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第 10 课 二次函数 y=ax2与 y=a(x-h)2+k 的图像与性质
课程标准
1、掌握二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的图形与性质；
2、掌握二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k实际应用；
知识点01 二次函数y=ax2的图象和性质
1、二次函数y=ax2的图象的画法【示例】在同一平面直角坐标系中作出 和 的图象.
解：列表如下
x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 ……
…… 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 ……
…… -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 ……
描点:如图所示,以表中各组对应值为点的坐标,在平面直角坐标系内描出相应的点.
连线:用光滑的曲线顺次连接各点.
【方法总结】
画二次函数y=ax2的图象的三点注意
(1)列表时,自变量应以О为中心,左右两边要对应取值;
(2)画图象时,图象应越过端点,表示为向下或向上无限延伸﹔
(3)图象在两个象限内画出的曲线是对称的,顶点处不能画成尖形,应该保持平滑.
2、二次函数y=ax2的图象和性质
开
口 对称
函数 a 图像 顶点坐标 增减性 最值
方 轴
向
当 x ＞ 0 时，
y 随 x 的增大而增
向 大； 当 x= 0 时，
（ 0, 0 ）
上 当 x ＜ 0 时， y =0
最小值
y 随 x 的增大而减
小；
y 轴
当 x ＞ 0 时，
y 随 x 的增大而减
向 小； 当 x= 0 时，
（ 0, 0 ）
下 当 x ＜ 0 时， y =0
最大值
y 随 x 的增大而增
大；
【注意】
（1）二次函数y =ax2的增减性一定要说明是在y轴的左侧或右侧.不能笼统地说当a>0时,y随x的增大而减
小(增大).
（2）|a|决定抛物线y=ax2开口大小，|a|越大,抛物线开口越小.知识点02 二次函数y=a(x—h)2十k的图象和性质
1、二次函数 的图象的画法
（1）描点法
（2）平移法
【注意】
（1）抛物线y=ax2＋k 是由抛物线y=ax2上下平移得到的.当k>0时,上移;当k<0时,下移,简记为“上加下
减”.
（2）抛物线y=a(a－h)2是由抛物线y=ax2左右平移得到的.当h>0时,右移;当h<0时,左移,简记为“左加右
减”.
（3）对于二次项系数a相同的两个二次函数,它们对应的抛物线的开口方向和大小是一样的,此时可以只通
过观察顶点的位置来判断抛物线的平移情况,也可以利用“左加右减,上加下减”的规律来判断.
【示例】
在同一平面直角坐标系中,画出 的图象,并指出后三个图象
与 的图象之间的关系.
解:(1)列表如下:
x …… －2 －1 0 1 2 ……
…… 4 1 0 1 4 ……
…… 5 2 1 2 5 ……
…… 9 4 1 0 1 ……
…… 10 5 2 1 2 ……
（2）描点
（3）连线,如图所示.
函数 的图象是由函数 的图象向上平移1个单位长度得到的;函数 的图象是由函数 的图象向右平移1个单位长度长度得到的;
函数 的图象是由函数 的图像向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的.
2、二次函数 的图象和性质
开
口 顶点 对称
二次函数 a 图像 增减性 最值
方 坐标 轴
向
当 x ＜ 0 时， y 随 x 的增大而减
向 小； 当 x= 0 时
a＞0
上 当 x ＞ 0 时， y 随 x 的增大而增 y =k
最小值
大
（ 0 ，
y 轴
k ）
当 x ＜ 0 时， y 随 x 的增大而增
向 大； 当 x= 0 时
a＜0
下 当 x ＞ 0 时， y 随 x 的增大而减 y =k
最大值
小
直线 当 x ＜ h 时， y 随 x 的增大而减
向 x=h 小； 当 x= h 时
a＞0
上 当 x ＞ h 时， y 随 x 的增大而增 y =0
最小值
（ h ， 大
0 ） 当 x ＜ h 时， y 随 x 的增大而增
向 大； 当 x= h 时
a＜0
下 当 x ＞ h 时， y 随 x 的增大而减 y =0
最大值
小
直线
当 x ＜ h 时， y 随 x 的增大而增
x=h
向 （ h ， 大； 当 x= h 时
a＞0
上 k ） 当 x ＞ h 时， y 随 x 的增大而减 y =k
最小值
小当 x ＜ h 时， y 随 x 的增大而增
向 大； 当 x= h 时
a＜0
下 当 x ＞ h 时， y 随 x 的增大而减 y =k
最大值
小
【注意】
（1）因为从二次函数 中可以直接看出其对应的抛物线的顶点为(h，k )，所以通常把
(a≠0)叫做二次函数的顶点式.
