文档内容
专题 06 二次函数章末 56 道压轴题型专训（8 大题型）
题型一 待定系数法求二次函数解析式
题型二 二次函数中平移问题
题型三 二次函数与方程及不等式综合应用
题型四 二次函数的最值问题
题型五 二次函数的存在性问题
题型六 二次函数的图象和性质综合应用
题型七 实际问题与二次函数的综合应用
题型八 二次函数与几何图形综合应用
【经典例题一 待定系数法求二次函数解析式】
1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式．
(1)已知抛物线顶点为 ，且过点 ；
(2)已知抛物线 经过点 和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数的解析式，根据所给条件求出对应的函数表达式是正
确解答此题的关键．
（1）设为顶点式，代入所给点的坐标即可求解；
（2）直接代入题中两点坐标，建立方程组求解即可．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为 ，
由抛物线顶点为 ，得 ，
由抛物线过点 ，得 ，解得 ，
；
（2）解：将点 和 代入抛物线 ，
得 ，
解得 ，
．
2．（24-25九年级上·四川泸州·期末） 如图，已知二次函数 的图象与x轴交于 ，
两点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若点P在该二次函数的图象上，且 的面积为6，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及解一元二次方程，关键是求出抛物线解析
式．
（1）把 ， 代入 ，解方程组求出b，c的值；（2）由（1）得出抛物线解析式为 ，设点P坐标为 ，根据三角形的面积列出
关于m的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：把 ， 代入 得：
，
解得 ；
二次函数解析式为 ；
（2）解：由（1）知，二次函数解析式为 ，
设点P坐标为 ，
的面积为6， ，
∴ ，
∴ ，
即 或 ，
解得： 或 ，
∴ 或 ．
3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值
如表所示：(1)这个二次函数的解析式是______；
(2)在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象．
(3)当 时，结合函数图象，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质．
（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为 ，则可设顶点式
，然后把点 代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据 、4时的函数值，结合图象即可写出y的取值范围．
【详解】（1）解：根据表格数据可得：二次函数的顶点坐标为 ，
设二次函数的解析式为： ，
把点 代入 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ，即 ；
（2）解：如图所示：；
（3）解：当 时， ，
当 时， ，
当 时， 有最小值 ，
当 时， 的取值范围是 ．
4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知：如图，抛物线 与 轴交于点 ，
．
(1)试确定该抛物线的函数表达式；
(2)观察图象，当 时，y的取值范围为________；
(3)已知点 是该抛物线的顶点，若点 是线段 上的一动点，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了用待定系数法求解析式以及二次函数图象的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练
掌握用待定系数法求解析式是解题关键．
（1）将点 与点 坐标代入抛物线解析式得到关于 的方程组，由此求出 的值，从而进一步得出解析式即可；
（2）由 得出开口方向向下，对称轴为直线 ，再根据越远离对称轴的自变量所对应的
函数值越小，以及结合 进行分析，即可作答．
（3）根据垂线段最短可知当 时， 最小，据此进一步利用三角形的面积公式求出 即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于点 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：由（1）得 ，
∴开口方向向下，对称轴为直线 ，
在 时， 有最大值，且 ，越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小，
∵ ，
∴把 代入 ，得 ，
∴观察图象，当 时，y的取值范围为 ．
（3）解：当 是 边上的高时， 的值最小，
由（2）得对称轴为直线 ， 有最大值，且
∵点 是 的顶点，
即 ，
∵ ， ，∴ ， ， 点到 轴的距离为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值是 ．
5．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在二次函数 （ 、 为常数，且 ）中， 与
的几组对应值如下表所示：
．．． 0 1 ．．．
．．． 1 ．．．
(1)求二次函数的解析式；
(2)用描点法在给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查二次函数及其图象，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键，
（1）利用待定系数法将点 ， 代入 ，求得 的值，即可得到函数解析式；
（2）将函数一般式化为顶点式，得到顶点坐标和对称轴，再利用点 关于直线 的对称点为
，描出各点即可得到函数图象．【详解】（1）解：把点 ， 代入 得：
解得： ，
二次函数的解析式为： ．
（2）解：∵ ，
∴二次函数的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
∴点 关于直线 的对称点为 ，画出函数图象，如图：
6．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知抛物线 与x轴相交于点 ，与y轴
相交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当 的周长最小时，求 的值；【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是
解题的关键．
（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据 的周长等于 ，以及 为定长，得到当 的值最小时， 的周长
最小，根据抛物线的对称性，得到 关于对称轴对称，则： ，得到当 三
点共线时， ，进而求出P点坐标，即可得解；
【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴相交于点 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：在 ，当 时， ，
，
∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
的周长等于 ， 为定长，
∴当 的值最小时， 的周长最小，
关于对称轴对称，
，
，
∴当 三点共线时， 的值最小，为 的长，此时点P为直线 与对称轴的交点，设直线 的解析式为： ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ，
，
∴ ， ，
∴ ．
7．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）综合与实践
综合实践小组模拟某游乐园“光影塔”夜间灯光秀布局，通过对直线、抛物线的分析，解决与“光影塔”
最高点、游客位置、观景平台相关的问题，感受数学在实际场景中的应用．
如图，经过塔基主入口 的迎宾步道 （把步道抽象成直线）与 轴交于点 ．经过原点 的
抛物线 交直线 于点 ，抛物线顶点 对应“光影塔”最高一束激光的末端．
初步感知（1）求抛物线顶点 的坐标．
拓展应用
（2）游客 看作迎宾步道 上一点，无人机航拍点 是抛物线上一点， 平行于 轴且交 轴于点 ，
当 时，求游客位置点 的坐标．
延伸探究
（3）虚拟观景平台 是直线 上方抛物线上一点，连接 ， ，设点 的横坐标为 ， 的面积
为 ，求 关于 的函数解析式并化为顶点式．
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3） ，化为顶点式为
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，解一
元二次方程，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；
（2）求出直线 的解析式，然后求出点 ，设点E的坐标为 ，可得点 ，
，则可得 ， ，再根据 建立
方程，解方程即可得；
（3）过点P作 轴，交 于点Q，由（2）得：点 ， ，从而得到
，再根据 ，即可列出函数解析式．
【详解】解：（1）把点 ， 代入 得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，∵ ，
∴抛物线顶点 的坐标为 ．
（2）由题意，画出图形如下：
设直线 的解析式为 ，
把点 ， 代入得： ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 或 ，
∴ ，
设点 的坐标为 ，
∵ 轴，
∴ ， ，
∴ ， ，
当点 在 的上方时，此时 ，
，
解得： 或4（舍去），
此时点 的坐标为 ；
当点N在M的下方时，此时 或 ，若点M，N均在x轴上方，此时 ，
，
解得： 或 （舍去），
此时点 的坐标为 ；
若点M，N均在x轴下方，此时 ，
，
解得： 或4，均不符合题意；
综上所述，点 的坐标为 或 ．
（3）过点 作 轴，交 于点 ，
∵点 是直线 上方抛物线上一点，且 ，点 的横坐标为 ，
∴ ，
由（2）得：直线 的解析式为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 与 的 边上的高之和为 ，
∴，
综上， 关于 的函数解析式为 ，化为顶点式为
．
【经典例题二 二次函数中平移问题】
8．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线 与x轴的一个交点为 ，且过点
．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)将该二次函数的图象向左平移 个单位，若抛物线再次经过点 时，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，三角形的面积，勾股定理及其逆
定理．解题的关键是求出平移之后的解析式．
（1）用待定系数法直接求解即可；
（2）根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”得出当抛物线向左平移 个单位时，，再把 代入，求解即可．
【详解】（1）解：把点 ， 代入抛物线 ，得
解得： ，
．
（2）解： ，
当抛物线向左平移 个单位时， ，
把 代入得
，
解得： （舍）， ，
．
9．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知二次函数 过点 ， ．
(1)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶
