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第 05 课 根与系数的关系
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知识精讲
课程标准
1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.
2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题．
3.提高学生综合运用基础知识分析解决较为复杂问题的能力．
知识点01 一元二次方程的根与系数的关系
【注意】
(1)利用一元二次方程的根与系数的关系进一步讨论根的符号
设一元二次方程 ( a≠0)的两根为 ,则
两个正数根
两个负数根
两根异号且正根的绝对值较大
两根异号且负根的绝对值较大
(2)利用一元二次方程的根与系数的关系求两根的和与积的两点注意
①一元二次方程必须有两个实数根(△≥0).
② 中的负号与方程中a ,b 的符号不要混淆.能力拓展
考法01 已知一个根,利用根与系数的关系求另一个根
【例题1】已知关于x的方程 有一个根是 ,求另一个根.
【分析】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的定义﹐解题的关键是记住一元二次方程的根与系数的关
系及熟练掌握一元二次方程的解法﹐并能灵活运用.
思路1:利用根与系数的关系直接列出关于另一个根x的方程 求解即可;
思路2:先把 代入原方程,求得m 的值,再解方程求出另一个根.
【解析】
解:方法1:设方程的另一个根是 ，由一元二次方程的根与系数的关系,得
，解得 ；
方法2:把 代入原方程,得
解得 ，
所以原方程为 ,
解得 .
所以方程的另一个根是－4.
【方法总结】已知一元二次方程的一个根,求另一个根的方法
(1)方法1(利用根与系数的关系):当方程的二次项系数、一次项系数已知,常数项未知时,利用两根的和求另一
个根;当方程的二次项系数、常数项已知,一次项系数未知时,利用两根的积求另一个根.
(2)方法2(利用根的定义):先把方程的已知根代入方程求出未知系数或常数项,再解方程求另一个根.
考法02 利用根与系数的关系求某些代数式的值
【例题2】若方程 的两根为 ，则 = ；
【答案】
【分析】本题求解的关键是利用根与系数的关系 , ，将所求的代数式变形为含
和 的式子.
【解析】
因为方程 的两根为 ，
所以 ；
所以
【方法总结】
巧用根与系数的关系，求特殊代数式的值
第一步：算
计算出 的值
第二步：变
将所求的代数式变形为用 表示的式子
第三步：代 代入所求的代数式计算
考法03 利用根与系数的关系确定待定字母的值
【例题3】已知关于x的一元二次方程 有两个不等实根 .
(1)求实数k的取值范围;(2)若方程两实根 满足 ，求k的值.
【分析】
根据判别式的符号可求得k的取值范围;
由 ,可考虑利用一元二次方程的根与系数的关系求解.
(1)由于方程有两个不等实根,故其根的判别式△≥0,列不等式可确定实数k的取值范围.
(2)先讨论两根的符号,再去掉 中的绝对值符号,最后根据根与系数的关系,可得关于k的一
元二次方程,求得k的值.
【解析】
解:
(1)因为原方程有两个不相等的实数根,
所以
解得
(2)
因为 ,
所以 .
因为 ,
所以 .
所以
因为
所以 .
所以k=0或k=2.因为 ,所以k=2.
【方法总结】
利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数时,千万不要忘记将系数代回验证△≥0,因为根与系数的关
系是在一元二次方程中△≥0的前提下使用的.
考法04 已知两数的和与积,构造一元二次方程解决问题
【例题4】已知两个数的和是8,积为15,求这两个数.
【分析】可利用一元二次方程的根与系数的关系,根据两个数的和与积构造一元二次方程求这两个数.
根据一元二次方程的根与系数的关系，可用－8作为一次项系数,15作为常数项,构造一个二次项系数是1的
一元二次方程,则这个一元二次方程的根就是所要求的两个数.
【解析】
解:根据一元二次方程的根与系数的关系,知要求的两个数是方程 的两个根,解这个方程得
.所以这两个数是3,5.
