文档内容
专题19.2 二次根式的乘法与除法
（知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）
【解析版】
知识荟萃
1
知识点梳理01：二次根式的乘法法则...................................................1
知识点梳理02：二次根式的乘法法则的逆用.............................................2
知识点梳理03：二次根式的除法法则...................................................2
知识点梳理04：最简二次根式的概念 ..................................................2
题型讲练...............................................................................3
题型1：二次根式的乘法..............................................................3
题型2：二次根式的除法..............................................................4
题型3：二次根式的乘除混合运算......................................................5
题型4：最简二次根式的判断..........................................................6
题型5：化为最简二次根式............................................................7
题型6：已知最简二次根式求参数......................................................8
中考真题...............................................................................9
分层训练..............................................................................13
基础夯实..........................................................................13
培优拔高..........................................................................17
知识点梳理01：二次根式的乘法法则
√a⋅√b=√ab(a≥0,b≥0)
1.二次根式的乘法法则：
（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广
√a⋅√b⋅√c=√abc（a≥0,b≥0,c≥0)
（1）a√b⋅c√d=ac√bd（b≥0,d≥0)
（2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法
则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
知识点梳理02：二次根式的乘法法则的逆用
1.二次根式的乘法法则的逆用
√ab=√a⋅√b(a≥0,b≥0)
（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）
2.二次根式的乘法法则的逆用的推广
√abcd=√a⋅√b⋅√c⋅√d（a≥0,b≥0,c≥0,d≥0)
知识点梳理03：二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则
√a √a
= (a≥0,b≥0)
√b b
（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广
√a÷√b÷√c=√a÷b÷c(a≥0,b≥0,c≥0)
【易错点拨】
√a √a
=
√b b
（1）a≥0，b＞0时， 才有意义；
（2）如果被开方数时带分数，应先化成假分数
知识点梳理04：最简二次根式的概念
1.最简二次根式的概念
（1）被开方数不含分母
（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
2.化简二次根式的一般方法
方法 举例
将被开方数中能开得尽得因数或因式进行 √8=√4×2=2√2
开方
若被开方数中含有 √ 1 √4 √4×3 2√3
带分数，先将被开 1 = = =
方数化成假分数
3 3 √3×3 3若被开方数中含有 √ 9 √90 3√10
小数，先将小数化 √0.9= = =
10 100 10
成分数
若 被 开 方 数 时 分 √ 5a √ 5a⋅3c √15ac √15ac
化去根号下的分母 式，先将分式分母 b2 = b2 = b2c2 = 6bc
化成能转化为平方 12 c 12 ⋅3c 36
的形式，再进行开
(a＞0，b＞0，c＞0）
方运算
被开方数时多项式的要先因式分解 √x2 y2 √( x+ y ) 2
+2xy+ = =x+y
（x≥0，y≥0）
3.分母有理化
（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。
题型1：二次根式的乘法
√1
【典例精讲】（2025·江苏淮安·中考真题）计算：❑√12×❑ = ．
3
【答案】2
【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据二次根式的乘法运算法则计算即可．
