文档内容
专题 01 涉及二次函数图象的五类题型
类型一：二次函数中的图象共存问题
类型二：二次函数图象与系数的关系
类型三：利用二次函数图象信息求二次函数表达式
类型四：利用二次函数图象解决一元二次方程的问题
类型五：利用二次函数图象解决一元二次不等式的问题
类型一：二次函数中的图象共存问题
1．一次函数y＝x+a与二次函数y＝ax2﹣a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的图象和一次函数与x轴，与y轴的交点可得相关图象进行判断．
【解答】解：由一次函数y＝x+a可知，一次函数的图象与x轴交于（﹣a，0），与y轴交于点（0，
a），由二次函数y＝ax2﹣a可知，抛物线与x轴交于（﹣1，0）和（1，0），与y轴交于点（0，﹣
a），
∵两个函数的图象与x轴交于不同的两点，与y轴交于不同的两点，
∴A、B、D不可能，
选项C中，由直线经过一、三、四象限可知a＜0，由抛物线可知开口向下，交y轴的正半轴，则a＜
0，故C有可能；
故选：C．
2．函数y＝ax+1与y＝ax2+bx+1（a，b是常数，且a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝ax+1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx+1的图象相
比较看是否一致．
【解答】解：A．由一次函数的图象可知a＜0，由抛物线图象可知，开口向下，a＜0，但是一次函数与
y轴的交点和二次函数与y轴的交点，不是同一点（0，1），故A选项错误；
B．由一次函数的图象可知a＞0，由抛物线图象可知，开口向下，a＜0，两者相矛盾，故B选项不正确，
不符合题意；
C．由一次函数的图象可知a＞0，由抛物线图象可知，开口向上，a＞0，且两函数相交y轴于同一点
（0，1），故C选项正确，符合题意；
D．由一次函数的图象可知a＜0，由抛物线图象可知，开口向上，a＞0两者相矛盾，故D选项不正确，
不符合题意．
故选：C．
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系
内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a、b、c的正负，从而可以得到一次函数y
＝ax与一次函数y＝bx﹣c的图象，本题得以解决．
【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可得，
a＞0，b＜0，c＞0，
∴一次函数y＝ax的图象经过第一、三象限，一次函数y＝bx﹣c的图象经过第二、三、四象限，
故选：A．
4．一次函数y＝bx+a与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一坐标系中的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【分析】观察A、C、D中二次函数图象，可得出a＜0、b＜0，利用一次函数图象与系数的关系可排除
A、D选项；观察B选项中二次函数图象，可得出a＞0、b＜0，利用一次函数图象与系数的关系可排除
B选项．此题得解．
【解答】解：观察A、C、D中二次函数图象，可知：a＜0，b＜0，
∴一次函数y＝bx+a的图象经过二、三、四象限，A、D不符合题意，C符合题意；
观察B中二次函数图象，可知：a＞0，b＜0，
∴一次函数y＝bx+a的图象经过一、二、四象限，B不符合题意．
故选：C．
5．在同一直角坐标系中，函数y＝mx+m和y＝﹣mx2+2x+2的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据直线y＝mx+m求得m的符号，然后根据二次函数的性质即可判断．
【解答】解：A．由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不
符，故A选项错误；
B．由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，称轴为x＝﹣ ＝ ＝
＜0，则对称轴应在y轴左侧与图象不符，故B选项错误；
C．由函数y＝mx+m的图象可知m＞0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝下，故C选项错误；D．由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x＝﹣ ＝
＝ ＜0则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确．
故选：D．
6．二次函数y＝a（x﹣2）2+c与一次函数y＝cx+a在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A、一次函数y＝cx+a的图象与y轴交于负半轴，a＜0，与二次函数y＝a（x﹣2）2+c的图
象开口向上，即a＞0相矛盾，故A错误；
B、一次函数y＝cx+a的图象过一、二、四象限，a＞0，c＜0，二次函数y＝a（x﹣2）2+c的图象开口向
上，顶点为（2，c）在第四象限，a＞0，c＜0，故B正确；
C、二次函数y＝a（x﹣2）2+c的对称轴直线x＝2，在y轴右侧，故C错误；
D、一次函数y＝cx+a的图象过一、二、三象限，c＞0，与抛物线y＝a（x﹣2）2+c的顶点（2，c）在第
四象限，c＜0相矛盾，故D错误；
故选：B．
7．在同一直角坐标系中，函数y＝ax+a和函数y＝ax2+x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【分析】根据a的正负判断一次函数经过的象限和二次函数的开口方向和对称轴的正负，然后逐个分析