点坐标；
(2)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使 的面积为4，
若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由．【答案】(1) ，
(2)存在， 或
【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移，二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵
活运用是解此题的关键．
（1）先利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的平移法则即可得解；
（2）先求出 ， ，得出 ，结合 的面积为4，求出 ，再结合顶点为
，抛物线开口向上，得出点 在 轴上方，纵坐标为 ，由此计算即可得解．
【详解】（1）解：∵二次函数 过点 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴二次函数解析式为 ，
∵ ，
∴将函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的函数的解析式为 ，
即 ，
故顶点为 ，
（2）解：存在，
在 中，当 时， ，
解得： ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵ 的面积为4，
∴ ，
∴ ，
∵顶点为 ，抛物线开口向上，
∴点 在 轴上方，纵坐标为 ，
在 中，当 时， ，解得 或 ，
∴ 或 ．
10．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，点 在抛物线 上，且在抛物线的
对称轴右侧．
(1)写出抛物线的对称轴和 的最大值，并求 的值．
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点 及拋物线 的一段、分别记为 ， ．平移该胶片，
使 所在抛物线对应的函数恰为 ．求点 移动的最短路程．
【答案】(1) 的对称轴为 ， 的最大值为4，
(2)点 移动的最短路程为
【分析】本题考查二次函数 的图像与性质，掌握二次函数 的性质以及平移
的方法是解题的关键．
（1）由 的性质得开口方向，对称轴和最值，把 代入 中即可得出a的
值；（2）由 ，得出抛物线 平移过程为向左平移3个单位长度，向下平移5个单
位长度，即可求出点 移动的最短路程．
【详解】（1）解： ，
的对称轴为 ， 的最大值为4，
把点 代入抛物线的表达式，得 ，
解得 ， ．
又因为 在对称轴的右侧
．
（2） 所在抛物线的表达式为 ，
抛物线 平移过程为向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度，
点 移动的最短路程为 ．
11．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知抛物线 ．
(1)请用配方法将 化为 的形式，并写出对称轴和顶点的坐标；
(2)在平面直角坐标系中，画出 的图象；(3)如果该抛物线沿x轴向左或向右平移 个单位后经过原点，求m的值；
(4)当 时，求y的取值范围．
【答案】(1) ，对称轴：直线 ，顶点坐标
(2)作图见解析
(3) 或1
(4)
【分析】本题考查二次函数的顶点式、画二次函数的图象，二次函数平移的规律，解题的关键是掌握二次
函数平移的规律．
（1）利用配方法进行求解即可；
（2）先找顶点，再求与x轴、y轴交点，即可画出二次函数的图象；
（3）根据函数经过点 ， ，根据平移规律进行求解；
（4）结合抛物线对称轴直线 ，分别求 、 、 时的 值，确定最值．
【详解】（1）解：
对称轴为：直线 ；
顶点坐标 ；
（2）解：当 时， ；
当 时， 或 ，
所以该图象经过点 ， ， ；（3）∵ 经过点 ，
∴抛物线沿x轴向左平移3个单位长度或向右平移1个单位长度后经过原点，
∴ 或3．
（4） 时， ；
时， （最大值）；
时， （最小值）．
y的取值范围为 ．
12．（2025·陕西西安·模拟预测）西安乐华城是集休闲、娱乐、观光于一体的大型主题乐园．立环过山车
“白龙飞天”是其经典项目之一．过山车的一部分轨道，可以近似的看成两段抛物线，在平面直角坐标系
中，其图象如图所示，其中轨道抛物线 的顶点 到 的距离 ，抛物线与 轴交于点
， （轨道厚度忽略不计）．(1)求抛物线 的函数表达式；
(2)在轨道距离地面 处有两个点 和 （点 在点 的左侧 ，当过山车运动到点 处时，平行于地面
向前运动了 至点 ，又进入下坡段 至最低点 ，已知轨道抛物线 的形状与抛物线
完全相同，求 的长．
【答案】(1) ；
(2) 米．
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，
解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
（ ）由题意知 ， ，然后用待定系数法求出抛物线 的函数解析式；
（ ）先根据平移的性质求出物线 的函数解析式，再令 求出 的值即可．
【详解】（1）解：由题意知， ， ，
设抛物线 的函数解析式为 ，
把 代入解析式得： ，
解得 ，
∴抛物线 的函数解析式为 ；
（2）解：由题意知， ，当 时， ，
解得 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵抛物线 的形状与抛物线 完全相同，
∴抛物线 可以看作是由抛物线 向右平移 个单位长度得到的，
∴抛物线 的函数解析式为 ，
令 ，则 ，
即 米．
13．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图①，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点
，已知抛物线的对称轴为直线 ，且 ．
(1)求抛物线的表达式．
(2)已知点 ， 是抛物线上的两点，且点 在对称轴左侧，点 在对称轴右侧，若满足
，请比较 与 的大小．
(3)将抛物线平移，使得其顶点 落在直线 上，设平移后的抛物线与 轴的交点为 ，求点 的纵坐
标 的取值范围．【答案】(1)抛物线的表达式为 ；
(2) ；
(3)点 的纵坐标 ．
【分析】（1）依题得出点 坐标后可推得点 坐标，结合抛物线对称轴可知点 坐标，设抛物线的解析
式为 ，将点 代入即可得解；
（2）由 推出 ，即可判断点 比点 距离对称轴更近，结合二次函数的图象与
性质即可得解；
（3）设平移后顶点 ，平移后抛物线解析式为 ，令 ，可得点 的纵坐标
，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：依题得：当 时， ，
即 ，
，
则 ，
抛物线的对称轴为直线 ， ， 两点关于对称轴对称，
，
设抛物线的解析式为 ，
将点 代入得， ，
抛物线的表达式为 ；
（2）解： ，，
即点 比点 距离对称轴更近，
由（1）得， ，抛物线开口向下，有最大值，
；
（3）解：设平移后顶点 ，则平移后抛物线解析式为 ，
平移后的抛物线与 轴的交点为 ，
令 ，则点 的纵坐标 ，
对于任意 都有 ，
，
点 的纵坐标 ．
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、二次函数的图象与性质、
二次函数的平移，解题关键是结合二次函数图像与性质解题．
14．（2026九年级·贵州贵阳·专题练习）已知二次函数 （a，b，c为常数， ）的一组对
应值如下表．
x 1 4
y 4
(1)该二次函数的解析式为________；
(2)在下列平面直角坐标系中大致画出该二次函数的图象；
(3)该二次函数的图象开口向________，对称轴是直线________，与x轴有________个交点，交点坐标是________，与y轴的交点坐标是________，有最________（填“大”或“小”）值，最值为________；
(4)当 时，y随x的增大而________，最大值为________；当 时，y的取值范围是________；
(5)将该二次函数解析式化为顶点式是________，化为交点式是________；
(6)将该二次函数的图象向下平移1个单位长度，得到的新图象的解析式为________；将该二次函数的图象
向右平移2个单位长度，得到的新图象的解析式为________；将该二次函数的图象沿x轴翻折，得到的新
图象的解析式为________；
(7)若该二次函数的图象与直线 交于点 和 ，则关于x的方程 的解为
________．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)下； ；2； ； ；大；4
(4)大；3；
(5) ；
(6) ； ；
(7)
【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）按照画函数图像的步骤进行即可；
（3）根据二次函数的定义、性质、图像去进行分析即可；
（4）结合函数图像去分析即可；
（5）准确化成顶点式和交点式即可；
（6）根据“上加下减，左加右减”去进行分析即可；
（7）先求出 ，再代入求解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：将 代入二次函数解析式 中，得
解得∴二次函数解析式为 ．
故答案为： ．
（2）解：如图所示：
（3）解：∵二次函数解析式为 ， ，开口向下；对称轴为
；令 ，则 ，与 轴有2个交点，解得
，则与 轴交点坐标为 ；与 轴的交点坐标为 ；有最大值，最大值为4．
故答案为：下； ；2； ； ；大；4．
（4）由图像可得，当 时， 随 的增大而增大，在 处取得最大值，为3；
当 时，在 处取得最大值4，在 处取得最小值 ，则 ；
故答案为：大；3； ．
（5）解：∵
∴顶点式为 ，交点式为
故答案为： ； ．
（6）解：将该二次函数的图象向下平移1个单位长度，得到的新图象的解析式为
；将该二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到的新图象的解析式为；将该二次函数的图象沿 轴翻折，得到的新图象的解析式为
；
故答案为： ； ； ．
（7）解：由题意可得，将 代入 得，
∴
∴关于 的解为 的解，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次函数的解析式求解、图象绘制以及相关性质的应用，包括顶点式、对称轴、与
坐标轴交点、最值、单调性、函数值大小比较和函数值取值范围等知识点，熟练掌握这些知识点并灵活运
用是解决本题的关键．
【经典例题三 二次函数与方程及不等式综合应用】
15．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线
(1)当 为何值时，抛物线与 轴有两个不同交点？
(2)若抛物线与 轴的两交点分别为 、 ，且 ，求 的值
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点问题．
（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可；
（2）先根据 及根与系数的关系求出 ，进而得出 求解即可．
【详解】（1）解：，
∵抛物线与 轴有两个交点，
∴ ，
解得： ；
（2）解：∵抛物线与 轴的两交点分别为 、 ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，满足 ，符合题意．
16．（25-26九年级上·河南郑州·阶段练习）已知抛物线 ．
(1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出 的图象．