√1
【规范解答】解：❑√12×❑ =❑√4=2，
3
故答案为：2．
【变式训练1】（23-24八年级下·辽宁鞍山·月考）设❑√3=a，❑√11=b，则❑√3×❑√0.11可以表示为（
）
ab 10 ab
A． B．10ab C． D．
100 ab 10
【答案】D
【思路点拨】本题主要考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法运算法则求解即可．
【规范解答】解：∵❑√3=a，❑√11=b，
√ 1 ❑√11 ab
∴❑√3×❑√0.11=❑√3×❑ ×11=a× = ，
100 10 10
故选：D．
【变式训练2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）计算：❑√20×❑√2= ．【答案】2❑√10
【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法．二次根式的乘法法则❑√a⋅❑√b=❑√ab．根据二次根式的乘法法
则计算即可．
【规范解答】解：❑√20×❑√2=❑√40=2❑√10，
故答案为：2❑√10．
题型2：二次根式的除法
6
【典例精讲】（2025·上海浦东新·三模）已知函数f (x)= ，那么f (❑√2)=
❑√x2+2
【答案】3
【思路点拨】本题考查求函数值，二次根式的运算，把x=❑√2代入函数表达式，进行计算即可．
6
【规范解答】解：∵f (x)= ，
❑√x2+2
6 6 6
f (❑√2)= = = =3
∴ ；
❑√(❑√2) 2+2 ❑√4 2
故答案为：3
【变式训练1】（24-25八年级下·安徽淮南·月考）计算❑√40÷❑√2的结果是（ ）
A．2❑√5 B．4 C．3 D．❑√6
【答案】A
【思路点拨】此题考查了二次根式的除法法则，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
根据二次根式的除法法则计算即可．
【规范解答】解：❑√40÷❑√2=❑√20=2❑√5．
故选：A．
【变式训练2】（24-25八年级下·天津静海·月考）计算：−4❑√6÷2❑√3= ．
【答案】−2❑√2
【思路点拨】本题考查二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握运算法则．
根据二次根式的除法法则进行计算即可．
【规范解答】解：−4❑√6÷2❑√3
=(−4÷2)×(❑√6÷❑√3)
=−2×❑√2=−2❑√2
故答案为：−2❑√2
题型3：二次根式的乘除混合运算
【典例精讲】（24-25八年级下·上海·月考）计算： 2 ❑√ab2× ( − 3 ❑√a3b ) ÷3❑ √b (b>0)
b 2 a
【答案】−a2❑√a
【思路点拨】先根据二次根式有意义的条件判断a的符号，然后根据二次根式的乘除混合运算，根号里面
和外面分别计算，最后再化简二次根式即可求解．本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法
则是解题的关键．
b
【规范解答】解：由题意可得ab2≥0，a3b≥0， ≥0，
a
∵b>0，
∴a>0，
∴ 2 ❑√ab2× ( − 3 ❑√a3b ) ÷3❑ √b
b 2 a
= [2 × ( − 3) ÷3 ) ⋅❑ √ ab2 ⋅a3b÷ b
b 2 a
1
=− ❑√a5b2
b
1
=− ⋅a2b❑√a
b
=−a2❑√a．
❑√12×❑√2
【变式训练1】（2024·广东茂名·一模）计算： = ．
❑√3
【答案】2❑√2
【思路点拨】本题考查二次根式的乘除运算，根据二次根式的运算法则计算即可．
❑√12×❑√2 2❑√3×❑√2
【规范解答】解： = =2❑√2，
❑√3 ❑√3
故答案为：2❑√2．
√1
【变式训练2】（24-25八年级下·广东茂名·月考）计算：❑√8÷❑√2×❑ = ．
2
【答案】❑√2【思路点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
同级运算从左向右进行计算即可．
√1 ❑√2
【规范解答】解：❑√8÷❑√2×❑ =2× =❑√2，
2 2
故答案为：❑√2．
题型4：最简二次根式的判断
【典例精讲】（24-25八年级下·云南临沧·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
√2
A．❑√3 B．❑√3.2 C．❑√32 D．❑
3
【答案】A
【思路点拨】本题考查了二次根式的化简，熟记“被开方数不能含有能开得尽方的因数或式子，不能含有
分母”是解题关键．
根据最简二次根式的定义求解即可．
【规范解答】解：A、❑√3是最简二次根式，符合题意；
√16
B、❑√3.2=❑ ，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
5
C、❑√32=❑√42×2，被开方数能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
√2
D、❑ 被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
3
故选：A．
【变式训练1】（24-25八年级下·云南红河·期末）下列各二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．❑√6 B．❑√0.2 C．❑√8 D．❑√9
【答案】A
【思路点拨】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键；根据最简二次根式的定
义，被开方数是整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可．
