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专题 22.1 二次函数
1. 掌握二次函数的定义，能准确判断二次函数以及根据二次函数的定义求未知字母。
教学目标 2. 掌握建立二次函数模型的方法步骤，能够熟练的对各种应用建立二次函数模型解决
问题。
1. 重点
（1）二次函数的定义及各项系数；
（2）建立二次函数模型；
教学重难点
2. 难点
（1）根据二次函数的定义求值；
（2）建立二次函数模型列出二次函数表达式。知识点01 二次函数的定义
1. 二次函数的定义：
一般地，形如 y=ax2+bx+c（a≠0） 的函数叫做二次函数。此函数表达式为二次函数的一般
形式。
其中： 是自变量， 是函数解析式的 二次项系数 ； 是函数解析式 一次项系数 ； 是函数
解析式的 常数项 。 又是二次函数的 一般形式 。
判断二次函数时，把二次函数化为 一般形式 ，右边一定要是 整式 ，最高次数是 2
且二次项系数 不等于 0 。
【即学即练1】
1．下列函数中，y关于x的二次函数的是（ ）
1
A．y= B．y＝2x
x2
C．y＝（x+2）2 D．y＝ax2+bx+c
【答案】C
【解答】解：A、y不是关于x的二次函数，故此选项不符合题意；
B、y是x的正比例函数，故此选项不符合题意；
C、y是关于x的二次函数，故此选项符合题意；
D、当a＝0时，y不是关于x的二次函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
【即学即练2】
2．已知y=(a+1)xa2+1+3x﹣6是二次函数，则a＝（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
【答案】B
【解答】解：由条件可知a2+1＝2，
解得a ＝﹣1或a ＝1，
1 2
∵a+1≠0，
∴a≠﹣1，
∴a＝1．
故选：B．
【即学即练3】
3．二次函数y＝2x2﹣1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．2，0，﹣1 B．2，2，﹣1 C．2，2，1 D．2，0，1
【答案】A
【解答】解：二次函数y＝2x2﹣1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，﹣1，故选：A．
知识点02 建立二次函数模型
1．从实际问题中抽象出二次函数的一般步骤：
（1）审清题意，找出实际问题中的常量与变量，并分析他们之间的关系；
（2）建立二次函数模型：列出函数表达式，一般化为 的形式。
在建立二次函数的等量关系时，通常借助一元二次方程实际应用各类型的等量关系。
【即学即练1】
4．长方形的周长为24cm，其中一边长为x cm（其中x＞0），面积为y cm2，则这样的长方形中y与x的
关系可以写为（ ）
A．y＝x2 B．y＝12﹣x2
C．y＝（12﹣x）•x D．y＝2（12﹣x）
【答案】C
【解答】解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），
∴长方形的另一边长为12﹣x，
∴y＝（12﹣x）•x．
故选：C．
【即学即练2】
5．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率
是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为 y ＝ a （ 1 ﹣ x ） 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵原价为a，
∴第一次降价后的价格是a×（1﹣x），
第二次降价为a×（1﹣x）×（1﹣x）＝a（1﹣x）2
∴y＝a（1﹣x）2．
故填空答案：y＝a（1﹣x）2．
【即学即练3】
6．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超
过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨
1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．
{ 260 −x(50＜x≤80) )
【答案】（1）则y = ；
420−3x(80＜x＜140)
（2）W＝﹣x2+300x﹣10400（50＜x≤80），W＝﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140）．【解答】解：（1）当50＜x≤80时，y＝210﹣（x﹣50），即y＝260﹣x，
当80＜x＜140时，y＝210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y＝420﹣3x．
{ 260 −x(50＜x≤80) )
则y = ；
420−3x(80＜x＜140)
（2）由题意可得，
W＝﹣x2+300x﹣10400（50＜x≤80），
W＝﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140）．
题型01 判断二次函数
【典例1】下列函数中，一定是关于x的二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝﹣x﹣4
