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22.3.2二次函数专项训练（综合类）（2）
题型1：综合-线段、周长、面积最值问题
1
1、已知抛物线 y= x2+bx 经过点 A(4，0) ，另有一点 C(1，−3) ，若点 D 在抛物线的对称
2
轴上，且 AD+CD 的值最小，求点 D 的坐标．
2．如图已知二次函数 y=x2+4x−5 的图象及对称轴，限用无刻度直尺按下列要求作图：
（1）在图1中作点 A(−4,−5) ；
（2）已知 A(−4,−5) ，在图2中的对称轴上作点P，使 CP−AP 最大；
3．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，
0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于
点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（Ⅱ）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；4．如图 ，抛物线与 x 轴交于 A(−3,0),B(1,0) 两点、与 y 轴交于点 C(0,3) .
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 设抛物线上的一个动点 P 的横坐标 t（−3<t<0） ，求 ΔPAC 的面积 S 关于 t 的函数
关系式，并说明 t 取何值时， ΔPAC 的面积 S 取到最大值；
5.如图，已知二次函数y=ax2+bx−3的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），直线AC与y
轴交于点C，与抛物线交于点D，且△ABD的面积为10．
（1）求抛物线和直线AC的函数表达式；
（2）若抛物线上的动点E在直线AC的下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
如图，抛物线y=ax2+bx(a≠0)的图象过原点O和点A(1， √3 )，且与x轴交于点B，△AOB的面积为
√3 。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴上存在一点M，使△AOM的周长最小，求M点的坐标；
7．在平面直角坐标系中，将二次函数y=a x2 (a＞0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，OA=1，经过点A的
一次函数 y=kx+b ( k≠0 )的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD
的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐
标；
8．如图，抛物线y=ax2+bx(a≠0)的图象过原点O和点A(1， √3 )，且与x轴交于点B，△AOB的面积
为 √3 。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴上存在一点M，使△AOM的周长最小，求M点的坐标；
（3）点F是x轴上一动点，过F作x轴的垂线，交直线AB于点E，交抛物线于点P，且PE=
2√3
，直接写出点E的坐标(写出符合条件的两个点即可)。
3
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝5cm，点P，点Q分别以2cm/s和1cm/s的速度从A，B
沿AB，BC方向运动.设t秒（t≤5）时，△PBQ的面积为y.
（1）试写出y与t的函数关系式.
（2）当t为何值时，S ＝6cm2？
△PBQ
（3）在P、Q运动过程中，四边形APQC的面积是否有最小值？如果有，直接写出S ＝
四边形APQC
.10．如图，已知抛物线 y=ax2+bx 与 x 轴分别交于原点 O 和点 F(10，0) ，与对称轴 l 交于
点 E(5，5) .矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴正半轴上，且 AB=1 ，边 AD ， BC 与抛物线分
别交于点 M ， N .当矩形 ABCD 沿 x 轴正方向平移，点 M ， N 位于对称轴 l 的同侧时，连
接 MN ，此时，四边形 ABNM 的面积记为 S ；点 M ， N 位于对称轴 l 的两侧时，连接 EM
， EN ，此时五边形 ABNEM 的面积记为 S .将点 A 与点 O 重合的位置作为矩形 ABCD 平移
的起点，设矩形 ABCD 平移的长度为 t(0≤t≤5) .