【规范解答】解：∵最简二次根式需满足被开方数为整数且无开得尽方的因数，
对于A：❑√6，被开方数6为整数，且无平方因数，∴❑√6为最简二次根式；
❑√5
对于B：❑√0.2= ，被开方数含分母，不是整数，∴不是最简二次根式；
5
对于C：❑√8=2❑√2，被开方数含平方因数4，∴不是最简二次根式；
对于D：❑√9=3，被开方数9为平方数，可开尽，∴不是最简二次根式；
故选A．【变式训练2】（23-24八年级下·全国·期中）下列说法中正确的是 ．（填序号）
①若❑√5=a，则❑√80等于6a；
②使❑√12n是正整数的最小整数n是3；
③❑√0.5是最简二次根式；
1
④计算3÷❑√3× 的结果是1．
❑√3
【答案】②④/④②
【思路点拨】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算
是解题的关键．
利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案．
【规范解答】解：①∵❑√5=a，
∴❑√80=4❑√5=4a，故①错误；
②❑√12n=❑√4×3n是正整数的最小整数，
∴n是3，故②正确；
❑√2
③❑√0.5= ，不是最简二次根式，故③错误；
2
1 1 1
④3÷❑√3× =3× × =1，故④正确．
❑√3 ❑√3 ❑√3
故答案为：②④
题型5：化为最简二次根式
【典例精讲】（24-25八年级下·山西朔州·期末）将❑√12化成最简二次根式的结果为 ．
【答案】2❑√3
【思路点拨】本题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式定义进行化简即可．
【规范解答】解：❑√12=❑√3×4=2❑√3．
故答案为：2❑√3
【变式训练1】（24-25八年级下·福建福州·期中）下列根式是最简二次根式的是（ ）
1
A．❑√8 B．❑√3 C． D．❑√12
❑√3
【答案】B
【思路点拨】本题考查最简二次根式的识别，解题的关键是掌握：被开方数的因数是整数，字母因式是整
式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此判断即可．
【规范解答】解：A．❑√8=2❑√2，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B．❑√3是最简二次根式，故此选项符合题意；
1 ❑√3
C． = ，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
❑√3 3
D．❑√12=2❑√3，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式训练2】（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）下列二次根式中不能再化简的二次根式是（
）
√1 ❑√3
A．❑√1.5 B．❑ C．❑√9 D．
3 3
【答案】D
【思路点拨】此题考查了最简二次根式以及化为最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开
得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义逐一判断即可．
❑√6
【规范解答】解：A、❑√1.5= ，本选项不符合题意；
2
√1 ❑√3
B、❑ = ，本选项不符合题意；
3 3
C、❑√9=3，本选项不符合题意；
❑√3
D、 是不能再化简的二次根式，本选项符合题意；
3
故选：D．
题型6：已知最简二次根式求参数
【典例精讲】（24-25八年级下·广东汕尾·期末）已知❑√6m与❑√2是同类二次根式，则m的最小整数值
为 ．
【答案】3
【思路点拨】本题考查同类二次根式．根据“化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二
次根式”，先将❑√6m化简为❑√2⋅❑√3m，根据被开方数相同，即可求解．
【规范解答】解：∵❑√6m与❑√2是同类二次根式，
∴❑√6m=❑√2⋅❑√3m，
∴m的最小整数值为3，
故答案为：3．
【变式训练1】（24-25八年级下·河北承德·期末）若❑√3m−6是最简二次根式，则整数m的最小值为
．【答案】3
【思路点拨】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开方开的尽的因式或因
数，不含分母，进行求解即可．
【规范解答】解：∵3m−6≥0，
∴m≥2，
∵❑√3m−6是最简二次根式，且m为整数，
∴当m=2时，❑√3m−6=❑√0=0，不符合题意；
当m=3时，❑√3m−6=❑√3，符合题意；
故答案为：3．
【变式训练2】（24-25八年级下·河北邢台·期中）请写出一个正整数a的值： ，使
❑√a+1是最简二次根式．
【答案】1（答案不唯一）
【思路点拨】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数
或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可．
【规范解答】解：∵❑√a+1是最简二次根式，
∴a+1=2或3或5等，
∴a=1或2或4等，
故答案为：1（答案不唯一）．
1．（2024·陕西西安·中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，AC⊥BC，则BD=
（ ）
9❑√13
A．2❑√13 B． C．4❑√13 D．2❑√26
2
【答案】C
【思路点拨】此题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理求
