文档内容
专题 06 二次函数章末 56 道压轴题型专训（8 大题型）
题型一 待定系数法求二次函数解析式
题型二 二次函数中平移问题
题型三 二次函数与方程及不等式综合应用
题型四 二次函数的最值问题
题型五 二次函数的存在性问题
题型六 二次函数的图象和性质综合应用
题型七 实际问题与二次函数的综合应用
题型八 二次函数与几何图形综合应用
【经典例题一 待定系数法求二次函数解析式】
1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式．
(1)已知抛物线顶点为 ，且过点 ；
(2)已知抛物线 经过点 和 ．
2．（24-25九年级上·四川泸州·期末） 如图，已知二次函数 的图象与x轴交于 ，
两点．
(1)求二次函数解析式；(2)若点P在该二次函数的图象上，且 的面积为6，求点P的坐标．
3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值
如表所示：
(1)这个二次函数的解析式是______；
(2)在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象．
(3)当 时，结合函数图象，直接写出 的取值范围．
4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知：如图，抛物线 与 轴交于点 ，
．
(1)试确定该抛物线的函数表达式；
(2)观察图象，当 时，y的取值范围为________；
(3)已知点 是该抛物线的顶点，若点 是线段 上的一动点，求 的最小值．5．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在二次函数 （ 、 为常数，且 ）中， 与
的几组对应值如下表所示：
．．． 0 1 ．．．
．．． 1 ．．．
(1)求二次函数的解析式；
(2)用描点法在给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．
6．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知抛物线 与x轴相交于点 ，与y轴
相交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当 的周长最小时，求 的值；7．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）综合与实践
综合实践小组模拟某游乐园“光影塔”夜间灯光秀布局，通过对直线、抛物线的分析，解决与“光影塔”
最高点、游客位置、观景平台相关的问题，感受数学在实际场景中的应用．
如图，经过塔基主入口 的迎宾步道 （把步道抽象成直线）与 轴交于点 ．经过原点 的
抛物线 交直线 于点 ，抛物线顶点 对应“光影塔”最高一束激光的末端．
初步感知
（1）求抛物线顶点 的坐标．
拓展应用
（2）游客 看作迎宾步道 上一点，无人机航拍点 是抛物线上一点， 平行于 轴且交 轴于点 ，
当 时，求游客位置点 的坐标．
延伸探究
（3）虚拟观景平台 是直线 上方抛物线上一点，连接 ， ，设点 的横坐标为 ， 的面积
为 ，求 关于 的函数解析式并化为顶点式．
【经典例题二 二次函数中平移问题】
8．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线 与x轴的一个交点为 ，且过点
．(1)求该二次函数的解析式；
(2)将该二次函数的图象向左平移 个单位，若抛物线再次经过点 时，求 的值．
9．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知二次函数 过点 ， ．
(1)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶
点坐标；
(2)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使 的面积为4，
若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由．
10．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，点 在抛物线 上，且在抛物线的
对称轴右侧．
(1)写出抛物线的对称轴和 的最大值，并求 的值．(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点 及拋物线 的一段、分别记为 ， ．平移该胶片，
使 所在抛物线对应的函数恰为 ．求点 移动的最短路程．
11．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知抛物线 ．
(1)请用配方法将 化为 的形式，并写出对称轴和顶点的坐标；
(2)在平面直角坐标系中，画出 的图象；
(3)如果该抛物线沿x轴向左或向右平移 个单位后经过原点，求m的值；
(4)当 时，求y的取值范围．
12．（2025·陕西西安·模拟预测）西安乐华城是集休闲、娱乐、观光于一体的大型主题乐园．立环过山车
“白龙飞天”是其经典项目之一．过山车的一部分轨道，可以近似的看成两段抛物线，在平面直角坐标系
中，其图象如图所示，其中轨道抛物线 的顶点 到 的距离 ，抛物线与 轴交于点
， （轨道厚度忽略不计）．(1)求抛物线 的函数表达式；
(2)在轨道距离地面 处有两个点 和 （点 在点 的左侧 ，当过山车运动到点 处时，平行于地面
向前运动了 至点 ，又进入下坡段 至最低点 ，已知轨道抛物线 的形状与抛物线
完全相同，求 的长．
13．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图①，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点
，已知抛物线的对称轴为直线 ，且 ．
(1)求抛物线的表达式．
(2)已知点 ， 是抛物线上的两点，且点 在对称轴左侧，点 在对称轴右侧，若满足
，请比较 与 的大小．
(3)将抛物线平移，使得其顶点 落在直线 上，设平移后的抛物线与 轴的交点为 ，求点 的纵坐
标 的取值范围．14．（2026九年级·贵州贵阳·专题练习）已知二次函数 （a，b，c为常数， ）的一组对
应值如下表．