(2)若抛物线的顶点为M，抛物线与x轴的交点为A，B（A在B的右侧），求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题主要考查二次函数的图象，二次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，求解A，B两点坐标
是解题的关键．
（1）先根据y与x的关系式列表，再在坐标系中标点后连线即可画出图象；（2）由列表可知A，B两点坐标，即可求解 的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【详解】（1）解：列表如下：
x 0 1 2
y 5 0
图象如图所示：
（2）解：由抛物线的图象可知，顶点坐标为 ，
在 中，
当 时， ，
解得 ， ，
∵A在B的右侧，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为8．
17．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点．(1)求 ， 两点的坐标；
(2)若 ，请直接写出 的取值范围___________．
【答案】(1) ， 两点的坐标分别是 ， ；
(2) ．
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）由题意可知 ，然后求出 的值即可；
（ ）根据图象即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知 ，
解得 或 ，
∴ ， 两点的坐标分别是 ， ；
（2）解：由图可知，当 时， 的图象在 图象的上方，则 ．
故答案为： ．
18．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）已知抛物线 与直线 的一个交点的横坐
标是2．(1)求 的值；
(2)当x为何值时， ．
(3)请在所给的坐标系中，画出函数 与 的图象（草图），并根据图象，直接写出
时 的取值范围．
【答案】(1)
(2)3或
(3)见解析，
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，解一元二次方程，一次函数图象上点的坐标特征，求
出横坐标为2的交点坐标是解题的关键．
（1）把交点的横坐标2代入直线解析式求出交点坐标，再代入抛物线解析式计算即可求出a的值；
（2）将a的值代入方程，再解方程即可；
（3）利用五点法作出抛物线图象，利用两点法作出直线解析式，然后找出抛物线在直线上方部分的x的取
值范围即可．
【详解】（1）解： 时， ，
所以，交点的坐标为 ，
把交点坐标代入抛物线得， ，
解得 ；
（2）解：由 得 ，
∴ ，∴ ，
解得 或 ；
（3）解：函数图象如图所示，
由图象可得， 时x的取值范围为： ．
19．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数 ．
(1)将 配方得_____；
(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象（不需要列表）；
(3)当x为 时， ；
(4) 时，直接写出y的取值范围是 ；
(5)当 时，函数y的取值范围为 ，则a的值为 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
(4)(5)
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，画二次函数图象；
（1）根据配方法化为顶点式，即可求解；
（2）根据顶点式确定顶点坐标，以及与 轴的交点坐标，根据二次函数图象的对称性画出函数图象，即可
求解；
（3）根据函数图象可得 时， ，
（4）结合函数图象，当 时，得出 的范围；
（5）根据 时，函数y的取值范围为 ，令 ，得出 ，即可求解．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ．
（2）解：如图所示，
（3）解：根据函数图象可得，当 时， ，
故答案为： ．
（4）解：根据函数图象可得当 时， ，
当 时， 取得最大值为 ，
∴当 ，y的取值范围是 ；
故答案为： ．
（5）解：∵当 时，函数y的取值范围为 ，
当 时， ，
当 时， ，当 时，
解得： 或 （舍去）
则a的值为 ，
故答案为： ．
20．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数 ．
(1)该二次函数的顶点坐标为 ；函数的图象与 轴的交点坐标为 ；
(2)在平面直角坐标系中画函数图象．（把顶点坐标和图象与 轴交点坐标填在表格中，再完善表格）
… …
… …
(3)该抛物线关于 轴对称的抛物线的表达式为 ．
(4)当 时，直接写出二次函数 中 值的取值范围是 ．
【答案】(1) ； ，
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，画二次函数图象，图形的对称，熟练掌握相关性质是解题的
关键．
（1）将二次函数的解析式化成顶点式即可得顶点坐标，令 ，求解一元二次方程即可得函数的图象与
轴的交点坐标；（2）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可；
（3）根据对称性，先求出该抛物线关于 轴对称的抛物线的顶点坐标，即可得新抛物线的表达式；
（4）先求出当 时，对应的 值，然后观察函数图象，即可确定所求．
【详解】（1）解： ，
该二次函数的顶点坐标为 ，
令 ，即 ，
解得 ， ，
函数的图象与 轴的交点坐标为 ， ；
故答案为： ； ， ．
（2）解：完善表格如下：
… …
… 0 …
将表格数据描点连线画出如下函数图象：
（3）解： 该抛物线的顶点坐标为 ，
该抛物线关于 轴对称的抛物线的顶点坐标为 ，
该抛物线关于 轴对称的抛物线的表达式为 ；
故答案为： ．（4）解：当 时， ，
当 时，二次函数 中 值的取值范围是 ．
故答案为： ．
21．（2025·贵州铜仁·模拟预测）自主学习，阅读下列解题过程：
解一元二次不等式：
解：设 ，解得： ， ，则二次函数 的图象与x轴的交点坐标为 和 ，
画出二次函数 的大致图象如图（1）所示，由图象可知，当 或 时，函数图象位于x轴
上方，此时 ，即 ，
所以一元二次不等式 的解集为 或 ．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
(1)上述解题过程中，主要渗透了下列数学思想中的______；（选择1个，填写序号）
①分类讨论思想；②数形结合思想；
(2)一元二次不等式 的解集是_______；
(3)用类似的方法解一元二次不等式 （要求：在备用图中画出大致图象）
【答案】(1)②
(2)
(3)图象见解析，一元二次不等式 的解集为： 或
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点坐标、一元
二次方程的解法等知识点，理解二次函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据题意容易得出结论；（2）观察图象即可写出一元二次不等式 的解集；
（3）先设函数解析式，求出抛物线与x轴相交的两点，大致画出画出抛物线，根据 确定一元二次不
等式 的解集即可．
【详解】（1）解：根据解题过程中，渗透了数形结合思想．
故答案为：②；
（2）解：由图象可知：当 时函数图象位于x轴下方，此时 ，即 ，
∴一元二次不等式 的解集为： ．
故答案为： ．
（3）解： ，
设 ，
解得： ， ，
∴抛物线 与x轴的交点坐标为 和 ，
如图：画出二次函数 的图象，
由图象可知：当 或 时，函数图象位于x轴下方，此时 ，即
，
∴一元二次不等式 的解集为： 或 ．
【经典例题四 二次函数的最值问题】
22．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）学校要建一个矩形花圃（如图），其中一边靠墙，另外三边用
篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边 长为 米，围成的矩形花圃面积为 平方米．(1)求 与 的函数关系式，写出函数的定义域；
(2)围成的矩形花圃面积何时最大？求出此时 的值与面积的最大值．
【答案】(1)
(2)围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800平方米，此时x的值为20
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题时要熟知等量关系是关键．
（1）依据题意， ，从而 ，再由 ，且 ，可得 的范围；
（2）由（1）的结论，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：依据题意， ，
∴ ．
∵ ，且 ，
∴ ；
（2）解：由（1）得， ，
又∵ ，且 ，
∴当 时，S取最大值为800．
答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800平方米，此时x的值为20．
23．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点
是函数图象上任意一点，纵坐标 与横坐标 的差“ ”称为点 的“纵横值”．函数图象上所有点的
“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点 在函数 图象上，点 的“纵
横值”为 ，函数 图象上所有点的“纵横值”可以表示为 ，当
时， 的最大值为 ，∴函数 的“最优纵横值”为10．根据定义，
解答下列问题：(1)点 的“纵横值”为________；
(2)若二次函数 的顶点在直线 上，且最优纵横值为5，求 、 的值；
(3)若二次函数 的顶点在 ，当 时，求该二次函数的纵横值的范围．
【答案】(1)8
(2) ，
(3)
【分析】本题考查配方法和二次函数的性质的应用：
（1）根据“纵横值”的定义求解即可；
（2）根据二次函数的顶点的位置可求出b的值，表示出 ，利用配方法求出其最大值即可求出c；
（3）根据二次函数顶点在直线上可求出h，表示出 ，利用配方法求出其最大值，并结合二次函数图
象性质求出其最小值，从而得到答案．
【详解】（1）解：
故答案为：8；
（2）解：∵二次函数 的顶点在直线 上，
∴ ，即 ，
∴ ，
则 ，
即二次函数的最优纵横值为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（3）解：二次函数 的顶点坐标为 ，
∵顶点在直线 上，∴ ，解得 ，
故二次函数为 ，
则 ，
当 时，当 时， 的最大值为 ，
当 时， 有最小值 ，
∴当 时，求该二次函数的纵横值的范围是 ．
24．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C，直线l与抛物线交于 ， 两点，点P是直线 上方抛物线上一点，设点P的横坐标为
m，过点P作 垂直于 于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当 的长最大时，求线段 的最大值及此时点P的坐标；
【答案】(1)
(2)点P的坐标为： ，PE的最大值为
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和
性质．
（1）把 和 代入到 进行求解即可；
（2）过点P作 轴于点 ，交 于点N，设直线 的表达式为 ，再把 和代入求解一次函数，进而可得 为等腰直角三角形，则 ，设点P的坐标为
和点 为 ，表达出 ，即可得到解答．
【详解】（1）解：∵ 和 在抛物线上，
∴ ，
解得 ，
故抛物线的表达式为 ；
（2）解：过点P作 轴于点 ，交 于点N，
设直线 的表达式为 ，
