项错误；
故选：C．
5．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度
GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是( )
A．y＝2.4(1+2x) B．y＝2.4(1-x)2
C．y＝2.4(1+x)2 D．y＝2.4+2.4(1+x)+2.4(1+x)2
【答案】C
【详解】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，
则y关于x的函数表达式是：y=2.4(1+x)2．
故选：C．
6．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度 与水流时间 之间的解析
式为 ，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是( )
A． B． C． D．【答案】B
【详解】在h＝30t−5t2中，令h＝0可得30t−5t2＝0，
解得：t＝0或t＝6，
所以水流从抛出至落到地面所需要的时间是6s，
故选：B．
7．若 是关于 的二次函数，则 的值为____．
【答案】2
【详解】解：由题意可知 m2-2=2，m+2≠0，
解得：m=2．
故答案为：2．
8．如图所示，抛物线 与 轴的两个交点分别为A和 ，当 时， _________．
【答案】-1或2##2或-1
【详解】根据题意，得 ，
∵抛物线 与 轴的两个交点分别为A和
∴当 时， -1或2
故答案为：-1或2．
9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点 ，与x轴交于点A、B(点A
在点B左侧)．
(1)求二次函数的解析式及顶点坐标；
(2)根据图象直接写出当y＞0时，自变量x的取值范围．
【答案】(1) ， ；(2) 或 ．
【详解】解：(1)将 代入 得，
，
，，
顶点坐标为 ；
(2)令 得 ，
解得 ， ，
， ，
当 时，自变量 的取值范围是 或 ．
10．普洱茶是中国十大名茶之一，也是中华古老文明中的一颗瑰宝．某公司经销某种品牌普洱茶，每千克
成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，部分数据如
下表所示，
销售单价x(元/千克) 56 65 75
销售量y(千克) 128 110 90
解答下列问题：
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求这一周销售这种品牌普洱茶获得的利润W元的最大值；
(3)物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，公司想获得不低于2000元周利润，请计算销售单价范
围．
【答案】(1) ；(2)2450元；(3)
【详解】解：(1)设y与x的函数关系式为 ，把 和 分别代入得：
解得： ．
∴y与x的关系式为 ；
(2)由题意知： ，
∴W与x的关系式为： ，
∴ ，
∴当 时，在 内，W的值最大为2450元
(3)若公司想获得不低于2000元周利润，则 ，
解得 ，所以当 时， ，
又∵物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，
∴销售单价范围为： ．
题组B 能力提升练
1．已知函数 的图像与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A．k<4 B．k≤4 C．k<4，且k≠3 D． k≤4且k≠3【答案】B
【详解】解：当 ，即 时，
函数 的图像与x轴有交点，
∴ ，
解得： ；
当 ，即 时， 与x轴有交点，
综上所述，k的取值范围是 ．
故选：B
2．已知y=(m+2) +2是关于x的二次函数，那么m的值为( )
A．-2 B．2 C．±2 D．0
【答案】B
【详解】解：∵y=(m+2) +2是y关于x的二次函数，
∴|m|=2且m+2≠0，
解得m=2，
故选：B．
3．已知抛物线 过A(－2， )，B(－3， )，C(2， )三点，则y、y、y 大小关系是( )
1 2 3
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向下，
∵抛物线 过A(－2， )，B(－3， )，C(2， )，点C离对称轴最远，点A离对称轴最近，
∴ ，
故选：A．
4．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是
，那么小球的高度和小球的运动时间的图象是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： ，令h=0， ，
解得：t=0或6，
∴小球的高度和小球的运动时间的图象是开口向下，位于x轴上方抛物线的一段，且顶点坐标为(3，45)，
∴B选项图象符合题意．
故选：B
5．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(﹣1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0，2)、(0，
3)之间(包含端点)，则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a＋b＞0；③﹣1≤a≤ ；④3≤n≤4中，其中正
确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为(1，n)，
∴对称轴直线是x=1，
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3，0)，
观察图象得：当x>3时，y<0，故①正确；
②观察图象得：抛物线开口方向向下，
∴a<0，
∵对称轴 ，
∴ ，
∴ ，即3a＋b＜0，故②错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(-1，0)，(3，0)，
∴方程ax2+bx+c=0的两根为-1，3，
∴ ，即 ，
∵抛物线与y轴的交点在(0，2)、(0，3)之间(包含端点)，
∴ ，
∴ ，即 ，故③正确；
∵ ， ，∴ ，
∵顶点坐标为(1，n)，
∴当x=1时， ，
∵ ，
∴ ，即 ，故④错误；
综上所述，正确的有①③，共2个．
故选：B
6．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|(a≠0，b2﹣4ac＞0)的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了
“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象(如图所示)，下列结论错误的是( )
A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1 B．当﹣13时，函数值y随x值的增大而增大
C．当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0 D．当x＝1时，函数的最大值是4
【答案】D
【详解】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线 ，故A正确；
令 可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 和 是函数图象与x轴的交点坐标，
又∵对称轴是直线 ，
∴当 或 时，函数值y随x值的增大而增大，故B正确；
由图象可知 和 是函数图象的最低点，则当 或 时，函数最小值是0，故C正确；
由图象可知，当 时，函数值随x的减小而增大，当 时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶
点坐标的函数值，
故当 时的函数值4并非最大值，故D错误，
综上，只有D错误；
故选：D．7．若抛物线 的对称轴是直线x=4，则m的值为__．
【答案】-8
【详解】对称轴 ，
所以 ．
故答案为：-8
8．把二次函数 的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的解析式为
，则 ______．
【答案】7
【详解】解：平移后的函数解析式为： ，
根据平移方式可知，平移后的图像向上平移2个单位，向左平移3个单位可得原图像，
∴原函数解析式为： ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：7．
9．如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面2米时，水面宽4米．如图建立平面直角坐标系，解答下列
问题：
(1)如图2，求该抛物线的函数解析式．
(2)当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？(保留根号)
(3)当水面AB上升1米时，水面宽度减少多少米？(保留根号)
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】(1)解：根据题意可设该抛物线的函数解析式为 ，∵当拱顶高水面2米时，水面宽4
米．∴点A(-2，-2)，B(2，-2)，把点A(-2，-2)代入得： ，解得： ，∴该抛物线的函数解析式为 ；
(2)解：∵水面AB下降1米，到CD处，∴点D的纵坐标为-3， 当y=-3时， ，解得： ，
∴此时水面宽度为 米，∴水面宽度增加 米；
(3)解：当水面AB上升1米时，水位线对应的纵坐标为-1，当y=-1时， ，解得： ，∴此
时水面宽度为 米，∴水面宽度减少 米．
10．如图，已知二次函数的图象经过点 、 和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点
P作x轴的垂线，垂足为 ，并与直线OA交于点C．
(1)求出二次函数的解析式；
(2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
(3)当 时，探索是否存在点P，使得 为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请
说明理由．
【答案】(1)y=-x2+4x
(2)
(3)存在，点P的坐标为 或 或(5，-5)或(4，0)
【详解】(1)解∶∵二次函数的图象经过点 和原点O．
∴可设二次函数的解析式为y=ax(x-4)，
把点A(3，3)代入，得：3=3a(3-4)，
解得：a=-1，
∴二次函数的解析式为y=- x(x-4)=-x2+4x；
(2)解：根据题意得：0
