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第 03 讲 二次函数的图像与性质——一般式
课程标准 学习目标
1. 掌握二次函数的三种形式并能够熟练的进行三种形
式之间的转化。
①二次函数的三种形式
2. 根据顶点式从而掌握二次函数一般式的形式与图
②二次函数的一般式的图像与性质
像。
3. 解决相关的题型题目。
知识点01 二次函数的三种形式
1. 二次函数的三种形式：
（1）一般式：
有定义可知，二次函数的一般式为 。
（2）顶点式：
能直接看出二次函数的顶点的函数解析式叫二次函数的顶点式。即 。
由顶点式可知二次函数的顶点坐标为 。
（3）两点式（交点式）：能直接得到二次函数与 轴的交点坐标的二次函数解析式是二次函数的两点式，又叫做二次函数的
交点式。即 。此时二次函数与 轴的两个交点坐标分别为
与 。二次函数的对称轴为 。
（4）二次函数的一般式转化为顶点式：
利用配方法将一般形式转化为顶点式：过程如下：
题型考点：①二次函数的形式转换。
【即学即练1】
1．将二次函数y＝x2﹣2x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+4
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣1
＝x2﹣2x+1﹣2
＝（x﹣1）2﹣2，
故选：B．
【即学即练2】
2．将二次函数y＝x2﹣4x+7化为y＝（x﹣a）2+b的形式，那么a+b的值为 ．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3＝（x﹣a）2+b，
∴a＝2，b＝3，
∴a+b＝2+3＝5，
故答案为：5．
【即学即练3】
3. 把抛物线y＝（x﹣1）2+1化成一般式是 ．
【解答】解：y＝（x﹣1）2+1＝x2﹣2x+1+1＝x2﹣2x+2．
故答案为：y＝x2﹣2x+2．
【即学即练4】4．把y＝（2﹣3x）（6+x）变成y＝ax2+bx+c的形式，二次项 ，一次项系数为 ，常
数项为 ．
【解答】解：∵方程y＝（2﹣3x）（6+x）化为一般形式是y＝﹣3x2﹣16x+12，
∴二次项﹣3x2，一次项系数为﹣16，常数项为12．
故答案为：﹣3x2，﹣16，12．
【即学即练5】
5．对于二次函数y＝4（x+1）（x﹣3）下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下
B．与x轴交点坐标是（1，0）和（﹣3，0）
C．x＜1时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝﹣1
【解答】解：∵y＝4（x+1）（x﹣3）＝4（x﹣1）2﹣16，
∴a＝4＞0，该抛物线的开口向上，故选项A错误，
与x轴的交点坐标是（﹣1，0）、（3，0），故选项B错误，
当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项C正确，
图象的对称轴是直线x＝1，故选项D错误，
故选：C．
知识点02 二次函数的图像与性质（一般式）
1. 二次函数的一般式的图像与性质：
把二次函数的一般式化成顶点式可知一般式的性质如下：
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标
（ ） （ ）
对称轴
对称轴右边y随x的增大而 增大 对称轴右边y随x的增大而 减小
。 。
增减性
对称轴左边y随x的增大而 减小 对称轴左边y随x的增大而 增大
。 。
函数轴最 小 值 函数轴最 大 值
最值
这个值是 。 这个值是 。
与y轴交点坐标 （ 0 ， c ） （ 0 ， c ）题型考点：①二次函数的性质。
【即学即练1】
6．二次函数y＝x2﹣2x+5图象的顶点坐标为 ．
【解答】解：
∵y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4，
∴二次函数图象的顶点坐标为（1，4），
故答案为：（1，4）．
【即学即练2】
7．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x＝1
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴顶点坐标（1，0），对称轴x＝1，
∵a＝1＞0，
∴开口向上，抛物线的顶点在x轴上，
∴A、B、C正确，
故选：D．
【即学即练3】
8．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表，从下表可知：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
下列说法：①抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），②函数的最大值为6，③抛物线的对称轴是直
线x＝ ，④在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：根据图表，当x＝﹣2，y＝0，根据抛物线的对称性，当x＝3时，y＝0，即抛物线与x轴
的交点为（﹣2，0）和（3，0）；
∴抛物线的对称轴是直线x＝ ＝ ，
根据表中数据得到抛物线的开口向下，
∴当x＝ 时，函数有最大值，而不是x＝0，或1对应的函数值6，并且在直线x＝ 的左侧，y随x增大而增大．
所以①③④正确，②错．
故选：C．
【即学即练4】