x 1 4
y 4
(1)该二次函数的解析式为________；
(2)在下列平面直角坐标系中大致画出该二次函数的图象；
(3)该二次函数的图象开口向________，对称轴是直线________，与x轴有________个交点，交点坐标是
________，与y轴的交点坐标是________，有最________（填“大”或“小”）值，最值为________；
(4)当 时，y随x的增大而________，最大值为________；当 时，y的取值范围是________；
(5)将该二次函数解析式化为顶点式是________，化为交点式是________；
(6)将该二次函数的图象向下平移1个单位长度，得到的新图象的解析式为________；将该二次函数的图象
向右平移2个单位长度，得到的新图象的解析式为________；将该二次函数的图象沿x轴翻折，得到的新
图象的解析式为________；
(7)若该二次函数的图象与直线 交于点 和 ，则关于x的方程 的解为
________．
【经典例题三 二次函数与方程及不等式综合应用】
15．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线
(1)当 为何值时，抛物线与 轴有两个不同交点？
(2)若抛物线与 轴的两交点分别为 、 ，且 ，求 的值16．（25-26九年级上·河南郑州·阶段练习）已知抛物线 ．
(1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出 的图象．
(2)若抛物线的顶点为M，抛物线与x轴的交点为A，B（A在B的右侧），求 的面积．
17．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点．
(1)求 ， 两点的坐标；
(2)若 ，请直接写出 的取值范围___________．
18．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）已知抛物线 与直线 的一个交点的横坐
标是2．(1)求 的值；
(2)当x为何值时， ．
(3)请在所给的坐标系中，画出函数 与 的图象（草图），并根据图象，直接写出
时 的取值范围．
19．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数 ．
(1)将 配方得_____；
(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象（不需要列表）；
(3)当x为 时， ；
(4) 时，直接写出y的取值范围是 ；
(5)当 时，函数y的取值范围为 ，则a的值为 ．20．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数 ．
(1)该二次函数的顶点坐标为 ；函数的图象与 轴的交点坐标为 ；
(2)在平面直角坐标系中画函数图象．（把顶点坐标和图象与 轴交点坐标填在表格中，再完善表格）
… …
… …
(3)该抛物线关于 轴对称的抛物线的表达式为 ．
(4)当 时，直接写出二次函数 中 值的取值范围是 ．
21．（2025·贵州铜仁·模拟预测）自主学习，阅读下列解题过程：
解一元二次不等式：
解：设 ，解得： ， ，则二次函数 的图象与x轴的交点坐标为 和 ，
画出二次函数 的大致图象如图（1）所示，由图象可知，当 或 时，函数图象位于x轴
上方，此时 ，即 ，
所以一元二次不等式 的解集为 或 ．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：(1)上述解题过程中，主要渗透了下列数学思想中的______；（选择1个，填写序号）
①分类讨论思想；②数形结合思想；
(2)一元二次不等式 的解集是_______；
(3)用类似的方法解一元二次不等式 （要求：在备用图中画出大致图象）
【经典例题四 二次函数的最值问题】
22．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）学校要建一个矩形花圃（如图），其中一边靠墙，另外三边用
篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边 长为 米，围成的矩形花圃面积为 平方米．
(1)求 与 的函数关系式，写出函数的定义域；
(2)围成的矩形花圃面积何时最大？求出此时 的值与面积的最大值．
23．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点
是函数图象上任意一点，纵坐标 与横坐标 的差“ ”称为点 的“纵横值”．函数图象上所有点的
“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点 在函数 图象上，点 的“纵横值”为 ，函数 图象上所有点的“纵横值”可以表示为 ，当
时， 的最大值为 ，∴函数 的“最优纵横值”为10．根据定义，
解答下列问题：
(1)点 的“纵横值”为________；
(2)若二次函数 的顶点在直线 上，且最优纵横值为5，求 、 的值；
(3)若二次函数 的顶点在 ，当 时，求该二次函数的纵横值的范围．
24．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C，直线l与抛物线交于 ， 两点，点P是直线 上方抛物线上一点，设点P的横坐标为
m，过点P作 垂直于 于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当 的长最大时，求线段 的最大值及此时点P的坐标；
25．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，抛物线
经过点 、 ，其顶点为 ．(1)求抛物线的解析式．
(2)点 为直线 上方抛物线上的任意一点，过点 作 轴交直线 于点 ，求线段 的最大值
及此时点 的坐标．
26．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图 ，抛物线 交x轴于点 和点B，
交y轴于点 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点 在抛物线对称轴上，是否存在一点 ，使 的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存
