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22.3.1二次函数专项训练（1）（40题）
题型1：二次函数图像与系数的关系
1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②3a+c＝0；③4a﹣
2b+c＜0；④a+b＞m（am+b）其中m是不等于1的实数．则其中结论正确的个数是多少个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由图象可知：a＜0，c＞0，b＞0，且由 ＝1可知：b＝﹣2a．由图象可知：x＝﹣2时，y＜
0．当x＝1时，y的最大值为a+b+c．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵对称轴为x＝1，
∴ ＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②由 ＝1可知：b＝﹣2a，
∵抛物线过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴3a+c＝0，故②符合题意．
③由图象可知：x＝﹣2时，y＜0，
即4a﹣2b+c＜0，故③符合题意．④由图象可知：x＝1时，y的最大值为a+b+c，
∴当x＝m时（m≠1），
∴am2+bm+c＜a+b+c，
∴a+b＞m（am+b），故④符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基
础题型．
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③a+2b＞m
（am+b）（m≠1）；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为 2．其中，正确结论的个数
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次函数的图象可知a＜0，b＞0，c＞0，然后由图象可知当x＝1时，y的最大值为
a+b+c．当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0．若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，分别设为x ，x ，x ，x ，再由图
1 2 3 4
象对称性可知x +x ＝2，x +x ＝2．
1 2 3 4
【解答】解：①、由图象可知： ＝1＞0，a＜0，c＞0，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②、由①知：b＝﹣2a，
由图象可知：x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，
∴2c﹣3b＝2c+6a＝2（3a+c）＜0，
即2c＜3b，故②符合题意．
③由图象可知：当x＝1时，y的最大值为a+b+c，
∴当x＝m（≠1）时，
am2+bm+c＜a+b+c，∴m（am+b）＜a+b，
∵a+b﹣a﹣2b＝﹣b＜0，
∴a+b＜a+2b，
∴a+2b＞m（am+b），故③符合题意．
④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，分别设为x ，x ，x ，x ，
1 2 3 4
其中x ，x 是方程ax2+bx+c＝1的两个根，x ，x 是方程ax2+bx+c＝﹣1的两个根，
1 2 3 4
则x +x ＝2，x +x ＝2，
1 2 3 4
即这四个根的和为4，故④不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数之间的关系，本题属
于中等题型．
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（4，0），对称轴为x＝1．下列结论：
①2a+b＝0；②15a+c＜0；③3a+2b＞0；④8a+5b+c＜0；⑤对于任意实数m，式子m（am+b）﹣
b≤a都成立．其中结论正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由对称轴可知2a+b＝0，由二次函数的图象可知：a＜0，16a+4b+c＝0，当x＝1时，y的最大
值为a+b+c，从而判断各个选项是否正确．
【解答】解：①由对称轴可知： ＝1，
∴2a+b＝0，故①符合题意．
②由图象可知：当x＝4时，y＝0，
即16a+4b+c＝0，
∴c＝﹣16a﹣4b＝﹣16a+8a＝﹣8a，
∴15a+c＝15a﹣8a＝7a，∵a＜0，
∴15a+c＜0，故②符合题意．
③3a+2b＝3a﹣4a＝﹣a＞0，故③符合题意．
④8a+5b+c
＝8a﹣10a﹣8a
＝﹣10a＞0，故④不符合题意．
⑤由图象可知：当x＝1时，y的最大值为a+b+c，
∴x＝m时，am2+bm+c≤a+b+c，
∴am2+bm≤a+b，
∴m（am+b）﹣b≤a，故⑤符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数之间的关系，本题属
于中等题型．
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．下列说法
正确的个数是（ ）
①ac＞0；②b2﹣4ac＜0；③9a﹣3b+c＞0；④am2+bm＜a﹣b（其中m≠﹣1）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据抛物线的开口方向判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，从而判断
①；根据抛物线与x轴的交点个数判断②；当x＝﹣3时，确定函数值y与0的关系，据此判断③；根
据当x＝m与x＝﹣1时y的值，判断④．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0．
∴ac＜0，故①错误；
②∵由题图可以看出，抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0．故②错误．
③设抛物线与x轴的另一个交点为（x，0）．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且交x轴于点（1，0），
∴﹣1＝ ，解得x＝﹣3．
把x＝﹣3代入抛物线解析式得：
9a﹣3b+c＝0，故③错误；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且开口向上，
∴当x＝﹣1时，y最大值 ＝a﹣b+c．
∵当x＝m（m≠﹣1）时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c＜a﹣b+c，即am2+bm＜a﹣b．故④正确．
综上所述，只有④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图像与性质，若抛物线与 x轴两个交点的坐标为（x ，0）（x ，0）则
1 2
其对称轴为x＝ （x +x ）．
1 2
5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：
①2a+b＜0；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）、结合题意判断①；根据抛物线的对称性判断②；
根据一元二次方程根的判别式判断③．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵a＜c，
∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小题结论正确；
②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，
∴b＜0，∴对称轴x＝﹣ ＞1，
∴当1＜x＜﹣ 时，y随x的增大而减小，本小题结论错误；
③∵a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，
对于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，
∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根，本小题结论正确；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与 x轴的交点，
熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键．
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（1，0），（0，3），其对称轴在y轴左侧．
有下列结论：
①abc＜0；
②抛物线经过点（﹣ ，0）；
③方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根；
④﹣3＜a＜0．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由题意可知：x＝1时，y＝a+b+c＝0，x＝0时，y＝c＝3，所以a+b＝﹣3，再由对称轴在y轴
左侧，可知 ＞0，所以a＜0，b＜0，由于不能判断对称轴的具体位置，从而不能判断抛物线是否过
点（ ，0），且抛物线开口向下，由抛物线的图象性质可知其该二次函数的最大值必定大于3．
【解答】解：由题意可知：x＝1时，y＝a+b+c＝0，
x＝0时，y＝c＝3，
∴a+b＝﹣3，
∵对称轴在y轴左侧，
∴ ＜0，∴ ＞0，
①∵c＝3， ＞0，
∴abc＞0，故①不符合题意．
②由于不能判断对称轴的具体位置，
从而不能判断抛物线是否过点（ ，0），故②不符合题意．
③∵a+b＜0， ＞0，
∴a＜0，b＜0，
∴抛物线的开口向下，且该二次函数的最大值必定大于3，
∴直线y＝2与该抛物线有两个交点，
即ax2+bx+c＝2有两个不相同的实数根，故③符合题意．
④由于a+b＝﹣3，b＜0，
b＝﹣3﹣a＜0，
∴a＞﹣3，
∴﹣3＜a＜0，故④符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是根据题意得出 a、b、c的关系，再
由a、b、c大致判断该抛物线的图象，本题属于中等题型．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣4，0），其对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出
下列结论：
①abc＜0；
②4a+2b+c＞0；
③3b+2c＞0；
④a﹣b≥am2+bm．
其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线的开口方向、与y轴的交点位置、对称轴的位置判断①；当x＝2时，利用抛物线
y＝ax2+bx+c的值判断②；当x＝1时，抛物线y＝ax2+bx+c的值与a和b的关系判断③；当x＝﹣1时，
抛物线的值与当x＝m时，抛物线的值进行比较判断④．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0．
∵对称轴在x轴负半轴，
∴x＝﹣ ＜0，
∴ ＞0，即a，b同号，
∴b＜0．
∴abc＞0．故①错误；
②设抛物线与x轴的另一个交点为（x，0）由题意得，
对称轴x＝ ＝﹣1，解得x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0）．
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝0，故②错误；
③由②得，当x＝2时，y＝4a+2b+c＝0，
根据抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，函数y＝a+b+c＞0
∵抛物线的对称轴x＝﹣ ＝﹣1，∴a＝ b，
∴a+b+c＝ b+b+c＞0，整理得3b+2c＞0．故③正确；
④∵由题意得，（﹣1，y ）是抛物线的顶点坐标，
1
∴当x＝﹣1时，二次函数有最大值y ＝a﹣b+c，
1
∴无论x取何值，二次函数值都不大于y ，
1
∴a﹣b+c≥am2+bm+c，整理得a﹣b≥am2+bm．故④正确．
综上所述，以上结论共有2个正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图像与性质及抛物线的位置与a、b、c符号之间的关系，熟练掌握这些
知识是解题的关键．
8．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①b2﹣4ac＞0；
②abc＞0；③8a﹣2b+c＞0；④若点（﹣0.5，y ），（﹣2，y ）均在抛物线上，则y ＜y ．其中正确
1 2 1 2
的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】结合图象可知，抛物线与x轴有两个交点，即b2﹣4ac＞0，即可判断①；由图象可知，抛物线
的开口向上，图象与y轴交于负半轴，可得a＞0，c＜0，由抛物线的对称轴为x＝﹣ ＝﹣1，可得b
＝2a＞0，即可判断②；由a+b+c＝0，b＝2a，可得c＝﹣3a，所以8a﹣2b+c＝8a﹣4a﹣3a＝a＞0，即
可判断③；点（﹣0.5，y ）关于对称轴的对称点为（﹣1.5，y ），因为﹣0.5＞﹣1.5，且在对称轴左侧
1 1
y随x的增大而减小，所以y ＜y ，即可判断④．
1 2
【解答】解：结合图象可知，抛物线的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
即抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，
故①正确；
由图象可知，抛物线的开口向上，图象与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣ ＝﹣1，
可得b＝2a，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故②错误；
∵a+b+c＝0，b＝2a，
∴c＝﹣3a，
∴8a﹣2b+c＝8a﹣4a﹣3a＝a＞0，
故③正确；
∵点（﹣0.5，y ）关于对称轴的对称点为（﹣1.5，y ），
1 1
﹣0.5＞﹣1.5，在对称轴左侧y随x的增大而减小，
∴y ＜y ，
1 2
故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣
1，0），点C在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），抛物线的顶点为D，对称轴为直线x＝2．
有以下结论：
①abc＜0；
②若点M（ ，y ），点N（ ，y ）是函数图象上的两点，则y ＞y ；
1 2 1 2
③ ＜a＜ ；
④△ADB不可能是等腰直角三角形．其中正确的结论个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据对称轴为x＝﹣ ，可得b＝﹣4a，由图象可知，a＜0，则b＞0，又因为点C在（0，2）
与（0，3）之间，所以2＜c＜3，进而可判断①；根据抛物线的对称性即可判断②；由于点A（﹣1，
0）在抛物线图象上，可得a﹣b+c＝0，从而可得a＝﹣ ，结合2＜c＜3，可求出a的取值范围，即可
判断③；由抛物线的对称性可知，△ABD为等腰三角形，若△ABD为等腰直角三角形，则点D到x轴
的距离为 AB＝3，即D（2，3），则 ，可解得a，b，c的值，进而可求出二次函数的解
析式，但当x＝0时，y＝ ，与点C在（0，2）与（0，3）之间（不包括两点）矛盾，故△ADB不可能
为等腰直角三角形，即可判断④．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣ ，
∴﹣ ＝2，
∴b＝﹣4a，
由图象可知，a＜0，
则b＞0，
∵点C在（0，2）与（0，3）之间，
∴2＜c＜3，
∴abc＜0，
故①正确；
∵点N（ ，y ）关于对称轴x＝2的对称点为（ ，y ），
2 2＞﹣ ，且在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴y ＜y ，
1 2
故②不正确；
∵点A（﹣1，0）在抛物线图象上，