（1）求出这条抛物线的表达式；
（2）当 t=0 时，求 S 的值；
ΔOBN
（3）当矩形 ABCD 沿着 x 轴的正方向平移时，求 S 关于 t(0≤t≤5) 的函数表达式，并求出
t 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？
题型2：综合-等腰三角形存在性问题
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已
知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果
不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
3．（提升）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线
上的一个动点，PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值；
（3）当△PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标．
4．如图，已知抛物线y＝mx2+4x+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣3经过B，C两
点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的顶点为M，在该抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是
等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型3：综合-直角三角形存在性问题
1．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接
BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于
M，交x轴于N，恰有线段MN＝2PM，求此时点P的坐标；
（3）如图2，连接CP，在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，若存
在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），直
线y＝mx+n经过点A，与y轴交于点 ，与抛物线交于点D，点△ABD的面积为5．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上一动点E在直线y＝mx+n的图象下方，当△ACE的面积最大时，求点E的坐标；
（3）若点P是y轴上一点，在（2）的条件下，当△PAE为直角三角形时，直接写出PA的最大值．
3．如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．
（1）求M点的坐标；（2）求△MBC的面积；
（3）坐标轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点 N的坐
标；若不存在，请说明理由．
题型4：综合-平行四边形存在性问题
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（﹣6，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存
在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在坐标平面内是否存在一点P，使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形，若存在，直接写出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x+c与直线y＝x+1交于点A、C，且点A的坐标为（﹣1，
0）．
（1）求点C的坐标；
（2）若点P是直线AC下方的抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）若点E是抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在点E使以A，C，E，F为顶点的
四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3．抛物线y＝ax2﹣ax+b交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线y＝﹣x+4经过B，C两
点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，以点A、C、M、N为顶点，AC为边的四
边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+4与x轴交于点A（﹣4，0），B（x ，0），与y轴交
2
于点C．经过点B的直线y＝kx+b与y轴交于点D（0，2），与抛物线交于点E．
（1）求抛物线的表达式及B，C两点的坐标；
（2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP的周长最小时，求点P的坐标；
（3）若点M是直线BE上的动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，
N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．题型5：综合-菱形存在性问题
1．如图，抛物线y＝ x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝ x
﹣2经过B、C两点，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在BC下方运动时，求△BCP面积的最大值．
（3）连接OP，把△OCP沿着y轴翻折，使点P落在P'的位置，四边形CPOP'能否构成菱形，若能，求
出点P的坐标，如不能，请说明理由；
（4）把抛物线y＝ x2+bx+c向上平移1.5个单位，再向左平移m个单位，使顶点落在△ABC内部，求
直接写出点m的取值范围．
2．综合与探究
如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（4，0），点E是x轴正半轴上
的一个动点，过点E作直线PE⊥x轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F．
（1）求二次函数的表达式．
（2）当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段PF＝ EF，求此时点P的坐标．
（3）试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶
点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线l的顶点C在y轴上，点A，B为抛物线上关于y轴对称的两点，线段AB交y轴于点D，
AB＝4，OC＝2，OD＝4．
（1）求抛物线l的函数表达式；
（2）将抛物线l平移到抛物线l′，设平移后点A，B的对应点为A'，B'，若点A落在直线x＝1上，且
以A、B、A'、B′为顶点的四边形是菱形，试确定平移后抛物线l'的表达式．
题型6：综合-矩形存在性问题
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线
BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不
存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，OA＝3，OC＝4，抛物
线y＝ax2+bx+4经过点B，且与x轴交于点D（﹣1，0）和点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接 CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的
坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；
（3）若N是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是
矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
题型7：综合-正方形存在性问题
1、综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，过A，B两点的
抛物线交x轴于另一点C，且OA＝20C，点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接FA，FB．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点F与抛物线的顶点重合时，△ABF的面积为 3 ；
（3）求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标．
（4）在（3）的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A，
F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．2、已知抛物线l：y＝ax2﹣2ax+a+3（a＜0）与y轴的交点为A，顶点为P，对称轴为直线m．
（1）求抛物线l的顶点坐标P和对称轴．
（2）抛物线l关于点A对称的抛物线为l'，抛物线l'的顶点为Q，对称轴为直线n，在直线m和直线n上
是否分别存在点E、F，使得四边形PEQF为正方形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理
由．
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与
y轴交于点C．
（1）b＝ ，c＝ ；
（2）若点D为第四象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交BC于点E，过点D作DF⊥BC
于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，求出DE+FG的最大值及此时点D的坐标；
（3）若点P是该抛物线对称轴上的一点，点Q为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于x轴上方是
否存在点M，使四边形OMPQ为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
