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1.1.1 随机试验与随机事件
1.1.2 事件之间的关系及运算1.2.1 概率统计定义
1.2.2 古典概型概率
例: 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白
的概率。
例：袋子中有10个球，分别标有数字1到10，从中任取三个，问大小在
中间的号码恰为5的概率是多少？几何概率
设样本空间为有限区域 , 若样本点落入 内任何区域
A 中的概率与区域A 的测度成正比, 则样本点落入 A 内
的概率为
例 (约会问题) 两人相约7：00－8：00在某地见面，先到的一人等待另一人
20分钟，这时就离去，试求两人能会面的概率.
1.3.2 概率的性质例:设甲,乙两门大炮同时向敌机进行射击,甲击中飞机的概率为0.5,乙击中飞
机的概率为0.6,他们同时击中的概率为0.48,求“敌机被击中”的概率.
例:设A,B为互不相容事件
例:某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有
10%的人同时定甲,乙两种报纸. 没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,
他至少订有一种报纸的概率.
1.4.1 条件概率上述三条性质对应于概率的公理化定义的三条性质,除此以外有下列
性质:
例 ：一类动物由出生起活到20或20岁以上的,概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,现假设
此类动物中有一动物为20岁,问其活到25岁以上的概率是多少?（10个里面有8个和4个）
1.4.2 乘法公式
例 ：一批产品共10件，其中3件为次品，每次从中任取一件不放回，问第三次才取到
正品的概率等于多少？
例：某人有5把钥匙，其中有2把房门钥匙，但忘了开房门的是哪2把，只好追逐次试
开，问3次内打开房门的概率。1 .4.3 事件的独立性
定 义：设 A , B 为两事件，若 则 称事件A与事件B 相互独立
注1. 两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的
注2.若
若
注3.若 则“事件 A 与 事件 B 相互独
立”和“事件 A 与 事件 B 互斥(互不相容)”不能同时成立
(自行证明)（P（AB）=0）
注1)三事 件A, B, C 相互独立,要求满足(1)(2)式, 也称 A, B,
C 为相互独立的事件组.
注2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立,也称 A, B, C 为两
两独立的事件组.
注3) 关系式(1) (2)不能互相推出.
1.4.4 独立试验序列模型
例：某射击选手命中率为0.8，该选手独立射击10次，问恰有8次击中目标的概率是多少
1.5.1 全概率公式
•称 P(Ai)为先验概率，它是由以往
的经验得到的， Ai是事件B的原因
•事件 B视为结果。例：甲乙两个口袋中各有3只白球,2只黑球,从甲袋中任取一球放入乙袋中,求再从乙
袋中取出一球为白球的概率.
例：甲，乙，丙三人独立地向同一飞机进行设计，击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7，如
果一人击中飞机，飞机被击落的概率为0.2；两人击中飞机，飞机被击落的概率为0.6；三人
击中飞机，飞机必被击落，求飞机被击落的概率。
1.5.2 贝叶斯公式
例：某商店从三个厂购买了一批灯泡,甲厂占25%,乙厂占35%,丙厂占40%,各厂的次品
率分别为5%,4%,2%,求
(1)消费者买到一只次品灯泡的概率
(2)若消费者买到一只次品灯泡,问它是哪个厂家生产的可能性最大。2.1 随机变量的概念
例：抛一硬币 , 可以用一个离散变量来描述
随机变量是 上的映射, 此映射具有如下特点
2.2.1 离散型随机变量及其概率分布例：在3件正品2件次品组成的产品中，任取2件，求取到次品数X 的概率分布(条件概率）
例 (几何分布) ：对某一目标射击，直到击中为止，设每次射击命中率为p, 则求射击次数
的分布律。
2.2.2 常见的离散型随机变量例 ：某车间有9台独立工作的车床，在任一时刻用电的概率都是0.3，求
（1）同一时刻的车床数x的概率分布；
（2）同一时刻至少一台车床用电的概率；
（3）同一时刻最多一台车床用电的概率
例：某地方有2500人参加某种物品保险，每人年初向保险公司交保费12元，若在这一年
内该物品损坏,则可从保险公司领取2000元。该物品损坏的Pr为0.002，求保险公司获利不
少于20000元的概率。
例 某厂产品不合格率为0.03, 现将产品装箱, 若要以不小于 90%的概率保证每箱中至少
有 100 个合格品, 则每箱至少应装多少个产品？2.3.1 分布函数的定义
2.3.2 分布函数的性质
注（1）分布函数也可定义为 这样定义的分布函数仍满足性质1－3，但
性质3应改为左连续性
注 （2 ）任一函数F ( x ) 为分布函数的充分必要条件为：F ( x )满足上述三条性质。值得注意的是, F(x)是(- ,+ )上的分段阶梯函数,间断点就是随机变量X的取值点, 除
最左边那段是开区间外, 其余各段都是左闭右开的区间.