5
C．y=2x2− D．y＝3x2+x﹣2
x
【答案】D
【解答】解：根据二次函数的定义y＝ax2+bx+c（a≠0且a是常数）逐项分析判断如下：
A、a＝0时不是二次函数，故A不符合题意；
B、y＝﹣x﹣4是一次函数，故B不符合题意；
5
C、y=2x2−
里含有分式，故C不符合题意；
x
D、y＝3x2+x﹣2是二次函数，故D符合题意；
故选：D．
【变式1】下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝2x（x﹣3）
1
C．y=− D．y＝（x﹣2）2﹣x2
x2
【答案】B
【解答】解：根据二次函数定义逐项分析判断如下：
A、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故选项A不符合题意；
B、y＝2x（x﹣3）＝2x2﹣6x，是二次函数，故选项B符合题意；
C、不是二次函数，故选项C不符合题意；
D、y＝（x﹣2）2﹣x2＝﹣4x+4，不是二次函数，故选项D不符合题意；
故选：B．
【变式2】下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）A．y＝2x﹣3 B．y＝x2﹣5x+13
1
C．y＝x2﹣（x+2）（x﹣3） D．y=x2− +2
x
【答案】B
【解答】解：根据二次函数的定义逐项分析判断如下：
A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．y＝x2﹣5x+13是二次函数，故本选项符合题意；
C．y＝x2﹣（x+2）（x﹣3）＝x+6，y是x的一次函数，故本选项不符合题意；
1
D．y=x2− +2不是二次函数，故本选项不符合题意．
x
故选：B．
题型02 根据二次函数的定义求值
【典例1】若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠2
【答案】D
【解答】解：由题意得：a﹣2≠0，
解得：a≠2，
故选：D．
【变式1】若关于x的函数y=(m+2)xm2−2+x−3是二次函数，则m的值为（
）
A．0 B．2 C．﹣2或2 D．﹣2
【答案】B
【解答】解：∵关于x的函数y＝（m+2）x❑ m2−2+x﹣3是二次函数，
∴m+2≠0且m2﹣2＝2，
解得：m＝2．
故选：B．
【变式2】若函数y=(m−3)xm2−3m+2+mx+1是二次函数，则m的值一定是（
）
A．3 B．0 C．3或0 D．1或2
【答案】B
【解答】解：∵此函数是二次函数，
{m2−3m+2=2)
∴ ，
m−3≠0
解得m＝0．
故选：B．
【变式3】如果函数y＝（k﹣2）xk2−2k+2+kx+1是关于x的二次函数，那么k的值是（ ）A．1或2 B．0或2 C．2 D．0
【答案】D
【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）xk2−2k+2+kx+1是关于x的二次函数，
∴k﹣2≠0，k2﹣2k+2＝2．
解得k＝0．
故选：D．
题型03 判断二次函数各项系数及求值
【典例1】二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2、0、﹣3 B．2、﹣3、0 C．2、3、0 D．2、0、3
【答案】A
【解答】解：二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是﹣3，
故选：A．
【变式1】在二次函数y＝﹣x2+1中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意，二次项系数、一次项系数、常数项分别是﹣1，0，1
其和为：﹣1+0+1＝0．
【变式2】二次函数y＝（x﹣2）（1﹣x）﹣3x的二次项系数是 ﹣ 1 ，一次项系数是 0 ，常数
项是 ﹣ 2 ．
【答案】﹣1；0；﹣2．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）（1﹣x）﹣3x＝﹣x2﹣2，
∴该二次函数的二次项系数是﹣1，一次项系数是0，常数项是﹣2．
故答案为：﹣1；0；﹣2．
【变式3】已知关于x的函数y＝（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，则此解析式的一次项系数是（
）
A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．1
【答案】B
【解答】解：∵关于x的函数y＝（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，
∴m＝2，
则3m+2＝8，
故此解析式的一次项系数是：8．
故选：B．
题型04 建立二次函数模型，列二次函数表达式
【典例1】n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m与球队数n（n≥2）之间1 1
的函数关系是 m = n 2 − n ．
2 2
1 1
【答案】m= n2− n．
2 2
1 1 1
【解答】解：m= n（n﹣1）= n2− n，
2 2 2
1 1
故答案为：m= n2− n．
2 2
【变式1】黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，
