文档内容
专题 22.2 二次函数 y=ax2的图象与性质
教学目标
y=ax2
1. 掌握 型二次函数的图象与性质，能够熟练解决有关题目。
1. 重点
y=ax2
（1） 型二次函数的图象；
教学重难点 y=ax2
（2） 型二次函数的性质；
2. 难点
（1）利用二次函数的图象与性质判断二次函数图象上的点的函数值的大小关系；
知识点01 y=ax2的图象
1. 二次函数的图象：
二次函数的图象是一条 抛物线 ，有 开口方向 ， 顶点 ， 对称轴 。函数图象关
于对称轴对称。y=ax2
2. 二次函数 的图象
（1）画函数图象的步骤：
①列表：列出 自变量 与 相应函数值 的表格。
②描点：在平面直角坐标系中找到相应的点的 位置 。
③连线：用一条圆滑的曲线把所有点连接起来。
1 1
y=2x2 、y=−2x2 、y= x2 、y=− x2
2 2
（2）画二次函数 的函数图象。
列表：
描点与连线：在同一个坐标轴画出函数图象（自行画图）
知识点02 y=ax2的性质
y=ax2
1. 二次函数 的性质：
由函数的图象可知二次函数的有关性质：
y=ax2 (a≠0) a＞0 a＜0大致图象
开口方向 开口向上 开口向下
a的绝对值越大，开口越 小
开口大小
a的绝对值越小，开口越 大
顶点坐标 （ 0 ， 0 ）
y 轴 y 轴
对称轴 离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越远的函数值越 小
离对称轴越近的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大
对称轴右边y随x的增大而 增大 对称轴右边y随x的增大而 减小
。 。
增减性
对称轴左边y随x的增大而 减小 对称轴左边y随x的增大而 增大
。 。
函数值有最 小 值 函数值有最 大 值
最值
这个值是 0 。 这个值是 0 。
【即学即练1】
1．下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：二次函数y＝x2的图象是开口向上，顶点在原点的一条抛物线，
故A符合题意，
故选：A．
【即学即练2】1
2．在同一坐标系中，作y＝2x2，y＝﹣2x2，y= x2的图象，他们共同的特点是（ ）
2
A．都关于y轴对称，抛物线开口向上
B．都关于y轴对称，抛物线开口向下
C．都关于原点对称，抛物线的顶点都是原点
D．都关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
【答案】D
1
【解答】解：∵函数y＝2x2，y＝﹣2x2，y = x2中，a取值范围分别为：a＞0，a＜0，a＞0，
2
∴抛物线的开口方向分别为：向下、向下、向上，即开口方向不同；
1
由函数y＝2x2，y＝﹣2x2，y= x2的解析式可知：顶点坐标都为（0，0）；
2
∴他们共同的特点是都关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点．
故选：D．
【即学即练3】
3．如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．比较a，
b，c，d的大小，用“＞”连接为 a ＞ b ＞ d ＞ c ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由抛物线的开口方向和大小可知，a＞b＞0，c＜d＜0，
∴a＞b＞d＞c，
故答案为：a＞b＞d＞c．
【即学即练4】
1
4．已知二次函数y=- x2，下列说法正确的是（ ）
2
A．该抛物线的开口向上
B．顶点坐标是（0，0）
1
C．对称轴是直线x=-
2
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【答案】B1
【解答】解：A、∵a=- ＜0，∴开口向下，故错误，不符合题意；
2
B、顶点坐标是（0，0），正确，符合题意；
C、对称轴为直线x＝0，故错误，不符合题意；
1
D、∵a=- ＜0，∴开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，故错误，不符合题意，
2
故选：B．
【即学即练5】
5．已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（2，y ）、B（﹣1，y ）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
1 2
A．y ＞0＞y B．y ＞0＞y C．y ＞y ＞0 D．y ＞y ＞0
1 2 2 1 1 2 2 1
【答案】C
【解答】解：∵抛物线y＝ax2（a＞0），
∴A（2，y ）关于y轴对称点的坐标为（﹣2，y ），
1 1
∵a＞0，
∴x＜0时，y随x的增大而减小，
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴y ＞y ＞0；
1 2
故选：C．
题型01 y=ax2的性质
【典例1】二次函数y＝ax2（a＞0）的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】A
【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线开口方向向上，
又∵抛物线的顶点坐标为（0，0），
∴一定经过第一二象限．
故选：A．
【变式1】抛物线y＝2x2的对称轴是直线（ ）
A．y＝0 B．y＝2 C．x＝1 D．x＝0
【答案】D
【解答】解：抛物线y＝2x2的对称轴为y轴，即直线x＝0．
故选：D．
2
【变式2】抛物线y= x2的开口向 上 ，对称轴为 y 轴 ；当x＝ 0 时，y有 最小 值，是
5
0 ．
【答案】见试题解答内容
2 2