即可．
【解答】解：当a＞0时，
一次函数过一二三象限，
抛物线开口向上，对称轴x＝ ＜0，故B、C不符合题意，
当a＜0时，
一次函数过二三四象限，
抛物线开口向下，对称轴x＝ ＞0，故A不符合题意．
故选：D．
类型二：二次函数图象与系数的关系
8．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线x＝1，则下列说法：①b＞0；②2a+b＝
0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据
对称轴x＝1计算2a+b与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴为直线x＝﹣ ＞0，则b＞0，故本选项正确；
②由对称轴为直线x＝1，
∴﹣ ＝1，∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故本选项正确；
③由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，则4a﹣2b+c＜0，故本选项错误；
④从图象知，当x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故本选项错误；
⑤∵对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，抛物线有最大值，∴a+b+c＞m2a+mb+c，
∴m（ma+b）＜a+b（常数m≠1），故本选项正确；
故选：B．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；
④4a﹣2b+c＜0．正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】该函数开口方向向下，则a＜0，由对称轴可知，b＝2a＜0，与y轴交点在y轴正半轴，则c＞
0，再根据一些特殊点，比如x＝1，x＝0，顶点等进行判断即可．
【解答】解：∵函数开口方向向下，a＜0，
∵对称轴为x＝﹣1，则﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵与y轴交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故③正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，即a﹣b+c＞1，故②正确；
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故①正确；
由抛物线的对称性可知，当x＝﹣2与x＝0时y值相同，此时y＝4a﹣2b+c＞0，故④错误．
综上，正确的个数有三个．
故选：C．
10．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，
以下结论中正确的是（ ）
A．abc＞0
B．2a+c＜0
C．9a﹣3b+c＜0
D．若m为任意实数，则a﹣b≥m（am+b）
【分析】根据二次函数的图象判断a，b，c的符号，根据抛物线与x轴的交点即可判断B，C选项，根
据抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，得出最小值为a﹣b+c，进而即可求解．
【解答】解：由图象可得，
a＞0，b＞0，c＜0，
则abc＜0，故选项A错误，不符合题意；对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a，
∵当x＝1时，a+b+c＝0，
∴c＝﹣a﹣b＝﹣a﹣2a＝﹣3a，
∴2a+c＝2a﹣3a＝﹣a＜0，故B正确，符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，x＝1和x＝﹣3时，y＝0，
∴9a﹣3b+c＝0，故C错误，不符合题意；
∵a＞0，对称轴为直线x＝﹣1，
∴若m为任意实数，则a﹣b+c≤am2+bm+c，
即a﹣b≤m（am+b），故D错误，不符合题意；
故选：B．
11．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，则下列结论：
①abc＞0；②0＜c＜2；③a+b+c＝1；④x ＜﹣1；⑤b2＜4ac．其中正确的有（ ）
1
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，然后利用抛物线的对称轴得到b的符号，根据抛物线与y轴的交
点可得c的符号，则可选项①②进行判断；利用x＝1时，y＝0可对选项③进行判断，利用抛物线的
对称性可对选项④进行判断；根据抛物线与x轴的交点可对选项⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＜0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴0＜c＜2，
∴abc＞0，故选项①②正确；
∵x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
∴选项③错误．
∵（1，0）关于y轴的对称轴为（﹣1，0），而的对称轴在y轴的左侧，
∴x ＜﹣1，
1
∴选项④正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac
∴选项⑤错误．