∵ 和 在直线 上，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的表达式为： ，当 时，则 ，
∴直线 与y轴交于点 ，
又∵点 为 ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴直线 和x轴的正半轴的夹角为 ，
∴ ，
∴ ，
设点P的坐标为 ，点 ，
∴
，
∵ ，且 ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
∴点P的坐标为 ，
又∵ ，
∴ 的最大值为 ．
25．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，抛物线经过点 、 ，其顶点为 ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点 为直线 上方抛物线上的任意一点，过点 作 轴交直线 于点 ，求线段 的最大值
及此时点 的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)线段 的最大值为 及此时点 的坐标为
【分析】本题考查了一次函数图象与性质，二次函数的解析式求解，二次函数的最值问题和函数图象上点
的坐标关系．
（1）根据一次函数 ，分别令 和 ，求出直线与 轴、 轴的交点 、点 的坐标，然后
根据抛物线 经过点 、 ，将这两点坐标代入抛物线解析式得出方程组并求解得出抛物线
解析式即可；
（2）设点 的坐标为 ，由于 轴交直线 于点 ，得到点 横坐标为 ，代入直线
得出点 坐标，然后用点 纵坐标减去点 纵坐标求出线段 长度的解析式，然后将其化为顶
点式得出当 时， 取得最大值，最大值为 ，最后将 代入抛物线解析式求出点 纵坐标即可．
【详解】（1）解： 直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，， ．
抛物线 经过点 ， ，
将点 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
抛物线解析式为 ，
即 ．
（2）解：设点 的坐标为 ，
轴交直线 于点 ，
点 的坐标为 ，
，
将 整理成顶点式可得
该二次函数图象开口向下，当 时， 取得最大值，最大值为 ．
将 代入抛物线解析式 得 ，
点 的坐标为 ．
26．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图 ，抛物线 交x轴于点 和点B，
交y轴于点 ．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点 在抛物线对称轴上，是否存在一点 ，使 的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存
在说明理由．
(3)如图 ，设点 是线段 上的一动点，作 轴，交抛物线于点 ，求线段 长度的最大值．
【答案】(1)
(2)存在， 的周长最小值为
(3)
【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，周长与线段的最值问题；
（1）把点 、 的坐标分别代入函数解析式，解方程组即可得到结论；
（2）根据轴对称的性质， ，则当 在 上时， 的周长最小，求得直线 的解析式，代
入 ，即可求解；
（3）先求出直线 的解析式为 ，再设 点坐标为 ，则 点坐标为 ，然
后用含 的代数式表示 ，根据二次函数的性质即可求出线段 长度的最大值．
【详解】（1）把 ， 代入 ，得： ，
解得： ，
故该抛物线的解析式为： ；
（2）存在，理由如下，
∵ ，对称轴为直线 ，∵点 在抛物线对称轴上， 关于 对称，
∴ ，
∴
当 在直线 上时， 的周长最小
∵设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入，得： ，
解得： ，
即直线 的解析式为 ．
∴当 时，
∴
当 时，
解得：
∴
∴ 的周长最小值为：
（3）∵直线 的解析式为 ．
设 点坐标为 ，则 点坐标为 ，
，
∴当 时， 有最大值 ．
27．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）函数 ，(1)在平面直角坐标系中画出函数图象；
(2)当 时，求 的值；
(3)当 随 的增大而增大时， 的取值范围为 ；
(4)若在函数图象上有点 （ 与 不重合）． 的横坐标为 的横坐标为 ．小亮对 之
间（含 两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随 的变化而变化， 的取
值范围为 ．
【答案】(1)见解析
(2) 或1
(3) 或
(4) 或
【分析】（1）根据题意，列表，描点，然后连线，即可解答；
（2）分两种情况：若 ，若 ，，即可求解；
（3）直接观察图象，即可求解；
（4）根据题意可得点P，Q关于直线 对称，当 时，函数取得最小值，为 ，
当 时，函数取得最大值，为 ，再结合当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，
然后分两种情况，画出函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，列表如下：
x 0 1 2 3
y 0 3 2 3 6
在平面直角坐标系中画出函数图象，如下：（2）解：若 ，此时 ，
解得： ；
若 ，此时 ，
解得： ；
综上所述，当 时， 的值为 或1；
（3）解：观察图象得：当 随 的增大而增大时， 的取值范围为 或 ；
故答案为： 或
（4）解：∵ 的横坐标为 的横坐标为 ，
∴ ，即点P，Q关于直线 对称，
当 时，函数取得最小值，为 ，
当 时，函数取得最大值，为 ，
∵当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，且 时， ， 时， ，
当 时，画出函数图象，如下：由题意得： ，
∴ ；
当 时，画出函数图象，如下：
由题意得： ，
解得： ；
综上所述，m的取值范围为 或 ．
故答案为： 或
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，
正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
28．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）阅读下列材料：
某同学遇到这样一个问题：在平面直角坐标系 中，已知直线 ，点 在抛物线上，求点A到直线l的距离d．
如图1，他过点A作 于点B， 轴分别交x轴于点C，交直线l于点D，他发现 ，
，可求出 的长，再利用 求出 的长，即为点A到直线l的距离d．
请回答：
（1）图1中， ____________，点A到直线l的距离 ____________．
参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：
在平面直角坐标系 中，点M是抛物线 上的一动点，设点M到直线l的距离为d．
（2）如图2，
① ， ，则点M的坐标为____________；
② ，在点M运动的过程中，求d的最小值；
【答案】（1）3； ；（2）① 或 ；②
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，
正确理解题意是解题的关键．
（1）先求出A、D的坐标，进而得到点C的坐标，则可证明 得到 ，进而可证明
是等腰直角三角形，得到 ，由勾股定理可得 ，据此可得答案；
（2）①过点M作 于E，过点M作 轴交直线l于F，设 ，则 ，
；可证明 是等腰直角三角形，得到 ，则 ，
即可得到 ，解方程即可得到答案；②设 ，则 ，，可求出 的最小值为 ；同理可得 ，则 ，
据此可得答案．
【详解】解：（1）∵ 轴，
∴ 轴，
在 中，当 时， ，
在 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点A到直线l的距离 ；
（2）①∵ ，
∴直线l必定在抛物线下方；
如图所示，过点M作 于E，过点M作 轴交直线l于F，设 ，则 ，
∴ ；
与（1）同理得 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
∴点M的坐标为 或 ；
②设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 ，即 时， 有最小值，最小值为 ；
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，即d的最小值为 ．
【经典例题五 二次函数的存在性问题】
29．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知抛物线经过点 ， ， 三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在 轴下方的抛物线上，是否存在点 ，使得 ？若存在求出 点的坐标；若不存在，请
说明理由；
【答案】(1)
(2) ，
【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练求得二次函数
解析式．
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）设存在点 ，列出方程求出 的值，再利用待定系数法求出点 坐标即可
【详解】（1）解：设抛物线方程为 将 ， ， 三点代入可得：，
解得 ，
所以抛物线的解析式为 ；
（2）解：设存在点 ，由题意可知， 以 为底，则高为 ，
，
在 中，以 为底，则高为 ，
，
点在 轴的下方，
，
，
在抛物线上，所以满足抛物线方程．代入得： ，
解得 ， ，
所以 点的坐标为： ， ．
30．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）在矩形 中， ， ，点P从点A开始
沿边 向终点B以 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边 向终点C以 的速度移动．
如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空： ___________ ， ___________ （用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时， 的长度等于 ？(3)是否存在t的值，使 的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或2
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及勾股定理的应用，关键是表示出 、 的长度．
（1）根据P、Q两点的运动速度可得 、 的长度；
（2）根据勾股定理可得 ，代入相应数据解方程即可；
（3）根据三角形的面积 代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即
可．
【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边 向终点C以 的速度移动，
∴ ；
∵P从点A开始沿边 向终点B以 的速度移动，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ； ．
（2）解：由题意得： ，
解得： ， ；
∴当 或 时， 的长度等于 ；
（3）解：由题意得 ，
，
当 时， 的面积最大.31．（2025·陕西·模拟预测）如图，抛物线 的图象经过 ， 两点，与 轴交
于点 ， 是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式和顶点 的坐标；