【解答】解：∵抛物线y= x2的二次项系数 ＞0，b＝c＝0，
5 5
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，0）．
∴当x＝0时有最小值是0，
故答案为：上，y轴，0，小；
【变式3】已知抛物线y＝mxm2+1的图象是不在第一、二象限，则m＝ ﹣ 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵y＝mxm2+1表示抛物线解析式，
∴m2+1＝2，解得m＝±1，
又∵抛物线y＝mxm2+1的图象是不在第一、二象限，
∴抛物线开口向下，m＜0，故m＝﹣1．
【变式4】10．已知二次函数y＝（2﹣a）xa2-3，在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值
为（ ）
A．❑√5 B．±❑√5 C．-❑√5 D．0
【答案】C
【解答】解：由二次函数定义可知a2﹣3＝2且2﹣a＞0，解得a=-❑√5．
故选：C．
题型02 y=ax2的图象
【典例1】如图，函数y＝2x2的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵y＝2x2，
∴开口向上，对称轴为y轴，顶点为原点，
∴C选项符合，
故选：C．
【变式 1】夕夕用软件绘制抛物线 y＝4x2时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是（ ）
A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标
【答案】B
【解答】解：和原图象相比，发生改变的是开口大小，
故选：B．
【变式2】函数y＝ax﹣2与y＝ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：∵在y＝ax﹣2，
∴b＝﹣2，
∴一次函数图象与y轴的负半轴相交，
当a＞0时，二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，
当a＜0时，二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，
故选：A．
【变式3】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝
dx2．则a、b、c、d的大小关系为 a ＞ b ＞ d ＞ c ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），
（1，c），
所以，a＞b＞d＞c．
【变式4】当ab＜0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，ab＜0，
当a＞0时，b＜0，y＝ax2开口向上，过原点，y＝ax+b过一、三、四象限；
此时，A选项符合，
当a＜0时，b＞0，y＝ax2开口向下，过原点，y＝ax+b过一、二、四象限；
此时，没有选项符合．
故选：A．
题型03 y=ax2的图象上的点的特点
1
【典例1】若二次函数y＝ax2的图象经过点（2，﹣1），则a的值为 - ．
4
【答案】见试题解答内容
【解答】解：将（2，﹣1）代入y＝ax2得，
﹣1＝4a，
1
解得a=- ，
4
1
故答案为：- ．
4
【变式1】若点（0，y ），（1，y ），（2，y ）都在二次函数y＝x2图象上，则（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 1 3
【答案】A
【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝x2，
∴抛物线的开口向上，对称轴为y轴，
∴当x≥0时，y随x的增大而增大．
又∵点（0，y ），（1，y ），（2，y ）都在二次函数y＝x2图象上，且0＜1＜2，
1 2 3
∴y ＜y ＜y ．
1 2 3
故选：A．1
【变式2】已知点A（1，y ）、B（﹣2，y ）、C（-❑√2，y ）在函数y= x2 的图象上，则y 、y 、y 的
1 2 3 4 1 2 3
大小关系是 y ＜ y ＜ y ．
1 3 2
【答案】见试题解答内容
1 1
【解答】解：y = ×12= ，
1 4 4
1
y = ×（﹣2）2＝1，
2 4
1 1
y = ×（-❑√2）2= ，
3 4 2
所以y ＜y ＜y ．
1 3 2
故答案为：y ＜y ＜y ．
1 3 2
【变式3】若A（﹣2，y ），B（﹣1，y ），C（﹣3，y ）为二次函数y＝ax2（a＜0）的图象上的三点，
1 2 3
则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 3 2
【答案】C
【解答】解：∵二次函数y＝ax2中a＜0，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵﹣3＜﹣2＜﹣1，
∴y ＜y ＜y ．
3 1 2
故选：C．
【变式4】在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2的图象经过点M（x ，y ），N（x ，y ）两点，若﹣4＜
1 1 2 2
x ＜﹣2，0＜x ＜2，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．y ＜y B．y ≤y C．y ＞y D．y ≥y
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】C
【解答】解：抛物线y＝x2的对称轴为y轴，
而M（x ，y ）到y轴的距离比N（x ，y ）点到y轴的距离要远，
1 1 2 2
所以y ＞y ．
1 2
故选：C．
