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2021 研究生入学考试考研数学试卷（数学一）
一、选择题：1～10小题，每小题 5分，共 50分．下列每题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
．．．
1. 在 处
（A）连续且取得极大值 （B）连续且取得极小值
（C）可导且导数为零 （D）可导且导数不为零
2. 设函数 可微，且 ， ，则
（A） （B） （C） （D）
3. 设函数 在 处的3次泰勒多项式为 ，则
（A） （B）
（C） （D）
4. 设函数 在区间 上连续，则
（A） （B）
（C） （D）
5. 二次型 的正惯性指数和负惯性指数依
次为
（A） 2,0 （B）1,1 （C）2,1 （D）1,2
6. 已知 记 若两两正交，则 依次为
（A） （B） （C） （D）
7. 设 为 阶实矩阵，下列不成立的是
（A） （B）
（C） （D）
8. 设 为随机事件，且 ，下列为假命题的是
（A）若 ,则
（B）若 ,则
（C）若 ,则
（D）若 ,则
9. 设 为来自总体 的简单随机样本，令
,则
（A） 是 的无偏差估计，
（B） 不是 的无偏差估计，
（C） 是 的无偏差估计，
（D） 不是 的无偏差估计，
10. 设 是来自总体 简单随机样本，考虑假设检验问题：
表示标准正太分布函数，若该检验问题的拒绝域为
,其中 ，则 ，该检验犯第二类错误的概率为
（A） （B） （C） （D）二、填空题：11～16小题，每小题 5分，共 30分．请将答案写在答题纸指定位
．．．
置上．
11.
12. 设函数 由参数方程 确定，则
13. 欧拉方程 满足条件 的解为
14. 设 为空间区域 表面的外侧，则曲面积分
15. 设 为3阶矩阵， 为代数余子式，若 的每行元素之和均为2，且 ，
则
16. 甲、乙两个盒子中有2个红球和2个白球，选取甲盒中任意一球，观察颜色后放入乙盒，
再从乙盒中任取一球，令 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球的个数，则 与
的相关系数为
三、解答题：17～22小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．请将答案写在答题纸指定位置上．
．．．
17. （本题满分10分）
求极限
18. （本题满分12分）
设 ，求级数 的收敛域及和函数.
19. （本题满分12分）
已知曲线 求 上的点到 坐标面距离的最大值.
20. （本题满分12分）
设 是有界单连通区域， 取得最大值的积分区域记
为(1) 求 的值.
(2) 计算 ，其中 是 的正向边界
21. 设矩阵
（1） 求正交矩阵 ,使 为对角矩阵
（2） 求正定矩阵 ,使 , 为3阶单位矩阵.
22. 在区间 上随机取一点,将该区间分成两段,较短一段的长度记为 ,较长一段的长
度记为 .令 .
(1) 求 的概率密度;(2)求 的概率密度;(3)求 .