某地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达 y万元，若把
增长率记作x，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝a（1+2x） B．y＝a（1+x）2
C．y＝a+a（1+x）+a（1+2x） D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）2
【答案】D
【解答】解：∵该地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作x，
∴第二天销售额为a（1+x）万元，第三天销售额为a（1+x）2万元．
根据题意得：y＝x+a（1+x）+a（1+x）2．
故选：D．
【变式2】小亮爸爸想用长为80m的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅
栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为x m，面积为y m2，则y与x的函数关系式是（ ）
A．y＝80x B．y＝80x﹣2x
80
C．y= D．y＝x（80﹣2x）
x
【答案】D
【解答】解：利用长方形面积等于长乘宽计算可得：y＝x（80﹣2x），
故选：D．
【变式3】某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知
每降价1元，每星期可多销售 20件，那么每星期的销售额 W（元）与降价 x（元）的函数关系为
（ ）
A．W＝（60+x）（300+20x） B．W＝（60﹣x）（300+20x）
C．W＝（60+x）（300﹣20x） D．W＝（60﹣x）（300﹣20x）
【答案】B
【解答】解：依题意，每星期的销售额 W（元）与降价 x（元）的函数关系为 W＝（60﹣x）
（300+20x），故选：B．
1．下列函数中是二次函数的是（ ）
1
A．y＝x+ B．y＝3（x﹣1）2
2
1
C．y＝ax2+bx+c D．y = −x
x2
【答案】B
1
【解答】解：A、y＝x+ 是一次函数，故此选项不符合题意；
2
B、y＝3 （x﹣1）2是二次函数，故此选项符合题意；
C、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故此选项不符合题意；
1
D、y = −x不是二次函数，故此选项不符合题意；
x2
故选：B．
2．二次函数y＝﹣2x2+3x﹣7的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．﹣2，3，﹣7 B．﹣2，﹣3，﹣7 C．2，﹣3，﹣7 D．﹣2，﹣3，7
【答案】A
【解答】解：二次函数的二次项系数是﹣2，一次项系数是3，常数项是﹣7．
故选：A．
3．已知y=(m−2)xm2−2是关于x的二次函数，那么m的值为（
）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．0
【答案】A
【解答】解：根据题意，得m2﹣2＝2且m﹣2≠0，
解得：m＝±2且m≠2，
∴m＝﹣2．
故选：A．
4．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，
共有y人感染，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（1+x）2 B．y＝（2+x）2 C．y＝x+x2 D．y＝（1+2x）2
【答案】A
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得：
1+x+x（1+x）＝y，
即y＝（1+x）2．故选：A．
5．下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系；
②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系；
③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100﹣2x）件．利润y（元）与每
件进价x（元）的关系．
A．① B．② C．③ D．①③
【答案】C
10
【解答】解：①y= ，y是x的反比例函数，故此选项不符合题意；
x
②y＝2 ×5x＝10 x，y是x的正比例函数，故此选项不符合题意；
③y＝（
π
x﹣80）（
π
100﹣2x）＝100x﹣2x2﹣8000+160x＝﹣2x2+260x﹣8000，y是x的二次函数，故此选
项符合题意；
故选：C．
6．用40cm的绳子围成一个矩形，则矩形面积ycm2与一边长为xcm之间的函数关系式为（ ）
A．y＝x2 B．y＝﹣x2+40x C．y＝﹣x2+20x D．y＝﹣x2+20
【答案】C
【解答】解：∵矩形一边长为xcm，周长为40cm，
40−2x
∴另一边长为 = 20﹣x（cm），
2
∴矩形的面积y＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x，
故选：C．
7．为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价