（2）抛物线 (a=0)与x轴可能有交点，也可能没有交点,但与y轴一定有一个交点.
考法01 二次函数y=ax2的图象和性质
【例题1】已知函数 ,不画图象,回答下列各题:
(1)其图象的开口方向:
(2)其图象的对称轴:
(3)其图象的顶点坐标:
(4)当x>0时,y随x的增大而 ;
(5)当x__时,函数y的最 值是
【解析】
因为已知函数 ,所以其图象是抛物线.
又因为a＜0,所以抛物线开口方向向下;
对称轴是y轴(或直线x=0);顶点坐标是(0，0);
当x>0时,y随x的增大而减小;当x=0时,y最大,最大值是0.
【方法总结】
已知二次函数y=ax2的解析式，函数的性质实际上已经确定了,如果你记不准这么多性质结论,不妨画个草图,
它能帮你快速准确地找到问题的答案.
考法02 的图象和性质【例题2】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【解析】
解:(1)开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(l,0).
(2)开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0，－7).
(3)开口向上,对称轴为直线x=－3,顶点坐标为(－3,6)
【方法总结】
抛物线 的各种形式
抛物线 有多种形式,比如当h=0,k=0时，变为y=ax2+k ;
当h=0,k=0 时,变为y=a(x－h)2.解决各种形式的抛物线的性质问题的关键是要记准抛物线的开口方向、对称
轴和顶点坐标.
考法03 二次函数y=a(x－h)2＋k的图象特征和性质
【例题3】二次函数：
(1)以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是 (只填序号);
(2)以上二次函数有最大值的是 (只填序号)﹔
(3)以上二次函数的图象中关于x轴对称的是 (只填序号).
【答案】 (1)②③；(2)①③⑤；(3)⑤⑥【分析】
因为二次函数的解析式均已确定﹐所以可结合二次函数解析式的特征对其性质作出判断.
【解析】
(1)二次函数的图象的对称轴为直线x=—1,也就是在顶点式中h=—1,故满足条件的函数有②③.
(2)二次函数有最大值,也就是其函数图象是开口向下的,即a<0,故满足条件的函数有①③⑤.
(3)二次函数的图象关于x轴对称,也就是两个二次函数的二次项系数x互为相反数,且 h ,k 的值相同,故满足
条件的函数为⑤和⑥.
【方法总结】
由二次函数的顶点式推断抛物线性质的方法
(1)a确定抛物线的开口方向，且|a|的大小决定开口的大小,特别地,当两个抛物线形状一样时,两者的|a |是相
等的;
(2)h确定抛物线的对称轴,对称轴是直线x=h,千万不要记成x=－h ;
(3)k确定抛物线与对称轴交点的纵坐标.h与k 共同确定抛物线的顶点坐标(h ,k).
考法04 根据二次函数图象的平移规律,确定二次函数的解析式
【例题4】将抛物线 先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线对应的二次
函数解析式为
【分析】
利用抛物线的平移规律“上加下减,左加右减”确定平移后的抛物线对应的二次函数解析式.
【解析】
将抛物线 向下平移2个单位长度后得到抛物线 ,再向右平移3个单位长度后得到抛物线
.
所以平移后所得抛物线对应的二次函数解析式为
【方法总结】
根据平移规律,确定二次函数解析式的策略抛物线 在平移时,a不变,只是h和
k 发生变化.因此,在解决抛物线平移问题时,可按照“上加下减”“左加右减”的平移规律,确定平移后抛物
线对应的二次函数解析式.
考法05 比较函数值的大小【例题5】已知点A(4,y ),B( ,y),C(－2,y)都在二次函数 的图象上,则y，y,y 的大小关系
1 2 3 1 2 3
是
【答案】
【分析】
由于二次函数的解析式及各点的横坐标已知,可求得各点的纵坐标后进行比较﹐也可利用二次函数的性质,
明确各点与对称轴的位置,利用二次函数的性质求解.
【解析】
方法1:因为点A(4,y ),B( ,y),C(－2,y)在抛物线 上,所以将各点坐标代入，可求得
1 2 3
y=3,y= ，y=15.
1 2 3
因为 ,所以 .
方法2:设点A,B,C到抛物线对称轴的距离分别为 .
因为 ,所以对称轴为直线x=－2,所以
因为 ,且a=l>0,所以 .