出OB可得结论．【规范解答】解：如图，设AC，BD交于点O,
∵ ABCD AC BD AB=10 AD=6
四边形 是平行四边形， ， 相交于点O， ， ，
∴BC=AD=6，OC=OA，OB=OD，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴AC=❑√AB2−BC2=❑√102−62=8，
1
∴OC= AC=4，
2
∴OB=❑√BC2+OC2=❑√62+42=2❑√13，
∴BD=2OB=4❑√13．
故选：C．
2．（2024·全国·中考真题）下列式子是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑√0.3 B．❑ C．❑√3 D．❑√8
2
【答案】C
【思路点拨】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义逐一判断即可，掌握最简二次根
式的定义是解题的关键．
√ 3 ❑√30
【规范解答】解：A、❑√0.3=❑ = ，故选项不符合题意；
10 10
√1 ❑√2
B、❑ = ，故选项不符合题意；
2 2
C、❑√3是最简二次根式，故选项符合题意；
D、❑√8=2❑√2，故选项不符合题意；
故选：C．
3．（2024·山东烟台·中考真题）计算(2−❑√5) 2025 ×(❑√5+2) 2026 的结果为 ．
【答案】−2−❑√5
【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，幂的运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法法则和幂的运算是解决问题的关键．
先根据积的乘方运算，然后利用平方差公式计算即可．
2025
【规范解答】解：原式=[(2−❑√5)×(2+❑√5)) ×(2+❑√5)，
=(4−5) 2025×(2+❑√5)，
=−1×(2+❑√5)，
=−2−❑√5．
故答案为：−2−❑√5．
4．（2024·福建厦门·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．点E在边AD上，且ED=3，
M、N分别是边AB、BC上的动点，且AM=CN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．若
PM+PN取最小值，则线段PC的长为 ．
3
【答案】 ❑√2
2
【思路点拨】本题考查的是矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，如图，作M关于CE的
对称点J，连接PJ，可得当J,P,N共线，且JN⊥BC时，PM+PN=PJ+PN=JN，此时最小，证明四
3
边形BNPM为矩形，可得BM=PN=CN=AM= ，进一步可得答案．
2
【规范解答】解：如图，作M关于CE的对称点J，连接PJ，
∴PM+PN=PJ+PN，
当J,P,N共线，且JN⊥BC时，PM+PN=PJ+PN=JN，此时最小，
∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，
∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，
∵ED=3，
∴DE=DC，
∴∠DCE=∠DEC=45°，∠BCE=45°，
∵JN⊥BC，
∴∠CPN=45°=∠JPE=∠BCE，
∴PN=CN，
由对称可得：∠MPE=∠JPE=45°，
∴∠MPN=90°=∠B=∠BNP，
∴四边形BNPM为矩形，
1 3
∴BM=PN=CN=AM= AB= ，
2 2
3
∴CP=❑√PN2+CN2= ❑√2；
2
3
故答案为： ❑√2．
2
5．（2024·湖南湘潭·中考真题）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当
a>0，b>0时，有(❑√a−❑√b) 2=a−2❑√ab+b，所以a+b≥2❑√ab，当且仅当a=b时取等号．请利用上述结
论解决以下问题：
1 1
(1)当x>0时，x+ 的最小值为_______；当x<0时，x+ 的最大值为________；
x x
x2+3x+16
(2)当x>0时，求代数式 的最小值，并求出此时x的值．
x
【答案】(1)2；−2
x2+3x+16
(2)当x>0时，代数式 的最小值为11，此时x的值为4
x
【思路点拨】本题考查了完全平方公式、二次根式的乘法、利用平方根解方程，灵活运用完全平方公式和
二次根式的运算是解题关键．
（1）当 时，则( 1 ) 2 1 ，由此即可得；当 时，
x>0 ❑√x− =x−2+ ≥0 x<0
❑√x x( 1 ) 2 1 ，由此即可得；
❑√−x− =−x−2− ≥0
❑√−x x
x2+3x+16 16 ( √16) 2 16 16
（2）先将代数式变形为 =x+ +3，再根据 ❑√x−❑ =x−8+ ≥0可得x+ ≥8（当
x x x x x
16
且仅当x= 时取等号），由此即可得．
x
( 1 ) 2 1 1 1
【规范解答】（1）解：当x>0时，则 ❑√x− =x−2❑√x⋅ + =x−2+ ，
❑√x ❑√x x x
( 1 ) 2
∵ ❑√x− ≥0，
❑√x
1
∴x−2+ ≥0，
x
1 1
∴x+ ≥2（当且仅当x= 时取等号），
x x
1
∴当x>0时，x+ 的最小值为2．
x
( 1 ) 2 1 1 1
当x<0时，则 ❑√−x− =−x−2❑√−x⋅ + =−x−2− ，
❑√−x ❑√−x −x x
( 1 ) 2
∵ ❑√−x− ≥0，
❑√−x
1 1
∴−x−2− ≥0（当且仅当−x= 时取等号），
x −x
1
∴x+ ≤−2，
x
1