(2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为 ，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点 ，使以 ，
， ， 为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点 的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2)点 的坐标为 或 ，当点 的坐标为 时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向
上平移 个单位长度；当点 的坐标为 时，原抛物线向左平移1个单位长度．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可
（2）设 ，分三种情况讨论：①以 为对角线时，由 ，求出m的值，再由中点
坐标公式，求得 ，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移 个单位长度；②以
为对角线时，点P在x轴上，则 ，从而求得 ，则平移的方向为向左平移1个单位长度；
③以 为对角线时，矩形不存在
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键
【详解】（1）解： 抛物线与 轴交于点 ， ．
将 ， 代入 ，
得 解得
抛物线的表达式为 ，
，
顶点 的坐标为 ；
（2）存在．
如图，设 ．
①以 为对角线．
此时 ， ， ，
，
即 ，解得 ．
， 为矩形的对角线， 由中点坐标公式，得 ，
平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移 个单位长度．
②以 为对角线．
， 点 在 轴上， ，则 ，平移的方向为向左平移1个单位长度．
③以 为对角线时，矩形不存在．
综上所述，点 的坐标为 或 ，当点 的坐标为 时，
原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移 个单位长度；
当点 的坐标为 时，原抛物线向左平移1个单位长度．
32．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，已知抛物线L： 与x轴交于A、
B两点．与y轴交于C点．且 ，
(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)将抛物线L： 的图象向上平移2个单位长度，向左平移 个单位长度后，恰
好经过点 ，求m的值；
(3)连接 、 ，在抛物线上是否存在一点N，使 ？若存在，求出点N的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、三角形的面积、待定系数法求函数解析式，明
确题意，熟练掌握二次函数的性质和数形结合的思想是解答本题的关键．
（1）计算出点坐标，待定系数法计算解析式即可；（2）根据平移法则，写出平移后的解析式，代入点坐标计算即可解答；
（3）设出点N的坐标，表示出面积，分类讨论计算出点N的坐标．
【详解】（1）解： ， ，
，
， ，
把A，B，C的坐标代入 ，
得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解： ，
将 向上平移2个单位，向左平移 个单位，
得到 ，
平移后图象过 ，
，
解得 ， ，
，
；
（3）解：存在，
设 ，， ，
，
，
，
，
，
，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
点N的坐标为 或
33．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与
轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 ，若点 在抛物线的对称轴上，当 平分 时，求点 的坐标；
(3)如图 ，平行于 轴的动直线 从 轴出发向上平移，直线 与抛物线交于点 ， （点 在点 左
侧），若在 轴上存在点 使 是等腰直角三角形，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)(3) 点坐标为 或
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，角平分线的定义及性质，三
角形全等的判定及性质，勾股定理是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设 与 轴交于 点，过点 作 于点 ，证明 ，在 中，利用
勾股定理得出 ，求出 ，直线 与抛物线对称轴的交点即为 ；
（3）设直线 的解析式为 ，当 时，求得 ， ，
则 ，当 ， 时， ，求出 ；当 时，
，求出 ；当 ， 时， ， ，求出
．
【详解】（1）解：将点 、 代入 得： ，
解得： ，
∴ ．
（2）解：当 时， ，
∴ ，
设 与 轴交于 点，过点 作 于点 ，
平分 ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴
，
，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ．
（3）解：设直线 的解析式为 ，
当 时，解得： 或 ，
∴ ， ，
∴ ，
当 ， 时， ，
解得： 或 （舍），∴ ；
当 时， ，
解得 或 （舍 ，
∴ ；
当 ， 时， ，
∴ ，
解得： 或 舍 ，
∴ ，
∴ ；
综上所述： 点坐标为 或 ．
34．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于
、B两点，其顶点为 ，直线 与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛
物线上一动点，过P点作 轴于点F，交直线 于点E，设点P的横坐标为m．
(1)请直接写出抛物线的解析式；
(2)若 ，求m的值；
(3)连接 ，是否存在点P，使 是以 为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)(2)1或
(3)存在，
【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，设抛物线的解析式为 ，把点A的坐标代入，可得抛物
线的解析式；
（2）根据抛物线解析式与直线解析式表示出点P、E的坐标，然后表示出 ，再列出绝对值方程，
然后求解即可；
（3）根据等腰三角形的性质，可得点C在线段 的垂直平分线上，即线段 的中点的纵坐标为 ，再
列出关于m的方程，然后求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为 ，
∴可设抛物线的解析式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
解得： ，
∴点 ，
∵P在x轴下方，
∴ ，
设点P的横坐标是m，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，若 ，
解得： 或5（舍去）；
若 ，
解得： 或 （舍去）；
综上所述， 或1；
（3）解：存在，
∵直线 与y轴交于点C，与x轴交于点D，
∴点 ，
∵ 是以 为底边的等腰三角形，
∴点C在线段 的垂直平分线上，
即线段 的中点的纵坐标为 ，
根据题意得： ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标
特征，等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
35．（2025·广东·模拟预测）综合运用
如图，抛物线 交x轴于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，交y轴正半轴于
点C，且 ，点P是抛物线对称轴上一动点．(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P的纵坐标为1，请判断 的形状，并说明理由；
(3)已知点D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，点Q为抛物线上一动点，是否存在点
P，Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) 是等腰直角三角形．理由见解析
(3)存在，点Q的坐标为 或 或 ．
【分析】（1）先求得 ，推出 ， ，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求得 ，过点C作直线 的垂线，垂足为M，设直线 与x轴的交点为N，证明
，即可推出 是等腰直角三角形；
（3）设点P的坐标为 ，点Q的坐标为 ，根据平行四边形对角线性质以及中点坐标
公式分三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：在 中，
令 ，得 ．
∴ ，
∴ ．
又 ，
∴ ， ．
∴ ， ，
将 ， 代入 ，得 ，
解得 ．
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解： 是等腰直角三角形．
理由如下：
抛物线 的对称轴为直线 ．
∴ ，
如图，过点C作直线 的垂线，垂足为M，设直线 与x轴的交点为N，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ， ， ， ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ．
又 ，∴ ．
∴ ．
∴ 是等腰直角三角形；
（3）解：设点P的坐标为 ，点Q的坐标为 ，
∵ ，对称轴为直线 ，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，
∴ ，
根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式可得：
①当以 为对角线时，
，即 ，
解得 ，此时点 的坐标为 ；
②当以 为对角线时，
，即 ，
解得 ，此时点 的坐标为 ；
③当以 为对角线时，
，即 ，
解得 ，此时点 的坐标为 ；综上，点Q的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合以及平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及平行四
边形的性质是解题的关键．
【经典例题六 二次函数的图象和性质综合应用】
36．（2025·广东广州·模拟预测）已知抛物线 的对称轴为直线 ．
(1)若点 在抛物线上，求 的值；
(2)若点 ， 在抛物线上，
①当 时，求 的取值范围；
②若 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)① 或 ②
【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质等，熟悉二次函数图象和性
质是本题解题的关键．
（1）将点 代入抛物线表达式，即可求解；
（2）①当 时， ，即可求解；当 时， 即 ，，同理可解；
②将点 ， 代入抛物线表达式得：整理得到 ，进而求解．
【详解】（1）解：将点 代入抛物线表达式得：
，
则
∵对称轴
∴（2）①当 时， ，
则抛物线的表达式为： ，
顶点坐标为
∵点 ， 在抛物线上
当 时，
解得： ；
当 时， 即 ，
解得： ，
故 或 ；
②∵点 ， 在抛物线上， ，
∴ ， 在对称轴的右边，且 随 的增大而增大，
∴
将点 ， 代入抛物线表达式 得：
得
，
，
，
由 ，整理得
则 ，∵ ，
则 ，
∵
则 ，
则
则 ，
综上