在说明理由．
(3)如图 ，设点 是线段 上的一动点，作 轴，交抛物线于点 ，求线段 长度的最大值．
27．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）函数 ，(1)在平面直角坐标系中画出函数图象；
(2)当 时，求 的值；
(3)当 随 的增大而增大时， 的取值范围为 ；
(4)若在函数图象上有点 （ 与 不重合）． 的横坐标为 的横坐标为 ．小亮对 之
间（含 两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随 的变化而变化， 的取
值范围为 ．
28．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）阅读下列材料：
某同学遇到这样一个问题：在平面直角坐标系 中，已知直线 ，点 在抛物线
上，求点A到直线l的距离d．
如图1，他过点A作 于点B， 轴分别交x轴于点C，交直线l于点D，他发现 ，
，可求出 的长，再利用 求出 的长，即为点A到直线l的距离d．请回答：
（1）图1中， ____________，点A到直线l的距离 ____________．
参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：
在平面直角坐标系 中，点M是抛物线 上的一动点，设点M到直线l的距离为d．
（2）如图2，
① ， ，则点M的坐标为____________；
② ，在点M运动的过程中，求d的最小值；
【经典例题五 二次函数的存在性问题】
29．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知抛物线经过点 ， ， 三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在 轴下方的抛物线上，是否存在点 ，使得 ？若存在求出 点的坐标；若不存在，请
说明理由；
30．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）在矩形 中， ， ，点P从点A开始
沿边 向终点B以 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边 向终点C以 的速度移动．
如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空： ___________ ， ___________ （用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时， 的长度等于 ？
(3)是否存在t的值，使 的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
31．（2025·陕西·模拟预测）如图，抛物线 的图象经过 ， 两点，与 轴交
于点 ， 是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式和顶点 的坐标；
(2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为 ，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点 ，使以 ，
， ， 为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点 的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请
说明理由．
32．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，已知抛物线L： 与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．且 ，
(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)将抛物线L： 的图象向上平移2个单位长度，向左平移 个单位长度后，恰
好经过点 ，求m的值；
(3)连接 、 ，在抛物线上是否存在一点N，使 ？若存在，求出点N的坐标；若不存在，
请说明理由．
33．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与
轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 ，若点 在抛物线的对称轴上，当 平分 时，求点 的坐标；
(3)如图 ，平行于 轴的动直线 从 轴出发向上平移，直线 与抛物线交于点 ， （点 在点 左
侧），若在 轴上存在点 使 是等腰直角三角形，求点 的坐标．34．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于
、B两点，其顶点为 ，直线 与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛
物线上一动点，过P点作 轴于点F，交直线 于点E，设点P的横坐标为m．
(1)请直接写出抛物线的解析式；
(2)若 ，求m的值；
(3)连接 ，是否存在点P，使 是以 为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存
在，请说明理由．
35．（2025·广东·模拟预测）综合运用
如图，抛物线 交x轴于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，交y轴正半轴于
点C，且 ，点P是抛物线对称轴上一动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P的纵坐标为1，请判断 的形状，并说明理由；
(3)已知点D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，点Q为抛物线上一动点，是否存在点
P，Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的
坐标；若不存在，请说明理由．【经典例题六 二次函数的图象和性质综合应用】