【方法总结】
比较二次函数中函数值大小的三种常用方法
(1)直接代入自变量的值,求得函数值后比较大小.
(2)当自变量的取值在对称轴同侧时,直接根据二次函数的增减性判断.
(3)当自变量的取值在对称轴两侧时,根据自变量的取值到对称轴的距离及二次函数的增减性判断.
考法06 根据二次函数的增减性求字母的取值范围
【例题6】若二次函数 ,当x<2时,y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A.m=2 B.m>2 C.m≥2 D.m2
【答案】C
【分析】
由于二次函数的解析式已知且为顶点式,可直接找到对称轴﹐故可直接利用二次函数性质求m的取值范围.
【解析】二次函数 的图象开口向上,对称轴为直线 ,当x0时，抛物线
开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；
当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
此时函数有最大值.其顶点坐标是(h，k)，对称轴为x=h.
9．关于二次函数y=﹣（x+1）2+2的图象，下列判断正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线x=1
C．图象有最低点 D．图象的顶点坐标为（﹣1，2）
【答案】D
【解析】
【分析】
二次函数的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是
（h，k），据此进行判断即可.
【详解】
∵﹣1＜0，
∴函数的开口向下，图象有最高点，
这个函数的顶点是（﹣1，2），
对称轴是x=﹣1，
∴选项A、B、C错误，选项D正确，
故选D．【点睛】
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标是解题的关键．
10．已知A( ，y），B(1，y），C(4，y）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上，则y，y，y
1 2 3 1 2 3
的大小关系为（ ）
A．y＜y＜y B．y＜y＜y C．y＜y＜y D．y＜y＜y
1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 2 1
【答案】B
【解析】
【分析】
由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出
y、y、y 的大小关系．
1 2 3
【详解】
解：二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象开口向下，对称轴为x＝2，在对称轴左侧，y随x的增大而增大
∴C（4，y）关于对称轴的对称点为（0，y），
3 3
∵﹣ ＜0＜1＜2，
∴y＜y＜y，
1 3 2
故选：B．
【点睛】
本题考查比较函数值的大小．解决此题的关键是理解当二次函数开口向下时，在函数图象上距离对称轴越
远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图象上距离对称轴越远的点，函数值越大．
11．若二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（ ）
A．y=-（x-2）2-1 B．y=- （x-2）2-1
C．y=（x-2）2-1 D．y= （x-2）2-1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的顶点式求解析式.
【详解】
解: 设这个二次函数的解析式为y=a（x-h）2+k
∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1），∴二次函数的解析式为y=a（x-2）2-1，
把（0，3）分别代入得a=1，
所以y=（x-1）2-1．
故选C
【点睛】
主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求
解析式．熟记顶点式公式：y=a（x-h）2+k是解题关键．
12．抛物线y＝3(x－2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x
的增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝3x2向______平移______个
单位得到．
【答案】 向上 (2，0) 直线x＝ 2 ≥2 2 小 0 右 2．
【解析】
【分析】
根据二次函数 和 之间的关系与性质求解即可．
【详解】
解：抛物线y＝3（x－2）2的开口方向是向上，顶点坐标为（2，0），对称轴是直线x＝ 2．当x≥2时，y
随x的增大而增大；当x＝2时，y有最小值是0，它可以由抛物线y＝3x2向右平移2个单位得到．
故答案为：向上；（2，0）；直线x＝2；≥2；2；小；0；右；2．
【点睛】
本题考查二次函数 和 的图象与性质，掌握这两种形式的函数图象以及它们之间的关系
是解题关键．
13．已知二次函数y＝(x﹣2)2+3，当x＜2时，y随x的增大而_____．(填“增大”或“减小”)
【答案】减小
【解析】
【分析】
对于二次函数顶点式y=a（x-h）2+k，当a＞0时，x＞h：y随x的增大而减增大，x＜h：y随x的增大而减
小；当a＜0时，x＞h：y随x的增大而减小，x＜h：y随x的增大而增大．
【详解】
∵a＝1＞0，对称轴x＝2，
∴当x＜2时，y随着x的增大而减小．故答案为减小．
【点睛】
本题考查二次函数顶点式y=a（x-h）2+k增减性．解决本类题目的关键是分清a的符号和h的符号．
14．已知A(-4，y)，B(-1，y)，C(2，y)三点都在二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图象上，则y，y，y 的