结论正确的是①②④共3个．
故选：C．
12．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴
是直线x＝1．对于下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④b2＜4ac；⑤3b＜2c；
⑥若两点（﹣2，y ）（3，y ）在二次函数图象上，则y ＞y ，其中正确的有（ ）
1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：①由二次函数的图象可知：a＜0，c＞0，
由对称轴可知：x＝﹣ ＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②由对称轴可知：﹣ ＝1，
∴2a+b＝0，故②错误；
③由图象可知，x＝3时，y＜0，
而（3，0）关于直线x＝1的对称点为（﹣1，0），
当x≤1时，随x的增大而增大，
∴当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故③正确；
④由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
故Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故④错误；
⑤∵﹣ ＝1，
∴a＝﹣ ，∵（3，0）关于直线x＝1的对称点为（﹣1，0），且x＝3时，y＜0，
∴x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴﹣ ，
∴3b＞2c，故⑤错误；
⑥∵抛物线开口向下，且点（﹣2，y ）到直线x＝1的距离大于点（3，y ）到直线x＝1的距离，
1 2
∴y ＜y ，故⑥错误；
1 2
故选：B．
13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①由二次函数图象性质知，开口向下，则a＜0．再结合对称轴﹣ ＞0，得b＞0．据二次函
数图象与y轴正半轴相交得c＞0；
②由于二次函数图象与x轴交于不同两点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；
③由 ＝1，得b＝﹣2a，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，所以2a﹣2b+2c＜0，把b替换成a计
算；
④x＝1时函数有最大值，所以当x＝1时的y值大于当x＝m（m≠1）时的y值，即a+b+c＞m（am+b）
+c，所以a+b＞m（am+b）（m≠1）成立；
⑤将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可，由二次函数图象的轴对
称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4．
【解答】解：∵图象开口向下，∴a＜0，
∵对称轴在y轴的右侧，a与b异号，
∴b＞0，
∵与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
∵二次函数图象与x轴交于不同两点，则Δ＝b2﹣4ac＞0．
∴b2＞4ac．
故②错误；
∵ ＝1，
∴b＝﹣2a．
又∵当x＝﹣1时，y＜0．
即a﹣b+c＜0．
∴2a﹣2b+2c＜0．
∴﹣3b+2c＜0．
∴2c＜3b．
故③正确；
∵x＝1时函数有最大值，
∴当x＝1时的y值大于当x＝m（m≠1）时的y值，
即a+b+c＞m（am+b）+c
∴a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，
故④正确．
将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可，
由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，
故⑤错误．
综上：③④正确，
故选：A．
14．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为 ，且经过点（2，0）．下列说法：
①abc＜0；
②﹣2b+c＝0；
③4a+2b+c＜0；
④若 ， 是抛物线上的两点，则y ＜y ；
1 2⑤ （其中 ）．
其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再根据抛物线的对称性和增减性，依次对所给说
法进行判断即可解决问题．
【解答】解：由函数图象可知，
a＜0，b＞0，c＞0，
所以abc＜0．
故①正确．
因为抛物线的对称轴为直线x＝ ，
所以 ，即b＝﹣a．
因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
所以a﹣b+c＝0，
则﹣b﹣b+c＝0，
即﹣2b+c＝0．
故②正确．
因为抛物线经过点（2，0），
所以4a+2b＝c＝0．
故③错误．
因为抛物线开口向下，
所以抛物线上的点，离对称轴越远，其纵坐标越小．
因为 ， ，且3＞2，
所以y ＜y ．
1 2
故④正确．
因为抛物线的对称轴为直线x＝ ，且开口向下，
所以当x＝ 时，函数有最大值为 ，
则对于抛物线上任意一点（顶点除外），其纵坐标小于 ，
即am2+bm+c＜ ，
又因为a＝﹣b，所以m（am+b）＜ ，
即 （m≠ ）．
故⑤正确．
故选：D．
15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜
a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．③④⑤ D．②③⑤
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及
抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵﹣ ＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故此选项正确；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故a﹣b+c＞0，错误；
③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确；
④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣ ＝1，
即a＝﹣ ，代入得9（﹣ ）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项错误．
故①③④正确．
故选：B．
16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，下列结论
中：①abc＜0；
②b2＞4ac；
③3a+c＞0；
④若m为任意实数，则am2+bm≤a+b．
正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】分别判a、b、c的符号，即可判断①；根据图象与x轴交点可以判断②；根据对称轴是直线x
＝1，得到b＝﹣2a，结合a﹣b+c＜0，即可判断③；根据二次函数的对称轴得出最值，即可判断④．
【解答】解：∵图象开口向下，与y轴交点再x轴上方，
∴a＜0，c＞0，
∵ ，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵函数图象与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故②正确；
∵函数图象的对称轴是直线x＝1，
∵函数图象与x轴的另一个交点在﹣1和0之间，
∴当x＝﹣1时，a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a+c＜0，故③错误；
当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，故④正确；
综上所述，①②④正确，共3个，
故选：B．
17．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：
①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；
⑤3a+c＜0．其中结论正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性，利用数形结合的
思想对所给结论依次进行判断即可．
【解答】解：由函数图象可知，
a＜0，b＜0，c＞0，
所以abc＞0．
故①正确．
因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
所以﹣ ＝﹣1，
即2a﹣b＝0．
故②正确．
因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且x＝1时，函数值小于零，
所以x＝﹣3时，函数值小于零，
则9a﹣3b+c＜0．
故③正确．
因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且开口向下，
所以当x＝m时，am2+bm+c≤a﹣b+c，
即am2﹣a+bm+b≤0，
所以a（m2﹣1）+b（m+1）≤0．
故④正确．
由函数图象可知，
当x＝1时，函数值小于零，
则a+b+c＜0，
又因为b＝2a，
所以3a+c＜0．
故⑤正确．
故选：D．
类型三：利用二次函数图象信息求二次函数解析式
18．已知二次函数的图象如图所示，则其抛物线的表达式可能为（ ）A．y＝﹣3x2﹣1 B．y＝﹣3x2+1 C．y＝3x2+1 D．y＝3x2﹣1
【分析】依据题意，结合图象可得，抛物线的开口向下，顶点是（0，1），对称轴是y轴，从而可以判
断得解．
【解答】解：由题意，抛物线的开口向下，顶点是（0，1），对称轴是y轴，
∴B选项正确，A、C、D错误．
故选：B．
19．如图的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+1 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝（x+1）2
【分析】由图知抛物线顶点：（1，0），故设y＝a（x﹣1）2，又因为交y轴于（0，1），代入解析式
即可．
【解答】解：图知抛物线顶点：（1，0），
故设y＝a（x﹣1）2，
又∵抛物线交y轴于（0，1），
∴1＝a（0﹣1）2，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2，
故选：C．
20．已知二次函数的图象如图所示，则它的表达式可能是（ ）
A．y＝﹣4（x﹣m）2﹣m2﹣2
B．y＝﹣（x+a）（x﹣a+1）
C．y＝﹣x2﹣（a+3）x+（ ）
D．y＝ax2﹣bx+b﹣a
【分析】根据二次函数图象与系数的关系判断．
【解答】解：抛物线y＝﹣4（x﹣m）2﹣m2﹣2顶点为（m，﹣m2﹣2），而﹣m2﹣2＜0，顶点在x轴下
方，故A不符合题意；