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣4a，
∴a＝﹣ ，
又∵2＜c＜3，
∴ ，
故③正确；
∵抛物线的顶点为D，对称轴为x＝2，点A的坐标为（﹣1，0），
由抛物线的对称性可知，AB＝2×3＝6，AD＝BD，
∴△ABD为等腰三角形，
若△ABD为等腰直角三角形，
则点D到x轴的距离为 AB＝3，即D（2，3）．
则 ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为y＝ ，
当x＝0时，y＝ ，与点C在（0，2）与（0，3）之间（不包括两点）矛盾，
∴△ADB不可能为等腰直角三角形，
故④正确．
故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本
题的关键．
10．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx，其中a﹣b＜0．以下4个结论：
①若这个函数的图象经过点（﹣2，0），则它必有最小值；
②若这个函数的图象经过第四象限的点P，则必有a＜0；
③若a＞0，则方程ax2+bx＝0必有一根小于﹣1，
④若a＜0，则当﹣1≤x≤0时，必有y随x的增大而增大．正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【分析】将点（﹣2，0）代入y＝ax2+bx，可得出b＝2a，结合a﹣b＜0，可得a﹣2a＝﹣a＜0，即a＞
0，进而可判断①；根据题意，设P（x，y），可知当x＞0时，y＜0，即y＝ax2+bx＝x（ax+b）＜0，
从而可得ax+b＜0，由a﹣b＜0，即a＜b，可得ax+a＜0，即a（x+1）＜0，进而可判断②；方程
ax2+bx＝0可转化为x（ax+b）＝0，可得x＝0或ax+b＝0，在ax+b＝0中，由于a≠0，可得x＝﹣ ，
因为a﹣b＜0，结合a＞0，可得 ＞1，则x＜﹣1，即可判断③；若a＜0，则二次函数y＝ax2+bx的图
象开口向下，对称轴为x＝ ，由a﹣b＜0，可得 ＜1，故 ＞﹣ ，所以当﹣ 时，
有 ，y随x的增大而减小，即可判断④．
【解答】解：将点（﹣2，0）代入y＝ax2+bx，
可得4a﹣2b＝0，
即b＝2a，
∵a﹣b＜0，
∴a﹣2a＝﹣a＜0，
∴a＞0，
∴抛物线开口向上，有最小值．
故①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx的图象经过第四象限的点P，
设P（x，y），
∴当x＞0时，y＜0，即y＝ax2+bx＝x（ax+b）＜0，
∴ax+b＜0，
∵a﹣b＜0，
∴a＜b，
∴ax+a＜0，即a（x+1）＜0，
∵x＞0，
∴a＜0，
故②正确；
方程ax2+bx＝0可转化为x（ax+b）＝0，
∴x＝0或ax+b＝0，
在ax+b＝0中，
∵a≠0，
∴x＝﹣ ，
∵a﹣b＜0，
∴a＜b，
∵a＞0，
∴ ＞1，
则x＜﹣1，
∴若a＞0，则方程ax2+bx＝0必有一根小于﹣1，
故③正确；
若a＜0，
则二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，对称轴为x＝ ，
∵a﹣b＜0，
∴a＜b，
∴ ＜1，
∴ ＞﹣ ，
∴当﹣ 时，有 ，y随x的增大而减小，故④错误．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
11．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴是直线x＝2，当x＝﹣1时，与其对应的
函数值y＞0，且抛物线与y轴交点在x轴下方．有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；
②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小；
③8a+3b+c＞0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意可知，抛物线开口向上，且与x轴有两个交点，可判断①；由抛物线的对称轴为x＝
2，可得当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，可判断②；将
8a+3b+c转化为﹣4a+c，结合a＞0，c＜0可得出答案．
【解答】解：根据题意可知，抛物线开口向上，且与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故①正确；
∵抛物线的对称轴为x＝2，
∴当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而减小，
当x＞2时，y随x的增大而增大，
故②错误；
∵抛物线的对称轴为x＝﹣ ＝2，
∴b＝﹣4a，
∴8a+3b+c＝8a﹣12a+c＝﹣4a+c，
由题意知，a＞0，c＜0，
∴﹣4a+c＜0，
即8a+3b+c＜0，
故③错误．
∴正确的结论有1个．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过点A（1，0），其对称轴为直线x
＝﹣1，有下列结论：① abc＞0；② 2a+c＞0；③函数的最大值为﹣4a；④当﹣3≤x≤0 时，
0≤y≤c．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由图象知，a＜0，c＞0，因为抛物线的对称轴为x＝﹣1，可得﹣ ，所以b＝2a＜0，可
得abc＞0，可判断①；利用a+b+c＝0，可得2a+c＝b+c＝﹣a，即可判断②；由图象知，当x＝﹣1时，
函数取得最大值，即函数的最大值为a﹣b+c，进而可判断③；由图象可知，当x＝﹣3时，抛物线取得
最小值，当x＝﹣1时，抛物线取得最大值，故当﹣3≤x≤0时，0≤y≤﹣4a，可判断④．
【解答】解：由图象知，a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴﹣ ，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵抛物线过点A（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a．
则2a+c＝b+c＝﹣a＞0，
故②正确；
∵a+b+c＝0，
∴c＝﹣a﹣b＝﹣a﹣2a＝﹣3a，
由图象知，当x＝﹣1时，函数取得最大值，
∴函数的最大值为a﹣b+c＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a．
故③正确；由抛物线的对称性可知，抛物线过点（﹣3，0），
∴当x＝﹣3时，抛物线取得最小值为0，
当x＝﹣1时，抛物线取得最大值为﹣4a．
∴当﹣3≤x≤0时，0≤y≤﹣4a．
故④错误．
∴正确的结论有3个．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
13．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（1，1），（0，﹣1），当x＝2时，与其对
应的函数值y＜﹣1．有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c﹣a＝0有两个不等的实数根；
③a﹣b+c＜﹣3．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由已知条件可得a＜0，b＞0，c＝﹣1，即可判断①；求得b2﹣4a（﹣1﹣a）＞0即可判断②；
将a﹣b+c转化为a﹣（2﹣a）﹣1＝2a﹣3，即可判断③．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，1），（0，﹣1），
∴a+b+c＝1，c＝﹣1，
又∵当x＝2时，与其对应的函数值y＜﹣1，
∴抛物线的对称轴为﹣ ＞0，抛物线开口向下，即a＜0，
∴b＞0，
∴abc＞0，
故①正确；
由题意知，抛物线与x轴有两个交点，且c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝b2+4a＞0，
关于x的方程ax2+bx+c﹣a＝0可化为ax2+bx﹣1﹣a＝0，