9．二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如下表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2
D．抛物线的对称轴是直线x＝﹣
【解答】解：（方法一）将点（﹣4，0）、（﹣1，0）、（0，4）代入到二次函数y＝ax2+bx+c中，
得： ，解得： ，
∴二次函数的解析式为y＝x2+5x+4．
A、a＝1＞0，抛物线开口向上，A不正确；
B、﹣ ＝﹣ ，当x≥﹣ 时，y随x的增大而增大，B不正确；
C、y＝x2+5x+4＝ ﹣ ，二次函数的最小值是﹣ ，C不正确；
D、﹣ ＝﹣ ，抛物线的对称轴是直线x＝﹣ ，D正确．
故选：D．
（方法二）∵当y＝﹣2时，x ＝﹣3，x ＝﹣2，
1 2
∴抛物线的对称轴是直线x＝ ＝﹣ ．
故选：D．
知识点03 二次函数的图像与系数的关系
1. 二次函数的开口方向：
二次函数的开口方向由 决定， ，开口向 上 ， ，开口向 下 。
2. 二次函数的对称轴：由二次函数的性质可知，二次函数 的对称轴为 。若 同号，
则 小于0，二次函数的对称轴在 轴的 左边 ；若 异号，则 大于0，二次函
数的对称轴在 轴的 右边 。简称左同右异。
①若二次函数的对称轴 =1，则 0 。
②若二次函数的对称轴 =﹣1，则 0 。
3. 二次函数与 轴的交点：
二次函数 与 轴的交点坐标为 。
4. 二次函数与 轴的交点（二次函数与一元二次方程）：
与 轴有两个交点 有2个 不相等 的实数根
根的判别式 ＞ 0。
与 轴有 1 个交点 有2个相等的实数根
根的判别式 = 0。
与 轴没有交点 没有 实数根 根的判别式
＜ 0。
题型考点：①二次函数的图像。②二次函数与一元二次方程。
【即学即练1】
10．已知一次函数y＝ x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（
）
A． B．C． D．
【解答】解：观察函数图象可知： ＜0、c＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x＝﹣ ＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．
故选：A．
【即学即练2】
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c，如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是图所示的（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵a+b+c＝0，
即当x＝1时a+b+c＝0，
∵a＞b＞c，
∴定a＞0，c＜0，
故D选项正确．
故选：D．
【即学即练3】
12．若方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝1
【解答】解：∵方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（﹣3，0），（1，0）．
∵此两点关于对称轴对称，
∴对称轴是直线x＝ ＝﹣1．
故选：C．
【即学即练4】33．若y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【解答】解：∵根据图示知，抛物线与x轴的一个交点是（3，0）对称轴为直线x＝1，
∴根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（﹣1，0），
∴令y＝0，即ax2+bx+c＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0的解是x ＝﹣1，x ＝3．
1 2
即方程的另一解为﹣1．
故选：B．
题型01 二次函数的一般式化为顶点式
【典例1】
将二次函数y＝x2﹣4x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x+2）2﹣8 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2﹣8
【解答】解：y＝x2﹣4x﹣4，
＝x2﹣4x+4﹣8，
＝（x﹣2）2﹣8
故选：D．
变式1：
用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x+4）2+7
C．y＝（x﹣4）2﹣25 D．y＝（x+4）2﹣25
【解答】解：y＝x2﹣8x﹣9
＝x2﹣8x+16﹣25
＝（x﹣4）2﹣25．
故选：C．
变式2：
把函数y＝2x2﹣4x﹣1写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则h+k＝ ．【解答】解：y＝2x2﹣4x﹣1
＝2（x2﹣2x）﹣1
＝2（x﹣1）2﹣3
∴h+k＝1﹣3＝﹣2，
故答案为：﹣2．
题型02 函数的图像
【典例1】
如图是一次函数y＝kx+b的图象，则二次函数y＝kx2+bx+2的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象可得，
k＞0，b＞0，
∴二次函数y＝kx2+bx+2的图象开口向上，对称轴为x＝﹣ ＜0，
故选：C．
【典例2】
函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象应该开
