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2021 研究生入学考试考研数学试卷（数学三）
一、选择题：1～10小题，每小题 5分，共 50分．下列每题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
．．．
1. 当 时， 是 的
（A）低阶无穷小 （B）等价阶无穷小 （C）高阶无穷小 （D）同阶但非等价无穷小
2. 在 处
（A）连续且取得极大值 （B）连续且取得极小值
（C）可导且导数为零 （D）可导且导数不为零
3. 函数 有2个零点，则 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
4. 设函数 可微且 ， ，则
（A） （B） （C） （D）
5. 二次型 的正惯性指数和负惯性指数分
别为
（A） 2，0 （B）1，1 （C）2，1 （D）1，2
6. 设 为 阶正交矩阵,若矩阵 表示任意常数,则
线性方程组 的通解为
（A） （B）
（C） （D）
7. 已知矩阵 ，若三角可逆矩阵 和上三角可逆矩阵 ，使得 为
对角矩阵，则 、 分别取
（A） （B）（C） （D）
8. 设 为随机事件,且 ,下列命题中为假命题的是
（A）若 ,则 .
（B）若 ,则
（C）若 ,则
（D）若 ,则
9. 设 为来自总体 的简单随机样本,令
,则
（A） （B）
（C） （D）
10. 总体 的概率分布为 ,利用来自总体
的样本观察值 可得 的最大似然估计值为
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：11～16小题，每小题 5分，共 30分．请将答案写在答题纸指定位
．．．
置上．
11. 若 ____________.
12.
13. 设 D由 与 x轴围成，则 D绕 轴旋转的旋转体体积为
14. 差分方程 的通解为_____________.15. 多项式 的 项的系数为 ．
16. 甲乙中各装2红2白球，从甲盆中任取一球，观察颜色放入乙盆，再从乙盆中任取一球，
令X，Y分别从甲乙两盆中取得红球的个数，则
三、解答题：17～22小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．请将答案写在答题纸指定位置上．
．．．
17. 已知 存在,求 的值.
18. 求函数 的极值.
19. 设有界区域 是圆 和直线 以及 轴在第一象限围成的部分,计算二重
积分 .
20. 设 为正整数, 是微分方程 满足条件 的
解.(1)求 ;(2)求级数 的收敛域及和函数.
21. 设矩阵 仅有两个不同特征值，若 相似于对角矩阵.求 .求逆矩阵
，使得 .
22. 在区间 上随机取一点,将该区间分成两段,较短一段的长度记为 ,较长一段的
长度记为 .令 .
(1)求 的概率密度;
(2)求 的概率密度;
(3)求 .