∵b2﹣4a（﹣1﹣a）＝b2+4a+4a2，b2+4a＞0，4a2＞0，
∴b2﹣4a（﹣1﹣a）＞0，
∴关于x的方程ax2+bx+c﹣a＝0有两个不等的实数根，故②正确；
∵a+b+c＝1，c＝﹣1，
∴b＝2﹣a，
∴a﹣b+c＝a﹣（2﹣a）﹣1＝2a﹣3，
∵a＜0，
∴2a﹣3＜﹣3．
故③正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
14．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），且顶点在第一象限，那么
下列结论：①a+c＝b；②x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的解；③abc＞0；④c﹣a＞2，其中正确的结
论为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】把（﹣1，0）代入抛物线的解析式，便可判断①的正误；根据二次函数与一元二次方程的关
系，便可判断②的正误；由抛物线的开口方向确定a的正负，再根据顶点坐标的位置，可以确定b的正
负，由抛物线与y轴交点位置，可以确定c的正负，于是便可判断③的正误；把（0，2）代入抛物线的
解析式，便可求得c的值，结合a的正负便可判断④的正误．
【解答】解：把（﹣1，0代入y＝ax2+bx+c，得a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，
故①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
∴当x＝﹣1时，方程ax2+bx+c＝0成立，
∴x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的解，
故②正确；由于函数图象开口向下知，a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴∴，
∴c＞0，
∵抛物线的顶点在第一象限，
∴ ，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故③错误；
∵抛物线与y轴交于（0，2），
∴c＝2，
∵a＜0，
∴c﹣a＞2，
故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数关系，二次函数图象上点的坐标特征，
灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
15．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点G坐标为（1，k），且与x轴的一个交点在点
（2，0）和（3，0）之间（不含两端点）．则下列结论：
①abc＜0；
②a﹣b+c＞0；
③3a+b＜0；4a﹣2b+c＞0；
④一元二次方程ax2+bx+c＝k+1没有实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据图象得出a，b，c的符号，即可判断①，根据二次函数的对称性可知，函数与x轴的另一
个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，由此即可判断②，由②再根据b＝﹣2a和x＝﹣2即可判断③，
由函数的最大值即可判断④．
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
取x＝0，得y＝c＞0，
又∵对称轴为x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，
∴①正确，
∵抛物线顶点坐标为（1，k），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∵图象与x轴的一个交点在（2，0），（3，0）之间，
∴图象与x轴另一交点在（0，0），（﹣1，0）之间，
∴x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
故②错误．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，3a+b＝a＜0，
∴x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，
故③错误．
∵抛物线顶点坐标为（1，k）．
∴y＝ax2+bx+c的最大函数值为y＝n，
∴ax2+bx+c＝k+1没有实数根k
故④正确，符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，要熟记二次函数的对称轴，顶点公式，知道最大值或最小
值的计算方法，还有抛物线关于对称轴对称等基本的知识点要全部掌握，中考喜欢出现在最后一道选择题或填空题．
题型2：待定系数法求二次函数解析式
16．如图，直线y＝x﹣3与x轴和y轴交点分别为A，B，抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将点B向右平移4个单位长度得到点C，若抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点，求
m的取值范围．
【分析】（1）先求出点A，B 的坐标，再将A，B的坐标代入y＝x2+bx+c即可求解；
（2）先求出点C的坐标，再根据抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点分情况即可求出m的
取值范围．
【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于点A，B．
∴当x＝0时，y＝﹣3，即B（0，﹣3），
当y＝0时，x＝3，即A（3，0），
又∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点，
∴将点A（3，0），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，
得 ，
解得： ，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵B（0，﹣3）向右平移4个单位长度得到C（4，﹣3），
由（1）知抛物线y＝x2+bx+c+m的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3+m＝（x﹣1）2+m﹣4．
∵抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点，
∴①当抛物线顶点在线段BC上时，即顶点为（1，﹣3），
∴m﹣4＝﹣3，
解得m＝1，
②当抛物线y＝x2+bx+c+m与y轴的交点在点B的下方时，即﹣3+m＜﹣3时，∴m＜0，
③当抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC的交点是点C时，
∴将C（4，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+m﹣4得，
﹣3＝（4﹣1）2+m﹣4，
解得：m＝﹣8，
则抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点时m≥﹣8，
∴抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点时，m的取值范围为：﹣8≤m＜0或m＝1．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的性质，二次函数与一次函数的
关系．
17．如图，已知抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0， ），顶点为C，点D在对称轴上
且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C恰好落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的解析式及顶点C的坐标；
（2）求线段CD的长．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，再利用配方法求出顶点坐标．