37．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）对于二次函数 ，定义它在 （p，q是常
数）上的最大值与最小值之差为该函数在 上的“幅度”R，即 ．
(1)已知二次函数 ，求它在 上的“幅度”
(2)已知二次函数 （m为常数）．
①求该函数在 上的“幅度”R与m的关系式．
②是否存在实数m，使得该函数在 上的“幅度” ？若存在，求出m的值；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)4
(2)① ；② 或
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）把解析式化为顶点式，求出对称轴，顶点坐标，再根据开口方向得到增减性，根据增减性可确定
时函数的最大值与最小值，再根据“幅度”的定义求解即可；
（2）①把解析式化为顶点式，求出对称轴，顶点坐标，再根据开口方向得到增减性，再讨论对称轴的位
置，根据增减性确定 时函数的最大值与最小值，再根据“幅度”的定义求解即可；②根据（2）①
所求令 ，求出m的值即可得到答案．【详解】（1）解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
∴离对称轴越远函数值越大；
在 中，当 时， ，当 时， ，
∵ ，
∴当 时，函数 的最大值为6，最小值为2，
∴二次函数 在 上的“幅度”为 ；
（2）解：①∵二次函数解析式为 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
∴离对称轴越远函数值越大；
当 时，
当 时，当 时，函数有最小值，最小值为 ，当 时，函数有最大值，最大值为
，
∴ ；
当 时，当 时，函数有最小值，最小值为 ，当 时，函数有最大值，最大值为 ，
∴ ；
当 时，当 时，函数有最小值，最小值为 ，当 时，函数有最大值，最大值为 ，
∴ ；
当 时，当 时，函数有最小值，最小值为 ，当 时，函数有最大值，最大值为 ，
∴ ；
综上所述， ；
②当 时，解得 ，不符合题意；当 时，解得 或 （舍去）；
当 时，解得 或 （舍去）；
当 时，解得 ，不符合题意；
综上所述， 或 ．
38．（25-26九年级上·广西·阶段练习）在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，若图形 上存在一
点 ，且满足当 时， ，则称点 为图形 的一个“垂近点”．
(1)如图，图形 为线段 ，点 ， ．
①判断点 是否是线段 的“垂近点”？说明理由；
②请在图中画出点 所有可能的位置；（用阴影部分表示）
(2)若图形 为直线 ，在二次函数 图象上仅有一个图形 的“垂近点”，求 的值．
【答案】(1)①是，理由见解析；②见解析
(2) 或
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查两点间的距离，反比例函数与几何的综合应用，掌握
“垂近点”的定义是解题的关键．
（1）①根据垂近点的定义，进行判断即可；
②根据垂近点的定义，画出点M所有可能的位置即可；
（2）将 化成顶点式，分 ， ，两种情况进行讨论，根据“垂近点”的定义，即可求解．
【详解】（1）解：①是，理由如下：
图形 为线段 ，点 ， ，
∵ ，
∴图形 上存在点 ，
∵ ，
∴点 是线段 的“垂近点”；
②M所有可能的位置，如图所示，
（2）解：将 化成顶点式为 ，
∵二次函数 图象上仅有一个图形F的“垂近点”，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴ 或 ．
39．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线 经过 ， 两点，与 轴
交于点 ， 为抛物线上的动点，连接 ， ， ， ， 与 相交于点 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)若 为第一象限抛物线上的动点，设 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求点
的坐标；
(3)是否存在点 ，使 ，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3)存在，点P的坐标为 或 )．
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质等知识，
掌握相关知识是解题的关键．
（1）将 ， 代入 ，即可求解析式；
（2）由已知可得 ，则 ，设 ，则有 ，
解出 或 ，即可求 或 ；
（3）分两种情况：①当点P在 上方时，如图1，在x轴正半轴上取点 ，连接 ，过点A作
交抛物线于另一点P，先证明 ，可得 ，再由 ，得出
，可推出 ，运用待定系数法可求得直线 的解析式为 ，进
而得出直线 的解析式为：y=-4x+16，联立方程组即可求得点P的坐标；②当点P在 下方时，如图
2，在y轴上取点 ，连接 交抛物线于点P，可证 ，进而推出 ，利用待定系数可得直线 的解析式为 ，联立即可求得点P的坐标．
【详解】（1）解：将 ， 代入 ，
得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解： ，
，
∵ ，
， ，
，
，
设 ，
，
或 ，
∴ 或 ；
（3）解：存在点P，使 ，理由如下：
①当点P在 上方时，如图1，在x轴正半轴上取点 ，连接 ，过点A作 交抛物线于另
一点P，∵ ，
，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，∵ ，
∴设直线 的解析式为 ，把 代入得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
由
解得： ， （不符合题意，舍去），
∴ ；
②当点P在 下方时，如图2，在y轴上取点 ，连接 交抛物线于点P，
则 ，
∵ ，
，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，把点 代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
由 ，
解得： （舍去）， ，
，
综上所述，点P的坐标为 或 )．
40．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）已知二次函数 ，按以下步骤画图并填空：
(1)将 的右边配方，得 ，故抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
(2)列表（根据表格中所给自变量的数值，求出对应的函数值，填到下表中）：
0
(3)描点，连线；
由图象可知，对于二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大；当 时，函数有最 （填
“大”或“小”）值，为 ．
【答案】(1) ， ，(2)见解析
(3)图见解析， ， ，小，
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
（1）先化为顶点式，再利用二次函数的性质可得结论；
（2）将对应的x值代入函数表达式中求函数值，进而可完成表格；
（3）描点、连线可得函数图象，再根据函数图象可得相关结论．
【详解】（1）解： ，
则该抛物线的对称轴为直线
，顶点坐标为 ，
故答案为： ， ， ；
（2）解：因为抛物线的对称轴为直线 ，
∴当 和 时， ；
当 和 时， ，
当 时， ，
完成表格如下：
0 0
（3）解：函数图象如图所示：
由图象可知，对于二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大；当 时，函数有最小
值，为 ，故答案为： ， ，小，
41．（2025·湖南长沙·模拟预测）我们约定：若抛物线 ： 和抛物线 ：
的顶点分别为不重合的两点 与 ，同时满足： 在 的图象上， 在 的图象
上．则称抛物线 与 是互为“携手共进”的抛物线，根据该约定，完成下列问题：
(1)请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的横线上，正确的打“√”，错误的打
“×”．
① ： 的“携手共进”抛物线一定经过 ______．
② ： 与 ： 是互为“携手共进”的抛物线______．
③若两条抛物线是互为“携手共进”的抛物线，则这两条抛物线的二次项系数互为相反数______．
(2)若抛物线 ： （m，n为实数且 ）与 ： 互为“携手共进”
的抛物线，且当 时，抛物线 最低点的纵坐标为 ，求m的值；
(3)已知抛物线 ： 的顶点为点A，与x轴交于点M、N，抛物线 ： 的顶
点为点B，与x轴交于点P、Q，若抛物线 与 是互为“携手共进”的抛物线，且 ，请问线段
AB是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)①√；②×；③√
(2)
(3)是定值，
【分析】（1）根据“携手共进”的抛物线的定义判断即可得解；
（2）由二次函数的性质可得 的顶点坐标为 ，由“携手共进”的抛物线的定义得出点
在抛物线 上，求得 ， 由题意得当 时， 的最小值为 ，由此计算即可得解；（3）由抛物线的性质可得抛物线 的顶点为点 ，抛物线 的顶点为点 ，由一元二
次方程根与系数的关系可得 ， ， ， ，表示出
， ，结合题意得出 ，从而得出 ①，
由“携手共进”的抛物线的定义可得 ②，求出 ③，即可得解．
【详解】（1）解：①根据“携手共进”的抛物线的定义可得： ： 的“携手共进”
抛物线一定经过 ，故√；
② ： 的顶点 在 ： 上，而 ： 的顶点 不在
图象上，所以彼此不是“携手共进”的抛物线，故×；
③∵顶点不同的两条抛物线 ： 与 ： 携手共进，
∴有 ，
两方程相加得 ，
∵ ，
∴ ，
∴解析式中的二次项系数一定是互为相反数，故√；
故答案为：①√，②×，③√；
（2）解：∵ ： ，
∴ 的顶点坐标为 ，
∵抛物线 ： （m，n为实数且 ）与 ： 互为“携手共进”的抛物线，
∴点 在抛物线 上，
∴ ，化简得 ，
由题意得，当 时，抛物线 最低点的纵坐标为 ，
即当 时， 的最小值为 ，
∵ ，
∴ ，开口向下，对称轴为直线 ，
∴ 时， ，
∴ ，
综上所述， ；
（3）解：是定值，理由如下：
∵ ， ，
∴抛物线 的顶点为点 ，抛物线 的顶点为点 ，
∵抛物线 ： 与x轴交于点M、N，
∴ ， ，
∴
∵抛物线 ： 与x轴交于点P、Q，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ①，
∵抛物线 与 是“携手共进”的抛物线，
∴点 在抛物线 上，
∴ ，
化简得： ②，
把①代入②，得： ，
即 ③，
∴
④，
把③代入④，得： ，
∴线段 的长为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，新定义问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上
知识点并灵活运用是解此题的关键．
42．（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数 ，则称二次函数
是二次函数 的伴随二次函数，t是伴随值．
定义理解
（1）下列二次函数中，是二次函数 的伴随二次函数的是（ ）
A． B．C． D．
深入探究
（2）已知二次函数 的图象如图所示，其伴随二次函数是 ．
①伴随值为 ；
②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象；
③当 时，记二次函数 与 的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐
标．
【答案】（1）C；（2）①2；②见解析；③ 或
【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键．