的百分率为x，该药品的原价是50元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100（1+x）
C．y＝50（1+x）2 D．y＝50（1﹣x）2
【答案】D
【解答】解：由题意可得：
第一次降价后的价格为50（1﹣x）元，
∴第二次降价后的价格为50（1﹣x）2元，
又∵两次降价后的价格为y元，
∴y与x的函数关系式为：y＝50（1﹣x）2．
故选：D．
8．小明用一张长为20cm、宽为15cm的长方形纸片制作一个无盖的长方体盒子（如图），若剪去四个边长
为x cm的正方形，则盒子的容积V（单位：cm3）与x的函数关系式为（ ）A．V＝（20﹣2x）（15﹣2x） B．V＝x（20﹣x）（15﹣x）
C．V＝4x2（20﹣2x） D．V＝（20﹣2x）（15﹣2x）x
【答案】D
【解答】解：∵它的四个角都剪去一个边长为x cm的正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子，
∴长为（20﹣2x）cm，宽为（15﹣2x）cm，高为x cm，
∴V＝（20﹣2x）（15﹣2x）x．
故选：D．
9．某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．
经调研，如果调整书籍的售价，每降价 2元，每星期可多卖出20本．设每本降价x元后，每星期售出
此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数表达式为（ ）
A．y＝（20﹣x）（300+10x） B．y＝（20﹣x）（300+20x）
C．y＝（20﹣2x）（300+10x） D．y＝（20﹣2x）（300+20x）
【答案】A
【解答】解：设每本降价x元，则售价为（20﹣x）元，销售量为（300+10x）本，
根据题意得，y＝（20﹣x）（300+10x），
故选：A．
10．如图，在Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t（0＜t＜3）截此三角形所得阴影部分的
面积为S，则S与t之间的函数关系式为（ ）
1 1
A．S＝t B．S= t2 C．S＝t2 D．s= t2﹣1
2 2
【答案】B
【解答】解：对图形进行点标注．
∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，
∴∠AOB＝∠A＝45°，
∵CD⊥OB，∴CD∥AB，
∴∠OCD＝∠A，
∴∠AOD＝∠OCD＝45°，
∴OD＝CD＝t，
1 1 1
∴S△OCD =
2
×OD×CD =
2
t2（0＜t＜3），即S =
2
t2（0＜t＜3）．
故选：B．
11．二次函数y＝（x﹣2）（5﹣2x）的一次项系数是 9 ．
【答案】9．
【解答】解：y＝（x﹣2）（5﹣2x）
＝5x﹣2x2+10+4x，
＝﹣2x2+9x+10，
则一次项系数是9，
故答案为：9．
12．若y＝（m+1）x|m|+1+4x﹣5是关于x的二次函数，则一次函数y＝mx+m的图象不经过第 四 象限．
【答案】四．
【解答】解：由于y＝（m+1）x|m|+1+4x﹣5是关于x的二次函数，
∴|m|+1＝2且m+1≠0，
∴m＝1，
故一次函数的解析式为y＝x+1，
故一次函数过一、二、三象限，
故答案为：四．
13．在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为x（cm）的圆面，剩下一个圆环的面积为y（cm2），则y与x
的函数关系式为 y ＝ 1 6 ﹣ x 2 ，其中自变量x的取值范围是 0 ＜ x ＜ 4 ．
【答案】见试题解答内容
π π
【解答】解：半径为4cm的圆的面积为16 ，半径为x的圆的面积为： x2，则函数解析式是：y＝16 ﹣
x2，且0＜x＜4．
π π π
14．某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共y万元，如果平均每月增长率为x，
π
则营业额y与月平均增长率x之间的函数关系式为 y ＝ 200+20 0 （ 1+ x ） +20 0 （ 1+ x ） 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：二月份的营业额为200×（1+x），三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加x为200×
（1+x）×（1+x），
则营业额y与月平均增长率x之间的函数关系式为：y＝200+200（1+x）+200（1+x）2．
故答案为：y＝200+200（1+x）+200（1+x）2．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上，OA＝6cm，OC＝4cm，以
OA，OC为邻边作矩形OABC．点M从点A出发，以1cm/s的速度沿AO向点O运动，同时点N从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向点B运动．过点N作NP⊥BC交OB于点P，连接MP．设运动时间为t
1
秒，记△OMP的面积为S，求S与t的函数解析式 S=− （ t ﹣ 3 ） 2 + 3 （ 0 ＜ t ＜ 6 ） ．