口向上，对称轴x＝ ＝ ＞0，和x轴的正半轴相交，故选项正确；
B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象应该开口向上，对称
轴x＝ ＝ ＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象应该开口向下，故选
项错误；
D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象应该开口向上，故选
项错误．
故选：A．
【典例3】
函数y＝ax2+bx+c和y＝ax+b在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：B、C中，两函数图象反映的a的符号不相符，错误；
当a＞0，b＞0时，直线过一、二、三象限，抛物线开口向上且对称轴在y轴左侧，A正确；
当a＜0，b＜0时，直线过二、三、四象限，抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，D错误．
故选：A．
【典例4】
如图所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝ax2+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的大致图象．正确
的是（ ）
A． B．C． D．
【解答】解：令ax2+（a+c）x+c＝ax+c，
解得，x ＝0，x ＝﹣ ，
1 2
∴二次函数y＝ax2+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的交点为（0，c），（﹣ ，0），故选项A、B、C
不合题意；
选项D中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，一次函数y＝ax+c中a＜0，c＞0，交点符合求得
的交点的情况，故选项D符合题意．
故选：D．
题型03 二次函数的对称轴
【典例1】
抛物线y＝x2+4x+4的对称轴是（ ）
A．直线x＝4 B．直线x＝﹣4 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
【解答】解：x＝﹣ ＝﹣ ＝﹣2．
故选：D．
【典例2】
下列抛物线中，与抛物线y＝x2﹣2x+4具有相同对称轴的是（ ）
A．y＝4x2+2x+1 B．y＝x2﹣4x C．y＝2x2﹣x+4 D．y＝﹣2x2+4x
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，
A、y＝4x2+2x+1的对称轴是直线x＝﹣ ＝﹣ ，故该选项不符合题意；
B、y＝x2﹣4x的对称轴是直线x＝﹣ ＝2，故该选项不符合题意；
C、y＝2x2﹣x+4的对称轴是直线x＝﹣ ＝ ，故该选项不符合题意；
D、y＝﹣2x2+4x的对称轴是直线x＝﹣ ＝1，故该选项符合题意．
故选：D．
题型04 二次函数的最值【典例1】
二次函数y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣10 C．﹣6 D．6
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣8x﹣2可化为y＝2（x﹣2）2﹣10，
∴二次函数y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是﹣10；
故选：B．
【典例2】
二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是 ．
【解答】解：y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+ ）2+ ．
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝﹣ 时，y取得最大值，最大值＝ ．
故答案为： ．
【典例3】
当y＝x2﹣6x﹣3的值最小时，x的取值是（ ）
A．0 B．﹣3 C．3 D．﹣9
【解答】解：∵y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12，
∴该抛物线的顶点坐标是（3，﹣12）且抛物线开口向上，
∴当x＝3时，该函数取最小值．
故选：C．
【典例4】
已知一个二次函数图象经过P （﹣3，y ），P （﹣1，y ），P （1，y ），P （3，y ），其中y ＜y ＝
1 1 2 2 3 3 4 4 2 3
y ，则y ，y ，y 中最值情况是（ ）
4 1 2 3
A．y 最小，y 最大 B．y 最小，y 最大
1 3 2 1
C．y 最小，y 最大 D．无法判断
2 3
【解答】解：∵P （1，y ），P （3，y ），且y ＝y ，
3 3 4 4 3 4
∴该二次函数的对称轴为：x＝2．
∵P （﹣1，y ），P （1，y ），且y ＜y ，
2 2 3 3 2 3
∴在对称轴左侧，即x＜2时，y随x的增大而增大．
∵P （﹣3，y ），P （﹣1，y ），P （1，y ）中，﹣3＜﹣1＜1，
1 1 2 2 3 3
∴y ＜y ＜y ．
1 2 3
故选：A．
【典例5】已知函数y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是（ ）
A．1 B． C． 或﹣8 D．1或﹣8