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知一元二次方程2x2+x﹣5=0的两根分别是x，x，则x2+x2的值是( )
1 2 1 2
A． B．- C．- D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得到x+x ，xx ，再利用完全平方公式变形得到x2+x2＝(x+x)2﹣2xx，然
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后利用整体代入的方法计算．
【详解】根据题意得：x+x ，xx ，所以x2+x2＝(x+x)2﹣2xx＝( )2﹣2×( ．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
故选D．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根时，x+x ，xx ．
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2．设 是一元二次方程 的两根，则 _______________________．
【答案】
【解析】
【分析】
由根与系数的关系得到两根和与两根积，代入所求的式子中即可得到结果．
【详解】
解：∵x，x 是一元二次方程的两根，
1 2
∴x+x=2，xx=-1，
1 2 1 2
∴x+x+xx=2+(-1)=1，
1 2 1 2
故答案为：1．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数关系，熟记一元二次方程根与系数关系的内容是解题的关键．
3．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则 的值为_______．
【答案】-1
【解析】
【分析】
先把 变型为 ，然后利用根与系数的关系求得α+β与αβ的值，最后代入到 中，即可求解．
【详解】
解：根据题意，一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，
利用根与系数的关系得α+β＝3；αβ=－3，
原式 = = ，
故答案为－1．【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两个根分别为 ， ，则 ，
，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解答本题的关键．
4．若x，x 是一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0的两个根，则xx 的值是_____，x+x 的值是_____．
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【答案】 -3；
【解析】
【分析】
由根与系数的关系可求得(x+x)与xx 的值．
1 2 1 2
【详解】
∵x，x 是一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0的两个根，
1 2
∴xx 的值是 ，x+x 的值是 ．
1 2 1 2
故答案为：-3； ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系，若x，x 为方程的两个根，则x，x 与系数的
1 2 1 2
关系式： ， ．
5．已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若方程有实数根，求实数 的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为 ， ，且满足 ，求实数 的值．
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
(1)根据方程有实数根的条件，即Δ≥0求解即可；
(2)由韦达定理把x+x 和xx 分别用含m的式子表达出来，然后根据完全平方公式将 变形，即
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可求解．【详解】
(1)∵方程有实数根，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
(2)∵方程两实数根分别为 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
，
解得： ， ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记(1)“当△≥0时，方程有实数根”；(2)掌握根与系数的
关系即韦达定理，是解题的关键．
6．如果一元二次方程 的两实数根分别为 ， ，不解方程，求下列代数式的值．
(1) ； ．
【答案】(1) ；(2)-1.
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系找出x+x＝3、x•x＝1．
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(1)将代数式x2+x2变形为只含x+x、x•x 的代数式，代入数据即可得出结论；
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(2)将代数式(x﹣2)(x﹣2)展开后代入数据即可得出结论．
1 2
【详解】∵方程x2﹣3x+1＝0的两实数根分别为x，x，∴x+x＝3，x•x＝1．
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(1)x2+x2 2x•x＝32﹣2×1＝7；
1 2 1 2
(2)(x﹣2)(x﹣2)＝x•x﹣2(x+x)+4＝1﹣2×3+4＝﹣1．
1 2 1 2 1 2
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出x+x＝3，x•x＝1是解题的关键．
1 2 1 2
7．已知关于 的方程
(1) 取何值时，①方程有实数根？②方程没有实数根？
(2)若方程的两个实数根为 ， ，且 ，试求 的值．
【答案】(1)①当 时，方程有两个不相等的实数根；②当 时，方程没有实数根；(2) ．
【解析】
【分析】
(1)首先利用根的判別式得出关于x的方程 的判别式,再根据①当△≥0,方程有实
数根;②当△<0,方程没有实数根;
(2)根据根与系数的关系得到 ， ,代入得出关于k的方程,解方程即可.
【详解】
解： ．
①当 ， 时，方程有两个不相等的实数根；
②当 ， 时，方程没有实数根；
(2)∵方程 的两个实数根为 ， ，
∴ ， ，
依题意，得 ，解得： ， (不合题意，舍去)，
∴ ．
题组B 能力提升练
1．设a，b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为( )
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
【答案】C
【解析】
【分析】
由于a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)，故根据方程的解的意义，求得(a2+a)的值，由根与系数的关系得到(a+b)的值，
即可求解．
【详解】
解：∵a是方程x2+x-2009=0的根，
∴a2+a=2009；
由根与系数的关系得：a+b=-1，
∴a2+2a+b
=(a2+a)+(a+b)
=2009-1=2008．
故选C．
2．已知 是关于x的一元二次方程x2-5x+a=0的两个实数根，且 ，则a=_________.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系用a表示出x+x 和xx，代入已知条件可得到关于a的方程，则可求得a的值．
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【详解】
∵x，x 是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，∴x+x＝﹣5，xx＝a，∴(x﹣x)2＝(x+x)2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
﹣4xx＝(﹣5)2﹣4a＝25﹣4a．
1 2
∵|x﹣x|＝ ，∴(x+x)2﹣4xx＝5，∴25﹣4a＝5，解得：a＝5．
1 2 1 2 1 2
故答案为5．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程两根之和等于 、两根之积等于 是解题的关键．
3．一元二次方程 的两根为 和 ，则 ________．
【答案】2025
【解析】
【分析】
由题意可知 -3 +1=0,则 =3 -1,则 +3 +2017=3 -1+3 +2017=3( + )-1+2017,根据一元二次方程
根与系数的关系,可得结果.