∴当x<0时，x+ 的最大值为−2．
x
故答案为：2；−2．
x2+3x+16 x2 3x 16 16
（2）解： = + + =x+ +3，
x x x x x
2
( √16) √16 16 16
当x>0时，则 ❑√x−❑ =x−2❑√x⋅❑ + =x−8+ ，
x x x x2
( √16)
∵ ❑√x−❑ ≥0，
x
16 16
∴x−8+ ≥0（当且仅当x= 时取等号），
x x
16 16
∴x+ ≥8（当且仅当x= 时取等号），
x x
16 16
∴x+ +3≥11（当且仅当x= 时取等号），
x x
16
由x= 得：x2=16，解得x=4或x=−4<0（不符合题意，舍去），
x
16
经检验，x=4是方程x= 的解，
x
x2+3x+16
所以当x>0时，代数式 的最小值为11，此时x的值为4．
x
基础夯实
1．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑√8 B．❑ C．❑√100 D．❑√5
3
【答案】D
【思路点拨】本题考查最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数．
【规范解答】解：A．❑√8 = ❑√4×2 = 2❑√2，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
√1
B．❑ 被开方数含分母，不是最简二次根式；
3
C．❑√100 = 10，可完全开方，不是最简二次根式；
D．❑√5 被开方数为质数，无分母和能开得尽方的因数，是最简二次根式．
故选：D．
2．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列式子是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑ B．❑√8 C．❑√5 D．❑√12
3
【答案】C
【思路点拨】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各
选项．
√1
【规范解答】解： A、❑ 被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
3
B、❑√8=❑√4×2=2❑√2，含能开方的因数4，不是最简，不符合题意；
C、❑√5被开方数5为质数，不含分母和能开方的因数，是最简二次根式，符合题意；
D、❑√12=❑√4×3=2❑√3 ，含能开方的因数4，不是最简，不符合题意；
故选：C．
3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）下列运算正确的是（ ）
❑√2a 1
A．❑√(−2) 2=−2 B．❑√2+❑√5=❑√7 C．❑√2×❑√3=❑√6 D． =
2ab b
【答案】C
【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是
解决问题的关键．根据算术平方根定义，二次根式加法，二次根式乘法运算法则，逐项进行判断即可．
【规范解答】解：A．❑√(−2) 2=2，故A选项不符合题意；
B．❑√2与❑√5不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意；
C．❑√2×❑√3=❑√6，故C选项符合题意；
❑√2a 1 1
D． = ≠ ，故D选项不符合题意．
2ab ❑√2ab b
故选：C．
4．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）计算❑√6×❑√7的结果为 ．
【答案】❑√42
【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法法则，根据二次根式的乘法法则，❑√a×❑√b=❑√ab (a≥0,b≥0)，
直接计算即可．
【规范解答】解：❑√6×❑√7=❑√6×7=❑√42，其中❑√42已是最简二次根式，
故答案为：❑√42．
5．（24-25八年级下·福建三明·期中）若一个无理数a与❑√8的积是一个有理数，则a的值可以是
．（写出一个即可）
【答案】❑√2（答案不唯一）
【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法运算．需要找到一个无理数a，使得a与❑√8的乘积为有理数．由
于❑√8可化简为2❑√2，因此a应包含❑√2的因子，以便与❑√2相乘后得到有理数．
【规范解答】解：取a=❑√2，则a×❑√8=❑√2×2❑√2=2×(❑√2×❑√2)=2×2=4，4是有理数，满足条件．故答案为❑√2．
6．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若❑√2m+n−2和❑√33m−2n+2都是最简二次根式，则m= ，n=
．
【答案】 1 2
【思路点拨】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因
数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之
即可．
【规范解答】解：∵❑√2m+n−2和❑√33m−2n+2都是最简二次根式，
{ m+n−2=1 )
∴ ，
3m−2n+2=1
{m=1)
解得 ，
n=2
故答案为：1；2．
7．（2024·广东·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC的中点，
AD=4，BE=3，则AB= ．
【答案】2❑√5
【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角
形两直角边的平方和等于斜边的平方．
{ x2+ ( y) 2 =16①)
