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专题 22.20 二次函数区间最值问题（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
二次函数最值问题是中考热点内容，区间最值则是重难点内容。本专题重
在解决区间为前提的二次函数最值问题的解题方法。
【知识点1】二次函数区间最值类型
为了形象和记忆方便，特别作以下规定：轴：表示对称轴，区间：表示自变量的取值
范围，动：表示含有参数，二次函数区间最值类型有以下四种：
（1）定轴定区间：即对称轴，区间都固定求最值；
（2）定轴动区间：即对称轴固定，区间动求最值；
（3）动轴定区间：即对称轴动，区间固定求最值；
（4）动轴动区间：即对称轴动，区间都动求最值。
【知识点2】解题方法：主要抓住三要素
（1）三点：表示区间的两个端点和中点；
（2）一轴：表示二次函数对称轴；
（3）开口：表示二次函数的开口方向；
以上三要素统称为：“三点一轴及开口”，通过数形结合方法，根据函数的增减性分类讨论
解决问题。
【知识点3】四种区间情况讨论
对于二次函数
y=ax²+bx+c(a≠0)
，求以下区间的最值。
1、若自变量为全体实数
b
x
2a
（1）当a>0时，当 时，函数有最小值，如图（1）
b
x
2a
（2）当a<0时，当 时，函数有最大值，如图（2）图1 图 2
2、若： 且
b
x
2a
（1）当a>0时，抛物线开口向上，当 时，函数有最小值；当x=n时，函数有最
大值，如图（3）；
b
x
2a
（2）当a<0时，抛物线开口向下，当 时，函数有最大值；当x=n时，函数有最
小值，如图（4）；
图 3 图 4
b
x
2a
注意：这里一定要注意 m,n与 的水平距离，距离越远的点，才是最值，一定要结
合实际情况。
b
x
3、若 ，且对称轴 2a 在区间的右边时
（1）当a>0时，抛物线开口向上，当 x=m时，函数有最大值；当 x=n时，函数有最小
值，如图（5）；（2）当a<0时，抛物线开口向下，当 x=m时，函数有最小值；当 x=n时，函数有最大
值，如图（6）；
图5 图6
b
x
4、若 ，且对称轴 2a 在区间的左边时
（1）当a>0时，抛物线开口向上，当 x=m时，函数有最小值；当 x=n时，函数有最大
值。
（2）当a<0时，抛物线开口向下，当 x=m时，函数有最大值；当 x=n时，函数有最小
值。
图7 图8
【知识点4】总结归纳如下：
1、根据题意画草图；
2、根据题意确定类型：
（1）对称轴在区间的左侧；（2）对称轴在区间的中间；（3）对称轴在区间的右侧.
3、画出最高点和最低点，确定最值。
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】自变量为全体实数【例1】（22-23九年级上·浙江·单元测试）求二次函数 的最小值．
【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）二次函数 的最小值是3，则a的值是
（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
【变式2】（2024·浙江温州·二模）已知关于x的二次函数 ，该函数的最大值
为 ．
【题型2】自变量取值范围为 且
【例2】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知二次函数 的图象为抛物线C．
（1）抛物线C的顶点坐标为______．
（2）当 时，求y的取值范围；
【变式1】（2023·陕西西安·一模）已知二次函数 在 时有最小值−2，
则 ( )
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【变式2】（2024·江苏镇江·二模）已知 ， ，当 时，则S的最大值为 ．
b
x
【题型3】若 ，且对称轴 2a 在区间的右边时
【例3】（2023·贵州贵阳·模拟预测）已知二次函数y=x2−2ax+1的顶点坐标是 ．
（1）当 时，求该二次函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，当 时，求该二次函数的最大值；【变式1】（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知实数a，b满足 且 ，则代数式 的
最小值是（ ）
A．7 B．4 C．6 D．3
【变式2】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知函数 ，当 时，有最大值
3，最小值2，则m的取值范围是 ．
b
x
【题型4】若 ，且对称轴 2a 在区间的左边时
【例4】（22-23九年级上·四川凉山·期中）某水果摊位购进一批水果，进价为每千克40元，物价部门规
定其销售价不低于成本价且不高于成本价的2倍．经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元/千
克）符合如图所示的一次函数关系：
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付房租水电等其他费用300元，当销售单价为多少时，该批水果的日获
利最大？最大获利是多少元？
【变式1】（23-24九年级上·湖北随州·阶段练习）将进货单价为50元的某种商品按零售价每个60元出售时，每周能卖出100个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少2个，但物价部门规定，最高
售价不能高于成本价的 ，则每周获得的最大利润为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【变式2】二次函数 在自变量 的值满足 时，其对应的函数值 的最大值为 ，则
该函数的最小值为 ．
b
x
【题型5】若 ，且对称轴 2a 在区间的位置进行分类讨论
【例5】（23-24八年级下·云南·期末）已知抛物线 经过点 和点 ．
（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）当自变量x满足 时，求y的取值范围；
（3）将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足 时，y的最小值为5，求m的值．
【变式1】（2024·陕西宝鸡·二模）已知二次函数 （a为常数），当 时，函
数的最大值与最小值的差为9，则a的值为（ ）
A． B．4 C． D．
【变式2】（2023·吉林长春·模拟预测）已知二次函数的表达式为 ，当 时，函
数有最大值 ，则 的最小值是 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数 ，当 时，函数取得最
大值；当 时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2022·吉林长春·中考真题）已知二次函数 ，当 时，函数值y的最小值为
1，则a的值为 ．2、拓展延伸
【例1】（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线 过点 ， 两点，若
， 时，y的最大值为 ，则t的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．4
【例2】（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数（，为常数且），当时，随的增大而增大，则的最大
值为 ．