【解答】解：∵二次函数解析式y＝ax2+2ax+1，
∴二次函数对称轴为x＝﹣1．
①当a＜0时，二次函数开口向下，x＝﹣1时，函数有最大值9．
∴a﹣2a+1＝9，解得a＝﹣8．
②当a＞0时，二次函数开口向上，在﹣3≤x≤2上有最大值9，
∴当x＝2时，函数最大值为9，即4a+4a+1＝9，解得a＝1．
综上分析，a的值为﹣8或1．
故选：D．
【典例6】
二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣
5，则a的取值范围是（ ）
A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤0
【解答】解：将点（1，0）代入y＝﹣x2+bx+5，
得：0＝﹣1+b+5，
解得：b＝﹣4，
∴二次函数为y＝﹣x2+6x﹣5，
∵y＝﹣x2+6x+5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3，函数有最大值4，
把y＝﹣5代入y＝﹣x2+6x﹣5得，﹣5＝﹣x2+6x﹣5，即﹣x2+6x＝0，
解得x ＝0，x ＝6，
1 2
在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，
∴0≤a≤3．
故选：C．
【典例7】
若a≥0，b≥0，且2a+b＝2，2a2﹣4b的最小值为m，最大值为n，则m+n＝（ ）
A．﹣14 B．﹣6 C．﹣8 D．2
【解答】解：∵2a+b＝2，
∴b＝2﹣2a，
设y＝2a2﹣4b
＝2a2﹣4（2﹣2a）
＝2a2+8a﹣8
＝2（a2+4a﹣4）＝2（a2+4a+4﹣8）
＝2[（a+2）2﹣8]
＝2（a+2）2﹣16，
∵a≥0，b≥0，
∴ ，
解得：0≤a≤1，
∵2＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为a＝﹣2，
当a＞﹣2时，y随a的增大而增大，
当a＝0时，y最小，即m＝2×22﹣16＝﹣8，
当a＝1时，y最大，即n＝2×32﹣16＝2，
∴m+n＝﹣8+2＝﹣6．
故选：B．
题型05 二次函数的函数值比较
【典例1】
若点M（﹣2，y ），N（﹣1，y ），P（5，y ）在抛物线y＝x2﹣2x上，则下列结论正确的是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 3 2
【解答】解：将M（﹣2，y ）代入y＝x2﹣2x得， ，
1
将N（﹣1，y ）代入y＝x2﹣2x得， ，
2
将P（5，y ）代入y＝x2﹣2x得， ，
3
∵3＜8＜15，
∴y ＜y ＜y ．
2 1 3
故选：B．
【典例2】
设A（﹣2，y ），B（1，y ），C（2，y ）是抛物线y＝3（x+1）2+4m（m为常数）上的三点，则y ，y ，
1 2 3 1 2
y 的大小关系为（ ）
3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【解答】解：∵抛物线y＝3（x+1）2+4m（m为常数）的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
而C（2，y ）离直线x＝﹣1的距离最远，A（﹣2，y ）点离直线x＝﹣1最近，
3 1
∴y ＜y ＜y ．
1 2 3
故选：A．【典例3】
已知抛物线y＝mx2﹣4mx过点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），其中y ＝﹣4m，以下结论正确的
1 1 2 2 1 3 2
是（ ）
A．若|x ﹣x |≤|x ﹣x |，则y ≥y ≥y
1 2 3 2 2 3 1
B．若|x ﹣x |≥|x ﹣x |，则y ≥y ≥y
1 2 3 2 2 3 1
C．若y ＜y ≤y ，则|x ﹣x |＜|x ﹣x |
1 3 2 1 2 2 3
D．若y ＜y ≤y ，则|x ﹣x |＞|x ﹣x |
1 3 2 1 2 2 3
【解答】解：∵y＝mx2﹣4mx＝m（x﹣2）2﹣4m，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣4m），
∵y ＝﹣4m，
2
∴B（x ，y ）为抛物线顶点，x ＝2，
2 2 2
当m＞0时，抛物线开口向上，y 为函数最小值，
2
∴选项A，B错误．
若y ＜y ≤y ，则抛物线开口向下，距离对称轴越近的点的纵坐标越大，
1 3 2
∴|x ﹣x |＞|x ﹣x |
1 2 2 3
∴选项C错误，选项D正确．
故选：D．
【典例4】
已知关于x的二次函数y＝（x+3）2﹣4的图象上有两点A（x ，y ），B（x ，y ），x ＜x ，且x +8＝﹣
1 1 2 2 1 2 1
x ，则y 与y 的大小关系是（ ）
2 1 2
A．y ＜y B．y ＞y C．y ＝y D．y +8＝﹣y
1 2 1 2 1 2 1 2
【解答】解：∵y＝（x+3）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣3，
∵x ＜x ，且x +8＝﹣x ，
1 2 1 2
∴x +x ＝﹣8，
1 2
∴ ＝﹣4，
∵﹣4＜﹣3，
∴点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴y ＞y ．
1 2
故选：B．
【典例5】
已知抛物线 y＝x2+4x+3上两点 A（x ，y ），B（x ，y ），且 x ﹣x ＝2，则下列说法一定正确的是