1．对于函数y＝6x2，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而减小
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大
【答案】B
【解答】解：∵a＝6＞0，对称轴为x＝0；
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
当x＜0时，y随x的增大而减小．
故选：B．
2．抛物线y＝x2与y＝﹣x2的图象的关系是（ ）
A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同
B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同
C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同
D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同
【答案】A
【解答】解：∵抛物线y＝x2与y＝﹣x2的二次项系数互为相反数，
∴其开口方向相反，顶点相同，对称轴相同，
故选：A．
1
3．下列关于函数y=- x2 的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点
2
（0，0），其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
1
【解答】解：①二次函数y=- x2 的图象是抛物线，正确；
2
1
②因为a=- ＜0，所以抛物线开口向下，正确；
2
③因为b＝0，所以对称轴是y轴，正确；
④顶点（0，0）也正确．
故选：D．
4．关于函数y＝3x2的性质的叙述，错误的是（ ）
A．对称轴是y轴
B．顶点是原点
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．y有最大值
【答案】D
【解答】解：∵函数y＝3x2的顶点在原点，
∴其对称轴是y轴，顶点是原点，故A、B正确；
∵函数y＝3x2的开口向上，顶点是原点，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，y有最小值，故C正确，D错误．
故选：D．
1
5．在同一坐标系中画出y ＝2x2，y ＝﹣2x2，y = x2的图象，正确的是（ ）
1 2 3 2
A． B．
C． D．
【答案】D
1
【解答】解：当x＝1时，y 、y 、y 的图象上的对应点分别是（1，2），（1，﹣2），（1， ），
1 2 3 2
可知，其中有两点在第一象限，一点在第四象限，排除B、C；
1
在第一象限内，y 的对应点（1，2）在上，y 的对应点（1， ）在下，排除A．
1 3 2
故选：D．
6．如图， O的半径为2，C 是函数y＝x2的图象，C 是函数y＝﹣x2的图象，则阴影部分的面积是（
1 2
）
⊙
A． B．2 C．4 D．都不对
【答案】B
π π π
【解答】解：∵C 是函数y＝x2的图象，C 是函数y＝﹣x2的图象，
1 2
∴两函数图象关于x轴对称，
∴阴影部分面积即是半圆面积，1
∴阴影部分的面积S= π×22=2 ．
2
故选：B． π
7．如图，当ab＞0时，函数y＝ax2与函数y＝bx+a的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：当a＞0时根据ab＞0得到b＞0，二次函数开口向上，一次函数交y轴的正半轴，且呈上
升趋势，没有符合题意的选项；
当a＜0时根据ab＞0得到b＜0，二次函数开口向上，一次函数交y轴的负半轴，且呈下降趋势，C选
项符合，D选项不符合，
故选：C．
8．已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x＝﹣3
【答案】B
【解答】解：设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，
{
c=4
{
a=5
把点（0，4），（1，﹣1），（2，4）代入可得 a+b+c=-1 ，解得 b=-10，
4a+2b+c=4 c=4
则二次函数解析式为y＝5x2﹣10x+4＝5（x﹣1）2﹣1，对称轴x＝1．
故选：B．
9．已知（﹣3，y ），（﹣2，y ），（1，y ）是抛物线上y＝﹣5x2的点，则（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 3 1 2 3 2 1 1 3 2
【答案】A
【解答】解：二次函数y＝﹣5x2的图象开口向下，对称轴是y轴，当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵（﹣3，y ），（﹣2，y ），（1，y ）是抛物线上y＝﹣5x2的点，
1 2 3
∴点（1，y ）是关于y轴的对称点是（﹣1，y ），
3 3
∵﹣3＜﹣2＜﹣1，
∴y ＜y ＜y ，
1 2 3
故选：A．10．如图，A、B分别为y＝x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB＝6，则直线AB的表达式为（ ）
A．y＝3 B．y＝6 C．y＝9 D．y＝36
【答案】C
【解答】解：∵线段AB⊥y轴，且AB＝6，
∴由抛物线的对称性可知，B点横坐标为3，
当x＝3时，y＝x2＝32＝9，
∴直线AB的表达式y＝9．
故选：C．
11．二次函数y＝（k+1）x2的图象如图所示，则k的取值范围为 k ＞﹣ 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，抛物线的开口方向向上，则k+1＞0，
解得k＞﹣1．
故答案为：k＞﹣1．