在y＝﹣（x+a）（x﹣a+1）中，令y＝0得x ＝﹣a，x ＝a﹣1，则抛物线对称轴为直线x＝ ＝
1 2
﹣ ，故B不符合题意；
图中抛物线可能是y＝﹣x2﹣（a+3）x+（ ），故C符合题意；在y＝ax2﹣bx+b﹣a＝（ax﹣b+a）（x﹣1）中，令y＝0得x ＝ ，x ＝1，故抛物线与x轴有一个交
1 2
点横坐标为1，故D不符合题意；
故选：C．
21．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（ ）
A．y＝x2﹣x﹣2 B．
C． D．y＝﹣x2+x+2
【分析】根据图象知，可设该二次函数为顶点式y＝a（x﹣ ）2+ ，然后把（2，0）代入求出a即可．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣ ）2+ ，
把（2，0）代入得 a+ ＝0，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣ ）2+ ．
即y＝﹣x2+x+2，
故选：D．
22．如图，已知抛物线y＝ ﹣3x与直线y＝2x交于O，A两点．点B是抛物线上O，A之间的一个动点，
过点B分别作两条坐标轴的平行线，与直线OA交于点C，E，以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D
的坐标为（m，n），则m关于n的函数关系式是 m ＝ n 2 ﹣ n ．
【分析】根据点D的坐标，可得出点E的坐标，点C的坐标，继而确定点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线解析式可求出m，n之间的关系式．
【解答】解：如图，∵直线OA的解析式为：y＝2x，点D的坐标为（m，n），
∴点E的坐标为（ n，n），点C的坐标为（m，2m），
∴点B的坐标为（ n，2m），
把点B（ n，2m）代入y＝ x2﹣3x，可得m＝ n2﹣ n，
∴m、n之间的关系式为m＝ n2﹣ n，
故答案为：m＝ n2﹣ n．
23．抛物线的图象如图所示，其中点A为顶点．
（1）写出点A，B的坐标；
（2）求出抛物线的解析式．
【分析】（1）观察图象即可写出点A，B的坐标；
（2）利用待定系数法即可求解．
【解答】解：（1）观察图象可知，A（2，﹣4），B（0，4）；
（2）∵A为顶点，A（2，﹣4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4，
把B（0，4）代入得，4a﹣4＝4，
解得a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣4．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，OA＝OC＝2OB＝2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AC上方抛物线上的一个动点，求四边形BCPA面积的最大值．【分析】（1）根据题意可求出A、B、C三点的坐标，代入抛物线表达式，解方程组，即可得出抛物线
的解析式；
（2）因为S四边形BCPA ＝S△BCA +S△ACP ，先求出S△BCA ，再过C作CD//AB交AP于点D，设P（t，y
t
），y
A
＝k x+b（k≠0），将P，A代入，得出y 的解析式，用t表示出D点坐标，再得到CD的长度，根据
P AP
S△ACP ＝S△PCD +S△ACD ，得到S四边形BCPA 的二次函数表达式，解出最大值即可．
【解答】解：（1）∵OA＝OC＝2OB＝2，
∴A（2，0），B（﹣1，0），C（0，2），
将点A（2，0），B（﹣1，0），C（0，2），分别代入y＝ax2+bx+c中，
可得
解得
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）∵S四边形BCPA ＝S△BCA +S△ACP ，
，
∴S△A
C P
最大时，S四边形BCPA 最大，
过C作CD//AB交AP于点D
设P（t，y），
t
设y
A P
＝k x+b（k≠0），将P，A代入得，解得：
∴
∵CD∥AB
∴y ＝y ＝2
D C
∵D在 上，
∴ ，
即
∵S△ACP ＝S△PCD +S△ACD ， ，
易知y +y ＝y，
1 2 t
∴ ，
∴ ，
∴t＝1时，
∴四边形BCPA面积的最大值为4．
类型四：利用二次函数图象解决一元二次方程问题
25．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程
ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴x＝1，可以算出
右侧交点横坐标的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），
∴对称轴为x＝1，而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，
∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．
故选：C．
26．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣bx+a＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
【分析】首先根据二次函数的图象得到a＜0，b＞0，然后判断一元二次方程的判别式求解即可．
【解答】解：∵二次函数图象开口向下，对称轴大于零，
∴a＜0， ，
∴b＞0，