1 1 2 2 2 1
（ ）
A．若x ＜﹣1时，则y ＞0＞y
1 1 2B．若x ＜﹣1时，则0＞y ＞y
1 1 2
C．若﹣1＜x ＜1时，则y ＞0＞y
1 1 2
D．若﹣1＜x ＜1时，则y ＞y ＞0
1 2 1
【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x+3＝（x+3）（x+1）＝（x+2）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（﹣1，0），
若x ＜﹣1时，
1
∵x ﹣x ＝2，
2 1
∴x ＜1，
2
∴无法确定y 、y 的大小，故A、B不正确，不合题意；
1 2
若﹣1＜x ＜1时，
1
∵抛物线y＝x²+4x+3上两点A（x ，y ），B（x ，y ），且x ﹣x ＝2，
1 1 2 2 2 1
∴1＜x ＜3，
2
∴y ＞y ＞0，
2 1
故C不正确，D正确．
故选：D．
题型06 二次函数的综合
【典例1】
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，有下列结论：①4a+2b+c＜0；②a+c＞
0；③2a+b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y随x的增大而增大．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：①由x＝2时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＞0，故错误；
②抛物线过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵﹣ ＝1，a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴a+c＝b＞0，故正确；
③∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，∵b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝c＞0，故正确；
④抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，故错误；
故正确的共有2个，
故选：C．
【典例2】
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③m为任意实数，
则a+b＞am2+bm；④3a+c＜0；⑤若 且x ≠x ，则x +x ＝4，其中正确结论的个
1 2 1 2
数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＞0， ，
∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；
②∵对称轴是直线x＝1，与x轴交点在（3，0）左边，∴二次函数与x轴的另一个交点在（﹣1，0）
与（0，0）之间，∴a﹣b+c＜0，故②正确；
③∵对称轴是直线 x＝1，图象开口向下，∴x＝1时，函数最大值是 a+b+c；∴m为任意实数，则
a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故③错误；
④∵ ，∴b＝﹣2a
由②得a﹣b+c＜0，∴3a+c＜0，故④正确；
⑤∵ ，∴ ，∴a（x +x ）（x ﹣x ）+b（x ﹣x ）＝0，
1 2 1 2 1 2
∴（x ﹣x ）[a（x +x ）+b]＝0，∵x ≠x ，∴a（x +x ）+b＝0，∵ ，b＝﹣2a，∴x +x ＝
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2，故⑤错误；
故正确的有3个，
故选：C．
【典例3】
二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＜0；②2a﹣b+c≤0；③3b﹣2c＜0；④对任意实数m，都有2am2+2bm﹣b≥0．其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∵a＞0，
∴2a﹣b+c＞0，故②错误；
∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣ ，
由图象可得x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝﹣ b+c＞0，
∴3b﹣2c＜0，故③正确；
由x＝1时函数取最小值可得am2+bm+c≥a+b+c，
∴am2+bm≥a+b，
∵a＝﹣ ，
∴am2+bm≥ ，
∴2am2+2bm﹣b≥0，故④正确．
故选：D．
【典例4】在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出以下结论①abc＜0；
②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b＞m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中错误结论有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，