（2）利用（1）中点C的坐标可得出抛物线的对称轴为x＝2，设CD＝t，则D（2， ），根据旋
转性质得∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，则P（2+t， ）代入y＝ 得到关于t的方程，从
而解方程可得到CD 的长．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和B（0， ）代入y＝ ，得 ，
解得： ，
∴抛物线的解析式：y＝ ，
配成顶点式为：y＝ ，
∴顶点C的坐标为：（2， ），
（2）由（1）知：抛物线的对称轴为直线x＝2，
设CD＝t，则D（2， ），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C恰好落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，
∴P（2+t， ），
将P（2+t， ）代入y＝﹣ 得
，
整理得：t2﹣2t＝0，
解得：t ＝2，t ＝0（舍去）
1 2
∴线段CD的长为2．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式，掌握旋转的性质．
18．一个二次函数的图象经过（﹣1，0），（0，6），（3，0）三点．
求：这个二次函数的解析式．
【分析】设一般式y＝ax2+bx+c，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求
出a、b、c即可．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，根据题意得： ，
解得： ，
所以抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根
据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，
常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析
式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
19．抛物线y＝ax2+bx+c顶点为原点，且过点（4，8）．直线y＝kx+b与抛物线交于E、F两点，若∠EOF
＝90°时，求证：直线过定点．
【分析】先由抛物线y＝ax2+bx+c顶点为原点，且过点（4，8），得出抛物线的解析式为y＝ x2．再把
y＝kx+b代入y＝ x2，得 x2﹣kx﹣b＝0①，设E（x ， ），F（x ， ），根据互相垂直的两
1 2
直线斜率之积为﹣1得出 • ＝ x •x ＝﹣1，即x •x ＝﹣4．又利用根与系数的关系得出x •x
1 2 1 2 1 2
＝ ＝﹣2b，那么﹣2b＝﹣4，求出b＝2，从而证明直线y＝kx+b过定点（0，2）．
【解答】证明：∵抛物线y＝ax2+bx+c顶点为原点，
∴y＝ax2，
又∵过点（4，8），
∴16a＝8，
∴a＝ ，
∴抛物线的解析式为y＝ x2．把y＝kx+b代入y＝ x2，得 x2﹣kx﹣b＝0①，
设E（x ， ），F（x ， ），
1 2
∵∠EOF＝90°即OE⊥OF，
∴k •k ＝﹣1，
1 2
∴ • ＝ x •x ＝﹣1，
1 2
∴x •x ＝﹣4．
1 2
由①可知，x •x ＝ ＝﹣2b，
1 2
∴﹣2b＝﹣4，
∴b＝2，
∴直线y＝kx+b过定点（0，2）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，互相垂直的两直线斜率之积为
﹣1，二次函数与一次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，综合性较强，有一定难度．
20．已知二次函数y＝x2﹣4x+c的图象经过点（3，0）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）点P（4，n）向上平移2个单位得到点P'，若点P′落在该二次函数图象上，求n的值．
【分析】（1）把（3，0）代入y＝x2﹣4x+c，利用待定系数法即可求得；
（2）平移后P'（4，n+2），代入二次函数解析式得到关于n的方程，解方程即可求得n．
【解答】解：（1）把点（3，0）代入y＝x2﹣4x+c得：9﹣12+c＝0，
解得c＝3，
所以该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）点P（4，n）向上平移2个单位得到点P'（4，n+2），
把点P′代入y＝x2﹣4x+3中可得n+2＝16﹣16+3，
解得n＝1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征和待定系数法求二次函
数的解析式；会运用待定系数法求抛物线的解析式；能用含n的代数式表示P′的坐标是解题的关键．
21．一抛物线以（﹣1，9）为顶点，且经过x轴上一点（﹣4，0），求该抛物线解析式及抛物线与y轴交点坐标．
【分析】设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，把（﹣1，9）和（﹣4，0）代入可得解析式，再把x＝0
代入可得与y轴的交点．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
依题意得h＝﹣1，k＝9，
将（﹣4，0）代入y＝a（x+1）2+9中，
得0＝9a+9，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+9．
令x＝0，则y＝8，
∴抛物线与y轴交点为（0，8）．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，利用顶点式求出二次函数解析式是解题关键．
22．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P是抛物线对称轴1上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+mx+3，利用待定系数法即可求得m的
值，继而求得抛物线的顶点坐标；
（2）根据y＝﹣x2+2x+3，求出A、C点坐标，再根据面积公式即得；
（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线
BC的解析式，继而求得答案．
【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+mx+3得：0＝﹣32+3m+3，
解得：m＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为：（1，4）．（2）点B的坐标为（3，0），由（1）知y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，则C（0，3），
∴S△ABC ＝ AB•OC
＝ （3+1）•3
＝6．
（3）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴ ，
解得： ．
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．
【点评】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点 P的位置是
解此题的关键．
23．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）结合图形，求y＞0时自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法，将点A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入抛物线解析式即可；（2）令y＝0可求得抛物线与x轴的交点，即可得B的坐标，然后根据图象取x轴上方图象对应的x范
围即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）由（1）知：y＝x2+2x﹣3；