1 2 3 1 2 3
大小关系为__________．
【答案】y˂ y˂y（y>y>y 也可）
2 1 3 3 1 2
【解析】
【分析】
先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应
函数值的大小．
【详解】
二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图像开口方向向上，对称轴是x=-2，
A(-4，y) 距对称轴的距离是2，B(-1，y)距对称轴的距离是1， C(2，y) 距对称轴的距离是4
1 2 3
所以y˂ y˂y
2 1 3
故答案为：y˂ y˂y
2 1 3
【点睛】
此题考查的是二次函数的图像与性质，求出抛物线的对称轴和开口方向是解题关键．
15．已知点A(4，y)，B(0，y)，C(－3，y)都在二次函数y＝(x－1)2－1的图象上，则y，y，y 的大小关
1 2 3 1 2 3
系是____．
【答案】
【解析】
【分析】
分别计算出自变量为4，0和﹣3所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【详解】
∵点A（4，y），B（0，y），C（－3，y）是二次函数y＝（x﹣1）2﹣1图象上的两点，
1 2 3
∴y＝（x﹣1）2﹣1＝（4﹣1）2﹣1＝8；y＝（x﹣1）2﹣1＝（0﹣1）2﹣1＝0，y＝（x﹣1）2﹣1＝（﹣3
1 2 3
﹣1）2﹣1＝15，
∴y＞y＞y．
3 1 2
故答案为y＞y＞y．
3 1 2
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．题组B 能力提升练
16．若二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶
点坐标，从而知该二次函数的单调区间．
解答：解：∵二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，-1），
∴该二次函数图象在x＜m上是减函数，即y随x的增大而减小，且对称轴为直线x=m，
而已知中当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴x≤1，
∴m≥1．
故选C．
17．二次函数 y＝（x﹣2）2+3，当 0≤x≤5 时，y 的取值范围为（ ）
A．3≤y≤12 B．2≤y≤12 C．7≤y≤12 D．3≤y≤7
【答案】A
【解析】
【分析】
先找出二次函数的对称轴，根据距离对称轴的远近来进行计算
【详解】
∵二次函数 y＝（x﹣2）2+3，
∴该函数的对称轴是直线 x＝2，当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减
小，
∵0≤x≤5，2﹣0＝2，5﹣2＝3，
∴当 x＝2 时，y 取得最小值，此时 y＝3，当 x＝5 时，y 取得最大值，此时 y＝12，
∴当 0≤x≤5 时，y 的取值范围为 3≤y≤12， 故选A．
【点睛】本题考查的是二次函数的取值范围，找出二次函数的对称轴是解决此类题目的关键，也可用数形结合根据
图形的性质来判断．
18．在平面直角坐标系中，二次函数 （ ）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数y=a（x-h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答．
【详解】
二次函数 （ ）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，
故选D．
19．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值
y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
【答案】B
【解析】
【分析】
讨论对称轴的不同位置，可求出结果．
【详解】
∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，
可得：（1﹣h）2+1=5，
解得：h=﹣1或h=3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，
可得：（3﹣h）2+1=5，
解得：h=5或h=1（舍）．
综上，h的值为﹣1或5，
故选B．【点睛】
本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知
该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据
1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜
h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．
20．将抛物线 绕顶点旋转 ，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线 ，可得顶点坐标为(0，1)，开口向上，抛物线绕顶点旋转 后，开口向下，顶点和
抛物线形状没有改变，即可得到答案．
【详解】
∵抛物线 的顶点坐标为(0，1)，开口向上，
∴抛物线 绕顶点旋转 后所得的抛物线顶点坐标为(0，1)，开口向下，
∴旋转后的抛物线的解析式为： ．
故选C．
【点睛】
本题主要考查抛物线的旋转变换，掌握抛物线的顶点式与旋转变换是解题的关键．
21．把二次函数 化成 的形式，则 ________，把此函数图象向右平移 个
单位后，它的顶点坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的平移规律得到新的解析式即可解题.
【详解】
解：把二次函数 化成顶点式得y= ,
把y= 的图像向右平移 个单位后得y= ,
∴函数的顶点坐标是 .