（1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可；
（2）①将 变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合
取值范围及二次函数的性质分情况求解即可．
【详解】解：（1）对于二次函数
当伴随值为1时，其伴随二次函数是 ；
当伴随值为 时，其伴随二次函数是 ；
当伴随值为2时，其伴随二次函数是 ；当伴随值为 时，其伴随二次函数是 ；
故选：C．
（2）①设伴随值为t，
则 ，
，
．
故答案为：2；
②列表：
0 2 3 4 6
5 5
依次描出点 ，
画图如图所示：
③令 得 或 ；
令 得 或 ．
结合函数图象可知，只能是 或 ，
或3．
当 时， ，此时 且 随x的增大而减小，∴当 时， 有最小值，为
∴此时W的最低点的坐标为 ．
当 时， ，此时 且 随x的增大而增大，
∴当 时， 有最小值，为
∴此时W的最低点的坐标为 ．
综上，W的最低点的坐标为 或 ．
【经典例题七 实际问题与二次函数的综合应用】
43．（25-26九年级上·陕西·期中）陕西的水果种类繁多，品质优良，成为了当地经济的重要支柱．随着苹
果的大量上市，某水果销售商以每箱30元的价格购进了一批苹果进行销售，经过一段时间后，发现以每箱
40元的价格销售这批苹果时，平均每天可以售出80箱，若每箱苹果的售价每提高1元，则平均每天少售
出2箱．
(1)求销售这批苹果平均每天的利润 元与每箱的售价 （元）之间的函数关系式；
(2)当每箱苹果的售价为55元时，求销售这批苹果平均每天的利润．
【答案】(1)
(2)销售这批苹果平均每天的利润为 元
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
（1）根据题意列出 与 之间的函数关系式即可；
（2）把 代入二次函数即可解答．
【详解】（1）解： ；
（2）解：当 时， ，
所以销售这批苹果平均每天的利润为 元．
44．（25-26九年级上·山西大同·阶段练习）如图，利用一面墙（墙的长度不超过 ），用 长的篱笆
围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有 宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设 ，矩形的面积为 ．
(1)请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？
【答案】(1)
(2)当 米时，矩形场地的面积最大，最大值为 平方米
【分析】本题考查了实际问题与二次函数，正确理解题意是解题关键．
（1）由题意得， ，再利用矩形的面积公式即可求解；
（2）根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由题意得， ，
则 ，
由题意得， ，
∴ ；
（2）解： ，
当 米时，矩形场地的面积最大，最大值为 平方米．
45．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球
洞A飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平
距离为9米．已知山坡 与水平方向 的夹角为 ，O、 两点相距 米．(1)求出点 的坐标及球的飞行路线所在抛物线的解析式；
(2)请通过计算，判断小明这一杆能否把球直接打入球洞 ．
【答案】(1) ，
(2)不能
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键：
（1）根据含30度的直角三角形的性质，求出 的长，进而求出点 的坐标，设出顶点式，利用抛物
线经过原点，待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）将 点的横坐标代入解析式，求出函数值，进行判断即可．
【详解】（1）解：由图可知： ，由题意， ，
∴ ， ，
∴ ，
由题意，抛物线的顶点坐标为 ，且过原点，
设抛物线的解析式为 ，把 代入，得 ，解得 ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴当 时， ，
∴小明这一杆不能把球直接打入球洞 ．
46．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当
水面下降1m时，水面宽度增加多少？(1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________．
(2)依据你的建系方案：
①设出抛物线解析式为___________________．
②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可）
(3)直接写出：当水面下降 时，水面宽度增加多少？
【答案】(1)见解析
(2)① ；②
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）建立平面直角坐标系，设横轴x通过 ，纵轴y通过 中点O且通过C点，O为原点，即可；
（2）①根据题意可得抛物线的顶点坐标为 ，即可求解；②根据题意可得 ，即可求解；
（3）把点 代入 ，求出抛物线的解析式，再把 代入抛物线的解析式，即可求解．
【详解】（1）解∶ 如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过 ，纵轴y通过 中点O且通过C
点，O为原点，
（2）解：①根据题意得：抛物线的顶点坐标为 ，
∴可设出抛物线解析式为 ；
故答案为： ；②根据题意得： ，
∴抛物线经过的点 ；
故答案为：
（3）解：把点 代入 得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
解得： ，
∴当水面下降 时，水面宽度为 ，
∴当水面下降 时，水面宽度增加了 ．
47．（25-26九年级上·全国·课后作业）某科技小组运用信息技术模拟火箭“火龙出水”的运行过程．如下
图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线
和直线 ．其中，当火箭运行的水平距离为 时，自动引发火箭的第二级．若火箭
第二级的引发点的高度为 ．
(1)直接写出a，b的值．
(2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 ，求这两个位置之间的距离．
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用．
（1）将 代入即可求解；
（2）将 变为 ，即可确定顶点坐标，即最高点 ，由比火箭运
行的最高点低 ，得出 ，进而对应的x的值，然后进行比较再计算即可．
【详解】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为
∴抛物线 和直线 均经过点
∴ ，
解得 ， ；
（2）由①知，直线 ，抛物线
∴
∴最大值
当 时，
则
解得 ，
又∵火箭运行的水平距离为 时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为 ．
∴ 不合题意舍去；
∴当火箭第二级高度 时，在第二次则
解得∴这两个位置之间的距离 ．
48．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨
度 为4米．在距点 水平距离为 米的地点，拱桥距离水面的高度为 米．小路同学根据学习函数的经
验，对 和 之间的关系进行了探究．
/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4
/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.6 0.88
经过测量，得出了 和 的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，通过观察发现 是
关于 的 ．
（1）根据表中数据写出桥墩露出水面的高度 米；
（2）求 与 之间的函数关系式；
（3）公园欲开设游船项目，现有长为3.5 ，宽为1.5 ，露出水面高度为1.88 的游船．为安全起见，公
园要在水面上的 两处设置警戒线，并且 ，要求游船能从 两点之间安全通过，则 处距
桥墩距离 至少为多少米．
【答案】图象见解析；二次函数；
（1）0.88；（2） ；（3） 米
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式的求解，一元二次方程的应用，解决本题的
关键是求解出二次函数关系式．
将表格中对应的点在坐标系下描出，可发现该函数图象为抛物线，由此可得 是关于 的二次函数．
（1）根据表格中 时y的取值即可求解高度 ；
（2）由待定系数法求解即可；
（3）先令 ，求解x的值，即可得在距点 水平距离的地点，由此可求．
【详解】解：图象如下：由此可得 是关于 的二次函数．
故答案为：二次函数．
（1）由表格可知，当 时， ，
∵拱桥距离水面的高度为 米，
∴桥墩露出水面的高度 米；
故答案为：0.88；
（2）由（1）知，当 时， ，
设 与 之间的函数关系式为 ，
由表格可知，当 时， ；当 时， ；
∴ ，解得 ，
∴ ，
与 之间的函数关系式为 ；
（3）令 ，即 ，
整理可得 ，
解得 （舍）， ，
∴ 处距桥墩距离 至少为 米．
49．（2025·广东·模拟预测）一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的
碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．小丽从书包里拿
出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根
据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径 ，碗底直径 ，面碗的边沿
上一点B到桌面 的距离 ，碗足高 ．小丽又进一步建立以 所在直线为x轴，以碗的中轴线（面碗的上下两个底面圆的圆心所在直线）m为y轴的平面直角坐标系（如图3）．
(1)请你帮助小丽求出碗的轴截面所在抛物线的函数解析式；
(2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面 与桌面 的距离为 时，求此时面碗中水面 的宽度．
【答案】(1)
(2)此时面碗中水面 的宽度为
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据题意可知点 、点 ，设抛物线的表达式为 ，然后根据待定系数法可进行
求解；
（2）由题意可知当 与桌面 的距离为 时，则 ，然后代入二次函数解析式可得 ，
进而问题可求解．
【详解】（1）解：由题意，可知点 、点 ．
设抛物线的表达式为 ，
，解得 ；
抛物线的函数解析式为 ．
（2）解：∵ ，
∴当 与桌面 的距离为 时，则 ．
当 时， ，解得 ．
．
答：此时面碗中水面 的宽度为 ．【经典例题八 二次函数与几何图形综合应用】
50．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，墙长25m，另
外三边围栏总长60m，平行于墙的一边的长为xm，自行车棚的面积为Sm2
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求车棚的面积S的最大值及此时x的值．
【答案】(1) ，
(2)当 时，
【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，求二次函数的最大值，
对于（1），根据长乘以宽得出面积即可；
对于（2），将关系式配成顶点式，再讨论最值即可.