2
设AC=x，BC= y，由勾股定理得 ，整理得x2+ y2=20，然后根据AB=❑√x2+ y2即可
(x) 2
+ y2=9②
2
求解．
【规范解答】解：设AC=x，BC= y，∵D，E分别是BC，AC的中点，
1 1 1 1
∴CD= BC= y,CE= AC= x．
2 2 2 2
{ x2+ ( y) 2 =16①)
2
由勾股定理得
(x) 2
+ y2=9②
2
5 5
①+②，得 x2+ y2=25，
4 4
则x2+ y2=20，
∴ AB=❑√x2+ y2=❑√20=2❑√5．
故答案为：2❑√5．
8．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为12和25的两个小正方形．
(1)则裁去的较大正方形的边长是 ，较小正方形的边长是 ；
(2)求留下部分的面积．
【答案】(1)5，2❑√3
(2)留下部分的面积为20❑√3
【思路点拨】本题主要考查了算术平方根．
(1)根据算术平方根的定义和正方形的面积求出正方形的边长；
(2)根据两个正方形的边长可知留下矩形的长为5，宽为2❑√3，根据长方形的面积公式即可求出结果．
【规范解答】（1）解：∵较大正方形的面积是25，
∴较大正方形的边长是❑√25=5；
∵较小正方形的面积是12，
∴较小正方形的边长是❑√12=2❑√3；
故答案为：5，2❑√3；
（2）解：由(1)可知裁去的较大正方形的边长为5，较小正方形的边长为2❑√3，∴ 5 2❑√3
留下矩形的长为 ，宽为 ，
留下部分的面积=2×5×2❑√3=20❑√3，
答：留下部分的面积为20❑√3．
9．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）计算：❑√50÷❑√2+(❑√3−1) 0 −
(1) −2
2
【答案】2
【思路点拨】本题主要考查了二次根式的除法，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法
则，先计算二次根式的除法，再算零指数幂和负整数指数幂，最后算加减即可．
【规范解答】解：❑√50÷❑√2+(❑√3−1) 0 −
(1) −2
2
=5+1−4
=2．
10．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）计算：❑√8×❑√2+
(1) −1
−|−4)−(❑√2025) 0 ．
3
【答案】2
【思路点拨】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的乘法，负整数指数幂，绝对值，零指数幂，按
运算顺序应用各运算法则进行计算即可得答案．
【规范解答】解：原式=4+3−4−1
=2．
培优拔高
11．（24-25八年级下·四川泸州·期中）下列等式成立的是（ ）
A．3❑ √2 =❑√2 B．❑ √ 2 2 =2❑ √2 C．❑ √ 4 1 =2 1 D．(−2❑√5) 2=10
3 3 3 9 3
【答案】B
【思路点拨】本题主要考查了二次根式的化简和运算，解题的关键是掌握二次根式的化简法则和运算法则．
通过计算每个等式的左右两边，判断是否相等．
√2
【规范解答】解：对于选项A：3❑ =❑√6≠❑√2，该选项不成立；
3√ 2 √8 √2 √2 √8
对于选项B：❑2 =❑ ，2❑ =❑ ×4=❑ ，
3 3 3 3 3
∴左边=右边，该选项成立；
√ 1 √37 ❑√37 1 7
对于选项C：❑4 =❑ = ，2 = ，
9 9 3 3 3
❑√37 7
≠ ，该选项不成立；
3 3
对于选项D：(−2❑√5) 2=4×5=20，
20≠10，该选项不成立；
故选：B．
12．（24-25八年级下·四川泸州·期中）下列是最简二次根式的是（ ）
√ 5
A．❑√1.5a B．❑√6 y3 C．❑ D．❑√a2+4
13
【答案】D
【思路点拨】本题主要考查了最简二次根式的识别，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．
最简二次根式需满足：被开方数为整数或整式，且不含能开得尽方的因数或因式，也不含分母．
❑√6a
【规范解答】解：A. ❑√1.5a= ，该选项不是最简二次根式；
2
B. ❑√6 y3= y❑√6 y，该选项不是最简二次根式；
√ 5 ❑√65
C. ❑ = ，该选项不是最简二次根式；
13 13
D. 该选项被开方数为整式，且无开得尽方的因式，也无分母，该选项是最简二次根式；
故选：D．
13．（24-25八年级下·吉林·期末）在下列四个式子中，最简二次根式为（ ）
√1
A．❑ B．❑√3 C．❑√(−1) 2 D．❑√24
2
【答案】B
【思路点拨】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或
因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答．
√1 ❑√2
【规范解答】解：A、❑ = ，故A不符合题意；
2 2
B、❑√3是最简二次根式，故B符合题意；C、❑√(−1) 2=1，故C不符合题意；
D、❑√24=2❑√6，故D不符合题意；
故选：B．
14．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）平行四边形ABCD的面积是12，M，N分别是AB，AD的中点，
P是直线BC上一点且PN⊥AD，若AD=4，CP=1，则PM= ．
❑√34 ❑√58
【答案】 或
2 2
【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先根据平行四边
形的面积计算公式求出PN=3；再分点P在点C左侧和点P在点C右侧两种情况，延长PM，DA交于F，