∴x2﹣bx+a＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣b）2﹣4×1×a＝b2﹣4a＞0，
∴关于x的一元二次方程x2﹣bx+a＝0的根的情况是有两个不相等的实数根．
故选：C．
27．如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝x2﹣4|x|+3的部分图象，若关于x的方程x2﹣4|x|+3＝
kx有3个不相等的实数根，则k的值为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D．﹣4﹣2 或﹣4+2
【分析】依据题意，由函数y＝x2﹣4|x|+3可知，x＞0和x＜0时的函数图象关于y轴对称，进而画出图
象，再由关于x的方程x2﹣4|x|+3＝kx有3个不相等的实数根，可以看作函数y＝x2﹣4|x|+3与y＝kx的图
象有三个交点，进而利用数形结合可以判断得解．
【解答】解：由函数y＝x2﹣4|x|+3可知，x＞0和x＜0时的函数图象关于y轴对称，函数图象如图所示：当k＞0时，x2+4x+3＝kx，即x2+（4﹣k）x+3＝0，
当直线y＝kx与函数y＝x2﹣4|x|+3的图象有三个交点时，
∴Δ＝（4﹣k）2﹣12＝0，
∴k＝4﹣2 或k＝4+2 （不符合题意，舍去），
∴k＝4﹣2 ．
当k＜0时，x2﹣4x+3＝kx，即x2﹣（4+k）x+3＝0，
当直线y＝kx与函数y＝x2﹣4|x|+3的图象有三个交点时，
∴Δ＝（4+k）2﹣12＝0，
∴k＝﹣4+2 或k＝﹣4﹣2 （不符合题意，舍去），
∴k＝﹣4+2 ．
综上所述，关于x的方程x2﹣4|x|+3＝kx有3个不相等的实数根，则k的值为4﹣2 或﹣4+2 ．
故选：C．
28．已知二次函数 y＝x2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m＝0 的解为
（ ）
A．x ＝3，x ＝1 B．x ＝﹣3，x ＝1
1 2 1 2
C．x ＝﹣3，x ＝3 D．x ＝﹣3，x ＝﹣1
1 2 1 2
【分析】由函数图象可以得出二次函数y＝x2+2x+m经过（﹣3，0）这一点，就可以求出函数的解析式，
当y＝0时求出x的值就可以求出结论．【解答】解：由函数图象，得二次函数y＝x2+2x+m经过（﹣3，0）这一点，
把（﹣3，0）代入y＝x2+2x+m，得：
0＝9﹣6+m，
解得：m＝﹣3，
∴y＝x2+2x﹣3，
∴x2+2x﹣3＝0，
解得：x ＝﹣3，x ＝1．
1 2
故选：B．
29．若二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x ＝﹣2，x ＝3 B．x ＝﹣1，x ＝3
1 2 1 2
C．x ＝0，x ＝3 D．x ＝1，x ＝3
1 2 1 2
【分析】先利用抛物线的对称性写出抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），然后根据抛物线与x
轴的交点问题可得到关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
所以抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
即x＝﹣1或3时，函数值y＝0，
所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x ＝3，x ＝﹣1．
1 2
故选：B．
30．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．函数的最大值为4
B．函数图象关于直线x＝﹣1对称
C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小
D．x＝1或x＝﹣3是方程ax2+bx+c＝0的两个根
【分析】根据函数图象确定对称轴、最大值、增减性、二次函数与一元二次方程的关系判断即可．
【解答】解：由图象知，
函数最大值为4；对称轴为直线x＝﹣1；当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；
故A，B正确；C错误；
∵抛物线与x轴交于点（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解是x ＝1，x ＝﹣3，
1 2故D正确．
故选：C．
31．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），则
方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的一个解只可能是（ ）
A．1.59 B．2.68 C．3.45 D．3.72
【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所
给的自变量两个值之间，再根据平移的性质得出结论．
【解答】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），
∴当x＝2.18时，y＝﹣0.51；x＝2.68时，y＝0.54，
∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68，
∵二次函数y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c是由二次函数y＝ax2+bx+c向右平移1个单位得到，