3
1
【答案】S=− （t﹣3）2+3（0＜t＜6）．
3
【解答】解：由矩形性质可知OA＝6，AB＝4，
∴点B的坐标为（6，4），
设直线OB的解析式为y＝kx，
∴4＝6k．
2
∴k= ．
3
2
∴y= x．
3
延长NP交x轴于点H，
∴点P的横坐标OH＝CN＝t，AM＝t，
2
∴OM＝6﹣t，点P(t， t)．
3
1 2
∴S = ×OM× t，
△OMP 2 3
1 2 1
∴S= ×(6−t)× t=− t2+2t
2 3 3
1
=− (t−3) 2+3(0＜t＜6)．
3
1
故答案为：S=− （t﹣3）2+3（0＜t＜6）．
3
16．一个二次函数y＝（k﹣1）xk2−3k+4+2x﹣1．（1）求k值．
（2）求当x＝0.5时y的值？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得：k2﹣3k+4＝2，
则k2﹣3k+2＝0，
（k﹣1）（k﹣2）＝0，
解得：k ＝1，k ＝2，
1 2
∵k﹣1≠0，
∴k＝2；
（2）把k＝2代入y＝（k﹣1）xk2−3k+4+2x﹣1得：y＝x2+2x﹣1，
1 1 1
当x＝0.5时，y＝（ ）2+2× −1= ．
2 2 4
17．学校准备将一块长20m，宽14m的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加x m，设增加的面积是y m2．
（1）求x与y之间的函数关系式．
（2）若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加多少米？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝（20+x）（14+x）﹣20×14
化简，得
y＝x2+34x，
即x与y之间的函数关系式是：y＝x2+34x；
（2）将y＝72代入y＝x2+34x，得
72＝x2+34x，
解得，x ＝﹣36（舍去），x ＝2，
1 2
即若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加2米．
18．如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙，另三边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总
长为30m，门宽是2m，若设这块场地的宽为x m．
（1）求场地的面积y（m2）与x（m）之间的函数关系式；
（2）写出自变量x的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得y＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x；{32−2x＞0)
（2）∵ ，
x＞0
∴0＜x＜16，
又∵门宽是2m，
∴x≥2，
∴2≤x＜16．
19．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价
x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．
（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．
（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，
说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y＝m（x﹣
30），
又∵m＝162﹣3x，
∴y＝（x﹣30）（162﹣3x），
即y＝﹣3x2+252x﹣4860，
∵x﹣30≥0，
∴x≥30．
又∵m≥0，
∴162﹣3x≥0，即x≤54．
∴30≤x≤54．
∴所求关系式为y＝﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）．
（2）由（1）得y＝﹣3x2+252x﹣4860＝﹣3（x﹣42）2+432，
所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．
∵500＞432，
∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．
20．如图，矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上．已知△ABC的边长为4，记矩形DEFG的
面积为S，线段BE为x．
（1）求S关于x的函数表达式．
（2）当S=❑√3时，求x的值．【答案】（1）S＝﹣2❑√3x2+4❑√3x．
❑√2
（2）x＝1± ．
2
【解答】解：（1）∵正△ABC，
∴∠B＝60°，
∵矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上，
∴∠BED＝90°，BE＝CF＝x，EF＝4﹣2x，
∴DE＝BE•tan60°=❑√3x．
∴S＝EF•DE=❑√3x•（4﹣2x）＝﹣2❑√3x2+4❑√3x．
（2）∵S=❑√3，
∴﹣2❑√3x2+4❑√3x=❑√3．
∴2x2﹣4x+1＝0．
❑√2
解得：x＝1± ．
2
∵0＜x＜2．
❑√2
∴x＝1± ．
2
