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2021 研究生入学考试考研数学试卷（数学二）
一、选择题：1～10小题，每小题 5分，共 50分．下列每题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
．．．
1. 是 的
（A）低阶无穷小 （B）等价阶无穷小 （C）高阶无穷小 （D）同阶但非等价无穷小
2. 在 处
（A）连续且取得极大值 （B）连续且取得极小值
（C）可导且导数为零 （D）可导且导数不为零
3. 有一圆柱体，底面半径与高随时间的变化率分别为 ， ，当底面半径为
，高为 时，圆体的体积与表面积随时间的变化速率为
（A） （B）
（C） （D）
4. 函数 有2个零点，则 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
5. 设函数 在 处的2次泰勒多项式为 ，则
（A） （B） （C） （D）
6. 设函数 可微且 ， ，则
（A） （B） （C） （D）
7. 设函数 在区间 上连续，则（A） （B）
（C） （D）
8. 二次型 的正惯性指数和负惯性指数分
别为
（A） 2，0 （B）1，1 （C）2，1 （D）1，2
9. 设 3 阶矩阵 ，若向量组 可以由向量组
线性表示出，则
（A） 的解均为 解 （B） 的解均为 解
（C） 的解均为 解 （D） 的解均为 解
10. 已知矩阵 ，若三角可逆矩阵 和上三角可逆矩阵 ，使得 为
对角矩阵，则 、 分别取
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题：11～16小题，每小题 5分，共 30分．请将答案写在答题纸指定位
．．．
置上．
11. ．
12. 设函数 由参数方程 确定，则 ．13. 设 函 数 由 方 程 确 定 ， 则
．
14. 已知函数 ，则 ．
15. 微分方程有 的通解为 ．
16. 多项式 的 项的系数为 ．
三、解答题：17～22小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．请将答案写在答题纸指定位置上．
．．．
17. 求极限 .
18. 设函数 ，求函数 的凹凸性及渐近线.
19. 设函数 满足 ， 为曲线 . 记 的长
度为 ， 绕 轴旋转的旋转曲面的面积为 ，求 和 .
20. 是微分方程 满足 的解.
（1）求 ；
（2）设 为曲线 上的一点，记 处法线在 轴上的截距为 . 最小时，求 的
坐标.
21. 设 由曲线 与 轴围城，求 .22. 设矩阵 仅有两个不同特征值，若 相似于对角矩阵.求 .求逆矩阵
，使得 .