∴二次函数y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c的图象与x轴交点是由二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴交点右
平移1个单位得到
∴当y＝0时，3.18＜x＜3.68，
∴只有选项C符合，
故选：C．
类型五：利用二次函数图象解决一元二次不等式问题
32．抛物线 y＝ax2+bx+c 的部分图象如图所示，对称轴为直线 x＝﹣1，则当 y＜0，x 的取值范围是
（ ）
A．x＜1 B．x＞﹣1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣4≤x≤1
【分析】则根据函数的对称性，另外一个交点坐标为（﹣3，0），进而求解．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），函数的对称轴为x＝﹣1，则根据函数的对称性，函数与x轴另外一个交点坐标为（﹣3，0），
故当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1，
故选：C．
33．抛物线 的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为（﹣3，0），对称轴
为直线x＝﹣1，将抛物线y 沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线y ，则当y ＜0时，x
1 2 2
的取值范围是（ ）
A．﹣3＜x＜﹣1 B．﹣1＜x＜1 C．﹣1＜x＜3 D．1＜x＜3
【分析】依据题意，由y 与x轴时的一个交点为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，从而与x轴的另一
1
个交点为（﹣1+2，0），即（1，0），又抛物线 的开口向上，故当y ＜0时，
1
﹣3＜x＜1，进而当将抛物线y 沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线y ，则抛物线y 与x
1 2 2
轴的交点为（﹣1，0），（3，0），进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵y 与x轴时的一个交点为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
1
∴与x轴的另一个交点为（﹣1+2，0），即（1，0）．
抛物线 的开口向上，
∴当y ＜0时，﹣3＜x＜1．
1
将抛物线y 沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线y ，
1 2
∴抛物线y 与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）．
2
∴当y ＜0时，﹣1＜x＜3．
2
故选：C．
34．二次函数y＝x2+x﹣2的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞1 C．﹣2＜x＜1 D．x＜﹣2或x＞1
【分析】先解方程x2+x﹣2＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（1，0），然后利用函数图象
写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：当y＝0时，x2+x﹣2＝0，解得x ＝﹣2，x ＝1，
1 2∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（1，0），
当﹣2＜x＜1时，y＞0，
即函数值y＜0时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
故选：D．
35．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜3 D．x＞3
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），然后结合二次函数图象，
写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故选：C．
36．如图，抛物线y＝x2﹣14x+45与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C ，将C 向左
1 1
平移得到C ，C 与x轴交于点B、D，若直线y＝x+k与C 、C 共有3个不同的交点，则k的取值范围是
2 2 1 2
（ ）
A． B．﹣5≤k＜﹣1 C．﹣9≤k＜﹣5 D．
【分析】依据题意，首先求出点A和点B的坐标，然后求出C 解析式，分别求出直线y＝x+k与抛物线
2
C 相切时k的值以及直线y＝x+k过点B时k的值，结合图形即可得到答案
2
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣14x+45与x轴交于点A、B，
∴B（5，0），A（9，0）．
又抛物线为y＝x2﹣14x+45＝（x﹣7）2﹣4，
∴抛物线向左平移4个单位长度
∴平移后解析式y＝（x﹣3）2﹣4．
当直线y＝x+k过B点，有2个交点∴0＝5+k．
∴k＝﹣5．
当直线y＝x+k与抛物线C 相切时，有2个交点
2
∴x+k＝（x﹣3）2﹣4，
即x2﹣7x+5﹣k＝0．
∵相切，
∴Δ＝49﹣20+4k＝0
∴k＝﹣ ．
如图，
∵若直线y＝x+k与C 、C 共有3个不同的交点，
1 2
∴﹣ ＜m＜﹣5．
故选：D．