令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，
解得：x＝﹣3或1，
∴B的坐标为（1，0），
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴由图可得，当y＞0时，自变量x的取值范围为：x＜﹣3或x＞1．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是用函数图象来解一元二次不等式．
24．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0），B（1，3）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）把点A和点B的坐标代入解析式，求解方程组即可得出结论；
（2）由对称轴公式可得出点C的坐标，进而根据三角形的面积可直接得出结论．
【解答】解：（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，
∴ ，解得 ．
∴这个二次函数的解析式为：y＝﹣x2+4x．
（2）由（1）知这个二次函数的解析式为：y＝﹣x2+4x．
∴对称轴为直线x＝2，∴C（2，0），
∴AC＝2，
∴S△ABC ＝ •AC•y
B
＝ ×2×3＝3．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，包括二次函数的对称轴公式等相关内
容，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
25．如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，8）和点B（4，0）．
（1）试确定抛物线与直线AB的函数解析式；
（2）已知直线x＝m（0＜m＜4）与直线AB交于点M，与抛物线y＝ax2+2x+c交于点N，若点M，N之
间的距离为d，请写出d关于m的函数解析式，并求m为何值时，d有最大值，最大值是多少？
【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线和直线的解析式；
（2）将点M和N的纵坐标用含m的式子表示出来，即可确定d和m之间的关系，再由二次函数的性质
即可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，8）和点B（4，0），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8，
设直线的解析式为y＝kx+b，
根据题意得 ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8；（2）当x＝m时，y＝﹣2x+8＝﹣2m+8，
∴M的坐标为（m，﹣2m+8），
y＝﹣x2+2x+8＝﹣m2+2m+8，
∴点N的坐标为（m，﹣m2+2m+8），
∴d＝（﹣m2+2m+8）﹣（﹣2m+8）＝﹣m2+4m，
∵d＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∴抛物线开口向下，
又∵0＜m＜4，
∴当m＝2时，d取得最大值为4．
【点评】本题主要考查二次函数与一次函数的应用，关键是要会用待定系数法求函数的解析式，能根据
横坐标求出对应函数图象上点的坐标．
26．如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标．
【分析】（1）通过待定系数法求解．
（2）先求出抛物线对称轴为直线x＝2，通过A，B坐标求出直线AB解析式，然后将x＝2代入求解．
【解答】解：（1）将A（0，﹣5），B（5，0）代入y＝x2+bx+c得 ，
解得 ．
（2）∵y＝x2﹣4x﹣5，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝2，
设AB所在直线为y＝kx+m，
把A（0，﹣5），B（5，0）代入y＝kx+m得 ，
解得 ，
∴直线解析式为y＝x﹣5，把x＝2代入y＝x﹣5得y＝﹣3，
∴M（2，﹣3）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系．
27．如图，在菱形OABC中，已知OA＝2 ，∠AOC＝60°，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过O，C，B
三点，求抛物线的解析式．
【分析】作CH⊥OA于点H，通过解三角函数求得A、C的坐标，由菱形的性质得出B点的坐标，然后
应用待定系数法即可求得解析式．
【解答】解：如图，作CH⊥OA于点H，
四边形OABC是菱形，OA＝2 ，∠AOC＝60°，OC＝2 ，
OH＝sin60°•2 ＝ ，
CH＝cos60°•2 ＝3，
A点坐标为（2 ，0），
C点的坐标为（ ，3），
由菱形的性质得B点的坐标为（3 ，3）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，根据题意得：
，解得：
所以抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，关键是求出B，C坐标．
题型3：二次函数与不等式（组）
28．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线y＝m交抛物线于M，N两点，若方程﹣x2+bx+c＝m在﹣5≤x＜3有实数解，求m的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法即可求解．
（2）求出﹣5≤x＜3时，y的取值范围，也就是m的取值范围．
【解答】解：（1）把B（4，0），C（0，4）代人y＝﹣x2+bx+c 可得，
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．
（2）当x＝﹣5时，y＝﹣x2+3x+4＝﹣36，
函数的对称轴为x＝ ，则顶点坐标为（ ， ），
当﹣5≤x＜3时，﹣36≤y≤ ，
故m的取值范围为：﹣36≤m≤ ．
【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．29．如图，已知直线y＝kx﹣3k（k≠0）与x轴、y轴分别交于点B，C，∠OBC＝45°．抛物线y＝ax2+bx+c
（a≠0）经过点B，C，且经过点A（﹣1，0）．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）请观察图象，直接写出当kx﹣3k≥ax2+bx+c时x的取值范围．
【分析】（1）由直线的解析式求出点B的坐标，再求出点C的坐标，即可求出直线和抛物线的解析式；
（2）根据点B和点C的坐标即可即可得出答案．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx﹣3k与x轴、y轴分别交于B，C两点，
∴B（3，0），C（0，﹣3k），
∴OB＝3，OC＝﹣3k，
∵∠OBC＝45°，
∴OB＝OC，
即3＝﹣3k，解得k＝﹣1，
∴直线的解析式为y＝﹣x+3，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点，
，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵kx﹣3k≥ax2+bx+c，
∴对应的图象直线在抛物线的上方，
∴x≤0或x≥3．
【点评】本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，
能根据图象得出不等式的解．
30．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值．
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集（直接写出答案）．【分析】（1）将点A坐标代入y＝x+m可得m的值．
（2）由函数图象中双曲线在直线上方时x的范围可得．
【解答】解：（1）将点A（1，0）代入y＝x+m可得1+m＝0，
解得：m＝﹣1．
（2）由函数图象可知不等式的解集为x＜1或x＞3．