特别地，若随机变量以概率1取常数，即
则称这个分布为单点分布或退化分布，它的分布函数为
例：向平面上半径为1的圆D内任意投掷一个质点, 以X表示该质点到圆心的距离. 设这个质
点落在D中任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比, 试求X的分布函数.2.4.1 连续型随机变量及其概率密度2.4.2 常见的连续型随机变量的分布例：在公共汽车的终点站上，每隔15min发出一辆客车，一位乘客到站候
车。
（1）写出该乘客候车时间x的概率密度
（2）写出该乘客候车时间超过6min的概率
例 .电子元件的寿命X(年）服从参数为0.1的指数分布
(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。
(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？（1） 决定了图形的中心位置，固定 ，则图形完全由 确定，图形
的形状不变， 的改变，相当于图形平移。
（2）固定 ，则图形完全由 确定.
越大，X落在 附近概率越小，图形越扁平；
越小，X落在 附近概率越大，图形越尖峭；例 ：一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种
元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.
例：某校抽样调查表明，该校考生外语成绩服从正态分布 ，已知96分以
上的占考生总数的2.3%，求考生的外语成绩在60～84分之间的概率。3.1.1 ⼆维随机变量及其联合分布函数
二维随机变量的分布函数性质
3.1.2 ⼆维离散型随机变量及其联合分布概率例 ：一个口袋中有三只大小完全相同的球,球分别标号为1，2，2，从中任取一只球不放回，
再从中任取一只球，每次从中取到各球是等可能的，以X,Y分别表示第一、二次取到球的号
码，试求(X,Y)的联合概率分布函数。
例：设r.v.X 在1，2，3，4中等可能取值，另一r.v.Y在1到X中等可能取值，求 r.v.( X，Y )
的分布律。
3.1.3 ⼆维连续型随机变量及其联合概率密度二维正态分布的随机变量
3.2.1 边缘分布二维离散型随机变量的边缘概率分布二维连续型随机变量的边缘概率分布
3.2.2 条件分布
离散型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布
3.2.3 随机变量的相互独立性离散型随机变量的独立性
连续型随机变量的独立性3.3.1 离散型随机变量函数的分布3.3.1 连续型随机变量函数的分布4.1.1 数学期望的定义
离 散型随机变量的数学期望
离散型随机变量的数学期望一些重要连续型随机变量的数学期望
4.1.2 随机变量函数的数学期望4.1.3 数学期望的性质推论
4.2.1 ⽅差的定义离散型随机变量
连续型随机变量
一些重要分布的方差
4.2.2 ⽅差的性质本章主要是积分的计
算，熟记公式即可
4.3.1 协⽅差
性质4.3.2 相关系数4.3.3 矩5.1.1 切比雪夫不等式
5.1.2 ⼤数定律5.2 中⼼极限定理6.1.1 总体与样本
6 .1.2 统计量
6.1.3 ⼏个常用统计量
6.2.1 直⽅图6.2.2 经验分布函数6.3.1 样本均值X的分布6.3.2 分布6.3.3 t分布
6.3.4 F分布7.1.1 矩估计7.1.2 极⼤似然估计
离散型连续型7.2.1 ⽆偏性