【详解】
由题意 -3 +1=0,
则 =3 -1.
原式=3 -1+3 +2017
=3( + )-1+2017
= -1+2017
=2025
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,将 转化为3 -1是解决本题目的关键.
4．若m，n是方程x2＋3x﹣2＝0的根，则2m2＋8m＋2n﹣5的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据韦达定理得到m+n=﹣ =﹣3，mn= =﹣2，将原式变形为2m2＋6m＋2(m＋n)﹣5，代入mn和m+n
即可求解．
【详解】
∵m，n是方程x2＋3x﹣2＝0的解，∴m2＋3m＝2，m+n=﹣ =﹣3，mn= =﹣2
∵2m2＋8m＋2n﹣5=2m2＋6m＋2m＋2n﹣5=2(m2＋3m)＋2(m＋n)﹣5，
∴原式=2×2+2(﹣3)-5= -7，
故答案为-7．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，代数式的值等，解题的关键是要记住和会应
用一元二次方程两根和与两根积与系数的关系.
5．已知关于x的一元二次方程 ．
(1)请判断该方程实数根的情况；
(2)若原方程的两实数根为 ， ，且满足 ，求p的值．
【答案】(1)总有两个实数根；(2)p＝﹣2或4．
【解析】
【分析】
(1)将一元二次方程转化为一般形式，计算根的判别式，变形，判断符合即可；
(2)根据一元二次方程根与系数关系，得到两根之和，两根之积，代入 ，解关于p的方程即
可．
【详解】
(1)证明：原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p＝0．
∵△＝(﹣5)2﹣4(6﹣p2﹣p)
＝25﹣24+4p2+4p＝4p2+4p+1＝(2p+1)2
∵无论p取何值，(2p+1)2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
(2)由一元二次方程根与系数关系知：x+x＝5，xx＝6﹣p2﹣p
1 2 1 2
∵x2+x2＝3p2+5，∴(x+x)2﹣2xx＝3p2+5，
1 2 1 2 1 2
即52﹣2(6﹣p2﹣p)＝3p2+5，∴p2﹣2p﹣8 =0
解得：p＝﹣2或4．
∴p＝﹣2或4．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．熟记根的判别式符号与方程根的个数关系，根与系数关系是解题关键．
6．阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C＝0(a≠0)，当△≥0时，设两根为x，x，则两根与系数的关系为：
1 2
x+x＝ ；x•x＝ ．
1 2 1 2
应用：(1)方程x2﹣2x+1＝0的两实数根分别为x，x，则x+x＝ ，x•x＝ ．
1 2 1 2 1 2
(2)若关于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2＝0的有两个实数根x，x，求m的取值范围；
1 2
(3)在(2)的条件下，若满足|x|＝x，求实数m的值．
1 2
【答案】(1)2，1；(2)m≥﹣ ；(3)m的值为﹣
【解析】
【分析】
(1)根据韦达定理求解；
(2)根据 求解；
(3)x＝x 或x＝﹣x
1 2 1 2．
【详解】
(1)x+x＝2，x•x＝1；
1 2 1 2
故答案为2，1；
(2)∵关于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2＝0有两个实数根x、x，
1 2
∴△＝4(m+1)2﹣4m2≥0，
解得m≥﹣ ；
(3)∵|x|＝x，
1 2
∴x＝x 或x＝﹣x，
1 2 1 2
当x＝x，则△＝0，所以m＝﹣ ，
1 2
当x＝﹣x，即x+x＝2(m+1)＝0，
1 2 1 2
解得m＝﹣1，
而m≥﹣ ，∴m＝﹣1舍去．
∴m的值为﹣ ．
7．已知关于x的方程 ．(1)若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
(2)是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1) ， ,；(2)不存在正数 使方程的两个实数根的平方和等于 ，理由详见解析.