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质,一般式与顶点式的转换,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
22．已知抛物线y＝﹣ （x﹣2）2+3．
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
【答案】（1）抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3）；（2）当x＜2时y随x的增
大而增大．
【解析】
【分析】
（1）由二次函数的顶点式，根据二次函数的性质解决问题；
（2）由（1）中抛物线的对称轴方程及开口方向即可判断出y随x的增大而增大时x的值．
【详解】
（1）y＝﹣ （x﹣2）2+3．
所以抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3）；
（2）∵抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵抛物线的对称轴x＝2，
∴当x＜2时y随x的增大而增大．
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标、对称轴方程及函
数的增减性是解答此题的关键．
23．已知二次函数的图象经过点(0，0)，且它的顶点坐标是(1，-2)．
（1）求这个二次函数的表达式；（2）判断点(3，5)是否在这个二次函数的图像上，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）不在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法写出函数顶点式，然后代入(0，0)即可求解；
（2）将x=3代入函数解析式，判断y是否等于5即可．
【详解】
（1）∵顶点坐标是(1，-2)
∴设函数表达式为
当x=0，y=0时，有 ，解得a=2
∴函数表达式为
（2）当x=3时，有
∵
∴点(3，5)不在这个二次函数的图像上
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，问题的关键是熟练掌握二次函数的三种表
达形式：一般式，双根式（两点式）和顶点式，根据题意选择合适的表达式是本部分的重点．
24．设k≠0，若函数y＝kx+3，y＝（x﹣k）2+k和y＝（x+k）2﹣k的图象与y轴依次交于A，B和C三点，
1 2 3
设函数y，y 的图象的顶点分别为D，E．
2 3
（1）当k＝1时，请在直角坐标系中，分别画出函数y，y，y 的草图，并根据图象，写出你发现的两条
1 2 3
结论；（2）BC长与k之间是正比例函数关系吗？请作出判断，并说明理由；
（3）若△ADE的面积等于9，求y 随x的增大而减小时，x的取值范围．
2
【答案】（1）见解析，直线与两抛物线始终有两个交点；B点在C点上方；（2）BC长与k之间是正比例
函数关系，见解析；（3）x≤3．
【解析】
【分析】
（1）当k=1时，分别求出它们的解析式，画出图象；
（2）求出B与C的坐标，求出BC=2k，可知BC与k是正比例函数；
（3）构造矩形求△BDE的面积，利用面积求k的值，进而求出y 的函数解析式，从而求解．
2
【详解】
解：（1）当k＝1时，y＝x+3，y＝（x﹣1）2+1和y＝（x+1）2﹣1．
1 2 3
如图，
直线与两抛物线始终有两个交点；B点在C点上方；
（2）B（0，k2+k），C（0，k2﹣k），
∴BC＝（k2+k）﹣（k2﹣k）＝2k，
∴BC长与k之间是正比例函数关系；
（3）由表达式可知：D（k，k），E（﹣k，﹣k），
过D，E分别向x轴作垂线，过A，E分别向y轴作垂线，交点为O，P，E，N，
则由OPEN构造长方形，
∴S ＝S ﹣S ﹣S ﹣S ＝2k（3+k）﹣ k•（3+k）﹣ 2k•2k﹣ k•（3﹣k）＝3k，
ADE PONE APE AOD EDN
△ △ △ △
∵△ADE的面积等于9，
∴3k＝9，
∴k＝3，
∴y＝（x﹣k）2+k＝（x﹣3）2+3，
2∴对称轴是x＝3，
当y 随x的增大而减小时，x≤3．
2
故答案为（1）见解析，直线与两抛物线始终有两个交点；B点在C点上方；（2）BC长与k之间是正比例
函数关系，见解析；（3）x≤3．
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的图象；正比例函数的判别；二次函数顶点，对称轴；三角形面积．能够将
一次函数，正比例函数，二次函数三个函数的图象与解析式结合解题，同时数形结合思想的运用起到关键
作用．
25．如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，
求S AB
C;
△
【答案】
【解析】
【分析】
过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，由抛物线y= 得C（2，0），
于是得到对称轴为直线x=2，设B（m，n），根据△ABC是等边三角形，得到BC=AB=2m-4，
∠BCP=∠ABC=60°，求出PB= PC= （m-2），由于PB=n= ，于是得到（m-2）= ，解方程得到m的值，然后根据三角形的面积公式即可得到结果．
【详解】
解：过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，
由抛物线y= 得C（2，0），
∴对称轴为直线x=2，
设B（m，n），
∴CP=m-2，
∵AB∥x轴，
∴AB=2m-4，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，
∴PB= PC= （m-2），
∵PB=n= ，
∴ （m-2）= ，
解得m= ，m=2（不合题意，舍去），
∴AB= ，BP= ，
∴S = ．
ABC
△【点睛】
本题考查二次函数的性质.
