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定义：设A是n阶矩阵，如果存在一个数λ及非零n维列向量
特 α，使得Aα = λα成立，则称λ是A的特征值，称非零列向
征 量α是矩阵A属于特征值λ的一个特征向量.
值
与
特 用定义Aα = λα(α = 0)
征
向
① 先由∣λE − A∣ = 0求矩阵A的特征值λ (共n个).
i
量
② 再由(λ E − A)x = 0求基础解系, 即矩阵A属于特征值
i
求特征值与特征向量
λ 的线性无关的特征向量.
i
二级结论：
上（下）三角，对角矩阵的特征值为其对角线元素;
O矩阵的特征值全部为0，特征向量为所有非0向量.
推论：
n阶方阵A的特征值(算上重数)一共有n个, 且其和为A的对角线元素之
A的特征值λ 均= 0 ⇔ ∣A∣ = 0 ⇔ A可逆⇔ r(A) = n;
A
和. (称为迹, 记为tr(A)); 特征值之积为A的行列式∣A∣.
A至少有一个特征值= 0 ⇔ ∣A∣ = 0 ⇔ A不可逆⇔ r(A) < n.
设A是n阶方阵, 如Aα = λα(α = 0), 则定有:f(A)α = f(λ)α，
其中f(A) = a Ak + a Ak−1 + ⋯ + a A + a E为多项式矩阵.
k k−1 1 0
特
征 1 ⩽任意k重特征值对应的无关特征向量的个数⩽ k.
值
与
特 设λ 1 ,λ 2 ,⋯ ,λ m 是矩阵A的互异特征值,α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 是A分别对应于
征 这些特征值的特征向量，则α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 线性无关.
向
不同特征值对应的特征向量线性无关
量
设λ ,λ ,⋯ ,λ 是矩阵A的互异特征值, α ,α ,⋯ ,α 是A分别对应
性 1 2 k i1 i2 ir
于特征值λ 的线性无关的特征向量，则α ,⋯α ,⋯ ,α ,⋯ ,α 也
基 质 i 11 1 1 k1 k k
线性无关.
础
知
推论：
识
①若α ,α 是矩阵A对应于特征值λ的无关特征向量, 则对任意不全为0的实数k ,k ,
1 2 1 2
k α + k α 仍然是A的应于λ的特征向量.
1 1 2 2
② 若α 是矩阵A对应于特征值λ 的无关特征向量，α 是矩阵A对应于特征值λ 的特征
1 1 2 2
向量，且λ = λ , 则对任意实数k = 0,k = 0,k α + k α 一定不为A的特征向
1 2 1 2 1 1 2 2
量.
定义：设A、B是两个n阶矩阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得
P−1AP = B，则称A相似于B，记作A ∼ B.
A ∼ B ⇔ A ∼ C,B ∼ C ⇔ AT ∼ BT ⇔ A−1 ∼ B−1
(要求A、B可逆)
A ∼ B ⇒ λ = λ , ⇒ f(A) ∼ f(B)
A B
重要结论
特 A相似于B(A ∼ B)
A ∼ B,B ∼ Λ ⇒ A ∼ Λ
征
A ∼ Λ,B ∼ Λ ⇒ A ∼ B
值
A = B
与
r(A) = r(B)
四个性质
特
tr(A) = tr(B)
征 矩
阵
λ = λ 或（ λE − A = λE − B ）
A B
相
向
似
定义：A ∼ Λ⇔存在可逆矩阵P，使得P−1AP = Λ.
量 其中Λ的对角线元素为A的特征值，P为A的特征值对应的特征向量，特
征值和特征向量排列顺序要对应.
A有n个线性无关的特征向量⇔A ∼ Λ
公 充要条件
k重特征值必有k个线性无关的特征向量（n = n − r (λ E − A)）⇔A ∼ Λ
i i
众
A是实对称矩阵⇒A ∼ Λ
号
A相似对角化(A ∼ Λ)
A有n个互异特征值⇒A ∼ Λ
：
充分条件 A2 = A⇒A ∼ Λ
考
A2 = E⇒A ∼ Λ
研
经 r(A) = 1且tr(A) = 0 ⇒ A ∼ Λ
验
必要条件 A ∼ Λ⇒r(A) =非零特征值的个数（重根按重数算）
超
① 先由∣λE − A∣ = 0求矩阵A的特征值λ (共n个).
i
② 再由(λ E − A)x = 0求基础解系, 即矩阵A属于特征值
i
市 λ 的线性无关的特征向量.
i
注：上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵的特征值就是矩阵主
对角线上的元素.
∣A∣ = ∏λ ；∑λ = ∑a
i i ii
特征值与特征向量相关
求
特
征
值
与
特
征
向
量
r (A ) = 1 ⇔ A = α βT (α = 0,β = 0), 且具有以下性质：
n×n n×1 1×n
用秩为1结论 ① A的特征值中有n − 1个0，剩下的1个是k = tr(A) = βT α ;
1×n n×1
题 ② 当k = βT α = 0时,A不可对角化; 当k = βTα = 0时,A可对角化.
1×n n×1
型
总
用相似矩阵的必要条件排除
∣A∣ = ∣B∣,r(A) = r(B),tr(A) = tr(B),∣λE − A∣ =
结
∣λE − B∣
若以上条件中有一个不成立, 则可判定A与B不相似.
A相似于B(A ∼ B)
利用对角矩阵作为媒介
利用相似的定义
判断是否可相似对角化(具体型)
相
①实对称矩阵一定相似.
似
②n阶矩阵A ∼ Λ⇔A有n个线性无关的特征向量
因此如果矩阵的n个特征值都互不相同，则一定可相似对角化
③A ∼ Λ ⇔ k重特征值必有k个线性无关的特征向量
因此需要验证r(λE − A)是否等于n − k
A相似对角化(A ∼ Λ)
①预处理
②求特征值λ ,λ ,λ
1 2 3
③求特征向量α ,α ,α
1 2 3
④构造可逆矩阵P = [α ,α ,α ]
1 2 3
λ
1
则P−1AP = Λ = λ
2
λ
3
注：如果用相似的传递性
①若P−1AP = B,P−1BP = Λ, 则P−1AP = Λ,P = P P .
计算题（求P） 1 1 2 2 1 2
②若P−1AP = Λ,P−1BP = Λ, 则P−1AP = B,P = P P−1
1 1 2 2 1 2
利用相似
1、∑a = ∑b
ii ii
2、∣A∣ = ∣B∣
3、λ = λ ，把B的特征值代入A，∣λA − E∣ = 0
A B
预处理常见方法
有重根：用秩⇒行列式⇒求得参数
用特征向量，加加减减求参数