12．如图，正方形的边长为3，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数 y＝2x2与y＝﹣2x2
的图象，则图中阴影部分的面积是 4. 5 ．
【答案】4.5．
【解答】解：∵函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象关于x轴对称，
∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
而边长为3的正方形面积为9，所以图中的阴影部分的面积是4.5．
故答案为：4.5．
1
13．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2；②y= x2；③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛
2
物线对应的函数依次是（填序号） ①③② ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①y＝3x2，
1
②y= x2，
2
1
③y＝x2中，二次项系数a分别为3、 、1，
2
1
∵3＞1＞ ，
2
1
∴抛物线②y= x2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄．
2
故依次填：①③②．
14．抛物线y＝ax2与y＝x2的开口大小、形状一样、开口方向相反，则a＝ ﹣ 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵y＝x2的二次项系数是1，
抛物线y＝ax2与y＝x2的开口大小、形状一样、开口方向相反，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．已知二次函数y＝﹣x2，当x＞0时，y随x的增大而 减小 ．（填“增大”或“减小”）；
【答案】减小．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2的图象开口向下，对称轴为y轴，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小．
故答案为：减小．
16．已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8）
（1）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上？
（2）求点P（m，﹣6）在此抛物线上，求点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将点A（﹣2，﹣8）代入抛物线y＝ax2，可得4a＝﹣8，即a＝﹣2，
则y＝﹣2x2，
当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）2＝﹣2≠﹣4，
所以点B（﹣1，﹣4）不在此抛物线上；
（2）将P（m，﹣6）代入y＝﹣2x2，
得﹣6＝﹣2m2，
解得m＝±❑√3，
则点P的坐标为（❑√3，﹣6）或（-❑√3，﹣6）．
17．函数y＝ax2（a≠0）与直线y＝x﹣3交于点（1，b）
（1）求a，b的值；
（2）x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
（1）把（1，b）代入y＝x﹣3可得：b＝1﹣3＝﹣2，
∴点的坐标为（1，﹣2），
把（1，﹣2）代入y＝ax2可得﹣2＝a，即a＝﹣2，
∴a＝﹣2，b＝﹣2；
（2）由（1）可得y＝﹣2x2，
∴抛物线开口向下，且对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大．
18．如图，点P是抛物线y＝x2上位于第一象限内一点，点A（3，0），设点P的坐标为（x，y）．
（1）求△AOP的面积S与y的关系式；
（2）S是y的什么函数？S是x的什么函数？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵点P是抛物线y＝x2上位于第一象限内一点，点A（3，0），设点P的坐标为（x，y）
（x＞0）．
∴OA＝3，△AOP的高为y＝x2，
1 3
∴△AOP的面积S与y的关系式为：S= ×3×y= y；
2 2（2）S是y的一次函数，S是x的二次函数．
19．已知抛物线y＝ax2经过点（1，3）．
（1）求a的值；
（2）当x＝3时，求y的值；
（3）说出此二次函数的三条性质．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2经过点（1，3），
∴a×1＝3
∴a＝3；
（2）把x＝3代入抛物线y＝3x2得：y＝3×32＝27；
（3）抛物线的开口向上；
坐标原点是抛物线的顶点；
当x＞0时，y随着x的增大而增大；
抛物线的图象有最低点，当x＝0时，y有最小值，是y＝0等．
20．已知点A（1，a）在抛物线y＝x2上
（1）求A点的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形，若存在写出P点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵点A（1，a）在抛物线y＝x2上，
∴代入得：a＝12＝1；
∴A点的坐标为（1，1）；
（2）假设存在点P，根据△OAP是等腰三角形，
①如图1，OA＝AP时，此时OP＝1+1＝2，
即P的坐标是（2，0）；
②如图2，此时AP＝0P＝1，
P的坐标是（1，0）；
③如图3，OA＝OP，此时符合条件的有两点P ，P ，OA＝OP ＝OP =❑√2，
3 4 3 4
则P的坐标是（❑√2，0）或（-❑√2，0）；
故P点坐标为：（❑√2，0）；（-❑√2，0）；（2，0）；（1，0）