【详解】（1）解： ， ；
（2）解： ,
∵抛物线开口向下，对称轴是 ，
∴当 时，函数值y随着x的增大而增大，
∴当 时 .
51．（25-26九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，点 ， 在 的图象上．直线 与
轴交于点 ，连接 、 ．(1) ________； ________；
(2)求 的面积；
(3)观察图象，直接写出当 时， 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质．
（1）将点 代入 求出a的值，再将点 代入求解即可；
（2）作 轴于点E， 轴于点F，根据割补法求解即可；
（3）观察图象，利用数形结合法求解即可；
【详解】（1）解：∵点 在 的图象上，
，
解得： ，
，
当 时， ；
（2）解：作 轴于点E， 轴于点F，， ，
，
；
（3）解：对于抛物线 ，
∵ ，
∴当 时，y有最小值为0，
∵ ， ，
∴当 时，y的取值范围为 ．
52．（2025九年级上·云南楚雄·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点
A，过点A的抛物线 与 轴的右交点为点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过原点 作 的平行线 ， 上是否存在点 ．使得以A， ， 三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出 点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， ， ， ，
【分析】（1）根据待定系数法和题目所给的条件即可求出抛物线的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以A， ， 三点为顶点的三角形是直角三角形，分三种情况考
虑：①当 时，②当 时，③当 时，分别求出P的坐标即可．
【详解】（1）解： 直线 与 轴交于点A，
，
抛物线 过点 和 ，
，
解方程组得 ，
．
（2）存在
，且 过原点，
，
点 在 上，
设点
， ， ，
以A， ， 三点为顶点的三角形是直角三角形
①当 时， 是直角三角形，
，，
，此时 ．
②当 时， 是直角三角形，
，
，
，此时 ．
③当 时， 是直角三角形，则 ，
， ，
，
，
即 ，
或 ，此时 或 ；
综上所述， ， ， ， ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，直角三角形，勾股定理，分类求解是解决
问题的关键．
53．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条
小道 之间的距离为9米， 表示这块空地，点 在 上，点 ， 在 上， 米．现要在空
地内划出一个矩形 区域建造花坛，使它的一边 在 上，其余两个顶点 分别在边 上．
(1)如果矩形花坛 的边 ，分别求出此时矩形花坛 的两条邻边长；
(2)矩形花坛 的面积能否占到三角形空地 面积的 ？请作出判断并说明理由．【答案】(1)矩形花坛 的两条邻边长分别为6和12
(2)不能，见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数的应用，正确理解题意、熟练掌握相似三角形
的性质是解题的关键．
（1）过点 作 于点 ，交 于点 ，设 ，则 ， ，易证得
，由相似三角形的性质可得 ，即可得到答案；
（2）设 ，由（1）知 ，得 ，并用 表示出 ，由矩形的面积公式得到关
于 的二次函数，根据二次函数的性质求得矩形 面积的最大值，与空地面积的 相比较，即可得到
结论．
【详解】（1）解：如图，过点 作 于点 ，交 于点 ，
设 ，则 ， ，
，
，
，
，
解得： ，
， ，
这时矩形花坛的两条邻边的长分别为6米和12米．
（2）解：不能，理由如下：
设 ，
由（1）知 ，
，，
解得： ，
，
矩形 的面积为 ，
矩形花坛的面积最大为 ，
又 空地面积的 为 ， ，
故矩形花坛的面积不能占空地面积的 ．
54．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为 ，与直
线 交于点 和点 ．
(1)直接写出点 的坐标 ；
(2)求抛物线的解析式，并求出点 的坐标；
(3)如图2，点 是线段 上的一个动点，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，交抛
物线于点 ，以 为一边，在 的右侧作矩形 ，且 ．当矩形 的面积随着 的增大
而增大时，求 的取值范围．
【答案】(1)(8，0)
(2) ，
(3) 或【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、勾股定理、勾股定理逆定理、待定系数法求二次函数的解析
式、矩形的性质、二次函数的综合等知识点，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，
是解此题的关键．
（1）作 交 于点D，则 ，得到 ，由二次函数的性质可得 ，即可
得出点B的坐标，
（2）设抛物线的解析式为 ，将 代入抛物线得： ，求出a的值，即
可得出抛物线解析式，联立 ．即可求出点C的坐标．
（3）根据题意得 ， ，分两种情况：当点D在点C的左侧时；当点D在点C的右
侧时，分别计算即可得到答案．
【详解】（1）如图1，作 交 于点D，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 、B为二次函数与x轴的交点，
∴ 、B关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，∴ ．
（2）设抛物线解析式为 ，
将 代入抛物线得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
联立 ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
当 时， ，
∴ ．
（3）∵点 是线段 上的一个动点，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，交抛物线于点 ，
∴ ， ，
如图2，当点D在点C左侧时，
，
∴ ，
∴ ，∴当 时，矩形 的面积随着 的增大而增大，
如图3，当点D在点C右侧时，
，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，矩形 的面积随着 的增大而增大．
综上所述，当 或 时，矩形 的面积随着 的增大而增大．
55．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）已知 过 与x轴交于 ．(1)求抛物线解析式及与x轴另一个交点A的坐标，顶点D的坐标．
(2)求直线 的解析式及 的面积．
(3)点P在y轴上且 的面积为6，则点P的坐标为______．
【答案】(1) ， ，
(2) ，3
(3) 或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次
函数的图象和性质是解题的关键．
（1）根据待定系数法求二次函数的解析式，再化为顶点式求D坐标，令 求A点坐标；
（2）根据待定系数法求一次函数的解析式，根据 求解即可；
（3）设 ，根据三角形的面积列方程求解即可．
【详解】（1）解：把 ， 代入 得， ，
解得 ，
抛物线解析式为 ，
当 时， ，
解得 ，
，
，
．
（2）解：设直线 的解析式为 ，把 ， 代入 得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
设直线 与y轴交于E，如图，
当 的 时， ，当 的 时， ，
， ，
， ， ，
， ，
，
．
（3）解：设 ，
， ，
，
的面积为6，
，，
或 ．
56．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于点A和点 ，与y
轴交于点 ，点E在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在第一象限内，过点E作 轴，交 于点F，作 轴，交抛物线于点H，点H在点E的
左侧，以线段 为邻边作矩形 ，当矩形 的周长为11时，求线段 的长；
(3)点M在直线 上，是否存在点E，使得 是以点O为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求
出所有满足条件的点E；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点E的坐标为 或 或 或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线 的解析式为 ，设 ，则 ，利用对称性质求得
，推出 ， ，利用矩形周长公式列一元二次方
程计算即可求解；
（3）先求得直线 的解析式为 ，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，证明，推出 ， ，设 ，则 ，由点
M在直线 上，列式计算，可求得m的值；再设 点，则点 ，当点M绕着点O逆时针旋转
得到点E时，当点M绕点O逆时针旋转 得到点E时，根据旋转的性质，可得点E的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，
∴ ．
解得 ．
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：∵点 与 ，
∴设直线 的解析式为 ，
则 ．
解得 ．
∴直线 的解析式为 ．
设 ，且 ，
则 ．
∴ ．
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ．
∴ ．
依题意得 ，
解得 （舍去）或 ．∴ ．
（3）解： 令 ，
则 ．
解得 或 ．
∴ ．
设直线 的解析式为 ，
则 ．
解得 ．
∴直线 的解析式为 ．
∵ 是以点O为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ ， ．
当点M绕点O逆时针旋转 得到点E时，
分别过点E、M作y轴的垂线，垂足分别为P、Q，如图．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ， ．
设 ，
∴ ， ．
则 ．
∵点M在直线 上，
∴ ．
解得 或 ．
当 时， ，
即点M与点C重合，点E与点B重合．
当 时， ．
当点M绕点O逆时针旋转 得到点E时，设点 ，
则 ．
∵点M在直线 上，
∴ ．
则 ．
∵点E在 的图象上，
∴ ．
解得： ，或 ．
∴ ， 或 ．
综上，点E的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查的是二次函数综合．熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解
析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和矩形的性质，二次函数的对称性，分情况讨
论，是解题的关键．
