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2 0 2 4 年 教 师 资 格 证
数理统计与概率论 1
讲师：吉吉
更多干货关注 粉笔教师教育 粉笔教师第一节 数理统计的基本概念
第四章 第二节 事件和概率
第三节 随机变量及其分布列
数理统计与概率论
第四节 随机变量的数字特征
第五节 正态分布
2024FENBI真题链接
初中真题
高中真题
2017年上：5,11 2022年上：4,9
2017年上：5,11 2022年上：5,11
2017年下：6,10 2022年下：6,10 2017年下：6,10,17 2022年下：6,11
2018年上：5,17 2023年上：14
2018年上：5,17
2023年上：6,11
2018年下：14 2023年下：5,11
2018年下：14
2023年下：6,11
2019年上：9
2019年上：9
2019年下：11
2019年下：11
2020年下：5 202
2020
4
年下：
F
11
ENBI
2021年上：5,10
2021年上：5,10
2021年下：6,11
2021年下：11一 基本统计量
第一节
二 抽样
数理统计的基本概念
2024FENBI一、基本统计量
选
（一）平均数
（二）加权平均数
2024FENBI
P140选+教
1，2，3，2，4
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P1402024FENBI
P141二、抽样
（一）总体、个体和样本
总体：所有研究对象的全体。
个体：总体中的每一个研究对象。
样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
总体平均数：总体中所有个体的平均数。在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。
样本平均数：样本中所有个体的平均数。
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P141（二）两种抽样方法
——简单随机抽样
（1）基本思想：用样本估计总体。
（2）定义：一般地，设一个总体含有𝑁（𝑁为正整数）个个体，从中逐个抽取𝑛（1 ≤
𝑛＜𝑁）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的
概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每
次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做
不放回简单随机抽样。放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样。
（3）特点：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独
立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其他各种抽样形式的基础。通常
是当总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
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简言之，其特点是：
P141
①总体个数有限；②逐个抽取；③等可能抽样。（二）两种抽样方法
（4）抽样方法：
①抽签法：给调查对象群体中的每一个对象编号；准备抽签的工具，实施抽签；对
样本中的每一个个体进行测量或调查。
②随机数法。
【例】 利用随机数表在班级中抽取 10 位同学参加某项活动。
③计算机模拟法。
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P142（二）两种抽样方法
2.分层随机抽样
定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子
总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为
总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层。在分层随机抽样中，如果
每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配。
适用特征：（1）总体由差异明显的几部分组成；
（2）分成的各层互不重叠；
𝑛
（3）各层抽取的比例等于样本在总体中的比例 。
𝑁
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P142轻松一刻~
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P142一 事件
第二节
二 概率
事 件 和 概 率
2024FENBI一、事件
选
（一）分类
2024FENBI
P143二、概率
案+教
（一）概率的定义与表示方法
1. 概率的定义
𝑛
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么这
𝑚
个常数p就叫做事件A的概率。
2. 事件和概率的表示方法
一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示，常数p表示事件A的概率，可记为
P(A)=p。
2024FENBI
P143（二）确定事件和随机事件的概率
1. 确定事件概率
当A是必然发生的事件时，P(A)=1
当A是不可能发生的事件时，P(A)=0
2. 确定事件和随机事件的概率之间的关系
如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1
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P144选+简
（三）等可能事件的概率
1.几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的几何度量（面积或体积）成正
比。
构成事件 的区域的几何度量（长度、面积或体积）
A
P（A）＝
试验所有可能结果构成的区域的几何度量（长度、面积或体积）
特点:
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P144（三）等可能事件的概率
2.古典概型
（1）古典概型的定义：
某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结果有有限多个；
②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。
我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
（2）特点：
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P1432024FENBI
P143选+简
（三）等可能事件的概率
2.古典概型
（3）古典概型的概率的求法：
2024FENBI
P1452024FENBI
P1452024FENBI
P1452024FENBI
P1452024FENBI
P145选
（四）互斥事件与对立事件的概率
1.互斥事件
不能同时发生的两个事件称为互斥事件。
如果事件A和B互斥，则P（A+B）＝P（A）＋P（B）（加法公式）。
例如：一个盒子里有3个红球，2个蓝球，1个黄球，从中任取1球，记A事件为取的红球，B事件为取
的蓝球。
2024FENBI
P146选
（四）互斥事件与对立事件的概率
2.对立事件
两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件。
如果A和B对立 ，则P（A）＝1－P（B）。
注意：
（1）对立一定互斥，互斥不一定对立；
（2）从集合论来看：互斥事件只需交集是空集，但对立事件要求交集是空集且并集是全集。
例如：在整个定义域R内，记A事件为大于等于1的部分，B事件为小于1的部分。
例如：一个盒子里有1个白球，1个黄球，1个红球，从中任取1球，记A事件为取的白球，B事件
为取的黄球，C事件为取得的红球。
2024FENBI
P146工具
补充知识
（1）相等关系：
两件事情同时发生或同时不发生，即A⊆B且A⊇B，记作A=B。
（2）事件的交：
事件A与B同时发生，记作A∩B。
（3）事件的并：
事件A与B至少有一个发生，记作A∪B。
（4）包含关系：
事件A的发生必然导致事件B的发生，记为A⊆B。
2024FENBI选+简
（五）条件概率
2024FENBI
P146-P147两种考法，题型1：纯推导
2024FENBI
P147两种考法，题型2：套公式
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P147选+简
（六）独立事件的概率
例如：一道数学题，小明同学做对的概率为0.8，小红做对的概率为0.7，这道题小明
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和小红同时做对的概率为？
p148学习使我快落~~
2024FENBI
P148参考答案：
2024FENBI2024FENBI
P148参考答案：
2024FENBI选+简
（七）n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
在n次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用ξ来表示，事件发生的概率是p，
则在n次试验中恰好成功k 次的概率为：
例如：某人进行射击，共射击10次，击中目标的概率为0.8，则射击结束时恰好成功6次的
概率为？
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P149So easy 𝑃 𝜉 = 𝑘 = 𝐶𝑘𝑝𝑘 1 − 𝑝 𝑛−𝑘(𝑘 = 0,1,2, …𝑛)
𝑛
2024FENBI
P1492024FENBI
P1492024FENBI
P1502024FENBI
P150