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一元二次不等式的关系，解题的关
键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
31．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根 ；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集 ；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 ．
【分析】（1）根据图象与x轴交点的坐标即可得到方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）根据图象与x轴交点的坐标即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）由于抛物线是轴对称的图形，根据图象与x轴交点的坐标即可得到对称轴方程，由此再确定y随x
的增大而减小的自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）根据图象得二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（1，0）、
（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为x ＝1，x ＝3；
1 2（2）根据图象得二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（1，0）、（3，0），
而ax2+bx+c＞0，
即y＞0，
∴1＜x＜3；
（3）根据图象得二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴抛物线的对称轴为x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小．
【点评】此题主要考查了二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系：当 y＝0时，函数为
一元二次方程；当y＞0或y＜0时，函数为一元二次不等式．
32．已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝2．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）关于x的不等式ax2﹣4ax+3＞0的解集为 ．
（3）点M（x ，y ），点N（x ，y ）是该抛物线上的两点，若x ﹣x ＝2，试比较y 和y 的大小．
1 1 2 2 2 1 1 2
【分析】（1）先求出对称轴，由AB＝2求出点A、B的坐标，将点A的坐标代入计算即可．
（2）利用抛物线与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，且抛物线开口向上，即可得到不等式的解集．
（3）根据抛物线的对称性得到x +x ＝4，利用x ﹣x ＝2，求出x ＝1，x ＝3，进而判断y 与y ．
1 2 2 1 1 2 1 2
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+3，
∴对称轴为直线x＝﹣ ＝2，
∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝2，
∴A（1，0），B（3.0），
将点A坐标代入＝ax2﹣4ax+3，
∴a﹣4a+3＝0，
解得a＝1，
∴y＝x2﹣4x+3．
（2）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，且抛物线开口向上，
∴不等式ax2﹣4ax+3＞0的解集为x＜或x＞3；
故答案为：x＜1或＞3．
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴当点M、N关于直线x＝2对称时，x +x ＝4，
1 2∵x ﹣x ＝2，
2 1
∴x ＝1，x ＝3，
1 2
此时y ＝y ；
1 2
当x ＜1时，y ＞y ；
1 1 2
当x ＞1时，y ＞y ．
1 2 1
综上，当x ＝1时，y ＝y ；
1 1 2
当x ＜1时，y ＞y ；
1 1 2
当x ＞1时，y ＞y ．
1 2 1
【点评】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、对称性、二次函数与不等式的关系、
判断函数值的大小，正确掌握二次函数的知识是解题的关键．
33．在平面直角坐标系xOy中，点P（x ，y ）在二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象上，点Q（x ，y ）在一次
1 1 2 2
函数y＝x+a﹣6的图象上，其中0≤x ≤2，x ≤0．
1 2
（1）求二次函数的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若对于任意x ，总存在x ，使得y ＞y ，求a的取值范围．
2 1 1 2
【分析】（1）把二次函数的解析式化成顶点式进行解答便可；
（2）先根据一次函数的性质求出y 的最大值，再分情况讨论：抛物线开口向上和抛物线开口向下时，
2
根据在0≤x ≤2范围内，y 的最大值大于y 的最大值，列出a的不等式进行解答便可．
1 1 2
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2x﹣1＝a（x﹣ ）2﹣ ﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（ ，﹣ ﹣1）；
（2）∵Q（x ，y ）在一次函数y＝x+a﹣6的图象上，
2 2
∴y 随x 增大而增大，
2 2
∵x ≤0，
2
∴y 最大值为a﹣6，
2
①当a＜0时，抛物线开口向下， ＜0，
∵0≤x ≤2，
1
∴当x ＝0时，y ＝﹣1为最大值，
1 1
由题意得﹣1＞a﹣6，
解得a＜5，∴a＜0；
②当a＞0时，抛物线开口向上， ＞0，
i）当0＜ ＜1，即a＞1时，则x ＝2时，y ＝4a﹣5为最大值，
1 1
∴4a﹣5＞a﹣6，
解得a＞﹣ ，
∴a＞1；
ii）当 ≥1，即a≤1时，则x ＝0时，y ＝﹣1为最大值，
1 1
∴﹣1＞a﹣6，
解得a＜5，
∴0＜a≤1；
综上，a的取值范围为：a≠0．
【点评】本题是二次函数和一次函数的综合题，考查了二次函数性质，一次函数的性质，函数与不等式
的关系问题，关键是分情况列出不等式．难度较大．
34．已知抛物线y＝x2+2mx+4m2（m为常数）与y轴的交点为C点．
（1）若抛物线经过原点，求m的值；
（2）若点A（x ，y ）和点B（4﹣x ，y ）在抛物线上，求C点的坐标；
1 1 1 1
（3）当2m≤x≤2m+3，与其对应的函数值y的最小值为9，求此时的二次函数解析式．
【分析】（1）把（0，0）代入抛物线y＝x2+2mx+4m2（m为常数）中可得m的值；
（2）根据A和B是对称点可得抛物线的对称轴，根据对称轴方程列式可得m的值，从而得点C的坐标；
（3）分三种情况：①当2m＞﹣m时，即m＞0，②当2m＜﹣m＜2m+3时，即﹣1＜m＜0，③当2m+3
＜﹣m时，即m＜﹣1，根据增减性列方程可得m的值，从而得结论．
【解答】解：（1）把（0，0）代入抛物线y＝x2+2mx+4m2（m为常数）中，
4m2＝0，
∴m＝0；
（2）∵点A（x ，y ）和点B（4﹣x ，y ）在抛物线上，
1 1 1 1
∴抛物线的对称轴是：x＝ ＝2，即﹣ ＝2，
∴m＝﹣2，∴C（0，16）；
（3）分三种情况：
y＝x2+2mx+4m2＝（x+m）2+3m2，
∴对称轴是：直线x＝﹣m，
①当2m＞﹣m时，即m＞0，
∵2m≤x≤2m+3，与其对应的函数值y的最小值为9，
∴当x＝2m时，y＝9，
∴4m2+4m2+4m2＝9，
m＝± （负值舍），
此时的二次函数解析式为：y＝x2+ x+3；
②当2m≤﹣m≤2m+3时，即﹣1≤m≤0，
∵2m≤x≤2m+3，与其对应的函数值y的最小值为9，
∴当x＝﹣m时，y＝9，
∴m2﹣2m2+4m2＝9，
m＝± （不符合题意舍去）；
③当2m+3＜﹣m时，即m＜﹣1，