36．（2025·广东广州·模拟预测）已知抛物线 的对称轴为直线 ．
(1)若点 在抛物线上，求 的值；
(2)若点 ， 在抛物线上，
①当 时，求 的取值范围；
②若 ，且 ，求 的取值范围．
37．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）对于二次函数 ，定义它在 （p，q是常
数）上的最大值与最小值之差为该函数在 上的“幅度”R，即 ．
(1)已知二次函数 ，求它在 上的“幅度”
(2)已知二次函数 （m为常数）．
①求该函数在 上的“幅度”R与m的关系式．
②是否存在实数m，使得该函数在 上的“幅度” ？若存在，求出m的值；若不存在，请说明
理由．
38．（25-26九年级上·广西·阶段练习）在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，若图形 上存在一
点 ，且满足当 时， ，则称点 为图形 的一个“垂近点”．(1)如图，图形 为线段 ，点 ， ．
①判断点 是否是线段 的“垂近点”？说明理由；
②请在图中画出点 所有可能的位置；（用阴影部分表示）
(2)若图形 为直线 ，在二次函数 图象上仅有一个图形 的“垂近点”，求 的值．
39．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线 经过 ， 两点，与 轴
交于点 ， 为抛物线上的动点，连接 ， ， ， ， 与 相交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若 为第一象限抛物线上的动点，设 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求点
的坐标；
(3)是否存在点 ，使 ，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由．40．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）已知二次函数 ，按以下步骤画图并填空：
(1)将 的右边配方，得 ，故抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
(2)列表（根据表格中所给自变量的数值，求出对应的函数值，填到下表中）：
0
(3)描点，连线；
由图象可知，对于二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大；当 时，函数有最 （填
“大”或“小”）值，为 ．
41．（2025·湖南长沙·模拟预测）我们约定：若抛物线 ： 和抛物线 ：
的顶点分别为不重合的两点 与 ，同时满足： 在 的图象上， 在 的图象
上．则称抛物线 与 是互为“携手共进”的抛物线，根据该约定，完成下列问题：
(1)请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的横线上，正确的打“√”，错误的打
“×”．
① ： 的“携手共进”抛物线一定经过 ______．
② ： 与 ： 是互为“携手共进”的抛物线______．③若两条抛物线是互为“携手共进”的抛物线，则这两条抛物线的二次项系数互为相反数______．
(2)若抛物线 ： （m，n为实数且 ）与 ： 互为“携手共进”
的抛物线，且当 时，抛物线 最低点的纵坐标为 ，求m的值；
(3)已知抛物线 ： 的顶点为点A，与x轴交于点M、N，抛物线 ： 的顶
点为点B，与x轴交于点P、Q，若抛物线 与 是互为“携手共进”的抛物线，且 ，请问线段
AB是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由．
42．（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数 ，则称二次函数
是二次函数 的伴随二次函数，t是伴随值．
定义理解
（1）下列二次函数中，是二次函数 的伴随二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
深入探究
（2）已知二次函数 的图象如图所示，其伴随二次函数是 ．
①伴随值为 ；
②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象；
③当 时，记二次函数 与 的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐
标．【经典例题七 实际问题与二次函数的综合应用】
43．（25-26九年级上·陕西·期中）陕西的水果种类繁多，品质优良，成为了当地经济的重要支柱．随着苹
果的大量上市，某水果销售商以每箱30元的价格购进了一批苹果进行销售，经过一段时间后，发现以每箱
40元的价格销售这批苹果时，平均每天可以售出80箱，若每箱苹果的售价每提高1元，则平均每天少售
出2箱．
(1)求销售这批苹果平均每天的利润 元与每箱的售价 （元）之间的函数关系式；
(2)当每箱苹果的售价为55元时，求销售这批苹果平均每天的利润．
44．（25-26九年级上·山西大同·阶段练习）如图，利用一面墙（墙的长度不超过 ），用 长的篱笆
围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有 宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设 ，矩形
的面积为 ．
(1)请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？45．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球
洞A飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平
距离为9米．已知山坡 与水平方向 的夹角为 ，O、 两点相距 米．
(1)求出点 的坐标及球的飞行路线所在抛物线的解析式；
(2)请通过计算，判断小明这一杆能否把球直接打入球洞 ．
46．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当
水面下降1m时，水面宽度增加多少？
(1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________．