证明△AMF≌△BMP(AAS)，得到AF=BP，PM=FM；求出FN的长，进而求出PF的长即可得到答案。
【规范解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC=AD=4，
∵PN⊥AD，S =12，
平行四边形ABCD
∴AD⋅PN=12，
∴PN=3；
如图所示，当点P在点C左侧时，延长PM，DA交于F，
∵CP=1，
∴BP=BC−CP=3；
∵BC∥AD，
∴∠MBP=∠MAF，∠MPB=∠MFA，
∵点M为AB的中点，
∴BM=AM，
∴△AMF≌△BMP(AAS)，
∴AF=BP=3，PM=FM；
∵点N为AD的中点，
1
∴AN= AD=2，
2
∴FN=AF+AN=5，∴PF=❑√PN2+FN2=❑√32+52=❑√34，
PF ❑√34
∴PM=FM= = ；
2 2
如图所示，当点P在点C右侧时，延长PM，DA交于F，
∵CP=1，
∴BP=BC+CP=5；
∵BC∥AD，
∴∠MBP=∠MAF，∠MPB=∠MFA，
∵点M为AB的中点，
∴BM=AM，
∴△AMF≌△BMP(AAS)，
∴AF=BP=5，PM=FM；
∵点N为AD的中点，
1
∴AN= AD=2，
2
∴FN=AF+AN=7，
∴PF=❑√PN2+FN2=❑√32+72=❑√58，
PF ❑√58
∴PM=FM= = ；
2 2
❑√34 ❑√58
综上所述，PM的长为 或 ，
2 2
❑√34 ❑√58
故答案为： 或 。
2 2
15．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图（1）是一把折叠桌实物图，支架AB与CD交于点O，
OD=OB．如图（2）是桌子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），桌面MN与地面水平线l平行，
BD=2AC，∠BOD=60°，BD=20cm．那么展开后桌子的高度约为 cm．【答案】15❑√3
【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先求得
DC=30 cm，再根据勾股定理求得完全打开时的高度，即可求解．
【规范解答】解：如图所示，过点C作CE⊥l于点E，
∵ ∠BOD=∠COA=60°，OD=OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴OD=BD=20cm，∠OBD=∠CDB=60°
∵AC∥BD，
∴∠ACO=∠CDB=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∵BD=2AC，BD=20cm，
∴CO=AC=10cm，
∴CD=CO+OD=30cm，
∵∠CDB=60°，CE⊥l，即∠CED=90°
∴∠DCE=30°，
1
∴DE= CD=15 cm，
2
∴在Rt△CDE中，CE=❑√CD2−DE2=15❑√3cm，
∴展开后桌子的高度约为15❑√3cm．
故答案为：15❑√3.
16．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）如图，一架25m的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24m．如果梯子AB的底端向墙一侧移动了2m，那么梯子的顶端向上滑动的距离是 m．
【答案】(10❑√6−24)
【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用，在Rt△AOB中，由勾股定理可求出OB的长，则可求
出OD的长，在Rt△COD中，由勾股定理求出OC的长，进而求出AC的长即可得到答案．
【规范解答】解：由题意得，AB=CD=25m，OA=24m，BD=2m，∠AOB=∠COD=90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得OB=❑√AB2−OA2=❑√252−242=7m，
∴OD=OB−BD=5m，
在Rt△COD中，OC=❑√CD2−OD2=❑√252−52=10❑√6m，
∴AC=OC−OA=(10❑√6−24)m，
∴梯子的顶端向上滑动的距离是(10❑√6−24)m，
故答案为：(10❑√6−24)．
17．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，矩形ABCD中，点H，F分别在边BC，CD上，连接
AF，AH，将△ADF沿AF折叠，点D恰好落在线段BC上的点E处，同时将△ABH沿AH折叠，点B恰
好落在线段AE上的点G处．连接FG，若AB=6，CE=2，则AD= ，FG= ．
2❑√61
【答案】 10
3
【思路点拨】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，设AD=x，由折叠的性质可得AE=AD=x，即可得62+(x−2) 2=x2，解得x=10，故AE=AD=10；由折叠的性质可得AG=AB=6，即得
10 10
¿=AE−AG=4，设DF= y，可得22+(6−y) 2= y2，解得y= ，即EF=DF= ，再由勾股定理得FG
3 3
2❑√61
=❑√GE2+EF2= ．
3
【规范解答】解：设AD=x，
由折叠的性质可得AE=AD=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，BC=AD=x，CD=AB=6，
∵CE=2，
∴BE=BC−CE=x−2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+BE2=AE2，
∴62+(x−2) 2=x2，
解得x=10，
∴AE=AD=10，
由折叠的性质可得AG=AB=6，