∵2m≤x≤2m+3，与其对应的函数值y的最小值为9，
∴当x＝2m+3时，y＝9，
∴（2m+3）2+2m（2m+3）+4m2＝9，
m ＝0（舍），m ＝﹣1.5，
1 2
此时的二次函数解析式为：y＝x2﹣3x+9；
综上，二次函数解析式为：y＝x2+ x+3或y＝x2﹣3x+9．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，
分类讨论思想的运用是解题的关键．
35．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝4x2﹣2x的图象与x轴交于A（x ，0），B（x ，0）两点，且
1 2
x ＜x ．
1 2
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点P （1﹣3m，c），P （m，c）在这个函数的图象上，判断点P （1﹣m，3）是否在这个函数
1 2 3
的图象上；（3）若该函数的图象经过点M（a+1，b），且1≤a＜2，t＝a2+b2，求t的取值范围．
【分析】（1）令y＝0，解得x的值，然后得到点A和点B的坐标；
（2）由点P 和点P 的纵坐标得到点P 和点P 关于对称轴对称，根据对称轴是直线x＝ 得到方程
1 2 1 2
＝ ，解得m＝ ，然后得到点P 的坐标，最后判断点P 是否在函数图象上；
3 3
（3）M（a+1，b）代入二次函数解析式，根据a的取值范围确定b的取值范围，进而到t的取值范围．
【解答】解：（1）当y＝0时，4x2﹣2x＝0，
解得，x ＝0， ，
1
∴A（0，0），B（ ，0）；
（2）∵点P （1﹣3m，c），P （m，c）在二次函数的图象上，对称轴是直线x＝ ，
1 2
∴ ＝ ，
解得m＝ ，
∴点P 的坐标为（ ，3），
3
当x＝ 时，y＝ ≠3，
∴点P 不在这个函数的图象上；
3
（3）将点M（a+1，b）代入二次函数解析式得：b＝4（a+1）2﹣2（a+1）＝4a2+6a+2，
∵1≤a＜2，
∴12≤b＜30，
∵t＝a2+b2，
∴145≤t＜904．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次方程和不等式等知识，第（3）问的解题关键是
用a的代数式表示b．
36．已知抛物线的顶点为（1，﹣4），且过点（﹣2，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据函数图象，直接写出y＞0时，自变量x的取值范围．【分析】（1）设抛物线顶点式y＝a（x﹣1）2﹣4，将（﹣2，5）代入解析式求解．
（2）令y＝0，根据图象与x轴交点坐标求解．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将（﹣2，5）代入y＝a（x﹣1）2﹣4得5＝9a﹣4，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4．
（2）将y＝0代入y＝（x﹣1）2﹣4得0＝（x﹣1）2﹣4，
解得x＝3或x＝﹣1，
∵抛物线开口向上，
∴y＞0时，x＜﹣1或x＞3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
37．如图，抛物线的顶点坐标为A（2，﹣1），且过点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当1＜x＜4时，求y的取值范围．【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式，然后将点B坐标代入求解．
（2）根据开口方向和顶点位置，由抛物线对称性可得抛物线经过（4，3），进而求解．
【解答】解：（1）由抛物线的顶点坐标为A（2，﹣1）可设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
将（0，3）代入y＝a（x﹣2）2﹣1得3＝4a﹣1，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣2）2﹣1．
（2）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣1），
∴1＜x＜4时，y最小值为﹣1，
∵抛物线经过点（0，3），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线经过点（4，3），
∴1＜x＜4时，﹣1≤y＜3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握求二次函数解析式方法，掌握二次函数与方程及不
等式的关系．
38．如图，抛物线y ＝x2﹣x﹣2与直线y ＝x+1交于A，B两点．
1 2
（1）求A，B两点的坐标；
（2）根据图象，直接写出不等式x2﹣x﹣2＜x+1的解集．
【分析】（1）通过联立方程组求解，即可得出答案；（2）通过观察图象，结合抛物线与直线的交点坐标可得出答案．
【解答】解：∵抛物线y ＝x2﹣x﹣2与直线y ＝x+1交于A，B两点，
1 2
∴ ，
解得： ， ，
∴A（﹣1，0），B（3，4）；
（2）由图象可知，当﹣1＜x＜3时，抛物线y ＝x2﹣x﹣2位于直线y ＝x+1的下方，
1 2
∴不等式x2﹣x﹣2＜x+1的解集为﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查了抛物线与直线的交点坐标，二次函数与不等式之间的关系，解题关键是运用数形结
合思想，通过观察图象解决问题．
39．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）求y的取值范围．
【分析】（1）利用函数图象得出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）利用函数图象得出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）首先求出函数解析式，进而求出函数最值得出答案即可．
【解答】解：（1）如图所示：方程ax2+bx+c＝0的两个根为：﹣5或1；
（2）如图所示：不等式ax2+bx+c＞0的解集为：﹣5＜x＜1；
（3）∵抛物线与坐标轴分别交于点A（﹣5，0），B（1，0），C（0，5），设抛物线解析式为：y＝a（x+5）（x﹣1），
∵抛物线过点C（0，5），
∴5＝a×5×（﹣1），
解得：a＝﹣1，
∴抛物线解析式为：y＝﹣（x+5）（x﹣1）＝﹣x2﹣4x+5，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝﹣ ＝﹣2时，
y最大 ＝﹣（﹣2+5）（﹣2﹣1）＝9，
∴y的取值范围为：y≤9．
【点评】此题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点，熟练应用函数图象得出方程与不
等式的解是解题关键．
40．如图，直线y＝﹣ x+1和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（2，0）和点B（k， ）
（1）k的值是 ；
（2）求抛物线的解析式；
（3）不等式x2+bx+c＞﹣ x+1的解集是 ．
【分析】（1）利用图象上点的坐标性质进而得出k的值；
（2）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（3）利用函数图象进而得出不等式x2+bx+c＞﹣ x+1的解集．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣ x+1和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（2，0）和点B（k， ），
∴ ＝﹣ k+1，解得：k＝ ，
故答案为： ；
（2）由（1）得B（ ， ），分别将A，B代入y＝x2+bx+c得：
，
解得： ，
故抛物线解析式为：y＝x2﹣3x+2；
（3）由图象可得：不等式x2+bx+c＞﹣ x+1的解集是：x＜ 或x＞2．
故答案为：x＜ 或x＞2．
【点评】此题主要考查了待定系数法求抛物线解析式以及利用图象判断不等式的解集，正确利用数形结合
得出是解题关键．