(2)依据你的建系方案：
①设出抛物线解析式为___________________．
②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可）
(3)直接写出：当水面下降 时，水面宽度增加多少？
47．（25-26九年级上·全国·课后作业）某科技小组运用信息技术模拟火箭“火龙出水”的运行过程．如下
图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线 ．其中，当火箭运行的水平距离为 时，自动引发火箭的第二级．若火箭
第二级的引发点的高度为 ．
(1)直接写出a，b的值．
(2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 ，求这两个位置之间的距离．
48．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨
度 为4米．在距点 水平距离为 米的地点，拱桥距离水面的高度为 米．小路同学根据学习函数的经
验，对 和 之间的关系进行了探究．
/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4
/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.6 0.88
经过测量，得出了 和 的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，通过观察发现 是
关于 的 ．
（1）根据表中数据写出桥墩露出水面的高度 米；
（2）求 与 之间的函数关系式；
（3）公园欲开设游船项目，现有长为3.5 ，宽为1.5 ，露出水面高度为1.88 的游船．为安全起见，公
园要在水面上的 两处设置警戒线，并且 ，要求游船能从 两点之间安全通过，则 处距
桥墩距离 至少为多少米．49．（2025·广东·模拟预测）一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的
碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．小丽从书包里拿
出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根
据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径 ，碗底直径 ，面碗的边沿
上一点B到桌面 的距离 ，碗足高 ．小丽又进一步建立以 所在直线为x轴，以碗
的中轴线（面碗的上下两个底面圆的圆心所在直线）m为y轴的平面直角坐标系（如图3）．
(1)请你帮助小丽求出碗的轴截面所在抛物线的函数解析式；
(2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面 与桌面 的距离为 时，求此时面碗中水面 的宽度．
【经典例题八 二次函数与几何图形综合应用】
50．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，墙长25m，另
外三边围栏总长60m，平行于墙的一边的长为xm，自行车棚的面积为Sm2
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求车棚的面积S的最大值及此时x的值．
51．（25-26九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，点 ， 在 的图象上．直线 与
轴交于点 ，连接 、 ．(1) ________； ________；
(2)求 的面积；
(3)观察图象，直接写出当 时， 的取值范围．
52．（2025九年级上·云南楚雄·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点
A，过点A的抛物线 与 轴的右交点为点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过原点 作 的平行线 ， 上是否存在点 ．使得以A， ， 三点为顶点的三角形是直角三角形？
若存在，请求出 点坐标；若不存在，请说明理由．
53．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条
小道 之间的距离为9米， 表示这块空地，点 在 上，点 ， 在 上， 米．现要在空
地内划出一个矩形 区域建造花坛，使它的一边 在 上，其余两个顶点 分别在边 上．(1)如果矩形花坛 的边 ，分别求出此时矩形花坛 的两条邻边长；
(2)矩形花坛 的面积能否占到三角形空地 面积的 ？请作出判断并说明理由．
54．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为 ，与直
线 交于点 和点 ．
(1)直接写出点 的坐标 ；
(2)求抛物线的解析式，并求出点 的坐标；
(3)如图2，点 是线段 上的一个动点，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，交抛
物线于点 ，以 为一边，在 的右侧作矩形 ，且 ．当矩形 的面积随着 的增大
而增大时，求 的取值范围．
55．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）已知 过 与x轴交于 ．(1)求抛物线解析式及与x轴另一个交点A的坐标，顶点D的坐标．
(2)求直线 的解析式及 的面积．
(3)点P在y轴上且 的面积为6，则点P的坐标为______．
56．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于点A和点 ，与y
轴交于点 ，点E在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在第一象限内，过点E作 轴，交 于点F，作 轴，交抛物线于点H，点H在点E的
左侧，以线段 为邻边作矩形 ，当矩形 的周长为11时，求线段 的长；
(3)点M在直线 上，是否存在点E，使得 是以点O为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求
出所有满足条件的点E；若不存在，请说明理由．