26．已知函数 是关于x的二次函数．
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
【答案】（1）m=2，m=﹣3；（2）当m=2时，抛物线有最低点，最低点为：（0，1），当x＞0时，y随
1 2
x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，函数有最大值，最大值为1，当x＞0时，y随x的增大而减小
【解析】
【分析】
（1）利用二次函数的定义得出关于m的等式，解方程即可得出答案；
（2）利用二次函数的性质得出m的值；
（3）利用二次函数的性质得出m的值.
【详解】
（1）∵函数 是关于x的二次函数，
∴m2+m﹣4=2，
解得：m=2，m=﹣3；
1 2
（2）当m=2时，抛物线有最低点，
此时y=4x2+1，
则最低点为：（0，1），
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）当m=﹣3时，函数有最大值，
此时y=﹣x2+1，故此函数有最大值1，
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而减小．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，解一元二次方程，因此掌握二次函数的定义与性质是解答
本题的关键．题组C 培优拔尖练
27．某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间
的关系如图所示．
（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．
（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？
【答案】（1）y＝ ；（2）W＝ ;（3）这种商品的销
售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．
【解析】
【分析】
（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式
为y=mx+n，解方程组即可得到结论；
（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；
（3）当40≤x≤60时，W=-x2+210x-5400，得到当x=60时，W =-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，
最大
W=-3x2+390x-9000，得到当x=65时，W =-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论．
最大
【详解】
解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（40，140），（60，120）代入得 ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n，
将（90，30），（60，120）代入得 ，
解得： ，
∴y＝﹣3x+300；
综上所述，y＝ ；
（2）当40≤x≤60时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，
当60＜x≤90时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，
综上所述，W＝ ；
（3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400，
∵﹣1＜0，对称轴x＝ ＝105，
∴当40≤x≤60时，W随x的增大而增大，
∴当x＝60时，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，
当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，
∵﹣3＜0，对称轴x＝ ＝65，
∵60＜x≤90，
∴当x＝65时，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，
∵3675＞3600，
∴当x＝65时，W最大＝3675，
答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．
【点睛】
本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次
函数的模型是解题的关键．
28．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的
高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
【答案】（1）y= (x－6)2+2.6
（2）球能越过网；球会过界
（3）h≥
【解析】
【详解】
试题分析：（1）利用h=2.6将点（0，2），代入解析式求出即可；
（2）利用当x=9时，y=﹣ （x﹣6）2+2.6=2.45，当y=0时， ，分别得出即可；
（3）根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时
函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，即可得出答
案．
试题解析：解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，
∴抛物线y=a（x﹣6）2+h过点（0，2），
∴2=a（0﹣6）2+2.6，
解得：a=﹣ ，
故y与x的关系式为：y=﹣ （x﹣6）2+2.6，
（2）当x=9时，y=﹣ （x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网；
当y=0时， ，
解得：x=6+2 ＞18，x=6﹣2 （舍去）
1 2
故会出界；
（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：
，
解得： ，
此时二次函数解析式为：y=﹣ （x﹣6）2+ ，
此时球若不出边界h≥ ，
当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：
解得： ，
此时球要过网h≥
故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥ ．
考点：二次函数的应用
29．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．
如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，
水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为 ．（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF， ， ．问：顶部F是否会碰到水
柱？请通过计算说明．
【答案】（1） ；（2）22米；（3）不会
【解析】
【分析】
（1）求雕塑高 ,直接令 ，代入 求解可得；
（2）可先求出 的距离，再根据对称性求 的长；
（3）利用 ，计算出 的函数值 ，再与 的长进行比较可得结论．
【详解】
解：（1）由题意得，A点在图象上．
当 时，
．
（2）由题意得，D点在图象上．
令 ，得 ．
解得： （不合题意，舍去）．（3）当 时， ，
，
∴不会碰到水柱．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于 轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质．
30．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水
柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适
当的平面直角坐标系，解答下列问题．
（1）求水柱所在抛物线的函数解析式；
（2）求水管AB的长．
【答案】（1）y＝﹣ （x﹣1）2+3（0≤x≤3）；（2）2.25m
【解析】
【分析】
（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式
为y＝a（x−1）2＋3，将（3，0）代入求得a值；
（2）由题意可得，x＝0时得到的y值即为水管的长．
【详解】
解：（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，
代入（3，0）求得：a＝﹣ （x﹣1）2+3．
将a值代入得到抛物线的解析式为：y＝﹣ （x﹣1）2+3（0≤x≤3）；
（2）令x＝0，则y＝ ＝2.25．故水管AB的长为2.25m．