对称轴x＝﹣ ＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②由对称轴可知：﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a，
∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，
∴c+3a＝0，
∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确；
③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），
∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确；
④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，
∴x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
即a﹣b≤m（am+b），故④错误；
⑤抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
即b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确；
故选：A．
【典例5】
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＜
0；④对于任意的实数m，总有a+b≥am2+bm；其中正确的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线开口向下、对称轴在y轴右侧、抛物线与y轴交于正半轴，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣ ＝1，即2a+b＝0，故②正确；
∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的交点在点（﹣1，0）右侧，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（3，0）左侧，
∴当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，故③正确；
∵当x＝m时，y＝am2+bm+c，当x＝1时，y＝a+b+c，
∵当x＝1时，函数值最大，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
∴a+b≥am2+bm，故④正确；
故选：C．1．将抛物线y＝3x2先向右平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+6 B．y＝3（x﹣2）2﹣6
C．y＝3（x+2）2+6 D．y＝3（x+2）2﹣6
【解答】解：将抛物线y＝3x2先向右平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达
式为：y＝3（x﹣2）2+6．
故选：A．
2．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的图象开口向上
B．该函数图象与y轴的交点坐标为（0，5）
C．当x＝1时，y有最大值为5
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
【解答】解：由题意可知，a＝﹣1＜0，
函数图象开口向下，
故A错误，不符合题意；
当x＝0时y＝4，函数图象与y轴的交点坐标为（0，4），
故B错误，不符合题意；
函数对称轴为x＝1，开口向下，
当x＝1时y＝5，
即当x＝1时，y有最大值为5，
故C正确，符合题意；
函数对称轴为x＝1，开口向下，
当x＞1时，y随x的增大而减小，
故D错误，不符合题意；
故选：C．
3．若抛物线y＝ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于直线x＝1对称，则Q点的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣2，0） C．（﹣3，0） D．（﹣4，0）
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于x＝1对称，
∴P，Q两点到直线x＝1的距离相等，
∴Q点的坐标为：（﹣2，0）．
故选：B．
4．设A（﹣2，y ），B（1，y ），C（2，y ）是抛物线y＝3（x+1）2+4m（m为常数）上的三点，则y ，
1 2 3 1
y ，y 的大小关系为（ ）
2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【解答】解：∵抛物线y＝3（x+1）2+4m（m为常数）的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
而C（2，y ）离直线x＝﹣1的距离最远，A（﹣2，y ）点离直线x＝﹣1最近，
3 1
∴y ＜y ＜y ．
1 2 3
故选：A．
5．已知抛物线 y＝x2﹣4mx+m，当﹣2＜x＜1 时，y的值随x值的增大而增大，则此抛物线的顶点在
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：由题意知a＞0，
∴开口向上，
∵当﹣2＜x＜1 时，y的值随x值的增大而增大，