【解析】
【分析】
(1)方程有两相等的实数根，利用△=0求出m的值．化简原方程求得方程的根．
(2)利用根与系数的关系x+x=﹣ =4m﹣8，xx= =4m2，x2+x2=(x+x)2﹣2xx，代入即可得到关于m的
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
方程，求出m的值，再根据△来判断所求的m的值是否满足原方程．
【详解】
解：(1)∵a= ，b=﹣(m﹣2)，c=m2，方程有两个相等的实数根，∴△=0，即△=b2﹣4ac=[﹣(m﹣2)]2﹣4×
×m2=﹣4m+4=0，∴m=1．
原方程化为： x2+x+1=0，x2+4x+4=0，(x+2)2=0，∴x=x=﹣2．
1 2
(2)不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．理由如下：
∵x+x=﹣ =4m﹣8，xx= =4m2
1 2 1 2
∴x2+x2=(x+x)2﹣2xx=(4m﹣8)2﹣2×4m2=8m2﹣64m+64=224，即：8m2﹣64m﹣160=0，解得：m=10，m=
1 2 1 2 1 2 1 2
﹣2(不合题意，舍去)．
又∵m=10时，△=﹣4m+4=﹣36＜0，此时方程无实数根，∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和
1
等于224．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系．总结：(1)一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0 方程有两个
不相等的实数根；②△=0 方程有两个相等的实数根；③△＜0 方程没有实数根． ⇔
⇔ ⇔
(2) ≥0时，根与系数的关系为： ．
△
8．关于 的方程 有两个不相等的实数根 ， ．
求 的取值范围．若 ，试说明此方程有两个负根．
在 的条件下，若 ，求 的值．
【答案】(1) ；(2)详见解析；(3) ．
【解析】
【分析】
(1)根据判别式的意义得到△=4(k-1)2-4k2＞0，然后解不等式即可；
(2)根据根与系数的关系得到x+x=2(k-1)，x•x=k2，由于k＜ ，k≠0，所以x+x=2(k-1)＜0，x•x=k2＞
1 2 1 2 1 2 1 2
0，然后根据有理数乘法的运算性质得到x，x 都为负数；
1 2
(3)先根据x，x 都为负数，去绝对值得到-x+x=4，两边平方后变形得到(x+x)2-4xx=16，则4(k-1)2-
1 2 1 2 1 2 1 2
4k2=16，然后解方程即可．
【详解】
(1)根据题意得 ，
解得 ；
(2)∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， 都为负数，即此方程有两个负根；
(3)∵ ， 都为负数， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac以及一元二次方程的根与系数的关系，
当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
9．已知x、x 是方程x2－4x＋2＝0的两根，求：
1 2
(1) ＋ ；
(2)(x －x)2的值．
1 2
【答案】(1)2；(2)8.
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系可得x＋x＝4，xx＝2，代入(1)(2)式
1 2 1 2
可得结果.
【详解】
解：由题意，得x＋x＝4，xx＝2，
1 2 1 2
(1) ＋ ＝ ＝ ＝2；
(2)(x －x)2＝(x＋x)2－4xx＝42－4×2＝8.
1 2 1 2 1 2
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数，解决本题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式.
易得到两根之和与两根之积的具体数值, 把所求代数式整理成与之有关的式子而求解.
题组C 培优拔尖练
1．已知实数 ， 满足条件 ， ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，
再利用根与系数的关系即可求解．
【详解】
由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，∴a+b＝7，ab＝2，∴ ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题．
2．已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则 ＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的定义得到a、b是一元二次方程的两根，得到a和b的和与积，再把两根和与两根积
求出，代入所求的式子中即可求出结果．
【详解】
解：∵a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b
∴a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，
∴由韦达定理得：a+b＝3，ab＝1，
∴ ．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义、分式的通分，对一元二次方程根的定义的
理解是解题的关键．
3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)若x+2x=3，求|x﹣x|的值．
1 2 1 2
【答案】(1) ；(2)15．
【解析】
【分析】
(1)由关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得判别式△ ，则可求得 的取值范
围；(2)利用根与系数的关系可求出 、 的值，进而可求出求 的值
【详解】
(1) 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
△ ，
，
即 的取值范围为： ；
(2) 、 是一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，
，
， ，
．