∴¿=AE−AG=10−6=4，
设DF= y，则CF=6−y，
由折叠的性质可得∠AEF=∠D=90°，EF=DF= y，
在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2=EF2，
∴22+(6−y) 2= y2，
10
解得y= ，
3
10
∴EF=DF= ，
3
√ 10 2❑√61
∴FG=❑√GE2+EF2=❑42+( ) 2= ；
3 3
2❑√61
故答案为：10， ．
3
18．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC为锐角，作AD⊥AB
交BC的延长线于点D．(1)若∠D=20°，则∠BAC的度数为_____．
(2)求证：∠BAC=2∠D．
(3)已知∠D=22.5°,AC=❑√2，求BC2的值．
【答案】(1)40°
(2)见解析
(3)4−2❑√2
【思路点拨】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，
熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据题意求出∠ABD的度数，再根据AB=AC，得出∠ACB=∠B=70°即可求出；
（2）设∠D=x，根据题意表示出∠ABD的度数，再根据AB=AC，表示出∠ACB，即可求出；
（3）过C作CE⊥AB于E，可证明△AEC为等腰直角三角形，则可求出AE=EC=1和BE=❑√2−1，再
利用勾股定理计算即可．
【规范解答】（1）解： ∵AD⊥AB，∠D=20°，
∴∠ABD=90°−∠D=90°−20°=70°，
又∵AB=AC ，
∴∠ACB=∠ABD=70°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−70°−70°=40°；
（2）证明：设∠D=x，
∵AD⊥AB，
∴∠ABD=90°−∠D=90°−x，
又∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=90°−x，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−(90°−x)−(90°−x)=2x，
∴∠BAC=2∠D；
（3）解：如图所示，过C作CE⊥AB于E，∵∠D=22.5°，
∴由（2）得∠BAC=2∠D=45°，
∴△AEC为等腰直角三角形，
∴AE=CE，
∴AC=❑√AE2+CE2=❑√2AE，
又∵AC=❑√2 ，
∴AE=EC=1，
又∵AB=AC=❑√2 ，
∴BE=❑√2−1，
∴BC2=BE2+CE2=(❑√2−1) 2+12=4−2❑√2．
19．（24-25八年级下·全国·期末）计算：
( √1 )
(1) ❑√12−2❑ +❑√48 ÷2❑√3；
3
(√1 )
(2)(4❑√3−3❑√2)(4❑√3+3❑√2)−6❑√2 ❑ −❑√6 ．
8
8
【答案】(1) ；
3
(2)27+12❑√3．
【思路点拨】本题考查了二次根式性质，二次根式除法，二次根式乘法，平方差公式，熟练掌握运算法则
是解题的关键．
（1）根据二次根式性质，二次根式除法法则化简，然后合并即可；
（2）通过二次根式性质，平方差公式，二次根式乘法法则进行运算即可．
( √1 )
【规范解答】（1）解： ❑√12−2❑ +❑√48 ÷2❑√3
3
√1
=❑√12÷2❑√3−2❑ ÷2❑√3+❑√48÷2❑√3
3√1
=2❑√3÷2❑√3−❑ ÷3+❑√48÷12
3
1
=1− +2
3
8
= ；
3
(√1 )
（2）解：(4❑√3−3❑√2)(4❑√3+3❑√2)−6❑√2 ❑ −❑√6
8
=(4❑√3) 2 −(3❑√2) 2 −6❑ √ 2× 1 +6❑√2×6
8
1
=48−18−6× +6×2❑√3
2
=48−18−3+12❑√3
=27+12❑√3．
20．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C
处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（CA⊥AB于点A）拉船靠岸，开始时绳子BC的长度
是AC的3倍．（结果保留根号）
(1)求B处的游船到岸边AC的距离（即AB的长）；
(2)为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距
离．
【答案】(1)8❑√2米
(2)(8❑√2−3)米
【思路点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，二次根式的运算，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一
数学模型．
（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长；
（2）根据题意可得CD长，然后再利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB−AD可得BD长．
【规范解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=4米，BC=3AC=12米，∴AB=❑√BC2−AC2=❑√122−42=8❑√2（米），
即B处的游船到岸边AC的距离为8❑√2米．
（2）解：∵工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，
∴CD=12−1×7=5（米），
在Rt△ACD中，AD=❑√CD2−AC2=❑√52−42=3（米），
∴BD=AB−AD=(8❑√2−3)米，
即游船向岸边移动的距离为(8❑√2−3)米．