∴对称轴x＝﹣2或x＜﹣2，如图：∴顶点在第三象限．
故选C．
6．已知点A（a，b）在二次函数y＝﹣x2+8的图象上，则2a﹣b的最小值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣9 D．9
【解答】解：把A（a，b）代入二次函数y＝﹣x2+8中得，
b＝﹣a2+8，
∴2a﹣b
＝2a﹣（﹣a2+8）
＝2a+a2﹣8
＝（a+1）2﹣9，
∴当a＝﹣1时，最小值为﹣9．
故选：C．
7．二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a＞0）的图象过A（﹣2，y ），B（0，y ），C（3，y ），D（5，y ）四个
1 2 3 4
点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y y ＞0，则y y ＞0 B．若y y ＞0，则y y ＞0
1 2 3 4 1 4 2 3
C．若y y ＜0，则y y ＜0 D．若y y ＜0，则y y ＜0
2 4 1 3 3 4 1 2
【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+c，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝2，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵2﹣（﹣2）＞5﹣2＞2﹣0＞3﹣2，∴y ＞y ＞y ＞y ，
1 4 2 3
若y ＞y ＞y ＞0＞y ，则y y ＞0，y y ＜0，选项A错误．
1 4 2 3 1 2 3 4
若y ＞y ＞y ＞0＞y ，则y y ＞0，y y ＜0，选项B错误．
1 4 2 3 1 4 2 3
若y y ＜0，则y ＞y ＞0＞y ＞y ，
2 4 1 4 2 3
∴y y ＜0，选项C正确．
1 3
若y ＞y ＞y ＞0＞y ，则y y ＜0，y y ＞0，选项D错误．
1 4 2 3 3 4 1 2
故选：C．
8．已知二次函数 y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线 x＝1，有下列结论：①4a+2b+c＜0；
②a+c＞0；③2a+b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y随x的增大而增大．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：①由x＝2时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＞0，故错误；
②抛物线过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵﹣ ＝1，a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴a+c＝b＞0，故正确；
③∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∵b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝c＞0，故正确；
④抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，故错误；
故正确的共有2个，
故选：C．
9．已知抛物线y＝x2﹣a（a+2）x+9的顶点在坐标轴上，则a＝ ．
【解答】解：当抛物线y＝x2﹣a（a+2）x+9的顶点在x轴上时，Δ＝0，
即Δ＝[a（a+2）]2﹣4×9＝0，
解得a＝﹣1+ 或a＝﹣1﹣ ；当抛物线y＝x2﹣a（a+2）x+9的顶点在y轴上时，x＝﹣ ＝ ＝0，
解得a＝0或a＝﹣2．
故答案为：﹣1+ 或﹣1﹣ 或0或﹣2．
10．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴为直线
．
【解答】解：∵A（2，5），B（4，5）横坐标不同，纵坐标相同，
∴点A、B关于对称轴对称，
∴对称轴为直线x＝ ×（2+4）＝3．
11．函数y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤2有最大值6，则实数a的值是 ．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2ax﹣2的对称轴为x＝﹣ ＝a，
由题意，分以下三种情况：
（1）当a≤﹣1时，
在﹣1≤x≤2内，y随x的增大而增大，
则当x＝2时，y取得最大值，最大值为22﹣4a﹣2＝2﹣4a，
∴2﹣4a＝6，
解得：a＝﹣1，符合题设；
（2）当﹣1＜a＜2时，
在﹣1≤x≤2内，当﹣1≤x≤a时，y随x的增大而减小，
当a＜x≤2时，y随x的增大而增大，
则当x＝﹣1或x＝2时，y取得最大值，
因此有1+2a﹣2＝6或22﹣4a﹣2＝6，
解得：a＝ 或a＝﹣1 （均不符题设，舍去）；
（3）当a≥2时，
在﹣1≤x≤2内，y随x的增大而减小，
则当x＝﹣1时，y取得最大值，最大值为1+2a﹣2＝2a﹣1，
因此有2a﹣1＝6，解得a＝ ，符合题设；
综上，a＝﹣1或a＝ ．
故答案为：﹣1或 ．
12．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA ∥x轴
1
交抛物线于点A ，过点A 作A A ∥OA交抛物线于点A ，过点A 作A A ∥x轴交抛物线于点A ，过点
1 1 1 2 2 2 2 3 3A 作A A ∥OA交抛物线于点A …，依次进行下去，则点A 的坐标为 ．
3 3 4 4 2023
【解答】解：∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y＝x，A （﹣1，1），
1
∵A A ∥OA，
1 2
∴直线A A 为y＝x+2，
1 2
解 得 或 ，
∴A （2，4），
2
∴A （﹣2，4），
3
∵A A ∥OA，
3 4
∴直线A A 为y＝x+6，
3 4
解 得 或 ，
∴A （3，9），
4
∴A （﹣3，9）
5
…，
∴A （﹣1012，10122），
2023
故答案为：（﹣1012，10122）．
13．二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过（﹣2，y ），（1，y ）两点．
1 2
（1）当b＝1时，判断y 与y 的大小．
1 2
（2）当y ＜y 时，求b的取值范围．
1 2
（3）若此函数图象还经过点（m，y ），且1＜b＜2，求证：3＜m＜4．
1
【解答】解：（1）当b＝1时，
∴ ，
∵6+c＞c，
∴y ＞y ；
1 2
（2）∵y ＝4+2b+c，y ＝1﹣b+c，
1 2
又∵y ＜y ，
1 2∴4+2b+c＜1﹣b+c，
∴b＜﹣1；
（3）二次函数y＝x2﹣bx+c的对称轴为直线 ，
∵二次函数经过（﹣2，y ），（m，y ）两点，
1 1
∴ ＝m﹣ 得，即m＝2+b，
∵1＜b＜2，
∴3＜m＜4．
14．已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，n），B（2，n）两点．
（1）求b的值；
（2）当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（3）若方程x2+bx+c＝0的两实根x ，x 满足3≤x ﹣x ＜9，且p＝x 2﹣3x 2，求p的最大值．
1 2 2 1 1 2
【解答】解：（1）∵抛物线经过A（﹣3，n），B（2，n）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ，
即 ，
∴b＝1；
（2）由（1）得，抛物线的解析式为y＝x2+x+c，
∵对称轴为直线x＝ ，且当﹣1＜x＜1时，
抛物线与x轴有且只有一个公共点，
①当公共点是顶点时，
∴△＝1﹣4c＝0，解得c＝ ，
②当公共点不是顶点时，
∴当x＝﹣1时，1﹣1+c≤0；当x＝1时，1+1+c＞0，
解得：﹣2＜c≤0，
综上所述，c的取值范围是c＝ 或﹣2＜c≤0；
（3）由（1）知b＝1，
∵x2+x+c＝0的两实根为x ，x ，
1 2
∴抛物线y＝x2+x+c与x轴交点的横坐标为x ，x ，
1 2
∴ ＝﹣ ，
∴x +x ＝﹣1．即x ＝﹣1﹣x ，
1 2 2 1∵3≤x ﹣x ＜9，
2 1
∴3≤（﹣1﹣x ）﹣x ＜9，
1 1
∴﹣5＜x ≤﹣2，
1
∴p＝x 2﹣3 x 2
1 2
＝x 2﹣3（﹣1﹣x ）2
1 1
＝﹣2（x + ）2+ ，
1
∵当﹣5＜x ≤﹣2时，p随x 的增大而增大，
1 1
∴当x ＝﹣2时，p最大值为1．
1
15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点（6，7），其对称轴为直线x＝2．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（2）当 时，求函数值y的取值范围．
（3）当﹣2≤x≤k时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的
取值范围是 ．
（4）已知A、B两点均在抛物线y＝x2+bx+c上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为m+2．将抛物线
上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为M，当图象M的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，
求m的值．
【解答】解：（1）由题意，得 ，解得 ，
∴抛物线所对应的函数表达式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）∵ ，对称轴为直线x＝2，
∴当x＝2时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴当 时，y的取值范围是﹣9≤y≤﹣ ；
（3）把y＝7代入y＝x2﹣4x﹣5得，7＝x2﹣4x﹣5，
解得x ＝6，x ＝﹣2，
1 2
∴当﹣2≤x≤k时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取
值范围是2＜k≤6，
故答案为2＜k≤6；（4）点A、B的坐标分别为（m，m2﹣4m﹣5）、（m+2，m2﹣9），
当m≤0时，m2﹣4m﹣5﹣（m2﹣9）＝2，
解得 （不合题意，舍去）．
当0＜m≤1时，m2﹣4m﹣5﹣（﹣9）＝2，
解得 ， （不合题意，舍去）．
当1＜m≤2时，m2﹣9﹣（﹣9）＝2，
解得 ， （不合题意，舍去）．
当m＞2时，m2﹣9﹣（m2﹣4m﹣5）＝2，
解得 （不合题意，舍去）．
综上，m的值为 或 ．
